ecua 2.pdf

UPC – Departamento de Ciencias – Ecuaciones Diferenciales y Álgebra lineal (MA264)
Sayritupac, J, Sotomayor M 1
SESIÓN 2.2
CONTENIDO
Modelación con EDO de primer orden:
 Crecimiento y decaimiento poblacional
 Desintegración radiactiva
 Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton
 Caída libre con resistencia del aire
 Mezclas

MODELACIÓN CON EDO DE PRIMER ORDEN
Introducción
El comportamiento de algunos sistemas y ciertos fenómenos en la vida real, como el crecimiento
poblacional, la desintegración radiactiva, la temperatura de un objeto, caída libre, entre otros, se
puede modelar mediante ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. A la descripción
matemática de un sistema de fenómenos llamamos modelo matemático.
La construcción de un modelo matemático de un sistema comienza con
i. Identificación de las variables.
ii. Elaborar un conjunto de suposiciones razonables o hipótesis acerca del sistema que se está
intentando describir.
Las suposiciones que se hicieron con respecto a un sistema, con frecuencia, tienen que ver con una
razón de cambio. De allí es que el modelado de estos fenómenos se realiza mediante ecuaciones
diferenciales.
Crecimiento y decaimiento poblacional
Si 𝑃(𝑡) representa la población en un cierto instante de
tiempo 𝑡, la razón con la que cambia la población, en un
cierto instante, es proporcional a la población presente
𝑃(𝑡).
Así, el crecimiento o decaimiento poblacional se puede
modelar mediante la expresión matemática
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 … (∗)
donde 𝑘 es la constante de proporcionalidad.
Observaciones:
1. El modelo descrito anteriormente (∗) parte del supuesto que, entre más personas estén
presentes en un tiempo 𝑡, existirán más personas en el futuro. Sin embargo, bajo ciertas
condiciones, este modelo podría variar.
2. Si el tiempo inicial se toma en 𝑡 = 0, una condición inicial del problema sería 𝑃(0) = 𝑃0, que
es la población inicial.

Problema 1
Cierta colonia de bacterias crece a una tasa proporcional a la cantidad de bacterias presentes. Si
inicialmente la cantidad de bacterias era 𝑃0 y en tres horas ésta se duplica, determine el tiempo en el
cual la población se triplica.
Solución:
Sea 𝑃(𝑡): Población de bacterias en el instante 𝑡 (horas)
Planteamos la EDO de primer orden
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃
Establecemos las condiciones iniciales:
- inicialmente la cantidad de bacterias era 𝑃0 ⇒ 𝑃(0) = 𝑃0
- en tres horas la población inicial se duplica ⇒ 𝑃(3) = 2𝑃0
El problema de valor inicial (PVI) es
{
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃
𝑃(0) = 𝑃0
𝑃(3) = 2𝑃0
La EDO es de variable separable,
𝑑𝑃
𝑃
= 𝑘𝑑𝑡 ⟹ ∫
𝑑𝑃
𝑃
= ∫ 𝑘𝑑𝑡 ⇒ 𝐿𝑛𝑃 = 𝑘𝑡 + 𝐶1
Al aplicar la exponencial a ambos lados 𝑃(𝑡) = 𝐶𝑒𝑘𝑡
… (*)
Reemplazando las condiciones iniciales en (*) se tiene
𝑃(0) = 𝑃0 ⇒ 𝑃0 = 𝐶𝑒0
⇒ 𝐶 = 𝑃0
𝑃(3) = 2𝑃0 ⇒ 2𝑃0 = 𝐶𝑒3𝑘
⇒ 2𝑃0 = 𝑃0𝑒3𝑘
⇒ 𝑘 =
𝑙𝑛2
3
≈ 0,23105
Así, la función que modela la población de bacterias en el instante t (horas) es
𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑒0,23105𝑡
Se pide el tiempo en el cual la población inicial se triplica, para ello planteamos la ecuación
𝑃(𝑡) = 3𝑃0 ⇒ 𝑃0𝑒0,23105𝑡
= 3𝑃0
Al resolver la ecuación 𝑡 = 4.75
Por lo tanto, la población inicial de bacterias se triplicará luego de 4,75 horas aproximadamente.

