comipens

1. ECUACIONES
CUADRÁTICAS
TEMA: 2.ALGEBRA -
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
CONTENIDO: 2.9
RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO.

2. ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA?
Como vimos en clases pasadas, consideramos una
expresión cuadrática cuando el exponente más
grande es el doble del otro exponente que
contiene la variable, además, ECUACIÓN implica la
existencia de una equivalencia denotada por un
igual.

3. ¿ES ESTA EXPRESIÓN CUADRÁTICA?
𝑥2
+ 3𝑥 − 18

4. ¿ES ESTA EXPRESIÓN CUADRÁTICA?
𝑥12
+ 5𝑥6
+ 6

5. ¿ES ESTA EXPRESIÓN CUADRÁTICA?
𝑦8
+ 10𝑦4
+ 16

6. ¿ES ESTA UNA EXPRESIÓN CUADRÁTICA?
𝑧8
+ 10𝑧6
+ 16

7. ¿ES ESTA UNA EXPRESIÓN CUADRÁTICA?
𝑛8
+ 16

8. ¿ES ESTA UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA?
𝑦2
+ 8𝑦 + 12

9. ¿ES ESTA UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA?
7𝑥2
− 2 = 11𝑥 + 9

10. ¿ES ESTA UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO?
9 + 2𝑥 = 3𝑥2

11. LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS EN GENERAL PUEDEN
REPRESENTARSE CON ESTE MODELO
𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 + 𝒄 = 0
 Donde:
 a es el coeficiente numérico del término cuadrático
 b es el coeficiente numérico del termino lineal
 c es la constante independiente

12. SI TENEMOS LOS
TRES TÉRMINOS
ES UNA
ECUACIÓN
COMPLETA
𝒂𝑥2 + 𝒃𝑥 + 𝒄 = 0

13. SI SÓLO
TENEMOS DOS
ES UNA
ECUACIÓN
INCOMPLETA
𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 = 0
𝒂𝑥2
+ 𝒄 = 0

14. TODAS LAS
ECUACIONES
CUADRÁTICAS
PUEDEN
REPRESENTARSE
COMO UNA
PARÁBOLA

15. TODAS LAS
PARÁBOLAS
TIENEN LA
MISMA
FORMA
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-SA-NC

16. SOLUCIONES
 SI LA
PARÁBOLA
CORTA AL EJE
DE LAS X, LA
ECUACIÓN
TIENE
SOLUCIÓN,
(SOLUCIONES
O RAÍCES)
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY

17.  EN ESTE CASO,
A PARTIR DE LA
GRÁFICA, LAS
SOLUCIONES
SON 2Y 4
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-SA-NC

18. ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA 𝒂𝑥2
+ 𝒄 = 0
Sí sólo tenemos el termino
cuadrático y la constante, la parábola
es simétrica respecto al eje de las “y”

19. 𝒂𝑥2
+ 𝒄 = 0
𝑥2 − 16 = 0
𝑥2 = 16
𝑥2 = 16
𝑥 = ±4
𝑥1 = 4 𝑥2 = −4

20. 𝒂𝑥2 + 𝒄 = 0
4𝑥2
− 100 = 0
4𝑥2
= 100
𝑥2 =
100
4
𝑥2 = 25
𝑥 = ±5
𝑥1 = 5 𝑥2 = −5

21. 𝒂𝑥2 + 𝒄 = 0
Las incompletas de la forma
𝒂𝑥2
+ 𝒄 = 0 siempre tendrán
soluciones simétricas

23. ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA 𝒂𝑥2
+ 𝒃𝒙 = 0
Sí sólo tenemos el termino
cuadrático y el lineal, la parábola tiene
siempre una raíz en 0, se resuelve
factorizando el término en común

24. 𝒂𝑥2
+ 𝒃𝒙 = 0
𝑥2
− 16𝑥 = 0
𝑥 𝑥 − 16 = 0
𝑥 = 0 & 𝑥 − 16 = 0
𝑥1 = 0 𝑥2 = 16

25. 𝒂𝑥2 + 𝒃𝒙 = 0
7𝑥2 − 5𝑥 = 0
𝑥 7𝑥 − 5 = 0
𝑥 = 0 & 7𝑥 − 5 = 0
7𝑥 = 5
𝑥 =
5
7
𝑥1 = 0 𝑥2=
5
7

26. 𝒂𝑥2 + 𝒃𝒙 = 0
Las incompletas de la forma
𝒂𝑥2
+ 𝒃𝒙 = 0 siempre
tendrán una solución en 0

28. LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS
𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 + 𝒄 = 0

29. ESTRATEGIA RECOMENDADA
 Igualar con 0
 Ordenarla de manera descendente en función del exponente
(será útil si hay que usar la chicharronera)
 Verificar si puede factorizarse como trinomio
 Si no podemos, usamos la formula general para resolver
ecuaciones cuadráticas, la famosa chicharronera

−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂

30. 𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 + 𝒄 = 0
𝑥2 + 9𝑥 + 18 = 0
𝑥 + 6 𝑥 + 3 = 0
𝑥 + 6 = 0 & 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −6 𝑥 = −3

31. 𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 + 𝒄 = 0
16𝑥2
+ 22𝑥 − 3 = 0
𝑎 = 16 𝑏 = 22 𝑐 = −3
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
− 22 ± 22 2 − 4 16 −3
2 16
𝑥 =
−22 ± 484 + 192
32
𝑥 =
−22 ± 676
32
𝑥1 =
−22 + 676
32
𝑥2 =
−22 − 676
32
𝑥1 =
−22 + 26
32
=
4
32
=
1
8
𝑥2 =
−22 − 26
32
=
−48
32
= −
3
2

32. DISCRIMINANTE
 En el muy remoto caso en que debamos usar la “chicharronera”, lo que está
adentro del radical es lo que hay que resolver primero, ese valor nos dirá si
continuamos, si ya hemos terminado o si no hay solución.
𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐 es positivo si hay soluciones
 Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es 0 las dos soluciones son iguales (la parábola es tangente al eje x)
 Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es negativo, no hay soluciones, la parábola nunca corta al eje de las x

33. ¿CÓMO ES LA GRÁFICA
DE LA PARÁBOLA?
 SI A ES
POSITIVA, LA
PARÁBOLA
ABRE HACIA
ARRIBA, SI A
EN NEGATIVA
ABRE HACIA
ABAJO This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-SA-NC
This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY

34. ¿COORDENADAS DELVÉRTICE?
𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑒𝑙 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
𝑣
−𝑏
2𝑎
,

35. ¿CÓMO SERÍA
LA GRÁFICA DE
𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟏

36. EJERCICIOS

37. 5𝑥2
+ 3𝑥 = 0
3𝑧2
− 12𝑧 = 0
3ℎ2
+ 26ℎ = 0
6𝑥2
+ 12𝑥 = 0
2𝑥2
− 32 = 0
Bosqueja
3𝑚2
− 𝑚 + 1
−𝑥2
+ 𝑥 − 3
𝑥2
+ 5
2𝑥2
+ 3
−5𝑥2
EJERCICIOS