Cuaderno probabilidad1

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA APLICADA Y TALLER

2º. SEMESTRE INGENIERIAS

CUADERNO DE TRABAJO PARA EL EXAMEN DEPARTAMENTAL

DEPARTAMENTO DE FISICO-MATEMATICAS

UIA

M. en I. C. J Cristóbal Cárdenas Oviedo

1

Contenido
Contenido...........................................................................................................................................2

INTRODUCCION

Este cuaderno tiene como finalidad proporcionar un espacio para conocer el
examen departamental y lo que se espera que resuelva.

Encontrará ejemplos resueltos de los problemas del tipo de los que aparecen en el
examen departamental. Los ejercicios se basan en la tabla de especificaciones o
matriz de conducta y contenido, elaborada para el diseño del examen.

Los problemas evalúan una parte esencial de los conceptos y técnicas básicas de
la estadística y de ninguna manera evalúan todo el curso.

2

El trabajo en la resolución de los ejercicios lo familiarizará con los temas que se
evalúan en el examen departamental y con el grado de dificultad que debe
dominar. El trabajo continuo le permitirá ganar confianza hasta que la naturaleza y
lenguaje de las preguntas se le haga familiar.

Podrá darse cuenta en qué puntos o áreas se encuentra más débil y en cuales
más fuerte para así enfocar sus esfuerzos en los puntos más débiles, ahorrándole
tiempo en la preparación de su examen.

Recuerde que si algo no se vio en el curso no es pretexto para no resolverlo ya
que cuenta con ésta guía y con las asesorías que se imparten en el Departamento
de Físico – Matemáticas.

Durante el curso de Probabilidad y Estadística tendrá la oportunidad de conocer
conceptos y técnicas de la estadística y de la probabilidad para llevar un control de
procedimientos y/o procesos.

En el examen departamental, se evalúa en forma general:

1. Estadística Descriptiva. Debe manejar los conceptos de: medidas de
tendencia central (media, mediana, moda), de dispersión (varianza,
desviación estándar y rango), frecuencia relativa y frecuencia relativa
acumulada. Debe de identificar un histograma y sus características.

2. Debe conocer técnicas de conteo y estar capacitado para encontrar
probabilidades de variables aleatorias discretas como la Binomial, Poisson
e Hipergeométrica y de variables aleatorias continuas como la normal, t de
Student y ji - cuadrado (uso de tablas). Debe manejar las reglas de suma y
producto para probabilidades y la probabilidad condicional,

3. Estadística Inferencial. Debe manejar los conceptos de: distribución
muestral, valor esperado, intervalo de confianza y prueba de hipótesis y
tomar decisiones con éstas técnicas en diferentes casos.

3

4. Debe conocer la ecuación de regresión lineal y los conceptos de coeficiente
de correlación y de determinación.

5. Debe distinguir las pruebas en casos de Estadística No Paramétrica.

El éxito en el examen dependerá de:

• Su competencia en la materia
• Entendimiento de la naturaleza del examen y de las condiciones en que lo
presentará
• Actitud emocional o grado de confianza

RECOMENDACIONES

• Lea con cuidado cada problema para que lo ubique en el tema que le
corresponde e identifique la pregunta que hace el problema.

• Vuelva leer el problema para identificar las cantidades y relacionarlas con
las ecuaciones pertinentes para resolverlo.

• En caso de ser necesario, haga dibujos o esquemas para aclarar el
problema.

• Aprenda a leer el formulario y el significado de las letras que aparecen en
las fórmulas.
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• Resuelva, primero, los problemas que crea le son más fáciles.

• Relacione correctamente los datos y las incógnitas con las letras que
aparecen en las ecuaciones.

• Verifique sus cálculos.

• Resuelva el examen de práctica del cuaderno.

• Trate de resolver sus asuntos pendientes antes de entrar al examen y
hacer todas las llamadas por teléfono que tenga que hacer.

• No coma mucho antes del examen y acuda al baño si es necesario.

• Lleve consigo lápiz y calculadora (No graficadora o programable).

• Al estudiar en el cuaderno, recuerde que si algo no le queda claro:

o Consulte las referencias

o Consulte a su profesor o

o Consulte las asesorías que se imparten en el Departamento de
FÍSICO-MATEMATICAS.

EJEMPLOS RESUELTOS

Estadística descriptiva

Frecuencia Relativa y Relativa Acumulada

Los datos o mediciones en un experimento: primero se organizan de tal manera
que podamos observar la frecuencia con que se repite cada uno de los posibles
resultados del experimento; segundo, observamos si tienden a agruparse

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alrededor de algún valor y tercero, que tanto se dispersan alrededor del valor
central

La frecuencia absoluta o frecuencia es simplemente el número de veces que se
repite el valor de cada dato. Si dividimos el número de veces que se repite el valor
de un dato entre el número total de datos se tiene la frecuencia relativa, (relativa al
total de datos).

La frecuencia relativa siempre será un número entre cero y uno y se relaciona con
el concepto de probabilidad.

Distinguimos dos casos para representar la frecuencia: valores discretos o datos
enteros y valores o datos continuos. En cualquier caso el concepto de frecuencia
absoluta y relativa es el mismo.

Valores discretos.

En la siguiente tabla se muestran los resultados de un estudio de calidad de un
servicio:

Frecuencia Frecuencia Porcentaje
Absoluta Relativa

Muy Bueno 24 24/92 = 0.2609 26.09

Bueno 38 38/92 = 0.413 41.3

Regular 16 0.1739 17.39

Malo 9 0.0978 9.78

Muy Malo 5 0.0543 5.43

TOTAL 92 1 100

6

Observe que la frecuencia relativa se obtiene dividiendo el valor de la frecuencia
absoluta para cada categoría entre el total de mediciones, en este caso entre 92.
El porcentaje es, simplemente, la frecuencia relativa multiplicada por 100

La frecuencia relativa acumulada se refiere a la suma de frecuencias relativas en
diferentes intervalos de los resultados posibles.

En general se habla de “al menos” (cota inferior), “cuando mucho” (cota superior) o
“entre”, suma de frecuencias entre dos valores.

Frecuencia (Tema 1.8):

Ejemplo1: De acuerdo a la tabla anterior:

a) La frecuencia relativa de “al menos bueno” es la suma de las
frecuencias relativas de muy bueno y bueno, 0.2609 + 0.413 = 0.6739.

b) La frecuencia relativa de “cuando mucho regular” es la suma de las
frecuencias relativas de muy malo, malo y regular, 0.1739 + 0.0978 +
0.0543 = 0.3261.

Valores continuos

La tabla representa la variación en la temperatura de un horno industrial

Temperatura en Frecuencia relativa
un horno (°C)

500 – 525 0.08

525.5 - 550 0.14

550.5 - 575 0.32

575.5 - 600 0.26

600.5 - 625 0.2
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De acuerdo a la tabla anterior:

c) El porcentaje de valores de “al menos 575.5 °C”, es:

Observe que la tabla reporta la frecuencia relativa y al menos es el límite inferior,
por lo que se deben sumar las frecuencias relativas del cuarto y quinto intervalo.
0.26 + 0.2 = 0.28. Como se pide porcentaje, multiplicamos por 100 y la respuesta
es 28 %

d) La frecuencia relativa acumulada de “cuando mucho 550°C”, es:

Cuando mucho, es cota superior por lo que se suman las frecuencias relativas del
primero y segundo intervalo 0.08 + 0.14 = 0.22

Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son:

• Moda, valor de los datos que se repite más veces, puede haber más
de uno o ninguno;

• Mediana, valor de los datos que se encuentra a la mitad una vez que
se han ordenado los datos o el promedio de los dos valores que se
encuentran a la mitad;

• Media, promedio de los datos

En el formulario se encuentra para la media de un conjunto de datos:

x=
∑x . Donde x , es el valor de cada dato y n es el número de datos
n

Ejemplo 2 (Tema 2.1):
8

Sean los siguientes datos:

22, 21, 26, 24, 22, 25, 26, 23, 27, 29.

