2. cinemática del movimiento en el plano

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN ELCINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN EL
PLANOPLANO
Profesor:Profesor:
Marco Julio Rivera AvellanedaMarco Julio Rivera Avellaneda
CAMPUSCAMPUS VIRTUALVIRTUAL
FISICA IFISICA I

2. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN EL PLANO2. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN EL PLANO
05/12/1505/12/15 Marco Julio Rivera Avellaneda Esp. en CienciasMarco Julio Rivera Avellaneda Esp. en Ciencias
Físicas UNFísicas UN
INTRODUCCIÓN
MOVIMIENTO EN EL PLANO CON
VELOCIDAD CONSTANTE
Ejemplo:
Composición de Velocidades
En esta unidad estudiaremos el movimiento
de cuerpos sometidos simultáneamente a
dos o más movimientos. Empezaremos con
la velocidad relativa, la composición de
velocidades, el movimiento de proyectiles y
el movimiento circular un informe.
VELOCIDAD RELATIVA
La velocidad de un cuerpo depende del
sistema de referencia respecto al cual se
mide.
EJEMPLO:
¿Cuál es la velocidad que mide un
observador en tierra, de una persona que se
mueve en una escalera eléctrica, si la
velocidad de la escalera es y la velocidad
de la persona es ?
8
m
s
4
m
s
a) Si trota en el mismo sentido del
movimiento de la escalera.
b) Si trota en sentido contrario al movimiento
de la escalera.
Solución
.
.
8 4 12m m mv v v
R E P s s s
= + = + =
r r r
8 4 4m m mv v v
R E P s s s
= − = − =
r r r
.
Existen muchas situaciones en las que un cuerpo
posee simultáneamente dos o más velocidades.
Como la velocidad es una magnitud vectorial la
velocidad observada es la suma de las
velocidades que posee el cuerpo.
Consideremos una persona que nada con una
velocidad constante de en un río de 16 m de
ancho. Cuyas aguas tienen una velocidad
4
m
v
N s
=
2
m
v
A s
=
Se pueden presentar los siguientes casos:
a) Si el nadador se encuentra en aguas tranquilas
es decir . ¿Cuál es el tiempo que gasta en
atravesar el río?
0v
A
=

05/12/1505/12/15
Marco Julio Rivera Avellaneda Esp. en CienciasMarco Julio Rivera Avellaneda Esp. en Ciencias
b.1 Si el nadador nada en la misma
dirección de la corriente. ¿Cuál es la
velocidad del nadador respecto a tierra?
b.2 Si se deja arrastrar por la corriente
¿Cuál es la velocidad del nadador respecto
a tierra?
c) Si y nada río arriba ¿Cuál es la
velocidad de nadador respecto a tierra?
d) Si nada perpendicularmente al río con
¿Cuál es la velocidad respecto a tierra y
cuál es el tiempo que gasta en atravesarlo?
e) ¿Cuál es la distancia que se desvía?
El signo menos indica que la velocidad resultante
es en sentido negativo, a la izquierda.
b) Como y el nadador se mueve en la
misma dirección de la corriente tenemos:
b)Suponga que :
Solución:
• Si nada en la misma dirección de la corriente:0v
A
≠
0v
A
≠
0v
A
≠
0v
A
= 4
m
v
N s
= 16x m=
16
4 4
4
x m ms
x v t t s
mN v m
N s
=/= ⇒ = = =
/
g
a) El movimiento es un M.R.U
?t =
0v
A
≠
2
m
v
A s
= 4
m
v
N s
=
4 2 6
m m m
v v v
R N A s s s
= + = + =
r r r
c) Como y el nadador se desplaza en
sentido contrario tenemos:
0v
A
≠
2 4 2
m m m
v v v
R NA s s s
= − = − = −
r r r
d) El diagrama vectorial muestra que el nadador
se mueve respecto a la tierra con una velocidad
que es la suma vectorial de las velocidades y
.
v
R
r
v
A
r
v
N
r
( )
2 2 2
2 2 2 4 4 16
2
m m m
v v v
R NA s s s
   
