derivadas

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Instituto Universitario Tecnológico Antonio José de Sucre
Extensión San Cristóbal
Comercio Exterior
MATEMATICA
DERIVADAS
Estudiante:
Ana Isabel García
C.I. V-27.878.705
Actividad N°
Julio 2021
Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre

2. INDICE
INDICE Pág.
PORTADA………………………………………………………………………. 1
INDICE………………………………………………………………………...….. 2
INTRODUCCION………………………………………………………………... 3
DERIVADAS
Definición…………………………………..…………………………………. 4
Tipos…………………………………..………………………………………. 4
Utilidad……………………………………………………………..…………. 4
Tabla de derivadas….………………………………………………………. 5
Aplicación de la derivada…..……………………………………………….. 9
Fórmulas de derivadas………………………………………………………. 9
Función derivada.……………………………………………………………. 10
Calculo de funciones derivadas……………………………………………. 13
CONCLUSIONES……………………………………………………..…..……. 28
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y/O ELECTRÓNICAS……………… 29
INTRODUCCION

3. La Derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de
una función a la que se le están alterando sus valores iniciales. El concepto se
derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se
produce el cambio de una situación. La derivada tiene muchas aplicaciones en la
vida diaria, por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de
Física, Química, Biología y también se puede aplicar en muchas otras áreas.
Este trabajo es con el objetivo de aprender a calcular el valor de la derivada de
una función en un punto. Por este motivo se reflejan varios ejemplos de cómo
derivar diferentes tipos de funciones.
DEFINICIÓN DE DERIVADA

4. La Derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de
una función a la que se le están alterando sus valores iniciales. La derivada de una
función está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre
cualquier curva (función), el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual
está siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada. La derivada es el
resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
la función en un punto.
TIPOS DE DERIVADAS
 Derivada de una función.
 Derivada algebraica. ...
 Derivada del producto. ...
 Derivada del cociente.
 Derivadas exponenciales.
 Derivada inmediata. ...
 Derivada de suma. ...
 Derivadas de orden superior.
UTILIDAD DE LAS DERIVADAS
La derivada te permite conocer lo sensible que es al cambio una variable con
respecto a otra. ... Matemáticamente, la derivada de una función en un punto es la
pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto. Físicamente, miden la
rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra.
TABLA DE DERIVADAS

5. Las fórmulas de las derivadas son fórmulas que son útiles para desarrollar con
rapidez el cálculo de derivadas, típicas en el cálculo infinitesimal.
Las siguientes son dignas de ser memorizadas:
A continuación una tabla un poco más completa de derivadas

8. APLICACIONES DE LA DERIVADA
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la
pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para
estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad
y convexidad, etc.
FORMULA DE DERIVADAS
La función derivada de f(x) será f'(x), la cual relacionará cada número real x0 del
dominio con el valor de la derivada de f(x) en x0, es decir, con cada valor de f'(x0).

9. FUNCIÓN DERIVADA
Hasta ahora, para calcular la derivada de una función en un punto lo hemos hecho
utilizando la definición de la derivada:
Utilizando la definición de derivada, podemos obtener la función derivada de una
función, es decir, una función que asocia a cada punto con la derivada en dicho
punto.
Es decir, en vez de calcular la derivada para un sólo punto, la podemos calcular
para x:
El resultado será una función que depende de x y para obtener la derivada en un
punto en concreto, sólo tenemos que sustituir la x por ese punto en la función
derivada.
No hay que confundir los conceptos de derivada de una función en un punto, que
es un número real, con una función derivada o simplemente derivada, que es una
función.
Vamos a ver un ejemplo: Hallar la función derivada de la siguiente función:
Aplicamos la definición de derivada:
Sustituimos f(x+h) y f(x) por sus funciones correspondientes:

10. Operamos y simplificamos términos:
Anulamos la h del numerador y del denominador y por último obtenemos el
resultado:
Por tanto, la función derivada de la función anterior es:
Esta vez, la función derivada es una función constante, es decir, no es el valor de la
derivada en un punto, lo que quiere decir que la derivada de la función anterior en
cualquier punto es igual a 7.
Si calculamos el valor de la función derivada en cualquier punto, el resultado
siempre será 7:
Vamos a ver otro ejemplo.
Hallar la función derivada de la siguiente función:
y halla el valor de la derivada de esa función en el punto x=2.

