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UNIDAD 3
MATEMÁTICAS
APLICADAS A LA
ARQUITECTURA MMIM
HUMBERTO
OCTAVIO
GARCÍA
CEDILLO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
IGUALDAD es la expresión de que dos cantidades o
expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
𝒂 = 𝒃 + 𝒄
𝟑𝒙𝟐
= 𝟒𝒙 + 𝟏𝟓

INCÓGNITA
ECUACIÓN es una igualdad en la que hay una o
varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas
y que sólo se verifica o es verdadera para
determinados valores de las incógnitas.
𝒖, 𝒗, 𝒘, 𝒙, 𝒚, 𝒛

ECUACIONES DE
PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA
• Las ecuaciones son
como balanzas…
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2x+1 y
+1
=
2x+1-
1
y +1-
1
2x y
2x/2 y/2
x y/2
𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒚 + 𝟏
𝒙 =
𝒚
𝟐
𝟐𝒙 = 𝒚 + 𝟏 − 𝟏
𝟐𝒙 = 𝒚

ECUACIONES
DE PRIMER
GRADO CON
UNA
INCÓGNITA
Con el ejercicio anterior es la
razón por la cual se dice:
•Si esta sumando pasa
restando.
•Si se esta multiplicando se
pasa dividiendo
•Si se esta multiplicando o
dividiendo y tiene signo
negativo, pasa con el signo
negativo.

ECUACIONES
DE PRIMER
GRADO CON
UNA
INCÓGNITA
• GRADO de una ecuación con
una sola incógnita es el mayor
exponente que tiene la
incógnita en la ecuación . Así,
son ecuaciones de primer
grado porque el mayor
exponente de x es 1.
𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝒙 + 𝟒

INCÓGNITA
¿Para qué nos sirve el grado?
Nos dice que tipo de gráfica puede formar dicha
ecuación, por ejemplo las de grado 1 son:
Lineales

INCÓGNITA
¿Qué tipo de gráfico serían las de grado 2?
Parábolas
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ECUACIONES
DE PRIMER
GRADO CON
UNA
INCÓGNITA
RAICES O SOLUCIONES de
una ecuación son los valores
de las incógnitas que verifican o
satisfacen la ecuación, es decir,
que sustituidos en lugar de las
incógnitas, convierten la
ecuación en identidad.
𝟒(𝟑) − 𝟓 = (𝟑) + 𝟒

INCÓGNITA
1. 5𝑥 = 8𝑥 − 15
2. 4𝑥 + 1 = 2
3. 𝑦 − 5 = 3𝑦 − 25
4. 5𝑥 + 6 = 10𝑥 + 5
5. 9𝑦 − 11 = −10 + 12𝑦
• 𝑅 = 5
• 𝑅 = 1/4
• 𝑅 = 10
• 𝑅 = 1/5
• 𝑅 = −1/3

INCÓGNITA
6. 21 − 6𝑥 = 27 − 8𝑥
7. 11𝑥 + 5𝑥 − 1 = 65𝑥 − 36
8. 8𝑥 − 4 + 3𝑥 = 7𝑥 + 𝑥 + 14
9. 8𝑥 + 9 − 12𝑥 = 4𝑥 − 13 − 5𝑥
10. 5𝑦 + 6𝑦 − 81 = 7𝑦 + 102 +
65𝑦
• 𝑅 = 3
• 𝑅 = 5/7
• 𝑅 = 6
• 𝑅 = 22/3
• 𝑅 = −3

INCÓGNITA
1. 𝑥 − 2𝑥 + 1 = 8 − (3𝑥 + 3)
2. 15𝑥 − 10 = 6𝑥 − 𝑥 − 2 + (−𝑥 + 3)
3. 5 − 3𝑥 − −4𝑥 + 6 = 8𝑥 + 11 − (3𝑥 − 6)
4. 30𝑥 − −𝑥 + 6 + −5𝑥 + 4 = − 5𝑥 + 6 + −8 + 3𝑥
𝑅 = 3
𝑅 = 1
𝑅 = −9/2
𝑅 = −3/7