 ÷  ÷
   
= + = + = +
( )
2
20 4.47
2
m m
v
R ss
= =

05/12/1505/12/15
El tiempo que gasta el nadador en atravesar
el río depende exclusivamente de su
velocidad . La velocidad no tiene
componentes en la dirección de .
Es el movimiento de un cuerpo que se mueve en
un plano x, y, perpendicular a la superficie de la
tierra, sometido a la aceleración de la gravedad .
PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE
LAS VELOCIDADES DE GALILEO
Para determinar el ángulo hallamos su
tangente:
Para hallar la distancia d, que se desvía el
nadador, tenemos:
“Si un cuerpo está sometido simultáneamente a
dos movimientos perpendiculares entre si, cada
uno de ellos ocurre como si el otro no existiera”.
?d =
MOVIMIENTO EN EL PLANO
UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.P.U.A)
Es el movimiento que describe un
cuerpo que rueda por una rampa,
la cual abandona con una
velocidad . Su trayectoria es una
hoja de parábola.
θ
( ) ( )
2
0.5 0.5 26.565º
4
m
v
sAtg arctg
mv
N s
θ θ= = = ⇒ = =
v
N v
A
v
N
16
4
4
x m
t s
mv
N s
= = =
Que es el mismo tiempo que gasto en a).
( ) ( )( )d
tg d x tg
x
θ θ= ⇒ =
( )16 0,5 8d m m= =
16x m= ( ) 0.5tg θ =
Fue comprobado experimentalmente por
Galileo y lo enunciamos como sigue:
g
v
Movimiento Semiparabólico
Si aplicamos el principio de
independencia de Galileo,
tenemos:
•El movimiento en x es un
M.R.U. con velocidad
constante .
•El movimiento en y es un
movimiento en caída libre
M.R.U.A. con aceleración
y .
vx
r
g
v
0viy =
r
vx
r

Problema:
Ecuaciones del movimiento
Semiparabólico
a) La distancia horizontal recorrida por la
bomba.
Un avión vuela horizontalmente a una altura
de 1.200m sobre el suelo con una velocidad
de 55,5 m/s y deja caer una bomba. Calcule:
En y es un M.R.U.A, en caída libre.
En el eje x tenemos: ( )2.1 x v tx=
En el eje y tenemos:( )
2
2.2
2
gt
y =
b) La velocidad con que llega al suelo.
Solución:
a) Gráfica y datos: ?x = 1.200y m=
55.5mvx s
= 9.8mg
s
=
2 22
2
gt y
y t
g
= ⇒ =
2.400 2244,8 15,64
9.8
2
m
t s s
m
s
= = =
( )2 1.2002
9.8
2
my
t
mg
s
= =
( )55.5 15.64 868,02mx x v t s mx s
= ∆ = = =
b) Gráfica y datos: (Aplicamos la composición de
velocidades).
55.5
m
vx s
=
?v
f
= 0viy =
r
2 2v v v v v vx xf fy f fy
= + ⇒ = +
r r r
En x es un M.R.U
?v
fy
=
( )0 9.8 15,64 153,27
m m
v v gt si f s sy y
= ⇒ = = =
2 2
55.5 153,27
m m
v
f s s
   
