Potencias, radicales y logaritmos

Potencias, Radicales y
Logaritmos
ISI. Frida B. Ñonthe Ortiz

Índice
• Potencias
• Definición
• Leyes de los exponentes
• Operaciones con exponentes
• Radicales
• Definición
• Leyes de los radicales
• Simplificación de radicales
• Operaciones de los radicales
• Logaritmos
• Definición
• Leyes de los logaritmos
• Operaciones con logaritmos
• Uso de la calculadora
Matematicas II | ISI. Frida B. Ñonthe Ortiz
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Introducción
A continuación se realizara un repaso de la Unidad N°3 de Matemáticas 2, el
cual se tomaran los temas vistos en clases como lo son: Potencias & Radicales.
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Definición | Potencias
• “De una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla
como factor dos o mas veces.” – Algebra Baldor, segunda edición (2007).
• “Forma simplificada de escribir una serie de multiplicaciones en las que los
factores son un mismo numero. La multiplicación de n veces un numero a se
representa por 𝒂 𝒏, es decir, 𝒂 𝒏 = 𝒂 ∗ 𝒂 ∗ 𝒂 … 𝒂 y se lee a elevado a n.” –
Diccionario esencial de matemáticas LAROUSSE, primera edición.
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Cuerpo de una potencia | Potencias
5
La base es el factor que se repetirá por la
cantidad de veces que indique el exponente, es
decir, la base se multiplica por ella misma tantas
veces como indica el exponente.

Ejemplos de potencias | Potencias
La primera potencia de una expresión es la misma expresión, por ejemplo:
(2𝑎)1= 2𝑎
La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como
factor dos veces, por ejemplo:
(2𝑎)2
= 2𝑎 𝑥 2𝑎 = 4𝑎2
El cubo de una expresión es el resultado de tomarla como factor tres veces, por
ejemplo:
(2𝑎)3= 2𝑎 𝑥 2𝑎 𝑥 2𝑎 = 8𝑎3
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Leyes de los exponentes | Potencias
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• Primera Ley:Todo numero elevado a la “cero” es igual a la unidad.
𝒂 𝟎
= 𝟏
• Segunda Ley: Un factor elevado a la unidad da como resultado el mismo numero.
𝒂 𝟏
= 𝒂
• Tercera Ley: El producto de potencias con la misma base (que sea distinta a cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponente.
𝒂 𝒎
∗ 𝒂 𝒏
= 𝒂 𝒎+𝒏
• Cuarta Ley: El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.
𝒂 𝒎
𝒂 𝒏
= 𝒂 𝒎−𝒏
• Quinta Ley:Todo numero exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo.
𝒂−𝟏
=
𝟏
𝒂
• Sexta Ley: la potencia de otra potencia de la misma base (sea distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.
(𝒂 𝒎
) 𝒏
= 𝒂 𝒎∗𝒏

Leyes de los exponentes - Continuación | Potencias
• Septima Ley: la potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores.
(𝒂𝒃) 𝒏= 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏
• Octava Ley: Para elevar una fracción a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho
exponente. De esta se dividen en dos sub leyes mas:
• Cuando la base son iguales, se restan los exponentes:
𝒂 𝒏
𝒂 𝒎
= 𝒂 𝒏−𝒎
• Cuando los exponentes son iguales, se dividen las bases:
𝒂 𝒏
𝒃 𝒏
= (
𝒂
𝒃
) 𝒏
• Novena Ley: Solo se pueden restar potencias que tengan la misma base y el mismo exponente, es decir
que sean semejantes.
Matematicas II | ISI. Frida B. Ñonthe Ortiz 8

Ejercicios con potencias | Potencias
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Definición | Radical
• “Símbolo √ que se utiliza para la escritura de raíces” – Diccionario esencial de
matemáticas LAROUSSE, primera edición.
• “En General, es toda raíz indicada de una cantidad. Si una raíz indicada es
exacta, tenemos una cantidad racional, y si no lo es, irracional. Así podríamos
decir que 4𝑎2 es una cantidad racional y 3𝑎 es una cantidad irracional. Las
raíces indicadas inexactas o cantidades irracionales son los radicales
propiamente dichos.” – Algebra Baldor, segunda edición (2007).

