Tema 02 sistemas_de_fuerzas_concurrentes

1º I.T.I. :
MECANICA I

TEMA Nº 2:
ESTÁTICA
SISTEMAS DE FUERZAS
CONCURRENTES

Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales
Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética de Materiales
Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
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Punto 2.1 Introducción
Punto 2.2 Las Fuerzas y sus características
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Indice

Punto 2.2.1 Magnitudes escalares y vectoriales
Punto 2.2.2 Principio de transmisibilidad
Punto 2.2.3 Clasificación de las fuerzas
Punto 2.2.4 Diagramas de sólido libre

Punto 2.3 Resultante de dos Fuerzas Concurrentes
Punto 2.4 Resultante de tres o más fuerzas concurrentes
Punto 2.5 Descomposición de una Fuerza en componentes
Punto 2.6 Componentes rectangulares de una Fuerza.
Punto 2.7 Resultantes por componentes rectangulares.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.1 Introducción

La fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro debida al contacto físico
directo entre los cuerpos o debido a una acción a distancia como puede ser el
efecto gravitatorio, eléctrico o magnético entre cuerpos separados.
La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo tiene sobre él dos efectos:
• Uno exterior, la tendencia a cambiar su movimiento
• Otro interior, la tendencia a deformarlo.
(Si suponemos que no se deforma el cuerpo es rígido)
Si un sistema de fuerzas (varias fuerzas) aplicado a un cuerpo no da lugar a
ningún efecto exterior, se dice que está equilibrado y el cuerpo está en equilibrio.
Si no es así y el sistema no está equilibrado y tiene una resultante, el cuerpo
deberá experimentar un cambio en su movimiento.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si producen el mismo efecto exterior
cuando se apliquen, uno u otro, a un cuerpo dado. La resultante de un sistema de
fuerzas, obtenida por composición de fuerzas, es el sistema equivalente más
sencillo al que se puede reducir el sistema original.

El proceso de desarrollar una fuerza o sistema de fuerzas dando otro equivalente
menos sencillo se llama descomposición. Así pues, llamaremos componente de
una fuerza a una de las dos o más fuerzas en las que puede descomponerse la
fuerza dada.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.2 Las Fuerzas y sus características

Las características o propiedades necesarias para describir
una fuerza son:
1. Módulo (Intensidad de la
fuerza, Unidad: N o kN)
2. Dirección y sentido (la del
segmento orientado que se
utiliza para representarla)

Dos Dimensiones

3. Punto de aplicación
(punto de contacto entre los
dos cuerpos)

Tres Dimensiones

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
Concepto a tener en cuenta:
Recta soporte o línea de acción: recta que pasa por el punto de
aplicación y tiene la dirección de la fuerza.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.2.1 Magnitudes escalares y vectoriales

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente descritas
por un número. (Ej.- masa, densidad, longitud, área, volumen, energía,
tiempo, temperatura, etc.)
Las magnitudes vectoriales tienen módulo, dirección y sentido y obedecen
la regla de adición del paralelogramo. (Ej.- fuerza, momento, desplazamiento, velocidad, aceleración, impulso, cantidad de movimiento, etc.).
Los vectores pueden clasificarse en tres tipos:
1. Libres. Tiene módulo, dirección y sentido definidos, pero su recta soporte
no pasa por un punto definido en el espacio. Ej. Vector ω, α
2. Deslizantes. Tiene módulo, dirección y sentido específicos y su recta
soporte pasa por un punto definido en el espacio. El punto de aplicación de
este vector puede ser cualquiera de su recta soporte. Ej. Cuerda que tira de un
peso arrastrado.
3. Fijos. Tiene módulo, dirección, sentido y punto de aplicación definido.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.2.2 Principio de transmisibilidad

Este principio dice que el efecto exterior de una fuerza sobre un cuerpo rígido
es el mismo para todos los puntos de aplicación de la fuerza a lo largo de su
recta soporte.
Así podemos tratar a las fuerzas como vectores deslizantes.
En cambio, el efecto interior de una fuerza (esfuerzo y deformación) puede
verse muy influido si varía el punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su
recta soporte.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.2.3 Clasificación de las fuerzas

En función de la interacción:
1. Fuerzas de contacto o de superficie. (Ej.- empuje o tracción por medio mecánicos)
2. Fuerzas másicas o de acción a distancia (Ej.- efecto de la gravedad)
Atendiendo a la zona sobre la cual actúan:
Fuerza distribuida, aplicada sobre
una longitud o superficie, (Ej.- peso)

Fuerza concentrada (toda fuerza
aplicada sobre un área pequeña
comparado con el elemento cargado)

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
Además, un sistema de fuerzas constituido por dos o más
fuerzas puede ser:
1. Monodimensional. (colineal, con recta soporte común)
2. Bidimensional. (coplanario, caso particular: fuerzas
paralelas)
3. Tridimensional.