 ÷  ÷
   
= +
163
m
v
f s
=
( )
2 2
3.080,25 23.941,69 26.571,94
2 2
m m
v
f s s
= + =

e igual a la suma vectorial de sus componentes, como se observa en la figura.
MOVIMIENTO DE PROYECTILES (MOVIMIENTO PARABÓLICO)
Por la composición de velocidades tiene
una velocidad resultante que es
tangente a cada punto de la trayectoria
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE
PROYECTILES
El cuerpo está sometido a dos
movimientos uno en la dirección del
eje x y otro en la dirección del eje y.
Por el principio de independencia de
Galileo, el movimiento en el eje x es
un MRU, con velocidad constante .
El movimiento en el eje y es un
MRUA con aceleración constante
Es el movimiento de un cuerpo en un plano x, y, que se lanza con una velocidad , cerca de la
tierra, formando un ángulo con el eje x, el cual describe una trayectoria equivalente a una
parábola.
vi
r
θ
a g=
vx
r
A) COMPONENTES DE LA VELOCIDAD
EN
es constante porque es un MRU.
t=0
( ) ( ) (2.3)
viy
sen v v seniy ivi
θ θ= ⇒ =
vy varía porque es un MRUA.
cos( ) cos( ) (2.4)
vx v vx ivi
θ θ= ⇒ =
vx
B) COMPONENTES DE LA VELOCIDAD EN
UN TIEMPO t.
Como , es la velocidad final de un MRUA y
el movimiento es hacia arriba, el movimiento
es desacelerado con aceleración negativa:
vy
9,8
2
m
g
s
− = −
iv
r

05/12/1505/12/15
La componente sigue siendo la misma
por ser un MRU.
Es la distancia máxima que alcanza el proyectil.
Como el movimiento sobre el eje x es un MRU,
tenemos:
E) ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO
C) ALTURA MÁXIMA .
El proyectil alcanza la altura máxima cuando
. Si aplicamos la ecuación de la
velocidad sin conocer el tiempo y
reemplazamos la aceleración por –g,
tenemos:
, como y es máxima para :
De (2.3):
De (2.5) despejamos t, teniendo en cuenta que y
Por identidad trigonométrica
v v gtif
= +
( ) (2.5)v v g t v v gty y viy iy
= + − ⇒ = −
cos( )v vx i θ=
( )m x
y
á
0vy =
2 2 2v v gyy iy= −
Como , entonces:2 2 2v v a xif
= + ∆
0vy =
2
2 20 2 2
m x m x m x 2
v iy
v gy gy v yiy iyá á á g
= − ⇒ = ⇒ =
2 2( )
(2.6)
2
v seniy
máx g
θ
=
D) TIEMPO DE VUELO .
Es el tiempo que dura el proyectil en el aire.
Como el tiempo de subida es igual al tiempo
de bajada. El tiempo de vuelo es el doble del
tiempo de subida.
( )tv
t ts=
0vy = 0v v gty iy= −/
0 como = sen
viy
v gt gt v t v vs s siy iy iy ig
θ= − ⇒ = ⇒ =
( )
sen
2.7
vits g
θ
=
( )x
máx
2 sen
cos = cosmáxx
viv t v t vx x vi i g
θ
θ θ
 
 ÷=
 ÷
 
=
2 2sen cosv ix
máx g
θ θ
=
( )2 2 cossen senθ θ θ=
( )
( )
2 2
2.9
v senix
máx g
θ
=
( )2
2 sen
2.8
vit t tv s v g
θ
= ⇒ =

05/12/1505/12/15
Al comparar las ecuaciones (2.6), (2.8),
(2.9), encontramos que dependen
exclusivamente de y del ángulo de
elevación .
Es el movimiento de un cuerpo cuya trayectoria
es una circunferencia. Su velocidad cambia
continuamente de dirección pero su magnitud
permanece constante.
c)
Problema:
Un proyectil es lanzado con una velocidad
de
y con un ángulo de elevación de .
Calcule:
a)
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
MCUb)
vi
θ
a) Las componentes de la velocidad inicial.
b) La altura máxima.
c) El tiempo que dura el proyectil en el aire.
d) El alcance horizontal máximo.
400
m
s
030
Solución:
?vix = ?vi y = 400
m
vi s
= 030θ =
0cos 400 cos30 346,4
m
s
m
v vix i s
θ= = =
0400 30 200
m
s
m
v v sen seni y i s
θ= = =
?y
máx
= 9,8
m
g
s
=
2
2 02 2 400 30( )
2
2 9.8
2
m senv sen siy
máx g m
s
θ
 