Determine la moda, mediana y media.

a) Tiene dos modas, el número 22 y el 26

b) Mediana. Ordenamos los datos: 21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 26, 27, 29.

Los valores de los datos que se encuentran a la mitad son el 24 y el 25, la
mediana es (24 + 25)/2 = 24.5

c) La media o promedio es:

10

∑x i
21 + 22 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 26 + 27 + 29 223
x= i =1
= = = 22.3
10 10 10

Medidas de Dispersión

Las medidas de dispersión son:

• Varianza, promedio de las desviaciones respecto del valor central;

• Desviación estándar, raíz cuadrada de la varianza, tiene la ventaja de tener
las mismas unidades de la variable;

∑( x − x )
2

La desviación estándar de una muestra se calcula como: s =
n −1

• Rango. Diferencia entre los valores extremos de los datos


Determine la varianza, la desviación estándar y el rango para los datos anteriores.
9

a) Varianza:

∑( x − x )
2
( 21 − 22.3) 2 + (22 − 22.3) 2 + ( 22 − 22.3) 2 +  + (27 − 22.3) 2 + ( 29 − 22.3) 2
s2 = =
n −1 10 −1

1.69 + 0.09 + 0.49 + 2.89 +  + 22.09 + 44.89 106.81
s2 = = = 11.87
9 9

b) Desviación estándar: s= s 2 = 11.87 = 3.45

c) Rango, diferencia entre los valores extremos.

El rango para los datos anteriores es: 29 – 21 = 8

Nota. Se recomienda aprender a usar su calculadora en el cálculo del promedio y
de la varianza o desviación estándar. En particular el cálculo de la varianza (o de
la desviación estándar) puede ser bastante laborioso y consumirle un tiempo
valioso para resolver el examen.

Probabilidad

Regla de suma: P ( A o B ) = P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )

Regla del producto (eventos independientes):
P ( A y B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B )


En un lugar se encuentran 30 personas 18 mujeres y 12 hombres. 2 mujeres son

mayores de 40 años y 3 hombres son mayores de 40 años. Si se escoge una

10

persona al azar, la probabilidad de que sea hombre o que sea mayor de 40 años

es:

Sean las probabilidades de los eventos hombre (H), mayor de 40 (G) y de ambos

(H y G):

P(H) = 12/30 = 0.4; P(G) = 5/30 = 0.1667; P(H y G) = 3/30 = 0.1

La probabilidad de uno u otro es:

P ( H o G ) = P ( H ∪ G ) = P ( H ) + P (G ) − P ( H ∩ G )

P ( H o G ) = P ( H ∪G ) = 0.4 + 0.167 − 0.1 = 0.467

Probabilidad Condicional

Para resolver un problema de este tipo:

Primero traduzca la pregunta a la fórmula de probabilidad condicional

P( A ∩ B)
La probabilidad condicional es: P( A / B ) =
P( B)

Se lee como la probabilidad de A dado que ocurrió B.

Segundo, a partir de la tabla de datos, calcule solo las probabilidades de

interés, esto es, la probabilidad de la intersección y la probabilidad del evento B


En una agencia de autos, las ventas de un mes, reportaron los siguientes datos.

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Rojos Blancos

Medianos 14 8

Grandes 10 18

Encuentre las siguientes probabilidades.

a) Comprar un auto mediano y blanco

b) Dado que se compró un auto blanco que sea grande

c) Dado que el auto es mediano que sea Rojo

Para encontrar las tres probabilidades que se piden, conviene hacer una tabla de
probabilidades.

Nota. En el examen, no tiene que hacer toda la tabla, sólo tiene que calcular las
probabilidades que se requieran

Rojos Blancos Total

Medianos 14 8 22

Grandes 10 18 28

Total 24 26 50

Dividimos cada celda entre el total y se obtiene la probabilidad correspondiente a
cada evento.

Rojos Blancos Total

Medianos 0.28 0.16 0.44

Grandes 0.2 0.36 0.56
12

Total 0.48 0.52 1

El cruce de cada fila y columna nos da la probabilidad de que ocurra uno y otro
evento. Por ejemplo, la probabilidad de que sean medianos y rojos es:
P ( M y R ) = P ( M ∩ R ) = 0.28

Al final de cada columna se tienen las probabilidades de que sean rojos o que
sean blancos. Por ejemplo, probabilidad de que sean blancos = P ( B ) = 0.52

Al final de cada fila se tienen las probabilidades de que sean medianos o grandes.
Por ejemplo, probabilidad de grandes, P (G ) = 0.56

Con estos resultados se puede calcular probabilidad condicional.

Se debe de hacer la traducción del lenguaje oral al de probabilidades, esto es,
escribir la probabilidad condicional en forma de ecuación:

a) P ( M ∩ B ) = 0.16

P (G ∩ B ) 0.36
b) P (G / B) = = = 0.86
P( B) 0.52

P ( R ∩ M ) 0.28
c) P( R / M ) = = = 0.64
P( M ) 0.44

Nota. Si la pregunta fuera la 3, solo hace falta calcular la probabilidad de la
intersección y la del evento que ocurrió primero, no hace falta hacer toda la tabla

Teorema de Bayes.

P(H/A) P( A ∩H )

P(A)
P(H/B)
P( B ∩H )
P(B)
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P(H/C) P (C ∩H )
P(C)

En el diagrama se tienen las probabilidades de 3 resultados posibles en un primer
evento y después las probabilidades de otro evento dado que ya ocurrió el
primero. Al final se reportan las probabilidades de que ocurran uno y otro evento.

El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad siguiendo el proceso inverso.
Si ya ocurrió el evento H ¿cuál es la probabilidad de que venga de A, B o C?


Sean A, B y C enfermedades y H un síntoma que aparece con cualquiera de las 3
enfermedades. Las enfermedades son excluyentes y un estudio indica:

P(A) = 0.02, P(B) = 0.01, P(C) = 0.005 y

P(H/A) = 0.75, P(H/B) = 0.8 y P(H/C) = 0.95.

Dado que ocurrió el síntoma H, la probabilidad de que provenga de la enfermedad
B es:

El teorema de Bayes nos dice que dicha probabilidad se obtiene dividiendo la
probabilidad de B y H entre las suma de las probabilidades de las intersecciones.
Esto es:

P( B ∩ H ) .008
P( B / H ) = =
P ( A ∩ H ) + P ( B ∩ H ) + P (C ∩ H ) 0.015 + 0.008 + 0.00475

Observe que las intersecciones corresponden a las ramas finales del árbol y que

cada intersección es el producto de las probabilidades de las ramas anteriores, de

la forma:

P ( A ∩ H ) = P ( A) P ( H / A)

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Si se hubiera pedido la probabilidad de que dado H viniera de C, cambiamos el
numerador por la probabilidad de C y H

P(C ∩ H )
P(C / H ) =
P ( A ∩ H ) + P( B ∩ H ) + P (C ∩ H )

Variables Aleatorias Discretas.

