1. Universidad de Guadalajara
Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías
División de Ciencias Básicas
Departamento de Matemáticas
Interpolación por Diferencias Divididas
La forma más simple de interpolación es conectar dos puntos con una línea recta;
f(x)
f(x
)
2
f(x)
f(x1 )
x
x
1
( )
( )
x
x2
( )
( )
(
( )
)
(
( )
)
(
)
Interpolación Lineal de Primer Orden
Entre más pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta es la aproximación, el término;
( )
( )
Es una aproximación por diferencias divididas que representa a la pendiente o primera derivada.
Ejemplo: Calcular el logaritmo natural de 2 utilizando interpolación lineal entre los puntos a= 1 y b=6.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)

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Departamento de Matemáticas
Usando un intervalo más pequeño:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
El error se debe a que se aproxima una curva mediante una línea recta, una estrategia de aproximación mejorada
es introducir una curvatura que conecta a los puntos, con un polinomio de segundo orden:
( )
(
)
(
)(
)
Ecuación 1
( )
Sea;
( )
Substituyendo en la ecuación 1, x = x0 se obtiene;
( )
Ecuación 2
Substituyendo la ecuación 2 en la ecuación 1, para x = x1 se obtiene;
(
)
(
)
Ecuación 3
Substituyendo la ecuación 2 y 3 en la ecuación 1, para x = x2 se obtiene;

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(
)
(
)
(
)
(
)
b1 representa la pendiente de la línea que une los puntos x0 y x1
b2(x-x0)(x-x1) introduce la curvatura de segundo orden
b2 es la aproximación por diferencias divididas de la segunda derivada
Ejemplo: Calcular el logaritmo natural de 2 usando un ajuste de segundo orden con tres puntos, x 0 = 1, x1= 4 y
x2= 6
Solución:
( )
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
(
)
(
)
(
( )
(
(
)
)
(
)(
)
)
(
)(
)
(
)(
)
Para x = 2 se obtiene
( )
(
( )
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
Polinomio General de Interpolación por Diferencias Divididas de Newton

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( )
(
)
(
)(
)
(
)
Ecuación a
Se requieren n+1 puntos para obtener un polinomio de enésimo orden, con estos datos se evalúan los coeficientes bn.
( )
Ecuación b
(
)
(
Ecuación c
)
.
.
.
(
Ecuación d
)
Ecuación e
La primera diferencia dividida se representa con;
(
)
( )
( )
La segunda diferencia dividida finita se representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas;
(
)
(
)
(
)
La enésima diferencia dividida es;
(
)
(
)
(
)
Se usan las ecuaciones b, c, d, y e para evaluar los coeficientes de la ecuación a, se obtiene;
( )
( )
(
(
)[ (
)(
)] (
) (
)(
)[ (
)[ (
)]
Polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton
i
0
1
2
3
xi
x0
x1
x2
x3
f(xi)
1era
2nda
3era
f(x0) f(x1, x0) f(x2, x1, x0) … f(x3, x2, x1, x0)...
f(x1) f(x2, x1) f(x3, x2, x1)
f(x2) f(x3, x2)
f(x3)
Naturaleza recursiva de las diferencias divididas finitas de Newton
)]

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Ejemplo;
Calcular el logaritmo natural de 2 usando un polinomio de interpolación de newton con diferencias divididas de
tercer orden, x0 = 1, x1= 4 x2= 6 y x3= 5
Solución;
( )
( )
( )
( )
(
i
0
1
2
3
( )
)
(
)
(
)
)(
)
(
)(
)(
( )
( )
( )
( )
( )
xi
f(xi)
1era
2nda
3era
1
0
0.462098 f(x2, x1, x0) … f(x3, x2, x1, x0)...
4 1.386294 0.202732 f(x3, x2, x1)
6 1.791759 0.182321
5 1.609437
(
)
(
i
0
1
2
3
(
xi
f(xi)
1era
2nda
3era
1
0
f(x1, x0) f(x2, x1, x0) … f(x3, x2, x1, x0)...
4 1.386294 f(x2, x1) f(x3, x2, x1)
6 1.791759 f(x3, x2)
5 1.609437
(
i
0
1
2
3
)
( )
)
xi
f(xi)
1era
2nda
3era
1
0
0.462098 -0.051873 … f(x3, x2, x1, x0)...
4 1.386294 0.202732 -0.0204510
6 1.791759 0.182321
5 1.609437
)