 ÷
 
 
 ÷ ÷
 
= =
22 2 21 1160.000 160.000
2 22 4 4.000
19.6 19.619.6
2
m m s
ms msy
mmáx
s
   
 ÷  ÷
   
= = =
2.040,8y m
máx
=
?tv =
( ) ( )
2 10 2 4002 400 302 sen 2 400
9,8 9,89,8
2
msm senv ms si stv mg
s
θ
 
 ÷
 = = = =
40,81t sv =
d) ?x
máx
=
( )
2 22
0 160.000 0,8662 400 602 2
9,89,8
2
m sm senv sen si msx
mmáx g
s
θ
 
 ÷
 = = =
138.560
14.138,77
9,8
x m m
máx
= =

05/12/1505/12/15
Como ejemplo tenemos una piedra atada a
una cuerda que se hace girar.
Si la partícula da una vuelta completa, entonces:
Ejemplos:
• Punto sobre una rueda.
• Punto sobre un ventilador.
• Punto sobre un CD.
• Rueda volante de un parque.
El sistema circular permite medir ángulos
utilizando como unidad de medida el radián.
Longitud de arco.
CONCEPTOS DEL MCU.
Sistema circular(S.C.)
* Cual es el periodo de una partícula que da 2
vueltas en 20s.
Ángulo en radianes.
R : Radio
circunferencia.
:rθ
:S
S rrθ=
( )2 2 2.10S rrθ π π= ⇒ =
2 02 6,28 360
S
r
r
r rad radr
πθ π== = = =
Periodo (T)
Es el tiempo que gasta la partícula en dar una
vuelta.
( )( )
2.11
No vueltas
t empleado
T = [ ] [ ]T s=
20
10
2vueltas
s
T s= =
Frecuencia (f)
Número de vueltas que da la partícula en una
unidad de tiempo.
( )No vueltas
2.12
( )
f
t empleado
= [ ] 1 1 Hzf s
s
 
  
−= = =
* Cual es la frecuencia de una partícula que da
60 vueltas en 3s.

05/12/1505/12/15
* Cual es la frecuencia de una partícula que
da 60 vueltas en 3s.
B) VELOCIDAD ANGULAR
Relación entre T y f
ECUACIONES DEL MCU
Es un vector perpendicular al plano de rotación.
Se define como el desplazamiento angular o
ángulo barrido dividido en el intervalo de tiempo
transcurrido.
Si entonces , reemplazando:
Relación entre y
160 vueltas
20 20
3
f Hz
s s
= = =
A) VELOCIDAD LINEAL
El periodo y la frecuencia son cantidades
inversamente proporcionales y se relacionan
mediante la siguiente expresión:
1
(2.13)T
f
= 1
(2.14)f
T
=
( )v
l
v
Es el vector tangente a la trayectoria de la
partícula, su magnitud permanece
constante, pero cambia continuamente de
dirección. Se define como el arco recorrido
dividido en el tiempo transcurrido.
;
x
v
t
∆
=
s
Si x S v
l t
∆ = ⇒ =
Donde S es el arco recorrido. Si t=T y
tenemos:
2S rπ=
( )2
2.15
r
v
l T
π= ( )2 2.16v rf
l
π= m
s
v
l
  
     
=
( )ω
r
f i
f it t t
θ θθ
ω
−∆
= =
∆ −
2
rad
θ π∆ = t T∆ =
( )2
2.17
T
πω = ( )2 2.18fω π= [ ]
rad
s
ω
 
 
 
=
La velocidad lineal y la velocidad angular son
directamente proporcionales.
v
l ω
r

05/12/1505/12/15
Problemas
C) ACELERACIÓN LINEAL
Es el cambio de velocidad lineal con
respecto al tiempo. Se define como:
D) ACELERACIÓN CENTRÍPETA
Es un vector en dirección del radio y con
sentido hacia el centro de rotación. Se
define como:
c)
2 2
(2.15), , , entonces:De v r como
l T T
π π ω
 