Son aquellas variables que en un experimento solo pueden tener resultados con
números enteros. Por ejemplo, la respuesta es “éxito” o “fracaso” (binomial) o la
respuesta es el número de veces (frecuencia) que ocurre un evento en un
intervalo de tiempo o espacio (Poisson).

En los casos de variables aleatorias discretas se puede encontrar una fórmula que
permite calcular la probabilidad de que ocurra exactamente un valor posible de las
respuestas.

Ejemplos:

Experimento de tipo Binomial. Las respuestas posibles son: si o no, éxito o
fracaso, etc. Sólo hay dos respuestas posibles. En este caso, la probabilidad de
que la variable tome exactamente el valor x cuando hay n ensayos está dada por
la fórmula

P ( X = x ) =n C x p x (1 − p ) n −x


a) La probabilidad de que una persona tenga gripe es de 0.3 = p. La
probabilidad de que 5 (x) personas de 20 (n) tengan gripe es:

P ( X = 5)=20 C5 p 5 (1 − p ) 20−5

P(X = 5) = 15504(0.3)5(1-0.3)(20-5) = 0.1789

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Recuerde que debe distinguir en los casos de probabilidad acumulada cuando se
dice “al menos” o cuando se dice “cuando mucho”. En el primer caso, al menos es
el límite inferior y el segundo, cuando mucho, es límite superior.

b) Encuentre la probabilidad de que cuando mucho 2 tengan gripe. Se
calcula la probabilidad de 0, de 1 y de 2 y se suman.

P( X ≤ 2) = P( X = 0) + P ( X = 1) + P( X = 2)

P(X = 0) = 20 C 0 p 0 (1 − p ) 20 −0 = 0.00079

P(X = 1) = 0.00684

P(X = 2) = 0.02784

P( X ≤ 2) = 0.00079 + 0.00684 + 0.02784 = 0.03548

c) La probabilidad de que un equipo funcione es de 0.9. Si se prueban 16
equipos, la probabilidad de que al menos14 funcionen es:

El equipo funciona o no funciona, esto indica un experimento de tipo binomial. Al
menos 14 significa que deben funcionar, 14, 15 y 16, por lo que la probabilidad es:

P ( X ≥ 14) = P ( X = 14) + P ( X = 15) + P ( X = 16)

P(X = 14) = 16 C14 (0.9)14 (1 − 0.9)16 −14 = 0.2745

P(X = 15) = 0.3294

P(X = 16) = 0.1853

P( X ≥14) = 0.7893

Experimento Poisson. Se tiene un parámetro que es el valor esperado de
ocurrencias en el intervalo de tiempo o espacio. La probabilidad de que ocurran
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exactamente un número de eventos en el tiempo o espacio determinado está dado
por:

µ x ⋅ e −µ
P( X = x) =
x!

µ= Media o valor esperado

σ 2 = µ Varianza


Encuentre la probabilidad de que se atiendan a 12 personas en una hora si
el valor esperado es de 10 personas atendidas por hora.

1012 e −10
P ( X = 12) = = 0.09478
12!

Se debe tener cuidado de manejar el valor esperado en las unidades adecuadas.

Nota. Se puede dar el valor esperado de 10 atenciones por hora pero, pedir la
probabilidad de atenciones en ocho horas, en este caso el valor esperado de
atenciones en ocho horas es de µ = (10)(8) = 80 atenciones en la ocho horas. Si
se pide la probabilidad de 70 atenciones en las ocho horas se calcula así:

80 70 e −80
P ( X = 70) = = 0.02479.
70!

Otro caso de variable discreta, en donde se aplican las técnicas de conteo.

Se tiene un total de N objetos con diferentes características, n1, n2, n3. Se toma
una muestra de tamaño n y se pide la probabilidad de ocurrencia de alguno de los
posibles resultados del evento. Dado que la probabilidad es el número de formas
en que puede ocurrir el evento entre el total de casos posibles se usa la
combinatoria y la regla del producto para encontrar dichas cantidades

17


Se tienen 20 resistencias de 100 ohms, 15 resistencias de 200 ohms y 10
resistencias de 300 ohms. Si se toman aleatoriamente 6 resistencias, determine
las siguientes probabilidades, escoger:

a) Dos de cada de cada tipo

b) 3 de 100 ohms , dos de 200 y una de 300

c) Las 6 de 200 ohms.

d) Las 6 de un mismo tipo

La probabilidad es el número de casos favorables entre el total de casos posibles.

Se tienen 45 resistencias en total. El número total de formas que se pueden
escoger 6 objetos de 45, sin importar el orden, es:

45! 45 × 44 × 43 × × 2 ×1
C6 =
45
= = 8145060
6! ( 45 − 6)! 6 × 5 × ×1(39 × 38 ×1)

a) De las resistencias de 100 ohms, se pueden tomar dos de las 20 que
hay, de las resistencias de 200 ohms se pueden tomar dos de las 15 y
de las de 300 se pueden tomar dos de las 10. Ahora, como se toman
dos de un tipo, dos del otro y dos del tercer tipo, el número de formas
que podemos hacer esto es:

C 2 × C 2 × C 2 = 190 × 105 × 45 = 897750
20 15 10

La probabilidad es: 897750/8145060 = 0.1102

b) Se pueden tomar 3 resistencias de las 20 que hay de 100 ohms, 2
resistencias de las 15 que hay de 200 ohms y una de las 10 que hay de
300 ohms.

C3 × C 2 × C1 = 1140 ×105 ×10 = 1197000
20 15 10

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c) Se pueden tomar, nada más, 6 resistencias de las 15 de 200 ohms

C6 = 38760
20


d) Se pueden tomar 6 de las 20 de 100 ohms o 6 de las 15 de 200 ohms o
6 de las 10 de 300 ohms.

C620 + C6 + C6 = 38760 + 5005 + 210 = 43975
15 10


Observe que en el cálculo de resultados posibles cuando es “o” se suma y cuando

es “y” se multiplica

En el examen solo le preguntan un caso parecido a uno de los anteriores

Variable Aleatoria Continua

Entre las variables de este tipo se encuentran variables que siguen una
distribución de probabilidades normal, la normal estándar (z), la t de Student y la ji
- cuadrado. Aunque hay otras variables aleatorias continuas, no se incluyen en el
examen departamental.

La probabilidad de ocurrencia de un evento para una variable aleatoria continua se
determina integrando la función de densidad de probabilidad correspondiente en el

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intervalo de interés (área bajo la curva de la función de densidad vs los valores de
la variable aleatoria). Dado que las integrales son muy complicadas, se han
elaborado tablas para facilitar encontrar el área bajo la curva correspondiente.

Distribución Normal.

La probabilidad se tiene que dar en un intervalo, no se puede encontrar la
probabilidad de exactamente un valor. Veremos con algunos ejemplos como se
determina e interpreta la probabilidad.


Una lata se debe llenar con un litro de producto. Un estudio en 36 latas
proporciona una media de 0.98 litros con una desviación estándar de 0.1 litros.

a) La probabilidad de que una lata se llene con 1.1 litros es:

b) La probabilidad de que la lata se llene con menos de 0.96 litros es:

c) La probabilidad de que se llene con más 1.1 litros es:

Las tablas de la normal, con el fin de ser generales, se estandarizan por medio de

x−x
z=
s

Las tablas proporcionan el valor del área desde menos infinito hasta el valor para

el cual se busca la probabilidad. Conociendo esto, se pueden usar para encontrar

las probabilidades pedidas.

