Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método gráfico, igualación, sustitución y eliminación para sistemas 2x2, y los métodos de Gauss y Gauss-Jordan para sistemas 3x3. Se proveen ejemplos detallados de cada método y se asignan ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen los métodos.

1. SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS 2 x 2

2. Métodos de
Resolución
Se tratarán los siguientes métodos:
• Método Gráfico
• Método de Igualación
• Método de Sustitución
• Método de Eliminación

3. Método Gráfico
Ejercicio
X Y
-5 16
0 6
5 -4
0 6
2 2
X Y
-4 10
0 4.667
4 -0.667
8 -6
2 2
2𝑥 + 𝑦 = 6
4𝑥 + 3𝑦 = 14
𝑦 = 6 − 2𝑥 𝑦 = (14 − 4𝑥)/3
2, 2
-10
-5
0
5
10
15
20
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Tiene Solución
Sistema Determinado
x= 2
y= 2

4. Método Igualación
Ejercicio
2𝑥 + 𝑦 = 6
4𝑥 + 3𝑦 = 14
𝑦 = 6 − 2𝑥
𝑦 = 14 − 4𝑥
𝑦 = (14 − 4𝑥)/3
𝑦 = 𝑦
6 − 2𝑥 = (14 − 4𝑥)/3 x 3
18 − 6𝑥 = 14 − 4𝑥
4𝑥 − 6𝑥 = 14 − 18
−2𝑥 = −4
𝑥 = −4/−2
𝑥 = 2
2𝑥 + 𝑦 = 6
2(2) + 𝑦 = 6
4 + 𝑦 = 6
𝑦 = 6 − 4
𝑦 = 2
2𝑥 + 𝑦 = 6 4𝑥 + 3𝑦 = 14
Prueba en ambas ecuaciones
Despejar la misma
variable en ambas
ecuaciones
2(2) + (2) = 6
4 + 2 = 6
6 = 6
4(2) + 3(2) = 14
8 + 6 = 14
14 = 14
Igualamos las variables de ambas ecuaciones
Reemplazamos las Igualdades de
las variables despejadas de ambas
ecuaciones
Resolvemos las
ecuaciones igualadas
Reemplazamos el valor
encontrado en cualquiera de las
ecuaciones originales

5. Método Sustitución
Ejercicio
2𝑥 + 𝑦 = 6
4𝑥 + 3𝑦 = 14
𝑦 = 6 − 2𝑥 4𝑥 + 3𝑦 = 14
4𝑥 + 3(6 − 2𝑥) = 14
4𝑥 + 18 − 6𝑥 = 14
4𝑥 − 6𝑥 = 14 − 18
−2𝑥 = −4
𝑥 = −4/−2
𝑥 = 2
2𝑥 + 𝑦 = 6
2(2) + 𝑦 = 6
4 + 𝑦 = 6
𝑦 = 6 − 4
𝑦 = 2
2𝑥 + 𝑦 = 6 4𝑥 + 3𝑦 = 14
Prueba en ambas ecuaciones
Despejar una de
las variables en
cualquiera de las
ecuaciones
2(2) + (2) = 6
4 + 2 = 6
6 = 6
4(2) + 3(2) = 14
8 + 6 = 14
14 = 14
Reemplazamos el valor de la variable
despejada en la otra ecuación
Resolvemos la ecuación
con el nuevo valor
Reemplazamos el valor
encontrado en cualquiera de las
ecuaciones originales

6. Método Eliminación
Ejercicio
2𝑥 + 𝑦 = 6
4𝑥 + 3𝑦 = 14
6𝑥 + 3𝑦 = 18
−4𝑥 − 3𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 6
2(2) + 𝑦 = 6
4 + 𝑦 = 6
𝑦 = 6 − 4
𝑦 = 2
2𝑥 + 𝑦 = 6
4𝑥 + 3𝑦 = 14
Prueba en ambas ecuaciones
Elegir cual variable eliminar en
ambas ecuaciones
2(2) + (2) = 6
4 + 2 = 6
6 = 6
4(2) + 3(2) = 14
8 + 6 = 14
14 = 14
Multiplicamos los coeficientes de la variable que
queremos eliminar en forma cruzada con cada
ecuación cambiando de signo a uno de ellos
Resolvemos la ecuación
Reemplazamos el valor encontrado
en cualquiera de las ecuaciones
originales
(3)
(-1)
2𝑥 = 4
𝑥 = 4/2
𝑥 = 2
Reemplazamos los valores
encontrados en ambas ecuaciones
originales para la prueba
Sumamos las ecuaciones