6. Universidad de Guadalajara
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División de Ciencias Básicas
Departamento de Matemáticas
(
(
)
i
0
1
2
3
( )
( )
)
xi
f(xi)
1era
2nda
3era
1
0
0.462098 -0.051873 …0.007865
4 1.386294 0.202732 -0.0204510
6 1.791759 0.182321
5 1.609437
(
)
(
(
)(
)
(
)(
)
Para x = 2
(
)
)(
)(
(
)(
)
)(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
Problema 1).- Una empresa de control de calidad, al estudiar la cantidad mineral contenido en el agua adquiere las mediciones que se muestran en la tabla 1. Completar la tabla de diferencias divididas de Newton que se asocia a las mediciones, y obtener el polinomio de interpolación para estimar cuántos miligramos de mineral se encuentran en 1.6 hectolitros
de agua.
Hectolitros de agua
Cantidad de mineral en miligramos
Tabla 1
1
32
1.5
41
2
48
x f(x) 0000 0000 0000
1
32
1.5 41
2
48
2.5 53
Tabla de diferencias divididas
2.5
53
a). f (1.6) = 21.44
b). f (1.6) = 42.6
c. f (1.6) = 37.8
Problema 2).- Construir la tabla de diferencias divididas con la función f(x) = ln (x) en los puntos x = 1, x = 2,
y x = 4, determinar la solución para ln(3) a partir del polinomio de interpolación de Newton de segundo grado.
a).- ( )
b).- ( )
c).-
( )
Problema 3).- Construir la tabla de diferencias divididas de la función f (x) = x 3 en los puntos {0, 1, 3, 4} y, a
partir de ellas, evaluar con el polinomio de interpolación de newton de tercer grado para x = 10
a).- ( )
b).- (
)
c).-

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Problema 4).- Completar la tabla de diferencias divididas ó serpentina de Newton a partir de los puntos; (1,
1/2), (0, 0), (1/2, 2/5), (−1, −1/2).
X
1
0
1/2
-1
a).-
-0.8
-0.5
-0.56
+0.2
+0.6
+0.4
b).X
1
0
0.5
-1
5
f(x)
½
0
2/5
-½
f(x)
0.5
0
0.4
-1/2
-0.8
-0.5
-0.56
0.2
0.6
c).x
1
0
0.5
-1
0.4
f(x)
0.5
0
0.4
-1/2
0.5
0.8
0.6
-0.2
0.6
x
1
0
0.5
-1
0.4
f(x)
0.5
0
0.4
-1/2
-0.5
-0.8
-0.6
0.6
0.2
0.4
Completar la tabla de diferencias divididas ó serpentina de Newton a partir de los puntos;
P1= (1, 1/2), P2= (0, 0), P3= (1/2, 2/5), P4= (−1, −1/2).
n X f(x)
1 1
½ -0.5
2 0
0
3 1/2 2/5 -0.6
4 -1 -½
X
1
0
0.5
-1
f(x)
0.5
0
0.4
-1/2
a).1er
-0.8
-0.5
-0.56
2da
0.3
0.4
3er
0.3
x
1
0
0.5
-1
f(x)
0.5
0
0.4
-1/2
b).1er
0.5
0.8
0.4
2da
-0.2
0.4
+0.6 …...
+0.2
3er
0.5
x
1
0
0.5
-1
f(x)
0.5
0
0.4
-1/2
c).1er
-0.5
-0.8
-0.6
2da
0.6
0.2
3er
0.4