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a) P(X = 1.1) = P(1.05< X < 1.15), recuerde que no existe el área para

una línea o punto por lo que, se calcula el área en un intervalo próximo al

valor pedido.

0.98

Estandarizando la variable z = (1.1 – 0.98)/0.1 = 1.2

P(X = 1.1) = P(z = 1.2) = P(0.7 < z < 1.7)

Por medio de la tabla de la normal estándar se encuentra:

Área o probabilidad entre los dos valores: 9554 - 0.7580 = 0.1974

La probabilidad de que se llene con 1.1 litros es de 0.1974

Se determina, por medio de las tablas el área desde menos infinito hasta 1.15, el
área desde menos infinito hasta 1.05 y se restan para tener el área en el intervalo
que incluye 1.1

b) Probabilidad de que se llene con menos de 0.96, es el área desde
menos infinito hasta el valor de 0.96

0.96

z = (0.96 - .98)/0.1 = - 0.2

La probabilidad de que se llene con menos de 0.96 litros es 0.42074

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Este resultado, también se puede interpretar como el porcentaje de latas
producidas que se llenarán con menos de 0.96 litros. El 42% de las latas se
habrán llenado con menos de 0.96 litros. Esto puede significar que no le compren
las latas ya que son muchas con menos de 0.96 litros cuando debería ser 1 litro el
llenado.

c) Probabilidad de que se llene con más de 1.1 es el área que queda por
delante de 1.1. Debido a que esta área no la proporciona la tabla usamos el
complemento, tomando en cuenta que el área o probabilidad total es igual a
uno.

P(X > 1.1) = 1- P(X ≤1.1)

1.1

z = (1.1 - .98)/.1 = 1.2

P(z > 1.2) = 1- P(z < 1.2) = 1 – 0.88493 = 0.11507

La probabilidad de que una lata sea llenada con más de 1.1 litros es de 0.11507.
También, se puede interpretar como que el 11.5% de las latas se llenarán con más
de 1.1 litros.

Distribuciones Muestrales.

Valor Esperado.

Variable Aleatoria Discreta.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta se determina como:

n
E [ X ] = ∑ xi P ( xi )
i =1

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Sea x una variable discreta cuyos valores y probabilidades correspondientes se

representan en la siguiente tabla:

x 10 15 20 25 30

P(x 0.05 0.15 0.25 0.35 0.2

)

El valor esperado de x es:

n
E [ X ] = ∑ xi P ( xi ) = 10(0.05) + 15(0.15) + 20(0.25) + 25(0.35) + 30(0.2) =
i =1

E [ X ] = 0.5 + 2.25 + 5 + 8.75 + 6 = 22.5

Variable Aleatoria Continua.

Conocida la función de densidad de probabilidad de la variable, el valor esperado

se determina por medio de:

E [ X ] = ∫ xf ( x )dx

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La integral se evalúa en el intervalo en que está definida la función de

densidad


Suponga que el error de medición de un instrumento es una variable aleatoria

continua con una función de densidad de probabilidad dada por:

f ( x) = 0.09375(4 − x) 2 , en − 2 ≤ x ≤ 2

y cero en cualquier otro valor de x

El valor esperado de la variable es:

2
E[ X ] =
2
∫ x(0.09375(4 − x) )dx = (1.5 x − 0.375 x 2 + 0.03125 x 3 ) =0
2
−2
−2

Intervalos de Confianza.

Intervalo en donde se espera con cierta probabilidad que se encuentre el valor del
parámetro bajo estudio. En cada problema, se debe determinar el tipo de
distribución correspondiente, para esto, tome en cuenta, el parámetro bajo estudio
y el tamaño de la muestra.


a) Intervalo para la media, muestra grande

24

La resistencia a la presión en una muestra de 36 cilindros para gas,
presentan una media de 998 kg/m2 y una desviación estándar de 25. El
intervalo de confianza del 99% para la presión media de estos cilindros es:

El problema corresponde a intervalo de media con muestra grande,

entonces, en el formulario se encuentra:

σ
x −E <µ < x +E. Donde E = zα / 2 ( σ conocida o n>30)
n

s s
x − zα ≤ µ ≤ x + zα
2 n 2 n

Observe que dado que la muestra es tamaño mayor a 30 podemos usar la

desviación estándar de la muestra s como aproximación de la desviación

de la población.

α = 0.01

Usando las tablas de la normal estándar para encontrar la z que le
corresponde a un área de 0.005, se obtiene z = 2.57, por lo que el intervalo
pedido es:

25 25
998 − (2.57) ≤ µ ≤ 998 + (2.57)
36 36

987.27 ≤ µ ≤1008.73

b) Intervalo para la media muestra pequeña

Un estudio en 16 muestras de papel presenta una resistencia a la tensión
media de 32 N con una desviación estándar de 3. El intervalo de confianza
del 95% para la resistencia a la tensión de éste tipo de papel es:

25

Identificamos del formulario, para un intervalo de confianza de media con
muestra pequeña.

s s
x − tα ≤ µ ≤ x + tα
2 n 2 n

Observe que, debido a que la muestra es pequeña, utilizamos la
distribución de la t de Student.

3 3
32 − t 0.05 ,υ
≤ µ ≤ 32 + t 0.05 ,15
2 16 2 16

Para encontrar el valor correspondiente de la “t” tomamos en cuenta los
grados de libertad (n -1), que en este caso son 16 – 1 = 15 grados de
libertad. A partir de las tablas se encuentra: t 0.025,15 = 2.131

30.4 ≤ µ ≤ 33.58


Intervalo para proporciones

En una muestra de 90 personas, 65 contestaron a favor de un producto.
Encuentre un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de
personas que están a favor del producto.

Dado que es un problema de proporción, de acuerdo al formulario:

p (1 − p )
ˆ ˆ p (1 − p )
ˆ ˆ
p − zα
ˆ ≤ p ≤ p + zα
ˆ
2 n 2 n

65 0.72(1 − 0.72) 0.72(1 − 0.72)
− z 0 .1 ≤ p ≤ 0.72 + z0.1
90 2 90 2 90

0.72 − (1.65)(0.04733) ≤ p ≤ 0.72 + (1.65)(0.04733)

0.642 ≤ p ≤ 0.798

26


Intervalo para la desviación estándar

Un fabricante desea conocer, con un 95% de confianza, la variación en la
tenacidad de una fibra de rayón. Se toman 14 muestras de un tipo de fibra y
se obtiene una tenacidad media de 2.83 con una desviación estándar de
0.341 g/denier.

Identificamos, del formulario, para el intervalo de confianza de la desviación
estándar:

(n − 1) ( n − 1)
s ≤σ ≤ s
χ α ,n−1
2
χ12−α ,n−1
2 2

Usando las tablas para la distribución ji – cuadrado con 13 grados de

libertad.