INCÓGNITA
5. 15𝑥 + −6𝑥 + 5 − 2 − (−𝑥 + 3 = − 7𝑥 + 23 − 𝑥 + (3 −
2𝑥)
6. 3𝑥 + −5𝑥 − 𝑥 − 3 = 8𝑥 + (−5𝑥 − 9)
7. 16𝑥 − 3𝑥 − 6 − 9𝑥 = 30𝑥 + [− 3𝑥 + 2 − 𝑥 + 3 ]
8. 𝑥 − 5 + 3𝑥 − 5𝑥 − 6 + 𝑥 = −3
𝑅 = −1
𝑅 = 1
𝑅 = 1/2
𝑅 = 4

𝟓𝒙 = 𝟖𝒙 − 𝟏𝟓
𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟐
𝒚 − 𝟓 = 𝟑𝒚 − 𝟐𝟓

INCÓGNITA
• Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero. El
sombrero costó $5 más que el libro y $20 menos
que el traje . ¿Cuánto pagué por cada cosa?
𝐿 + 𝑇 + 𝑆 = 87
𝑆 = 5 + 𝐿 𝑆 − 5 = 𝐿
𝑆 = 𝑇 − 20 𝑆 + 20 = 𝑇
𝑆 − 5 + (𝑆 + 20) + 𝑆 = 87

INCÓGNITA
• Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero. El
sombrero costó $5 más que el libro y $20 menos
que el traje . ¿Cuánto pagué por cada cosa?
• El libro $19, el sombrero $24 y el traje $44.
𝑆 − 5 + (𝑆 + 20) + 𝑆 = 87
𝑆 − 5 + 𝑆 + 20 + 𝑆 = 87
3𝑆 + 15 = 87
3𝑆 = 87 − 15
3𝑆 = 72
𝑆 =
72
3
= 24

INCÓGNITA
• La suma de tres números enteros consecutivos es
156 . Hallar los números.
• Respuesta: 51, 52 y 53.
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 156
𝑥 + 1 = 𝑦
𝑥 + 2 = 𝑧
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 156
3𝑥 + 3 = 156
3𝑥 = 156 − 3
3𝑥 = 153
𝑥 =
153
3
= 51

INCÓGNITA
• La edad de A es doble que la de B, y ambas
edades suman 36 años. Hallar ambas edades.
• Respuesta: 12 y 24.
𝐴 = 2𝐵
𝐴 + 𝐵 = 36
2𝐵 + 𝐵 = 36
3𝐵 = 36
𝐵 =
36
3
= 12
𝐴 = 2𝐵 = 2 12 = 24

Tarea 1
• Realice tres problemas del ejercicio 82, página 133.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS INCÓGNITAS
• Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son
aquellas de las cuales tenemos dos ecuaciones
simultáneas y al mismo tiempo como su nombre lo
describe tenemos dos incógnitas, por tanto cada
incógnita le corresponde un valor numérico.
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1

CON DOS INCÓGNITAS
Métodos para resolver ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas:
1. Sustitución
2. Igualación
3. Suma y resta

CON DOS INCÓGNITAS - Sustitución
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 = 1 + 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 5
(1 + 𝑦) + 𝑦 = 5
1 + 2𝑦 = 5
2𝑦 = 5 − 1
2𝑦 = 4
𝑦 =
4
2
= 2
Se despeja cualqueir
variable de cualquier
ecuación.
La variable
despejada se coloca
en la otra ec.

