El video tutorial explica cómo resolver integrales mediante el método de integración por partes. Primero se presenta la fórmula general para este método y luego se aplica para calcular la integral xe^x dx. Se escogen las funciones u y v de acuerdo a una regla nemotécnica y se utiliza la fórmula para obtener la solución xe^x - e^x + K.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: integrales
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Calcular 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 utilizando el método de integración por
partes.

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Problemas resueltos: integrales
Método de integración por partes:
En primer lugar vamos a explicar de forma teórica cómo se resuelve una integral
mediante el método de integración por partes.
En general este método nos permite resolver integrales de la forma 𝑢𝑑𝑣, es decir
integrales donde nos aparece un producto de dos funciones, de las cuales una
sabemos integrar y la otra la sabemos derivar.
Si consideramos la expresión “uv“ siendo “u“ y “v“ dos funciones que dependen de
una misma variable y la integramos obtenemos
𝑑 𝑢𝑣 = 𝑑𝑢. 𝑣 − 𝑢𝑑𝑣
Es decir
𝑢𝑑𝑣 = 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

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Por tanto integrando la expresión anterior se tiene:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢𝑣) − 𝑢𝑑𝑢
Y en consecuencia se tiene la fórmula:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
Esta es la fórmula que nos permite resolver integrales por el método de integración
por partes.
Para recordarla podemos recordar la frase
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Vamos a resolver a continuación la integral del ejercicio:
Se pretende hallar la integral
𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥
Para ello en primer lugar debemos de escoger a qué función llamamos “u” y
a qué función llamamos “v”, para ello seguimos la siguiente regla
nemotécnica.
ALPESArcoseno, arcocoseno,…
logarítmo polinomio
exponencial
Seno, coseno, tangente

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En nuestra integral tenemos una función polinómica “x ” y una función exponencial
“𝑒 𝑥”, por tanto siguiendo la regla vista anteriormente, debemos tomar
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
De esta manera nos queda:
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
Por lo tanto nuestra integral quedaría usando la fórmula:
𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥
+ 𝐾
uv vdu

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Por lo tanto se tiene que:
𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥
+ 𝐾