χ0.025,13 = 24.74
2

χ0.975,13 = 5.01
2

(14 −1) (14 −1)
0.341 ≤ σ ≤ 0.341
24.74 5.01

0.247 ≤ σ ≤ 0.549

Ejemplo 16:

Intervalo para la diferencia de medias o de proporciones

• Diferencia de medias. (Tema 6.17)

27

Muestras grandes, suponiendo las varianzas conocidas (los otros casos los verá
en el curso). Una muestra de resistencia al esfuerzo de 36 metales de un tipo
proporcionó una media de 248 N/m 2 con una desviación de 20 N/m 2 y otra
muestra de 38 metales de otro tipo proporcionó una media de 252 N/m 2 con una
desviación de 28 N/m2. El intervalo de confianza para la diferencia de medias con
el 95% de confianza es:

En el formulario, identificamos

σ 12 σ 2
2
( x1 − x 2 ) − E < ( µ 1 − µ 2 ) < ( x1 − x 2 ) + E , con E = zα / 2 +
n1 n2
.

Sustituyendo los datos:

20 2 28 2
E = z 0.025 + = 1.96 × 5.93 ≈ 11
36 38

( 248 − 252) − 11 < ( µ 1 − µ 2 ) < ( 248 − 252) + 11

El intervalo es: − 15 < ( µ 1 − µ 2 ) < 7

Observe que el intervalo incluye el cero.

• Diferencia de Proporciones. (Tema 6.21)

Antes de una mejora, 120 personas de 200 dijeron que un servicio era bueno,
después de la mejora, 150 de 220 dijeron que eran bueno. Encuentre el intervalo
de confianza del 90% para la diferencia de proporciones.

( p1 − p2 ) − E < ( p1 − p2 ) < ( p1 − p2 ) + E
ˆ ˆ ˆ ˆ

120
p1 =
ˆ = 0.6
200
150
p2 =
ˆ = 0.682
210

28

p1q1 p 2 q 2
ˆ ˆ ˆ ˆ 0.6(1 − 0.6) 0.682(1 − 0.682)
E = zα / 2 + = 1.65 + = 0.077
n1 n2 200 220

(0.6 − 0.682) − 0.077 < ( p1 − p 2 ) < (0.6 − 0.682) + 0.077

El intervalo es: − 0.159 < ( p1 − p 2 ) < −0.0051

Observe que el intervalo no incluye el cero

Tamaño de Muestra

• Distribución normal medias (Tema 6.3.2)

El error que determina el intervalo depende de la desviación estándar, de la
distribución muestral correspondiente y a un valor de la variable aleatoria de dicha
distribución, para un nivel de confianza dado. Fijando un error particular podemos
determinar el tamaño de muestra necesario para tener dicho error o tamaño del
intervalo en el cual queremos que se encuentre el parámetro (media, desviación,
etc.)

¿De qué tamaño debe ser una muestra para tener un error de 0.2 para una
variable con distribución normal con media 2.5 y desviación estándar de 0.3 y con
una confianza del 95%?

En el formulario se encuentra que, en estas condiciones, el error está dado por:

σ
E = zα / 2 , sustituyendo los datos y despejando para n, se encuentra:
n

2
 0.3 
n =  z 0.025  = (1.96 × 2.94) = 8.64
2

 0.2 

Se redondea al número superior, la muestra para éste error es de tamaño 9

• Distribución normal, proporciones. (Tema 6.4.1)

29

Mismo procedimiento que en el caso anterior, solo se debe reconocer y aplicar la
fórmula correspondiente para el error en éstas condiciones.

Pruebas de Hipótesis.

Prueba para probar, con una probabilidad especificada, que cierto parámetro tiene
un determinado valor. Dependiendo del parámetro que se pruebe y del tamaño de
la muestra, debe identificar el estadístico de prueba correspondiente y manejar el
concepto del valor “p”.

Ejemplo17 (Tema 6.9):

Prueba de Media, muestra grande.

La verdadera media del peso de un costal de harina debe ser de 50 kg. Se pesan
36 costales obteniendo una media de 49.5 kg con una desviación de 1.2 kg. Haga
una prueba de hipótesis, con el 95% de confianza, para verificar si el contenido de
los costales es diferente a 50 kg.

1. Planteamiento de las hipótesis nula y alterna

H 0 : µ = 50
H A : µ ≠ 50

2. Identificación del estadístico de prueba apropiado para el caso y calcular

Se pide prueba sobre la media y es el caso de muestra grande, del
formulario:

x − µ 49.5 − 50
Z= = = −2.5
s 1.2
n 36

3. Con el nivel de confianza encontrar la región (o área) de rechazo o con
el valor del estadístico, encontrar el valor “p”

30

a) α = 0.025 , el valor de z que corresponde a ésta área es (tablas
2
normal estándar) es de 1.96 (o -1.96)

b) El valor “p” o área que corresponde al valor de z del estadístico es
(tablas) de 0.006

Para z = - 2.5, se tiene un área, desde menos infinito, de 0.006, el valor
“p” es ésta área

4. Comparar y rechazar o no la hipótesis nula

a) El valor de z del estadístico es menor al valor de z correspondiente
para el nivel de confianza (- 2.5 < - 1.96), por lo que se rechaza la
hipótesis nula.

b) El valor “p” es menor que el valor del nivel de confianza alfa (0.006 <
0.05), por lo que se rechaza la hipótesis nula

5. Concluir. Si hay diferencia, con este nivel de confianza, en el llenado de
los costales respecto de la especificación de 50 kg.

Nota. Si usted observa con cuidado las respuestas, en éste y otros problemas de
toma de decisiones con pruebas de hipótesis, ya le están dando el valor del
estadístico de prueba (no tiene que identificarlo y calcularlo). Lo que si debe saber
es como se plantea la hipótesis nula, calcular el valor del estadístico de prueba y
saber como tomar decisiones al comparar los dos estadísticos.


Prueba de proporción.

Un fabricante dice que su producto tiene el 65% del mercado. Un estudio, muestra
que de 300 productos 160 son del fabricante. Con un 95% de confianza pruebe la
hipótesis del fabricante.

31

H 0 : p = 0.65
1.
H A : p ≠ 0.65

2. La prueba es sobre una proporción de una población con muestra grande,
del formulario

z=
p− p
ˆ
=
(180 300) − 0.65 = − 0.05
= − 1.77
pq
ˆˆ (0.6)(1 − 0.6) 0.02828
n 300

3. a) α = 0.025 , el valor de z que corresponde a ésta área es (tablas normal
2
estándar) es de - 1.96

b) Para z = -1.77, se tiene un valor “p” o área desde menos infinito de
0.384

4. Por cualquiera de las dos comparaciones, se observa, para el nivel de
confianza establecido, que no hay suficiente evidencia estadística para
rechazar H0.

5. Se concluye que el fabricante tiene razón

Prueba de diferencia de medias


Se tienen dos tipos de concretos. Se toma una muestra de tamaño 42 de cada uno
y se obtiene un promedio muestral de la conductividad térmica para el primero de
0.486 con una desviación estándar de 0.187 y un promedio de 0.359 de
conductividad térmica con una desviación estándar de 0.158 para el segundo.
Esta información sugiere que el promedio verdadero de conductividad térmica del
primer concreto es mayor que la del segundo, con α = 0.01 .
32

H o : µ1 − µ2 = 0
Hipótesis.
H 1 : µ1 − µ2 > 0

Es una prueba de diferencia de medias con muestras grandes, del formulario:

z=
( x1 − x 2 ) − ( µ 1 − µ 2 )
σ 12 σ 22
+
n1 n 2

z=
( 0.486 − 0.359) − 0 = 3.3
(0.187) 2 (0.158) 2
+
42 42

Para el nivel de confianza dado y tomando en cuenta que es una prueba de
una cola la z que le corresponde (tablas) es: z = 2.33

La z de prueba es mayor que la z correspondiente al nivel de confianza, por lo
tanto cae en la región de rechazo de la hipótesis nula. (El valor “p” es 0.0005
menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula).