𝑦 =
4
2
= 2
Al tener la raíz de una
variable se obtiene la
segunda con la ec. que
despejamos
𝑥 = 1 + 𝑦
𝑥 = 1 + 2
𝑥 = 3

𝑥 + 6𝑦 = 27
7𝑥 − 3𝑦 = 9
𝑥 = 3
𝑦 = 4
3𝑥 − 2𝑦 = −2
5𝑥 + 8𝑦 = −60
𝑥 = −4
𝑦 = −5
3𝑥 + 5𝑦 = 7
2𝑥 − 𝑦 = −4
𝑥 = −1
𝑦 = 2
7𝑥 − 4𝑦 = 5
9𝑥 + 8𝑦 = 13
𝑥 = 1
𝑦 = 1/2
9𝑥 + 16𝑦 = 7
4𝑦 − 3𝑥 = 0
𝑥 = 1/3
𝑦 = 1/4
14𝑥 − 11𝑦 = −29
13𝑦 − 8𝑥 = 30
𝑥 = −1/2
𝑦 = 2

CON DOS INCÓGNITAS - Igualación
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 = 1 + 𝑦
𝑥 = 5 − 𝑦
1 + 𝑦 = 5 − 𝑦
Despejas cualquier
variable en las dos
ecuaciones.
Unes las dos
ecuaciones,
formando una
tercera

1 + 𝑦 = 5 − 𝑦
Despejas la variable,
para obtener una raíz.
𝑦 + 𝑦 = 5 − 1 2𝑦 = 4
𝑦 =
4
2
= 2
El valor obtenido, lo
reemplazas en otra
ecuación.
𝑥 = 5 − 𝑦
𝑥 = 5 − 2
𝑥 = 3

𝑥 + 3𝑦 = 6
5𝑥 − 2𝑦 = 13
𝑥 = 3
𝑦 = 1
5𝑥 + 7𝑦 = −1
−3𝑥 + 4𝑦 = −24
𝑥 = 4
𝑦 = −3
4𝑦 + 3𝑥 = 8
8𝑥 − 9𝑦 = −77
𝑥 = −4
𝑦 = 5
𝑥 − 5𝑦 = 8
−7𝑥 + 8𝑦 = 25
𝑥 = −7
𝑦 = −3
15𝑥 + 11𝑦 = 32
7𝑦 − 9𝑥 = 8
𝑥 = 2/3
𝑦 = 2
10𝑥 + 18𝑦 = −11
16𝑥 − 9𝑦 = −5
𝑥 = −1/2
𝑦 = −1/3

CON DOS INCÓGNITAS – Suma y Resta
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
0 + 2𝑦 = 4
2𝑦 = 4
𝑦 =
4
2
= 2
Se acomodan las
dos ecuaciones una
arriba de otra y la de
abajo resta la otra.
Despejamos la
variable que
nos queda.
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1

𝑦 =
4
2
= 2
despejamos
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 − 2 = 1
𝑥 = 1 + 2
𝑥 = 3

𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 + 0 = 6
2𝑥 = 6
𝑥 =
6
2
= 3
Se acomodan las
dos ecuaciones una
arriba de otra y la de
abajo suma la otra.
Despejamos la
variable que
nos queda.
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1

𝑥 =
6
2
= 3
despejamos
𝑥 − 𝑦 = 1
3 − 𝑦 = 1
−𝑦 = 1 − 3
−𝑦 = −2
𝑦 = 2

6𝑥 − 5𝑦 = −9
4𝑥 + 3𝑦 = 13
𝑥 = 1
𝑦 = 3
7𝑥 − 15𝑦 = 1
−𝑥 − 6𝑦 = 8
𝑥 = −2
𝑦 = −1
3𝑥 − 4𝑦 = 41
11𝑥 + 6𝑦 = 47
𝑥 = 7
𝑦 = −5
9𝑥 + 11𝑦 = −14
6𝑥 − 5𝑦 = −34
𝑥 = −4
𝑦 = 2
10𝑥 − 3𝑦 = 36
2𝑥 + 5𝑦 = −4
𝑥 = 3
𝑦 = −2
11𝑥 − 9𝑦 = 2
13𝑥 − 15𝑦 = −2
𝑥 = 6
𝑦 = 8

Tarea 2
• Realice cuatro
problemas del
ejercicio 179,
página 325.

ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO
CON TRES INCOGNITAS
• Uno de los métodos más usados para resolver el
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es
con el método de Suma y Resta.

CON TRES INCOGNITAS
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 6
2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = −9
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
−2𝑥 − 8𝑦 + 2𝑧 = −12
Miltiplicar
ec. 1 por -2
2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = −9
0 − 3𝑦 − 5𝑧 = −21
Multiplicar
ec.1 por -3
−3𝑥 − 12𝑦 + 3𝑧 = −18
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
0 − 14𝑦 + 4𝑧 = −16
Dividir ec.5
por 2
−7𝑦 + 2𝑧 = −8
Utilizar ec.2
Ecuación 4
Ecuación 5

CON TRES INCOGNITAS
Multiplicar la
ec. 5 por 5
−7𝑦 + 2𝑧 = −8
−35𝑦 + 10𝑧 = −40
Multiplicar la
ec. 4 por 2
−3𝑦 − 5𝑧 = −21
−6𝑦 − 10𝑧 = −42
−41𝑦 + 0𝑧 = −82
−41𝑦 = −82 𝑦 =
−82
−41
= 2

CON TRES INCOGNITAS
Sustituir “y”
en la ec. 4 o 5
−3𝑦 − 5𝑧 = −21
−3(2) − 5𝑧 = −21
−6 − 5𝑧 = −21
−5𝑧 = −21 + 6
−5𝑧 = −15
𝑧 =
−15
−5
= 3
Sustituir z & y
en ec. 1, 2 o 3
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 6
𝑥 + 4(2) − (3) = 6
𝑥 + 8 − 3 = 6
𝑥 + 5 = 6
𝑥 = 6 − 5
𝑥 = 1

CON TRES INCOGNITAS
2𝑥 − 5𝑦 = 13
4𝑦 + 𝑧 = −8
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 13
2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −6
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −6
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 3
2𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 = 5
4𝑥 + 9𝑦 − 4𝑧 = 4
𝑥 = −1
𝑦 = −3
𝑧 = 4
𝑥 = 2
𝑦 = 4
𝑧 = 5
𝑥 = −1
𝑦 = −2
𝑧 = −3
𝑥 = 1/2
𝑦 = 1/3
𝑧 = 1/4

Tarea 3
• Realice tres
problemas del
ejercicio 186,
páginas 343 y
344.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCOGNITA
• Ecuaciones completas de 2o. grado son ecuaciones de la
forma ax2+bx+c=0, que tienen un término en x2, un
término en x y un término independiente de x.
4𝑥2
+ 7𝑥 + 6 = 0

UNA INCOGNITA
Métodos para resolver estas ecuaciones:
Fórmula Genreal Descomposición de factores
𝑥1𝑦2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
(𝑎𝑥 + 𝑚)(𝑏𝑥 + 𝑛)
𝑥2
+ 5𝑥 + 24 = 0

FÓRMULA GENERAL
Se tienen que encontrar
los coeficientes a,b y c de
la siguiente manera:
UNA INCOGNITA
𝑥1𝑦2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
1𝑥2
+ 5𝑥 − 24 = 0
𝑎 = +1
𝑏 = +5
𝑐 = −24
𝑥1𝑦2 = −8 𝑦 3

Descomposición de factores:
1.- Acomodar la ec. de la
forma general.
2.- Colocar (x )(x ) en caso
de que a=1
UNA INCOGNITA
−24 + 𝑥2
= −5𝑥
(𝑥 )(𝑥 )
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥2
+ 5𝑥 − 24 = 0