Problema 2
En un laboratorio de biología, los microbiólogos suponen que una colonia de bacterias crece a una tasa
igual a la milésima parte de la cantidad de bacterias presentes 𝑃(𝑡) en el instante 𝑡(horas). Si después
de 100 horas la cantidad de bacterias presentes era de 2000, determine la cantidad de bacterias
presentes al cabo de 200 horas.
Solución:
Sea 𝑃(𝑡): Población de bacterias en el instante 𝑡 (horas)
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
1
1000
𝑃
- no hay información de la cantidad inicial, por lo tanto será 𝑃0 ⇒ 𝑃(0) = 𝑃0
- después de 100 horas la población es 2000 ⇒ 𝑃(100) = 2000
{
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
1
1000
𝑃
𝑃(0) = 𝑃0
𝑃(100) = 2000
𝑑𝑃
𝑃
=
1
1000
𝑑𝑡 ⟹ ∫
𝑑𝑃
𝑃
= ∫
1
1000
𝑑𝑡 ⇒ 𝐿𝑛𝑃 =
1
1000
𝑡 + 𝐶1
Al aplicar la exponencial a ambos lados 𝑃(𝑡) = 𝐶𝑒
1
1000
𝑡
…(*)
𝑃(0) = 𝑃0 ⇒ 𝑃0 = 𝐶𝑒0
⇒ 𝐶 = 𝑃0
𝑃(100) = 2000 ⇒ 𝑃0𝑒
1
1000
(100)
= 2000 ⇒ 𝑃0 = 1809,67
Así, la función que modela la población de bacterias en el instante t (horas) es
𝑃(𝑡) = 1809,67𝑒
1
1000
𝑡
Se pide la cantidad de bacterias al cabo de 200 horas, es decir
𝑃(200) = 1809,67𝑒
1
1000
(200)
= 2210,34
Al cabo de 200 horas, la población de bacterias es de 2210 aproximadamente.

Desintegración radiactiva
Si 𝐴(𝑡) representa la cantidad de sustancia radiactiva en
un instante de tiempo 𝑡, la razón con la que la cantidad de
una sustancia radiactiva se desintegra es proporcional a la
cantidad de la sustancia que queda en el tiempo 𝑡.
Así, la desintegración de una sustancia radiactiva se
modela mediante la expresión matemática
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴 … (∗)
donde 𝑘 es la constante de proporcionalidad (𝑘 < 0).
Si el tiempo inicial se toma en 𝑡 = 0, una condición inicial del problema sería 𝐴(0) = 𝐴0, que es la
cantidad inicial de sustancia radiactiva.
Vida media
La vida media es el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de
los átomos en una muestra inicial 𝐴0 . Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo
Ra-226 es aproximadamente 1700 años. Para hallar la vida media se debe resolver 𝐴(𝑡) =
1
2
𝐴0 .
Observación:
No se debe entender que la vida media es lo mismo que la mitad de la vida, en el ejemplo anterior,
que la vida media de Ra-226 sea 1700 años no quiere decir que ésta sustancia se llegue a desintegrar
en 3400 años.

Problema 3
Un reactor autorregenerador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239.
Después de 15 años se determina que se desintegró 0,043% de la cantidad inicial 𝐴0 de plutonio.
Calcule la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad
presente 𝐴(𝑡).
Solución:
Sea 𝐴(𝑡): la cantidad de plutonio en cierto tiempo t (en años)
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴
- cantidad inicial del isótopo de plutonio es 𝐴0 ⇒ 𝐴(0) = 𝐴0
- en 15 años se desintegró 0,043% de la cantidad inicial ⇒ 𝐴(15) = 99,957%𝐴0
{
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴
𝐴(0) = 𝐴0
𝐴(15) = 99,957%𝐴0
𝑑𝐴
𝐴
= 𝑘𝑑𝑡 ⟹ ∫
𝑑𝐴
𝐴
= ∫ 𝑘𝑑𝑡 ⇒ 𝐿𝑛𝐴 = 𝑘𝑡 + 𝐶1
Al aplicar la exponencial a ambos lados 𝐴(𝑡) = 𝐶𝑒𝑘𝑡
… (*)
𝐴(0) = 𝐴0 ⇒ 𝐴0 = 𝐶𝑒0
⇒ 𝐶 = 𝐴0
𝐴(15) = 99,957%𝐴0 ⇒ 𝐴0𝑒15𝑘
= 99,957𝐴0 ⇒ 𝑘 = −0,00002867
Así, la función que modela la cantidad de plutonio en el tiempo t (horas) es
𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒−0,00002867𝑡
Se pide la vida media, para ello planteamos 𝐴(𝑡) =
1
2
𝐴0
𝐴0𝑒−0,00002867𝑡
=
1
2
𝐴0
Al resolver la ecuación, se obtiene 𝑡 = 24174
La vida media del isótopo de plutonio 239 es de 24174 años.

Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton
Si 𝐴(𝑡) representa la temperatura de un cuerpo en un instante
de tiempo 𝑡, la razón con la que cambia la temperatura del
cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del
cuerpo y la del medio ambiente circundante al objeto.
Sea
𝑇(𝑡): Temperatura de un cuerpo en el tiempo 𝑡
𝑡: Tiempo transcurrido en el proceso de enfriamiento y 𝑇𝑚: Temperatura del medio ambiente,
entonces, la ley de enfriamiento o calentamiento de Newton se traduce en la expresión matemática
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚)
Donde 𝑘 es una constante de proporcionalidad.
Problema 4
Un material cuya temperatura es de 150°C, es colocado en un horno para su fundición, el cual está a
una temperatura constante de 350 °C. Si después de 30 min el material alcanza los 250°C, ¿cuál será
su temperatura 50 minutos después de haberlo llevado al horno?
Solución:
Sea 𝑇(𝑡): Temperatura del material (°C) en el tiempo t (min)
El problema de valor inicial (PVI) es {
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 350)
𝑇(0) = 150
𝑇(30) = 250
Resolvemos la EDO,
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 350) ⟹ ∫
𝑑𝑇
(𝑇−350)
= ∫ 𝑘𝑑𝑡 ⟹ ln|𝑇 − 350| = 𝑘𝑡 + 𝐶1
De donde 𝑇(𝑡) = 350 + 𝐶𝑒𝑘𝑡
… (*)
𝑇(0) = 150 ⇒ 𝐶 = −200
𝑇(30) = 250 ⇒ 250 = 350 − 200𝑒30𝑘
⇒ 𝑘 =
ln(0.5)
30
≈ −0,0231
Así, la función que modela la temperatura del material en el instante t (min) es
𝑇(𝑡) = 350 − 200𝑒−0,0231𝑡
Se pide 𝑇(50) = 350 − 200𝑒−0,0231(50)
= 286,99
La temperatura del material luego de 50 min será de 287 °C aproximadamente.

Problema 5
Una lata de leche se encuentra inicialmente a 25°C. Se coloca la lata en un refrigerador, donde la
temperatura es de 4°C. Suponiendo que la temperatura de la leche contenida en la lata desciende 7°C
después de 20 minutos, determine el tiempo para que la temperatura sea de 8°C.
Solución:
Sea 𝑇(𝑡): Temperatura de la lata de leche (°C) en el tiempo t (min)
El problema de valor inicial (PVI) es {
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 4)
𝑇(0) = 25
𝑇(20) = 25 − 7 = 18
Al resolver el PVI, obtenemos la función que modela la temperatura de la lata de leche en el instante
t t(min) es
𝑇(𝑡) = 4 + 21𝑒−0,0203𝑡
(Resuelva)
Se pide el tiempo en el cual la temperatura sea de 8°C, para ello planteamos la ecuación
𝑇(𝑡) = 8 ⇒ 4 + 21𝑒−0,0203𝑡
= 8
Al resolver la ecuación 𝑡 = 81,67
Por lo tanto, la temperatura de la lata de leche es de 8°C luego de 82 min aproximadamente.

Caída libre con resistencia del aire
Si consideramos la siguiente figura y la dirección positiva hacia abajo,
entonces la fuerza neta que está actuando sobre la masa está dada por
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2
donde 𝐹1 = 𝑚𝑔 y 𝐹2 = −𝑘𝑣
Así, 𝐹 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 … (*)
Por la segunda ley de Newton 𝐹 = 𝑚𝒂 , 𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
Reemplazando en (*) se obtiene 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣
Finalmente, ordenando, el modelo matemático es
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑣 = 𝑔
donde
𝑣(𝑡): velocidad del objeto en el tiempo 𝑡
𝑚: masa del objeto
g: gravedad
𝑘: constante de proporcionalidad de la resistencia del aire