Se puede concluir que el primer acero tiene una conductividad térmica mayor.

Prueba de diferencia de proporciones


De 300 residentes de la ciudad 63 están a favor de un aumento en la velocidad
permitida en las carreteras, mientras que de 180 residentes del campo 75 están a
favor del cambio. La información indica que la percepción es diferente en los dos
grupos.

H o : p1 − p 2 = 0
Hipótesis:
H 1 : p1 − p 2 ≠ 0

33

Prueba de diferencia de proporciones muestra grande. Del formulario

z=
( p1 − p2 ) − ( p1 − p2 )
ˆ ˆ
p1q1 pq
ˆ ˆ ˆˆ
+
n1 n2

63 52
p1 =
ˆ = 0.21, p2 =
ˆ = 0.29
300 180

z=
( 0.21 − 0.29) − 0 = −1.94
(0.21)(1 − 0.21) (0.29)(1 − 0.29)
+
300 180

Tomamos un nivel de confianza α = 0.05

De la tablas para alfa medios se tiene z = -1.96

Comparando los valores de z de prueba y de significancia, z de prueba es
menor, (valor p = 0.2499, mayor que alfa) por lo que no hay evidencia para
rechazar la hipótesis nula.

Nota, si cambiamos el nivel de confianza a 0.1, z = -1.65. En este caso la z
de prueba si cae en la región de rechazo.

Análisis de Regresión.

En los problemas que aparecen, encontrará una tabla de datos en donde
aparecen los valores de las variables dependiente e independiente, así como los
valores que se requieren para hacer los cálculos de los coeficientes que
caracterizan a la recta de regresión y al coeficiente de correlación.

En el formulario usted encontrará las siguientes relaciones para encontrar:

34

Coeficientes de la recta de regresión y = b0 + b1 x :
ˆ ˆ

n (∑xy ) − (∑x )(∑y )
b1 =
n(∑x ) − (∑x )
2
2

( ∑ y )( ∑ x ) − ( ∑ x )( ∑ xy )
2

b0 =
n( ∑ x ) − ( ∑ x )
2 2

n es el número de datos

Coeficiente de correlación

(∑xy ) − (∑x )(∑y )
n
r=
n (∑x ) − (∑x ) n (∑y ) − (∑y )
2 2
2 2

El coeficiente de determinación es el coeficiente de correlación elevado al
cuadrado, r2

Tiene que leer con cuidado lo que se le pregunta y sustituir correctamente los
datos.


35

De acuerdo a la siguiente tabla encuentre la recta de regresión y los coeficientes
de correlación y de determinación.

y x2 y2 xy

3 25 9 625 75

9 75 81 5625 675

11 105 121 11025 1155

16 210 256 44100 3360

20 320 400 102400 6400

28 560 784 313600 15680

Suma = 87 1295 1651 477375 27345

En este caso n = 6

a) Los coeficientes de la recta de regresión son:

n( ∑ xy ) − ( ∑ x )( ∑ y ) 6(27345) − (87)(1651)
b1 = = = 21.99 ≈ 22
( )
n ∑ x 2 − (∑ x)
2
6(1651) − (87) 2

b0 =
( ∑ y )(∑ x ) − ( ∑ x )( ∑ xy ) = (1295)(1651) − (87)(27345) = −103.1
2

n( ∑ x ) − ( ∑ x ) 6(1651) − (87)
2 2 2

La recta de regresión es: y =−
ˆ 103 +22 x
ˆ

b) El coeficiente de correlación es:

36

n( ∑ xy ) − ( ∑ x )( ∑ y ) 6(27345) − (87)(1295)
r= = =
( )
n ∑ x 2 − (∑ x)
2
( )
n ∑ y 2 − (∑ y)
2
6(1651) − (87) 2 6(477375) − (1295) 2

r = 0.9759

c) El coeficiente de determinación es :

r2 = (0.9759)2 = 0.9405

Pruebas No Paramétricas.

Las pruebas son sobre la mediana y no se ponen restricciones sobre la
normalidad o no de la distribución de la variable bajo estudio.

Algunas de las pruebas son de: Rangos con Signo de Wilcoxon, Suma de Rangos
de Wilcoxon, Mann – Whitney y Kruskal – Wallis.

Prueba de Rangos con Signos de Wilcoxon.

Prueba el valor de la mediana de la población, la distribución de la población debe
ser simétrica y no importa el tamaño de la muestra.

Prueba de Suma de Rangos de Wilcoxon.

Muestras dependientes de muestras aleatorias en poblaciones que tienen
distribuciones similares no normales.

Muestras independientes, en muestras aleatorias de poblaciones que tienen
distribuciones similares, simétricas, no normales.

Prueba de U Mann – Whitney.

37

Muestras independientes de muestras aleatorias de poblaciones con
distribuciones similares, no normales. Es equivalente a la prueba de Suma de
Rangos de Wilcoxon.

Las dos se pueden aproximar por una distribución normal con misma media y
varianza cuando el tamaño de cada muestra es mayor o igual a 10 y no se
requiere que el tamaño de cada muestra sea el mismo.

Prueba de Kruskall – Wallis.

Es el equivalente a una prueba ANOVA de un factor. Muestras de una distribución
que no sea normal. Se recomienda cuando no se puede asegurar normalidad y
varianzas iguales.

Ejemplo 22 (tema 7):

Se desea investigar si un proceso de manufactura es mejor que otro. Se toman 5
muestras de uno y 8 del otro. La prueba adecuada para verificar si hay o no
diferencia entre las medianas es:

Se trata de un caso en donde no tenemos información sobre la distribución de las
poblaciones. Se puede usar la prueba de Suma de Rangos con Signo de Wilcoxon
o la prueba U de Mann – Whitney con H 0 : m1 = m2

Si las muestras son dependientes o pareadas solo se puede usar la prueba de
suma de rangos de Wilcoxon.

38

EXAMEN PRÁCTICA

Pregunta 1.

La siguiente tabla representa las ventas (en millones) de bolsas de papa por
semana que vende “La papa feliz”

Intervalo Frecuencia relativa

0.1 < x ≤ 0.3 0.085

0.3 < x ≤ 0.5 0.045

0.5 < x ≤ 0.7 0.290

0.7 < x ≤ 0.9 0.404

0.9 < x ≤ 1.1 0.176

39

El porcentaje de ventas de cuando mucho 0.7 millones de ventas es:

Pregunta 2:

La siguiente tabla muestra una lista de varios indicadores del crecimiento
económico a largo plazo en Filipinas. Las proyecciones son hasta el año
2010

Indicador Económico Cambio Porcentual
Inflación 5.3
Exportaciones 3.7
Importaciones 2.8
Ingreso Real disponible 3.9
Consumo 2.4
PNB real 2.9
Inversión (residencial) 3.2
Productividad (fabricación) 5.1
La mediana del cambio porcentual es:
Pregunta 3:

Una muestra de 10 baleros presentan los siguientes diámetros en cm:

9.5 11 11 10 10.5 9 10.5 10.5 10.5 9.5

La desviación estándar es:

Pregunta 4:

La siguiente tabla, se refiere a la prueba de un medicamento contra el dolor
que realizo Smith&Smith Pharmaceuticals, Inc. Calcula la probabilidad de
que una persona haya usado el medicamento o que estuviera en el grupo de
control

40

Medicamento Placebo Grupo de control total

Dolor de muelas 85 70 24 179

Sin dolor 632 416 402 1450

Total 717 486 426 1629

Pregunta 5:

En una línea de producción se tienen dos dispositivos A y B en paralelo, el
sistema funciona si alguno de los dos funciona. La probabilidad de que
funcione A es de 0.92 y la de que funcione B es de 0.87. La probabilidad de
que el sistema funcione es:

Pregunta 6:

Se tienen 5 camisas rojas, 8 azules y 9 blancas. Se escogen
aleatoriamente 4 camisas. La probabilidad de que sean 1 roja, una azul y 2
blancas es:

Pregunta 7:

Un estudio tiene como resultado la siguiente tabla de la relación de
compra de corbatas por categoría y tamaño.