Cuerpo de un radical | Radicales
En la imagen, el tres es el radicando y el
cuatro el índice, lo que se debe obtener es la
cuarta raíz de tres. Cuando tenemos
expresiones sin el índice, indica que el índice
es “2”, lo que conocemos como raíz
cuadrada, por ejemplo: 16, 5, 49 , en
todos estos ejemplos, aunque no lo veas, el
índice es “2” y generalmente no se escribe.

Leyes de los Radicales | Radicales
• Primera Ley: el producto de raíces con el mismo índice
𝒏
𝒂 ∗
𝒏
𝒃 =
𝒏
𝒂 ∗ 𝒃
• Segunda Ley: El cociente de raíces con el mismo índice
𝒏
𝒂
𝒏
𝒃
=
𝒏 𝒂
𝒃
• Tercera Ley: Las potencias de una raíz
𝒏
𝒂 𝒎
𝒑
=
𝒏
𝒂 𝒎∗𝒑
• Cuarta Ley: Las raíces de una raíz
𝒏 𝒎
𝒂 = 𝒏∗𝒎
𝒂
• Quinta Ley: La propiedad Fundamental
𝒏∗𝒌
𝒂 𝒎∗𝒌

Operaciones con radicales: Suma y Resta |
Radicales
Para sumar o restar radicales se necesita
que sean semejantes, es decir, que
tengan el mismo índice y el mismo
radicando, cuando esto ocurre se suman
o restan los coeficientes de fuera y se
deja el radical.
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Para multiplicar radicales se necesita que
tengan el mismo índice, cuando esto
ocurre el resultado es un radical del
mismo índice y de radicando el producto
de los radicandos. Si tienen distinto
índice, primero se reduce a un índice en
común.
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Operaciones con radicales: Producto |
Radicales

Para dividir radicales se necesita que
tengan el mismo índice y de radicando
el cociente de los radicandos. Si tienen
distinto índice, primero se reduce a un
índice común.
Operaciones con radicales: Cociente |
Radicales

Operaciones con radicales | Radicales

Simplificación de Radicales | Radicales
Racionalizar una expresión con un radical en el
denominador, consiste en encontrar una expresión
equivalente que no tenga raíces en el denominador.
Para eso se realiza los siguientes pasos:
• Se multiplica el denominador por la expresión adecuada.
• Si el denominador es un binomio se multiplica el numerador
y el denominador por el conjugado (denominador).
Simplificar un radical es escribirlo en la forma mas
sencilla, de forma que:
• El índice y el exponente sean primos entre si
• No se pueda extraer ningún factor de radicando
• El radicando no tenga ninguna fraccion
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Simplificación de Radicales | Radicales

Definición | Logaritmo
• “Dado un numero 𝒙 > 𝟎, se denomina logaritmo en base 𝒂 (𝒂 > 𝟎 & 𝒂 ≠ 𝟏)
de 𝑥 al numero real y tal que cumple que 𝒂 𝒚 = 𝒙. Se simboliza como
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 = 𝒚. Así pues, se puede establecer la siguiente relación entre
logaritmos y potencias: 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 = 𝒚 𝒂 𝒚 = 𝒙.” – Diccionario esencial de
matemáticas LAROUSSE, primera edición.
• “Es una operación que consiste en, dada una base y el resultado de una
elevación a potencia, hallar el exponente.”
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Leyes de los logaritmos | Logaritmos
• Primera Ley: El logaritmo de cero y de los números negativos No existe en el conjunto de los números reales.
𝐥𝐨𝐠 𝟎 𝒃
• Segunda Ley: El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números.
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑨𝑩 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑨 + 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑩
• Tercera Ley: El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números.
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝑨
𝑩
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑨 − 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑩
• Cuarta Ley: El logaritmo de una potencia de un numero es el exponte multiplicado por el logaritmo del numero.
𝐥𝐨𝐠 𝒂(𝑨 𝒄
) = 𝑪 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑨
NOTA: sea 𝒂 un numero positivo, con 𝒂 ≠ 𝟏. Si sea 𝑨, 𝑩, 𝑪 números reales cualesquiera con 𝑨 > 𝟎 & 𝑩 > 𝟎.
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Calculo de logaritmos | Logaritmos

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