 ÷
 
= =
( )a
l
v
, de (2.19)
v
la v r
l lt
ω
∆
= ∆ = ∆
∆
r
r r
( ) Con la aceleración angular.2.21a r r
l t
α
ω α∆
= = ×
∆
( )ac
v
2 2 2De (2.19) v r
l
ω=
rr
( )
2
2.22
v
lac r
=
( )2 2.23a rc ω=
2
m
ac s
       
=
La aceleración centrípeta es directamente
proporcional al cuadrado de la velocidad lineal e
inversamente proporcional al radio.
1. Una barra gira con MCU, al rededor del punto
O, efectuando 10 vueltas en 5s. Si los puntos A y
B de la barra tienen radios .2 y 3r m r m
BA
= =
Calcular:
a) El periodo y la frecuencia. b) y
BA
ω ω
c) d)yv v
lA lB ya a
cBcA
Solución:
a) ?T = ?f = # 10vueltas vuel= 5t s= T T T
BA
= =
f f f
BA
= =
( ) 5
0.5
No vueltas 10vuel
t emp s
T s= = =
1 1 12
0.5
f s
T s
−= = =
?
A
ω = ?
B
ω = 2
f
s
=
( ) 2
2 2 3,14 12,56
rad
f rad
BA rad s s
ω ω π
 
 ÷
 
= = = =
( ) ( )2.19 y 2.20
v
lv r
l r
ω ω= =
b)
?v
lA
= ?v
lB
= 2r m
A
= 3r m
B
=
( ) 1
2 2 3,14 2 2 25,12
m
v r f m
AlA s s
π
 
 ÷
 
= = =

05/12/1505/12/15
Por girar simultáneamente tenemos que:
b)
2. Dos ruedas de un engranaje tienen 9cm y 15cm
de radio. Si el periodo de la rueda de menor radio
es de 0.05s.
Como:
?
A
ω = ?
B
ω = 1
12f
B s
=
12,56 3 37,68
rad m
v r m
B BlB s s
ω= = =g
d) ?a
cA
= ?a
cB
= 2r m
A
= 3r m
B
=
22
631,012 25,12 22
315,5
22 2
mm
v mslA sa
cA r m m msA
 
 ÷
 = = = =
22
1.419,782 37,68 2
3 3
mm
v slB sa
cB r m m
B
 
 ÷
 = = =
315,5
2
m
a
cA s
=
2
473,26 473,26
2 2
m m
a
cB ms s
= =
Determinar:
a) La frecuencia de la rueda de mayor radio.
b) Las respectivas velocidades angulares.
Solución:
a) ?f
A
= ?f
B
= 0.05T sA = 9r cm
A
=
15r cm
B
=
v v
lA lB
=
2v r f
A AlA
π= 2v r f
B BlB
π=
Igualando tenemos:
2 2r f r f
B BA A
π π=
Como:
1 1 10.05 20
0.05
T s f SA A T sA
−= ⇒ = = =
9 20
2 180
12
2 15 15B B
vuelcm
sr f r f vuel vuelA A A AfB r r cm s s
π
π
 
 ÷
 
= = = = =
1
20f
A s
=
12 6,28 20 125 radf rad
A A s s
ω π
 
 ÷
 
= = =
1
2 6,28 12 75
rad
f rad
B B s s
ω π
 
 ÷
 
= = =

FISICA IFISICA I
( )1.1
4
6
x x xif
x mi
x
f
m
∆ = −
− =
=
v v v
v
v

2. cinemática del movimiento en el plano

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (16)

Similar a 2. cinemática del movimiento en el plano

Similar a 2. cinemática del movimiento en el plano (20)

Más de marcojrivera

Más de marcojrivera (18)

Último

Último (20)

2. cinemática del movimiento en el plano