Un sistema de fuerzas es concurrente cuando las rectas
soporte de todas las fuerzas se corten en un punto común.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.2.4 Diagramas de sólido libre

Dibujo cuidadosamente preparado que muestre el cuerpo de interés separado de
los demás cuerpos que interactúan sobre él y en el cual figuren todas las fuerzas
aplicadas exteriormente a dicho cuerpo.
Etapas en el trazado de un diagrama de sólido libre:

1.

Decidir qué cuerpo o parte de un cuerpo o grupo de cuerpos hay que aislar y
analizar. Preparar un esquema del contorno exterior del cuerpo seleccionado.

2.

Representar todas las fuerzas, conocidas y desconocidas, aplicadas por otros
cuerpos al cuerpo aislado, mediante vectores en sus posiciones correctas.
Si se desconoce el sentido de alguna de las fuerzas, se puede suponer y una vez
finalizados los cálculos si sale positiva la fuerza tiene el sentido que se le supuso
y viceversa (No válido para el rozamiento).

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.3 Resultante de dos Fuerzas Concurrentes

Dos fuerzas concurrentes F1 y F2 que actúen sobre un cuerpo se pueden sustituir por
una sola fuerza Resultante R, que producirá sobre el cuerpo el mismo efecto que las
dos originales.
La suma se puede realizar de dos formas:
Gráficamente:
Suma vectorial aplicando la regla del paralelogramo o la regla del triángulo

Matemáticamente:
Ecuación vectorial: F1 + F2 = R = F2 + F1

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
Los métodos gráficos exigen un dibujo a escala preciso si se quieren obtener
resultados precisos.
En la práctica se obtienen resultados numéricos utilizando métodos
trigonométricos basados en los teoremas del seno y del coseno junto con el
esquema del sistema de fuerzas.
En el triángulo de la figura siguiente el teorema del seno se expresa así:

a
b
c
=
=
senα senβ senγ
y el teorema del coseno se expresa así:

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

Problema 2.1

Determinar el módulo de R y el ángulo θ.

Anclaje

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.4 Resultante de tres o más Fuerzas
Concurrentes

El método de la regla del paralelogramo o la regla del triángulo se puede
extender a los casos de tres o más fuerzas concurrentes.
En definitiva, se construyen polígonos de fuerzas dando igual el orden en
que sumemos las fuerzas. Ejemplo:

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
Si tenemos más de tres fuerzas colocamos una fuerza a continuación de la otra
obteniendo como resultante el lado de cierre del polígono.

Dado que este método es laborioso, en la práctica se utiliza el método de las
componentes rectangulares.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.5 Descomposición de una
Fuerza en componentes

Así como podemos sumar dos o más fuerzas para
obtener una resultante, una fuerza se puede sustituir por
un sistema de dos o más fuerzas (componentes de la
original).
El proceso de descomposición no da un conjunto único
de componentes vectoriales.
En la resolución de muchos problemas prácticos no es
corriente utilizar componentes oblicuas de una fuerza
pero si es habitual el empleo de componentes
ortogonales (rectangulares).

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

Problema 2.2

Determinar las magnitudes de las componentes u y v de la fuerza de 900
N de la figura.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

Problema 2.3

Determinar el módulo de F2 y el ángulo a que forma la recta soporte de
la fuerza F2 con el eje x.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.6 Componentes rectangulares de una Fuerza

En el caso bidimensional el proceso de obtención de
componentes rectangulares es muy sencillo ya que
el triángulo que aparece es un triángulo rectángulo
y solo hay que aplicar Pitágoras.
En forma vectorial cartesiana podemos escribir:
F = Fx + Fy = Fx i +Fy j
Donde:

Fx = F . cos θ

Fy = F .senθ

F = Fx2 + Fy2
θ = arc tan

Fy
Fx

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
En casos tridimensionales, una fuerza F en el espacio se puede descomponer
en tres componentes rectangulares mutuamente ortogonales.
F = Fx + Fy + Fz
F = Fx i +Fy j + Fz k
F = F cos θ x i + F cos θ y j + F cos θ z k
Donde:

Fx = F . cos θ x

Fy = F . cos θ y
Fz = F . cos θ z
F = Fx2 + Fy2 + Fz2

Fx
F
Fy
θ y = arccos
F
F
θ z = arccos z
F

θ x = arccos

Los cosenos directores deben cumplir la relación:
2
cos 2 θ x + cos 2 θ y + cos θ z = 1

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

Si un ángulo es mayor que 90º, su
coseno es negativo, lo que indica que
el sentido de la componente es opuesto
al sentido positivo del eje de
coordenadas correspondiente.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
La componente rectangular Fn de una fuerza F según una dirección arbitraria n se
puede obtener utilizando el producto escalar y el vector en (vector unitario según
la dirección n), así:

Fn = F . en = (Fx i + Fy j + Fz k) . en =

´
´
(Fx i + Fy j + Fz k) . ( cos θ x i + cos θ y j + cos θ z´ k) =
´
Fx cos θ x´ + Fy cos θ y + Fz cos θ z´ =
´
´
´
F ( cos θ x cos θ x + cos θ y cos θ y + cos θ z cos θ z )

Vectorialmente:
´
´
´
Fn = Fn en = (F . en) en =Fn (cos θ x i + cos θ y j + cos θ z k)
El ángulo que forma la recta soporte de la fuerza F
con la dirección n se puede determinar así:
Fn
α = arccos
F

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Problema 2.4

I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
a) Determinar las componentes x e y de la fuerza de la figura.
b) Determinar las componentes x´ e y´ de la fuerza de la figura.
c) Expresar F en forma vectorial cartesiana para los ejes xy y x´y´

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

Problema 2.5

a) Determinar las componentes x, y y z de la fuerza de la figura.
b) Expresar F en forma vectorial cartesiana.

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Problema 2.6

I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
a) Determinar los ángulos θx, θy y θz que forma la Fuerza con los ejes.
b) Determinar las componentes x, y y z de la fuerza.
c) Determinar la componente rectangular Fn de la fuerza según la
recta OA.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

2.7 Resultantes por componentes rectangulares

En el caso de un sistema cualquiera de fuerzas coplanarias concurrentes y tras
determinar las componentes rectangulares de todas las fuerzas, tenemos:
Rx = ∑ Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i
Ry = ∑ Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA
Y según la regla del paralelogramo:
R = Rx + Ry = Rx i + Ry j
El módulo de R se calcula aplicando Pitágoras:
2
R = R x2 + R y

Además, el ángulo que forma la recta soporte de R con el eje x es:

θ x = arctan

Ry
Rx

Rx
ó θ x = arccos
R

ó θ x = arcsen

Ry
R

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

En el caso general de tres o más fuerzas
concurrentes en el espacio y tras obtener sus
componentes rectangulares, se tiene:

Rx =∑ Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i
Ry = ∑ Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j
Rz =∑ Fz = F1z + F2z + F3z + …+ Fnz = (F1z + F2z + F3z + …+ Fnz) k = Rz k
R = Rx + Ry + Rz = Rx i + Ry j + Rz k
El módulo de R se calcula así:
2
R = R x2 + R y + R z2

Los ángulos que forma R con los
semiejes de coordenadas positivos son:
R
θ x = arccos x
R

θ y = arccos

Ry
R

θ z = arccos

Rz
R

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

Problema 2.7

Determinar el módulo R de la resultante de las cuatro fuerzas y el
ángulo θx que forma su recta soporte con el eje x.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

Problema 2.8

Determinar el módulo R de la
resultante de las tres fuerzas y los
ángulos θx, θy y θz que forma la
recta soporte de la Resultante con
los semiejes positivos de coordenadas x, y y z.

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I.T.I 1º:
I.T.I 1º:
MECANICA I I
MECANICA

Problema 2.9

Determinar el módulo R de la
resultante de las tres fuerzas y los
ángulos θx, θy y θz que forma la
recta soporte de la Resultante con
los semiejes positivos de coordenadas x, y y z.

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