7. Ejercicios Prácticos
2𝑥 + 𝑦 = 6
4𝑥 + 3𝑦 = 14
5𝑥 + 2𝑦 = 1
−3𝑥 + 3𝑦 = 5
5𝑥 − 2𝑦 = 2
𝑥 + 2𝑦 = 2
5𝑥 − 𝑦 = 3
−2𝑥 + 4𝑦 = −12
Resolver cada ejercicio por los cuatro (4) métodos y enviar a la plataforma virtual de la asignatura hasta el día viernes 23
de Abril de 2021 a horas 23:59

8. SISTEMAS
3 x 3
• Método de Gauss
• Método de Gauss - Jordan

9. Método Gauss
Ejercicio
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 9
−𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = −5
2 − 1 1 2
Ordenar los coeficientes del sistema
en una matriz
Multiplicamos los
coeficientes de la variable
que queremos eliminar en
forma cruzada con cada
ecuación cambiando de
signo a uno de ellos
(2)
2 −1 1 2
3
−1
1
2
−2 9
5 −5
(1)
2 −1 1 2
3
0
1
3
−2 9
11 −8
−2 4 10 − 10
0 3 11 − 8
−6 3 − 3 − 6
(-3)
(2)
6 2 − 4 18
0 5 − 7 12
2 −1 1 2
0
0
5
3
−7 12
11 −8
0 − 15 21 − 36
(-3)
(5)
0 15 55 − 40
0 0 76 − 76
2 −1 1 2
0
0
5
0
−7 12
76 −76
Reemplazamos el valor
encontrado en la Matriz
76𝑧 = −76
𝑧 = −1
Resolvemos la ecuación que
quedó con una incógnita, en
el último escalón
Reemplazamos el valor
encontrado en la siguiente
ecuación que quedó con 2
incógnitas en el siguiente
escalón
5𝑦 − 7𝑧 = 12
5𝑦 − 7(−1) = 12
5𝑦 + 7 = 12
5𝑦 = 12 − 7
𝑦 =5/5 𝑦 = 1
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 − (1) + (−1) = 2
2𝑥 − 1 − 1 = 2
2𝑥 = 2 + 1 + 1
2𝑥 = 4
𝑥 = 4/2
𝑥 = 2
𝑥 = 2
𝑦 = 1
𝑧 = −1

10. Método Gauss - Jordan
Ejercicio
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 9
−𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = −5
2 − 1 1 2
Ordenar los coeficientes del sistema
en una matriz
Multiplicamos los
coeficientes de la variable
que queremos eliminar en
forma cruzada con cada
ecuación cambiando de
signo a uno de ellos
(2)
2 −1 1 2
3
−1
1
2
−2 9
5 −5
(1)
2 −1 1 2
3
0
1
3
−2 9
11 −8
−2 4 10 − 10
0 3 11 − 8
−6 3 − 3 − 6
(-3)
(2)
6 2 − 4 18
0 5 − 7 12
2 −1 1 2
0
0
5
3
−7 12
11 −8
0 − 15 21 − 36
(-3)
(5)
0 15 55 − 40
0 0 76 − 76
2 −1 1 2
0
0
5
0
−7 12
76 −76
Reemplazamos el valor
encontrado en la Matriz
Resolvemos la ecuación que
quedó con una incógnita, en
el último escalón
Realizamos las demás
iteraciones hasta llegar a una
matriz identidad…
(/76)
2 −1 1 2
0
0
5
0
−7 12
1 −1
Simplificamos….
(-1)
−2 1 − 1 − 2
0 0 1 − 1
−2 1 0 − 3
−2 1 0 −3
0
0
5
0
−7 12
1 −1 (7)
0 5 − 7 12
0 0 7 − 7
0 5 0 5
−2 1 0 −3
0
0
5
0
0 5
1 −1
(-5)
(1)
10 − 5 0 15
0 5 0 5
10 0 0 20
10 0 0 20
0
0
5
0
0 5
1 −1
(/10)
(/5)
1 0 0 2
0
0
1
0
0 1
1 −1
𝑥 = 2
𝑦 = 1
𝑧 = −1

11. ¡GRACIAS!