11. En primer lugar aplicamos la fórmula de la definición de derivada:
Sustituimos f(x+h) y f(x) por sus valores:
Desarrollamos el paréntesis que está al cuadrado:
Eliminamos paréntesis:
Simplificamos términos y sacamos factor común a la h en el numerador:
Eliminamos la h que se repite en el numerador y en el denominador y obtenemos el
resultado final:
La derivada de la función es por tanto:

12. Para hallar el valor de la derivada en x=2, ya no es necesario aplicar la fórmula de
la derivada. Simplemente sustituyendo la x por 2 en la función derivada, obtenemos
su valor para ese punto:
CÁLCULO DE FUNCIONES DERIVADAS
Si conocemos la función derivada de cada tipo de función, podemos escribirla
directamente sin necesidad de calcular cada vez la función derivada utilizando su
definición.
Esto nos permite calcular derivadas de una forma más directa, al mismo tiempo que
simplifica mucho los cálculos en funciones más complejas.
Vamos a ver a continuación como es la derivada de cada uno de los tipos de
funciones:
Derivada de una constante
Tenemos una función constante:
La derivada de una función constante es cero:
Vamos a demostrarlo calculando su función derivada utilizando la definición:

13. Por tanto, cada vez que la función sea una constante, la derivada será 0 y lo puedes
poner directamente.
Por ejemplo: Calcular la derivada de la siguiente función:
Como es una función constante, escribimos directamente su derivada:
Derivada de la función lineal
Las funciones lineales son aquellas cuya forma son una x multiplicadas por un
número:
La derivada de la función lineal es el número que multiplica a la x:
Su demostración es la siguiente:
Por tanto, cuando las función sea lineal, en su derivada desaparecerá la x y se
quedará sólo el número:

14. Vamos a ver un ejemplo: Calcular al derivada de la siguiente función:
Su derivada es igual al número que tiene delante la x:
Derivada de la identidad
Un caso particular de la función lineal es la función identidad, es decir, cuando la
función es sólo una x::
La derivada de la función identidad es igual a 1, que es igual al número que lleva
delante:
Su demostración es:
Derivada de la función afín
La función afín es la que tiene la siguiente forma:

15. La derivada de la función afín es el número que queda delante de la x. Todo lo
demás desaparece:
Tiene sentido ya que la derivada de una función linea es el número que queda
delante de la x y la derivada de un una constante es cero, por tanto, la suma de las
dos derivadas es igual al número que queda delante de la x.
Veremos más adelante que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma
de las derivadas.
Su demostración derivando con la definición de la derivada es:
Por ejemplo, calcular la derivada de:
Directamente para calcular la derivada de esta función, dejamos sólo el número que
está multiplicando a la x:

16. Derivada de la función potencial
Una función potencial es aquella donde la x está elevada a un exponente. Para
calcular su derivada, el exponente pasa a multiplicar a la x y se le resta 1 al
exponente:
En lugar de una x, podemos tener una función elevada a un exponente. En ese
caso, la derivada se calcula pasando el exponente a multiplicar a la función, a cuyo
exponente se le resta 1 y además todo lo anterior queda multiplicado por la derivada
de la función:
Por ejemplo, calcular la derivada de:
Pasamos el 2 multiplicando a la x y le restamos 1 al exponente:
Vamos a ver otro ejemplo con una función elevada a un exponente: Derivar la
siguiente función:
Pasamos el exponente a multiplicar la función y al exponente de la función le
restamos 1 y todo eso, lo multiplicamos por la derivada de la función, que esta
compuesta por dos términos y su derivada será la suma de la derivada de cada uno
de los términos:

17. Derivada de una constante por una función
Cuando tenemos una constante que está multiplicando a una función, su derivada
será esa constante multiplicada por al derivada de la función:
Por ejemplo:
El 3 lo pasamos multiplicando y queda multiplicando al 27, que ya estaba. Al
exponente de la x le restamos 1:
Derivada de una raíz
La derivada de una raíz es un caso particular de la función potencial cuando el
exponente es fraccionario. La derivada de la raíz cuadrada de x es la siguiente:
Si lo que tenemos es una función dentro de la raíz cuadrada, su derivada es:
En general, la derivada de una raíz, ya sea de x o de una función es:

18. Por ejemplo:
En el denominador, el índice pasa a multiplicar a la raíz y se le resta 1 al exponente
del radicando:
Vamos a ver otro ejemplo de calcular la derivada de la raíz cuadrada de una función:
Derivada del logaritmo
La derivada de un logaritmo de x de base cualquiera es igual a 1 dividido por el
producto de x por el logaritmo neperiano de la base:

19. Cuando el logaritmo es de una función, su derivada es igual a 1 entre el producto
de la función por el logaritmo neperiano de la base, multiplicado por la derivada de
la función:
Cuando la función es logaritmo neperiano de x, su derivada es 1 entre x:
Y si la función es logaritmo neperiano de una función, su derivada es 1 entre la
función, multiplicado por la derivada de la función:
Por ejemplo, la derivada de este logaritmo en base 12 de esta función es:
Derivada de la función exponencial
Tenemos una función exponencial cuando la x está en el exponente. Su derivada
es igual al mismo número elevado a x multiplicado por el logaritmo neperiano de la
base de la potencia:
Si el número está elevado a una función, la derivada es igual a la misma potencia,
multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y por al derivada de la función
exponente:

20. Cuando el número al que está elevado la x es el número e, la derivada es el mismo
número e elevado a x:
Si el número e está elevado a una función, su derivada es el mismo número e
elevado a la función por la derivada de la función:
Por ejemplo, en esta función exponencial, donde el número está elevado a una
función:
Su derivada es:
En este otro ejemplo con el número e elevada a una función:
Su derivada es:
Derivada de las funciones trigonométricas
Vamos a ver ahora las derivadas de las funciones trigonométricas junto con sus
funciones compuestas.

21. La derivada del seno es igual al coseno:
La derivada del coseno, es igual a menos seno:
La derivada de la tangente es igual a 1 más el cuadrado de la tangente o 1 entre el
coseno cuadrado de x:
Esas tres funciones trigonométricas son las más utilizadas. Te dejo también el resto
de funciones trigonométrica:
Contangente:

22. Secante:
Cosencante:
Veamos algunos ejemplos sobre derivar funciones trigonométricas.
Derivar la siguiente función seno:
Derivar la siguiente función coseno:
Derivar la siguiente función tangente:

23. Derivar la siguiente función cotangente:
Derivada de las funciones trigonométricas inversas
Éstas son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas principales.
Arco seno:
Arco coseno:

24. Arco tangente:
OPERACIONES CON FUNCIONES DERIVADAS
Vamos a ver ahora cómo derivar funciones que están formadas por más de una
función, como la suma, la multiplicación, el cociente o la composición de funciones.
La derivada de la suma de dos funciones ya la hemos comentado un poco en el
apartado anterior.
Derivada de la suma de dos funciones
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de
esas dos funciones:
Por ejemplo, la derivada de la siguiente función:
es igual a la derivada de cada uno de sus términos:
Derivada de un producto de funciones
La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de al primera
función, por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar, por la derivada de la
segunda:

25. Por ejemplo:
Derivada del cociente de funciones
La derivada de un cociente de funciones es igual a la derivada del numerador, por
el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del
denominador, todo ello dividido entre el denominador sin derivar al cuadrado:
Por ejemplo:
Una vez aplicada la fórmula de la derivada de un cociente, ya sólo queda operar y
agrupar términos semejantes:

26. Regla de la cadena. Derivada de la función compuesta
En las funciones compuestas por otras funciones:
Su derivada se calcula aplicando la regla de la cadena, que consiste en ir derivando
la función que queda por fuera, multiplicada por la derivada de la función de dentro:
Por ejemplo, esta función se compone de una función elevada a 4:
La función de fuera es la función elevada a 4 y al función de dentro corresponde a
un polinomio.
Por tanto, aplicamos la regla de la cadena derivando la función que queda por fuera,
es decir, la función elevada a 4, que pasamos el 4 a multiplicar y le restamos uno al
exponente, y lo multiplicamos por la derivada de la función de dentro, que
corresponde a la suma de sus derivadas:

27. Veamos otro ejemplo. En este caso, tenemos una función compuesta por una
función elevada a 6:
La función que queda por fuera es una función elevada a 6 y la función de dentro
es un cociente de funciones:
La regla de la cadena la hemos ido aplicando en el cálculo de cada una de las
funciones derivadas compuestas, es decir, cuando estaban formadas por una
función, ya que si te das cuenta, todas están multiplicadas por f'(x).

28. CONCLUSIONES
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez
con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de
cálculo fundamental en los estudios de Física, Química, Biología y también se puede
aplicar en otras áreas y en la vida diaria.
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando
tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de
variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de
la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un
valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el
valor concreto de la variable.
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la
pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la
rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta
tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las
proximidades del punto.
Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente
ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La
derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en
el punto considerado.
El concepto de derivada segunda de una función - derivada de la derivada de una
función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta
o disminuye.

29. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Wikipedia. Tomado de Apostol, Tom Holand. (1967). Calculus, Vol. 1: One-
Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 (2ª edición).
Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1.
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