3.- Si “c” es positivo los signos
pueden ser (+)(+) ó (–)(–)
depende si en b es una suma
o una resta.
UNA INCOGNITA
(𝑥 )(𝑥 )
𝑥2
+ 5𝑥 − 24 = 0
Si “c” es negativo entonces los signos
serán (+)(–) sin importar el orden.
(𝑥− )(𝑥+ )

4.- Se debe encontrar dos
números que multiplicados te
den “c” pero sumados o
restados te den “b”.
UNA INCOGNITA
𝑥2
+ 5𝑥 − 24 = 0
(𝑥− )(𝑥+ )
2 × 12 = 24 𝑦 − 2 + 12 = +10
4 × 6 = 24 𝑦 − 4 + 6 = +2
3 × 8 = 24 𝑦 − 3 + 8 = +5
(𝑥 − 3)(𝑥 + 8)

5.- Se acomodarán los
recultados de la siguiente
manera para despejar la x.
UNA INCOGNITA
(𝑥 − 3)(𝑥 + 8)
𝑥 − 3 = 0
𝑥 + 8 = 0
𝑥 = 3
𝑥 = −8

UNA INCOGNITA
3𝑥2
− 5𝑥 + 2 = 0
4𝑥2
+ 3𝑥 − 22 = 0
𝑥2
+ 11𝑥 + 24 = 0
𝑥2
− 16𝑥 + 63 = 0
−9𝑥2
+ 12𝑥 − 4 = 0
5𝑥2
− 7𝑥 − 90 = 0
𝑥2
− 𝑥 − 6 = 0
𝑥2
+ 7𝑥 − 18 = 0
𝑥2
+ 8𝑥 − 65 = 0
𝑥2
− 3𝑥 + 108 = 0
2𝑥2
+ 7𝑥 + 4 = 0
6𝑥2
+ 11𝑥 − 10 = 0
𝑅 = 1 , 2/3
𝑅 = 2 , −11/4
𝑅 = −3 , −8
𝑅 = 7 , 9
𝑅 = 2/3
𝑅 = 5 , −18/5
𝑅 = 3 , −2
𝑅 = 2 , −9
𝑅 = 5, −13
𝑅 = 9 , −12
𝑅 = −4 , 1/2
𝑅 = 2/3 , −5/2

Tarea 4
• Realice tres problemas del
ejercicio 267, página 451.

Sistemas de unidades (Sistema Internacional)
Unidades Básicas o Fundamentales
Unidad Simbolo Magnitud Dimensión
1 Metro m Longitud L
2 Kilogramo Kg Masa M
3 Segundo s Tiempo t
4 Kelvin K Temperatura 𝜃
5 Amperio A Intensidad de corriente
eléctrica
I
6 Candela cd Intensidad luminosa J
7 Mol mol Cantidad de sustancia N

Prefijos del Sistema Internacional
Prefijo Simbolo Factor Equivalencia decimal
Tera T 1012 1,000,000,000,000
Giga G 109 1,000,000,000
Mega M 106 1,000,000
Kilo k 103 1,000
Hecto h 102 100
Deca da 101 10
Sin Prefijo 1 1

Prefijos del Sistema Internacional
Prefijo Simbolo Factor Equivalencia decimal
Sin Prefijo 1 1
deci d 10-1 0.1
centi c 10-2 0.01
mili m 10-3 0.001
micro 𝜇 10-6 0.000001
nano n 10-9 0.000000001
pico p 10-12 0.000000000001

Magnitud Unidad Simbolo Equivalencia
Longitud
milla mi 1,760 yd 1,609 m
yarda yd 3 ft 91.5 cm
pie ft 12 in 30.5 cm
pulgada in 2.54 cm
Masa
Libra lb 16 oz 454 g
Onza oz 28.3g
Volumen
galon gal 231 in3 3.785 l
yarda3 yd3 27 ft3 0.765 m3
pie3 ft3 1728 in3 0.0283 m3
pulgada3 in3 16.39 cm3
Sistemas de unidades (Sistema Ingles)

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