Grande Mediana Chica Total

Vestir 27 79 17 123

Sport 18 92 38 148

Lujo 6 7 6 19

Total 51 178 61 290

41

Sí se escoge aleatoriamente a una camisa, ¿qué probabilidad hay de que
la corbata sea mediana dado que es de vestir?

Pregunta 8:

Un examen tiene las siguientes probabilidades de contestar correctamente
las preguntas

Pregunta Probabilidad

0 0 .05
1 0.18
2 0.33
3 0.30
4 0.12
5 0.02

La calificación esperada para este examen es:

Pregunta 9:

La función de densidad de probabilidad para la emisión de partículas alfa
está dada por f(x) = 0.25 e(-0.25x), en el intervalo x > 0 y f(x) = 0, para cualquier
otro valor de x.

El valor esperado de x es:

Pregunta 10:

Una compañía que produce llantas para camión sabe por experiencia que
16% de sus llantas tienen imperfecciones y se deben clasificar como de
segunda. Entre 20 llantas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que 2 sean de segunda?

Pregunta 11:
42

Sea X la cantidad de fracturas en la superficie de una caldera de cierto
tipo, una muestra, seleccionada al azar, presenta un promedio de 3 fracturas
por caldera. Calcula la probabilidad de que en una caldera existan
exactamente 4 fracturas.

Pregunta 12:

Una fábrica tiene una torre con carbón activado para absorber
contaminantes. Una muestra de 38 mediciones reportó una media de 145 kg
de contaminantes removidos con una desviación estándar de 18.

El intervalo de confianza del 95% para la cantidad de contaminantes
removidos es:

Pregunta 13:

En respuesta a muchas quejas respecto a la variación en el voltaje en una
zona Industrial, el director general del servicio postal inicia una
investigación preliminar. Una muestra de 14 mediciones tiene como
resultado una desviación estándar de 18 volts.

El intervalo de confianza del 95% para la desviación poblacional es:

Pregunta 14:

Una empresa desea estimar la proporción de hogares en los que se
compraría su producto. Se seleccionó una muestra de aleatoria de 800
hogares. Los resultados indican que, 172 de los hogares comprarían el
producto.

El intervalo de confianza del 90% de la proporción poblacional de hogares
que comprarían el producto es:

Pregunta 15:

43

Se registra la producción diaria promedio de cierto producto en una
planta. El registro se llevo a cabo durante 54 días y se obtuvo una media de
1350 litros con una desviación estándar de 260 litros. Prueba la hipótesis a
un nivel de significación de 5%, de que la producción media diaria sea de
1400 litros.

H₀: µ = 2500, estadística de prueba z = -1.12 No Rechazo H₀*

Pregunta 16:

En una temporada de vacaciones, se asegura que los hoteles estarán
ocupados a un 88%. Se encuentra que en 34 hoteles se tuvo un lleno del
84%. ¿Qué conclusión puede usted obtener acerca de la capacidad de
ocupación? realiza la prueba a un nivel de significancia del 5%

o H₀:P=0.85 estadística de prueba z=-0.47 No Rechazo H₀*

o H₀:P=0.85 estadística de prueba z=0.47 Rechazo H₀*

Pregunta 17:

Se estudia el rendimiento de dos tipos de valores, el valor tipo A y el valor
tipo B. El rendimiento de estos sólo se conoce hasta después de la venta. Se
tienen registradas 30 tasas de rendimiento anterior para valores tipo A y 36
para valores tipo B. De estas muestras se obtuvieron las estadísticas en la
tabla siguiente:

44

Tipo A Tipo B

Media 7.2% 8.5%

Varianza 1.58 1.89

¿Presentan estos datos suficiente evidencia de que existe una diferencia
en el rendimiento de ambos valores? Utiliza un nivel de confianza de 0.1

o H₁: µ₁-₂≠0, estadística de prueba z=-1.9 Rechazo H₀*

o H₁: µ₁-₂= 0, estadística de prueba z=-1.9 Rechazo H₀*

o H₁: µ₁-₂<0, estadística de prueba z=-1.9 No Rechazo H₀*

Pregunta 18:

El administrador de un hospital conjetura que el porcentaje de cuentas
hospitalarias no pagadas aumentó durante el año anterior. Los registros del
hospital muestran que 52 cuentas de 1148 personas admitidas en abril no
habían sido liquidadas después de 90 días. Este número es similar a las 36
cuentas de 1102 personas admitidas durante el mismo mes del año anterior.
45

¿Con estos datos hay evidencia suficiente que indique un incremento en
dicho porcentaje? realiza la prueba con alfa =0.05

o H₁:P₁-P₂≠0 estadística de prueba z = 2.4, Rechazo H₀*

o H₁:P₁-P₂<0 estadística de prueba z = - 2.4, No Rechazo H 0*

Pregunta 19:

Se requiere, para asegurar un funcionamiento uniforme, que la verdadera
desviación estándar del punto de ablandamiento de cierto tipo de asfalto sea
a lo sumo de 0.4°C. Una muestra de 8 especímenes reporta una desviación
estándar de 0.52°C. Se puede pensar que la desviación es >0.58 con alfa =0.1

o H₁: σ² > 0.25 estadística de prueba 2=12.11, No Rechazo H₀*

o H₁: σ² ≠ 0.25 estadística de prueba 2=12.11, Rechazo H₀*

46

Pregunta 20:

Un estudio sobre la carga de masa (x) de DBO (kg/ha/d) y la eliminación de
masa (y) de DBO (kg/ha/d) presentan los siguientes resultados:

Carga de masa x Eliminación de masa y x² y2 xy

9 5 81 25 45

11 7 121 49 77

14 8 196 64 112

17 9 289 81 153

28 14 784 196 392

31 24 961 576 744

36 19 1296 361 684

39 29 1521 841 1131

106 73 11236 5329 7738

143 88 20449 7744 12584

suma =434 276 36934 15266 23660

La recta de regresión es:

Pregunta 21:

47

En el caso de comparación de varios niveles para un factor, en el que no se
puede suponer normalidad ni varianzas iguales, la prueba adecuada para ver
si hay diferencias es:

o Kruskall – Wallis*

o Prueba de Rangos con Signo de Wilcoxon*

o Prueba de suma de Rangos de Wilcoxon*

o Mann – Whitney*

* Son ejemplo de la forma como aparecen las opciones de respuesta.

48

REFERENCIAS.