Problema 6
Supongamos que el aire ofrece a un paracaidista una resistencia que es proporcional a 𝑣(𝑡) que es la
componente vertical de su velocidad instantánea (constante de proporcionalidad 5). Para cierto
paracaidista de 90 kg. de masa total, se pide determinar la velocidad 𝑣(𝑡) en todo instante de tiempo
𝑡. Considere que el hombre se lanza cuando 𝑡 = 0, desde un avión que vuela en trayectoria horizontal.
Nota: Considere
2
9,8 /
g m s

Solución:
Sea 𝑣(𝑡): velocidad del paracaidista (𝑚/𝑠) en el instante 𝑡 (seg)
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
5
90
𝑣 = 9,8
Como el paracaidista se avienta desde un avión que vuela en posición horizontal, la velocidad
inicial es cero, es decir 𝑣(0) = 0 𝑚/𝑠
{
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
5
90
𝑣 = 9,8
𝑣(0) = 0
La EDO es lineal , y está dada en su forma estándar
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
5
90
𝑣 = 9,8
Hallamos un factor integrante 𝑢(𝑡) = 𝑒∫
5
90
𝑑𝑡
= 𝑒
1
18
𝑡
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 𝑒
1
18
𝑡
⇒ 𝑒
1
18
𝑡 𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝑒
1
18
𝑡 5
90
𝑣 = 9,8𝑒
1
18
𝑡
[𝑒
1
18
𝑡
𝑣]
′
= 9,8𝑒
1
18
𝑡
Integrando respecto a 𝑡 resulta
𝑒
1
18
𝑡
𝑣 = 176,4𝑒
1
18
𝑡
+ 𝐶
de donde 𝑣(𝑡) = 176,4 + 𝐶𝑒−
1
18
𝑡
Como 𝑣(0) = 0 ⇒ 𝐶 = −176,4
Así, la función que modela la velocidad del paracaidista en todo tiempo 𝑡 (seg) es
𝑣(𝑡) = 176,4 − 176,4𝑒−
1
18
𝑡

Ejercicios:
Ejemplo 1. Se toma un termómetro colocado en una habitación donde la temperatura es de 20°C y se
lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de -4°C. Después de medio minuto se ve que el
termómetro marca 16°C. ¿Cuál será la lectura del termómetro después de un minuto de sacarlo de la
habitación?
Solución:
Logro del ejemplo
Al finalizar el ejemplo, el estudiante resuelve problemas de temperatura
mediante variable separable.
Revise la
solución del
ejemplo través
del siguiente
video:
Link:
https://youtu.be/6vVqmbjqnB8 Código QR:
Ejemplo 2. Sobre un cuerpo en caída vertical actúan el peso y la fuerza de resistencia del aire. Ésta
última tiene una magnitud igual a la velocidad instantánea del cuerpo. Si inicialmente el cuerpo se deja
caer desde el reposo y la velocidad instantánea es 𝑣 = 𝑣(𝑡) es tal quelim
𝑡→∞
𝑣(𝑡) = 10 𝑚/𝑠𝑒𝑔, ¿cuál es
la velocidad del cuerpo al cabo de 5 segundos?
Solución:
Logro del ejemplo
Al finalizar el ejemplo, el estudiante resuelve problemas de caída libre
mediante EDOL.
Revise la
solución del
ejemplo través
del siguiente
video:
Link:
https://youtu.be/aeMsdZ9Owoo
Código QR:

PROBLEMAS DE MEZCLA
El mezclado de dos soluciones a veces da lugar a una ecuación diferencial de primer orden,
considérese un tanque que contiene una solución, por ejemplo, una mezcla de soluto y solvente
tal como sal disuelta en agua. Existen tanto flujos de entrada como de salida, y se desea calcular
la cantidad 𝐴(𝑡) de soluto del tanque en el tiempo 𝑡, dada la cantidad 𝐴(0) = 𝐴0 en el tiempo
𝑡 = 0. La rapidez a la que 𝐴(𝑡) cambia está dada por una rapidez neta:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 − 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑅𝑒 − 𝑅𝑠 …. (1)
Donde
𝑅𝑒 = (concentración de sal en el flujo de entrada)(rapidez del flujo de entrada de la salmuera)
𝑅𝑒 = (𝑟𝑒)(𝑐𝑒)
𝑅𝑠 = (concentración de sal en el flujo de salida)(rapidez del flujo de salida de la salmuera)
𝑅𝑠 = (𝑟𝑠)(𝑐𝑠)
En la cual 𝑟𝑒, 𝑐𝑒 y 𝑟𝑠 son constantes, pero 𝐶𝑠 representa la variable de concentración del soluto
dentro del tanque en un tiempo 𝑡 𝐶𝑠(𝑡) =
𝐴(𝑡)
𝑉(𝑡)
, luego la cantidad 𝐴(𝑡) de soluto dentro en el
tanque satisface la ecuación diferencial
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= (𝑟𝑒)(𝑐𝑒) − (𝑟𝑠)(𝑐𝑠)
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑟𝑒𝑐𝑒 − 𝑟𝑠
𝐴(𝑡)
𝑉(𝑡)
……………..(*)
Si 𝑉0 = 𝑉(0), entonces 𝑉(𝑡) = 𝑉0 + (𝑟𝑒 − 𝑟𝑠)𝑡
Así la ecuación (*) es una Ecuación diferencial de primer orden para la cantidad de soluto en el
tanque en el tiempo (t).
𝑟𝑒: 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑐𝑒: 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑟𝑠:𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑐𝑠: 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Cantidad 𝐴(𝑡)
Volumen 𝑉(𝑡)
Concentración 𝐶𝑠(𝑡) =
𝐴(𝑡)
𝑉(𝑡)

La ecuación diferencial asociada a problemas de mezclas es la ecuación diferencial lineal
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+
𝐴(𝑡)
𝑉0 + (𝑟𝑒 − 𝑟𝑠)𝑡
𝑟𝑠 = 𝑟𝑒𝑐𝑒
Problema 7
Un tanque de 120 galones (gal) contiene inicialmente 90 lb de sal disueltas en 90 gal de agua. La
salmuera, que contiene 2lb/gal de sal, fluye hacia adentro del tanque a razón de 4gal/min, y la
mezcla homogénea fluye hacia fuera del tanque a una razón de 3 gal/min. ¿Cuánta sal contiene el
tanque cuando está completamente lleno?
Solución:
Datos
La ecuación diferencial asociada al problema es
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+
3𝐴(𝑡)
90 + (4 − 3)𝑡
= 8
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+
3𝐴
90+𝑡
= 8………….(*)
La ecuación es una ecuación diferencial lineal, para
resolverla debe determinar un factor
𝑢(𝑥) = 𝑒∫
3
90+𝑡
𝑑𝑡
= 𝑒3ln|90+𝑡|
= (90 + 𝑡)3
Multiplicamos la ecuación anterior (*) por el factor integrante
(90 + 𝑡)3
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+ (90 + 𝑡)2
3𝐴 = 8(90 + 𝑡)3
𝑑
𝑑𝑡
(𝐴. (90 + 𝑡)3) = 8(90 + 𝑡)3
𝑟𝑒: 4 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛
𝑐𝑒: 2 𝑙𝑏/𝑔𝑎𝑙
𝑟𝑠: 3 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛
𝑐𝑠(𝑡) =
𝐴(𝑡)
𝑉(𝑡)
Cantidad 𝐴(0) = 90
Volumen 𝑉(0) = 90
Concentración 𝐶𝑠(𝑡) =
𝐴(𝑡)
𝑉(𝑡)

Despejando A, tenemos
(90 + 𝑡)3
𝐴 = ∫ 8(90 + 𝑡)3
𝑑𝑡
⟹ 𝐴(𝑡) =
2(90+t)4+𝐶
(90+𝑡)3 ……..(**)
Como 𝐴(0) = 90 podemos encontrar el valor de la constante C, luego reemplazando en **,
tenemos
90 =
2(90+0)4
+𝐶
(90+0)3 ⟹ 𝐶 = −(90)4
De donde la cantidad de sal en el tanque en el tiempo 𝑡 esta dada por
𝐴(𝑡) =
2(90+t)4−(90)4
(90+𝑡)3 …….(***)
El tanque está completamente llena cuando V=120 gal, esto es 90 + (4 − 3)𝑡 = 120 ⟹ 𝑡 = 30
Luego, la cantidad de sal después de 30 minutos es
𝐴(30) =
2(90+30)4−(90)4
(90+30)3 =202,03 lb aproximadamente.
BIBLIOGRAFÍA
ZILL, Dennis G. (2015) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México, D.F.: Cengage Learning.
(515.35 ZILL/E 2007)

ecua 2.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a ecua 2.pdf

Similar a ecua 2.pdf (20)

Último

Último (20)

ecua 2.pdf