QUINTO DE SECUNDARIA

1. LOGARITMOS

2. Logaritmación
• Es una operación inversa de la potenciación, consiste en
calcular el exponente cuando se conocen la base b y la
potencia x.
2
𝒃 𝒚
= 𝒙
𝟓 𝟒 = x 𝒃 𝟑 = 𝟔𝟒 𝟑 𝒚
= 𝟐𝟒𝟑
Para calcular la
potencia x se
emplea la
potenciación
Para calcular la
base b se
emplea la
radicación
Para calcular el
exponente y se
emplea la
logaritmación

3. Expresión de los logaritmos
• Los logaritmos se expresan en dos formas equivalentes:
«forma exponencial» y «forma logarítmica».
3
Forma
exponencial
Forma
logarítmica
log y
b x y b x  

4. Algunas precisiones sobre logaritmos
• Los logaritmos son exponentes y pueden ser cualquier
número real.
• Sólo tienen logaritmo los números reales positivos.
• La base de los logaritmos es un número real positivo y
diferente de 1.
4
0
10
0
y < 0 y = 0 y > 0
𝑏 > 0 𝑏 ≠ 0
x > 0

5. • Calcular:
• 1.-
• 2.-
2log 128 y 2 128y
 
7
2 2
7
y
y


log100000 10log 100000 y   10 100000y

5
10 10y

5y 
 2log 128 7
 5

6. Identidad fundamental de los logaritmos
• Si el logaritmo de un número N en una base b es
exponente de su propia base, es igual número N.
Ejemplos.
6
4
2008
log 6
log 1500
1) 4 6
2) 15002008



7. PROPIEDADES
Propiedades generales de los logaritmos
7

8. Logaritmo de 1
• El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero.
• Ejemplos:
8
5
7
1)log 1 0
2)log 1 0



9. Logaritmo de la base
• El logaritmo de la base es igual a la unidad.
• Ejemplos:
9
6
2
1) log 6 1
2) log 2 1



10. Logaritmo de un producto
• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores.
• Ejemplos:
10
 
 
2 2 2
5 5 5
1) log 7 5 log 7 log 5
2) log 25 4 log 25 log 4
  
  

11. Logaritmo de un cociente
• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del
logaritmo del dividendo (numerador) menos el logaritmo
del divisor (denominador).
• Ejemplos:
11
2 2 2
5 5 5
1
1) log log 1 log 6
6
10
2) log log 10 log 5
5
 
  
 
 
  
 

12. Logaritmo de una potencia
• El logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base.
• Ejemplos:
12
3
2 2
4
5 5
1) log 6 3log 6
2) log 5 4log 5



13. Logaritmo de una raíz
• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del
radicando dividido entre el índice.
• Ejemplos:
13
3
3
log 12
1) log 12
2
 4 5
5
log 6
2) log 6
4


14. Producto de logaritmos recíprocos
• El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la
unidad.
• Ejemplos:
14
2 5
32
1) log 5 . log 2 1
2) log 3 . log 2 1



15. Número y base potencias
• Si el número y la base son potencias indicadas con
igual base, el logaritmo es igual al cociente de los
exponentes de las potencias.
• Ejemplos:
15
4
6
2
6
1) log 2
4
 5
2
3
2
2) log 3
5


16. Invariabilidad del logaritmo
• Si al número y a la base de un logaritmo se eleva a una
misma potencia o se extrae radicales del mismo grado,
el logaritmo no varía.
• Ejemplos:
16
4
4
33
1) log 5 log 5 1212
2) log 6 log 6

17. Reducción de potencias
• Si en un logaritmo, número y base son potencias, es
igual al producto del cociente de los exponentes por el
logaritmo de la base del número en la base de la base.
• Ejemplos.
17
5
4
22
4
1) log 3 log 3
5
 2
3
66
3
2) log 5 log 5
2


18. Base y número inversos
• Si base y número de un logaritmo son inversos de
números enteros, es igual al logaritmo del número
inverso, en la base inversa.
• Ejemplos.
18
1 2
2
1
1) log log 13
13
 
 
 
1 4
4
1
2) log log 8
8
 
 
 

19. Cambio de base
• El logaritmo de cualquier número, en cualquier base,
es igual al logaritmo del número dividido entre el
logaritmo de la base, ambos logaritmos en la nueva
base.
• Ejemplos.
19
5
2
5
log 3
1) log 3
log 2
 3
6
3
log 21
2) log 21
log 6


20. Regla de la cadena
• Si en un producto de logaritmos hay un encadenamiento entre
base y número, de tal modo que la base de un logaritmo es
número en el siguiente factor, es igual al logaritmo del primer
número en la última base.
• Ejemplos.
20
2 4 5 5
6 3 5 8 8
1) log 3.log 2.log 4 log 3
2) log 2.log 6.log 3.log 5 log 2