• W. W. Hines, D. C. Montgomery, D. M. Goldsman y C. M. Borror;
“Probabilidad y Estadística para Ingeniería”; Cuarta edición; Ed.
CECSA; México, 2005.

• W. Navidi; “Estadística Para Ingenieros y Científicos”; Ed. McGraw-
Hill; México, 2006.

• R.E. Walpole, R. H. Myers y S. L. Myers; “Probabilidad y Estadística
para Ingeniería y Ciencias”; Octava edición; Ed. Pearson; México,
2007.

• W. Mendenhall, R. J. Berner, B. M. Berner, “Introducción a la
Probabilidad y Estadística”; Ed. Thompson; México, 2002.

49

TABLA DE ESPECIFICACIONES

CLA RESULTADOS DE TOT
VE TEMA APRENDIZAJE % AL
A
P
(objetivos) CON COM L
5
1.0 Introducción a la Estadística %
1.1 Concepto de Variable Definir Variables y Medidas
Comprender Tipos de
Variables: Cualitativas y
1.2 Cuantitativas
1.3 Escala de Medición Definir Escalas de Medición
Defnir el Análisis
1.4 Exploratorio de Datos
Conocer las fuentes de
1.5 información
Conocer las diferencias
1.6 entre población y muestra
Distinguir datos agrupados
1.7 Análisis de datos de no agrupados
Determinar las Frecuencias
Absolutas, Relativas,
Absolutas Acumuladas y
1.8 Distibución de Frecuencias Relativas Acumuladas x 1
Elaborar Histogramas,
Polígono de Frecuencias,
Ojiva, Diagramas de Tallo y
Hoja, Diagramas de Pastel,
1.9 Representaciones Gráficas Diagrama de Caja y Bigote.
5
2.0 Medidas de tendencia central %
Calcular la media, mediana
y moda para datos no
2.1 agrupados. x 1
Calcular la media, mediana
y moda para datos
2.2 agrupados.
Calcular Cuartiles, deciles y
2.3 Medidas de posición percentiles

3.0 Medidas de dispersión 5
50

%
Definir qué es dispersión o
3.1 variabilidad
Calcular las medidas de
dispersión: rango,
desviación media,
desviación estándar,
varianza, dispersión relativa,
coeficiente de variación,
3.2 recorrido intercuartílico x 1
Interpretación conjunta de
las medidas de tendencias
3.3 central y de dispersión
Interpretar las distribuciones
de los datos con respecto a
su Coeficiente de Asimetría
utilizando la Regla Empírica
y el Teorema de
3.4 Tchebychev

5
4.0 Teoría de la Probabilidad %
Conocer los enfoques de
Fundamentos básicos de la probabilidad (clásica,
4.1 probabilidad frecuencial, subjetiva)
Distinguir qué es espacio
muestral, evento(simple o
4.2 Experimento Aleatorio compuesto), punto muestral
Aplicar las reglas de Adición
para eventos excluyentes,
no excluyentes o
4.3 Reglas de Probabilidad complementarios x
Aplicar las reglas de
Multiplicación para eventos
dependientes e
4.4 Reglas de Probabilidad independientes x 1
Calcular la probabilidad
4.5 condicional x 1
Calcular probabilidades con
4.6 Teorema de Bayes x 1

5
5.0 Métodos de Conteo %
Calcular el número de
eventos utilizando
ordenaciones con repetición,
permutaciones,
combinaciones o Diagrama
5.1 de Arbol x 1

Distibuciones de probabilidad 10
51

%
Clasificar las distribuciones
Panorama general de las de probabilidad (discretas y
5.2 distribuciones de probabilidad continuas) x
Calcular la media, la
varianza y la desviación
estándar de una
distribución de probabilidad
5.3 discreta x 1
Calcular la media, la
varianza y la desviación
estándar de una
distribución de probabilidad
5.4 continua x 1
Calcular la Probabilidad
Acumulada para los casos
de Distribuciones Discretas
5.5 y Continuas.
Identificar las propiedades
de una distribución de
probabilidad conjunta,
5.6 marginal y condicional
Calcular la esperanza
conjunta, covarianza y
coeficiente de correlación de
variables aleatorias
independientes así como
valores esperados
5.7 condicionales

Distribuciones de 10
probabilidad más conocidas %
Calcular la probabilidad
distinguiendo las
características de las
Uso de las distintas distribuciones de
5.8 distribuciones probabilidad
5.9 Binomial x 1
5.10 Poisson x 1
Aproximación a la Binomial
5.11 con la de Poisson
5.12 Normal x 1
Aproximación a la Binomial
5.13 con la de normal
5.14 T-student
5.15 Ji-cuadrada
5.16 Distribución F
Comprender aplicación de la
Normal, Ji-Cuadrada, F, T-
5.17 Student x 1
20
6.0 Muestreo %
6.1 Definición de muestreo

52

Clasificar los tipos de
Muestreo (cuota, aleatorio
6.2 simple, estratificado)
Estimación estadística
(Muestras Grandes y Chicas,
Varianza Conocida y
Desconocida)
Calcular media, desviación
estándar, probabilidad,
tamaño de muestra, error
muestral, intervalo de
confianza para la
distribución muestral de
6.3 medias. x 1
Calcular: media, desviación
tamaño de muestra , error
confianza para la
6.4 proporciones. x 1
confianza para la
6.5 diferencia de medias. x 1
confianza para la
6.6 diferencia de proporciones. x 1
25
Teoría de Decisión %
Plantear hipótesis nula y
alternativas (prueba de 1 y 2
6.7 Prueba Estadística de medias colas) x 1
Identificar los niveles de
significación, error tipo I y
6.8 tipo II
Calcular Estadístico de
Prueba y Regla de
6.9 Decisión. x
6.10 Calcular el valor p x
Prueba Estadística de alternativas (prueba de 1 y 2
6.11 proporciones colas) x 1
6.12 tipo II
6.13 Calcular Estadístico de x
Prueba y Regla de
53

Decisión.
Prueba Estadística de diferencia alternativas (prueba de 1 y 2
6.15 de medias colas) x 1
6.16 tipo II
Prueba y Regla de
6.17 Decisión. x
Prueba Estadística de diferencia alternativas (prueba de 1 y 2
6.19 de proporciones colas) x 1
6.20 tipo II
Prueba y Regla de
6.21 Decisión. x
6.22 Calcular el valor de p x
Prueba Estadística para la Plantear hipótesis nula y
varianza de una y dos alternativas (prueba de 1 y 2
6.23 poblaciones colas) x 1
6.24 tipo II x
Prueba y Regla de
6.25 Decisión. x

Conocer las condiciones en 5
Regresión y correlación las que el modelo es válido %
Calcular: ecuación,
estimación, análisis de
correlación, recta de
6.27 Lineal mínimos cuadrados x 1
Calcular: ecuación,
estimación, análisis de
correlación, recta de
6.28 Múltiple mínimos cuadrados

Elaborar casos de 5
7.0 Estimación no paramétrica aplicación; % 1
7.1 Prueba de Signo x
7.2 Prueba U de Mann Whitney x
Prueba de Rangos de
7.3 Wilcoxon x
Prueba de correlación de
7.4 Rangos x

54

Análisis de Varianza de
7.5 Rangos de Friedman x
Coeficiente de Correlación
7.6 de Rango de Spearman x
Coeficiente de correlación
7.7 de Rango de Kendall x

10
0
Total % 24

55

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