Problemario del curso de calculo diferencial, sirve como guía de repaso

1. 1.
√
Guia de Repaso.
x−1
x→1 3x − 3
√
2x − 1 − 3
18.- l´
ım
x→5
x−5
x−7
19.- l´ √
ım
x→7
3x + 4 − 5
√
6x + 1 − 5
20.- l´ √
ım
x→4
2x + 1 + 3
17.- l´
ım
Calcula los siguientes limites
1.- l´ x3 + 2x2 − 3x − 4
ım
x→1
x2 − 1
x→2 x − 1
x2 − 4
3.- l´
ım
x→2 x − 4
2x − 3
4.- l´
ım
x→8
x
x2 + x − 6
5.- l´
ım
x→2
x2 − 4
2
4t + 3t + 2
6.- l´
ım 3
t→0 t + t − 6
x−4
7.- l´
ım 2
x→4 x − x − 12
3x − 12
8.- l´
ım
x→4 5x − 20
x3 − 27
9.- l´
ım 2
x→3 x − 9
x2 − 4
10.- l´
ım 2
x→2 x − 5x + 6
x2 − 5x + 6
11.- l´
ım
x→3
x−3
x2 + 4x − 5
12.- l´
ım
x→−7 x2 + 5x − 6
x2 + 3x + 2
13.- l´
ım 2
x→−1 x + 4x + 3
x−2
14.- l´
ım 2
x→2 x − 4
2x2 − 8
15.- l´
ım 3
x→2 x − 8
x2 − 2x + 3
16.- l´
ım
x→0
x+1
2.- l´
ım
Usando l´
ımites, calcule la derivada puntual en el punto que se indica.
1.2.3.4.5.-
f (x) = 5,
x0 = 2
y = −2x,
x0 = 7
y = −2x + 2,
x0 = 1
f (x) = −2x2 − 5,
x0 = 1
3
y=x ,
x0 = 2
Usando la regla de los cuatro pasos, calcule las siguientes derivadas.
1.2.3.4.5.-
y
y
y
y
y
= 5x − 1
= x2 − 2x
= x3 + 2x + 1
= 2x + 2
= 2x2 − 1
Calcula la derivada de las siguientes funciones algebraicas.
1.2.3.4.-
1
f (x) = 5
y = −2x
y = −2x + 2
f (x) = −2x2 − 5

2. 5.- y = 2x4 + x3 − x2 + 4
6.- y = 4 + 2x − 3x2 − 5x3 − 8x4 + 9x5
7.- y = x3
1
3
2
8.- y = + 2 + 3
x x
x
3
x +2
9.- f (x) =
3
1
10.- y = 2
3x
5
11.- y = 5
x
3
5
12.- y = 5 + 2
x
x
√
13.- y = x
1
14.- y = √
x
1
15.- y = √
x x
√
√
3
16.- y = x2 + x
17.- y = 3x4 − 2x2 + 8
18.- y = 4 + 3x − 2x3
z2 z7
19.- f (z) =
−
2
7
3
2
20.- y = − 2
x x
5
21.- y = x2 − 3
22.- f (x) = x2 + 3x − 2
√
23.- y = x2 − 2x + 3
√
4
24.- y = x5 − x3 − 2
√
25.- γ = 1 − 2θ
√
29.- f (x) = x2 + 6x + 3
30.- f (x) = 5x2 − 3 x2 + x + 4
2
31.- y = x2 + 4 2x3 − 1
3 − 2x
32.- y =
3 + 2x
x+1
33.- f (x) =
x−1
2
3 x + 1
34.- f (x) =
x2 − 1
√
35.- γ = θ2 3 − 4θ
2 + 3t
36.- s = 3
2 − 3t
2−x
37.- y =
1 + 2x2
Calcula la derivada de las siguientes funciones trigonom´tricas.
e
39.- y
40.- y
41.- y
42.- y
43.44.45.46.-
y
y
y
y
3
47.- y
3
28.- f (θ) = (2 − 5θ) 5
48.- y
2
1
x
2
= cos (7 − 2x)
= sec (5x + 2)
= cot (3 − 2x)
1
= 4 cos
x
2
= 3 sen (2x)
= 3 cos (2x)
= 3 tan (2x)
= 4 tan (5x)
1
= 9 sec
x
3
1
= cot (8x)
4
38.- y = sen
4
26.- f (t) = 2 − 3t2
√
27.- F (x) = 3 4 − 9x
3

3. 1
csc (4x)
4
2
y = sen
x
y = sen (3x) + cos (2x)
y = x − cos (x)
f (θ) = tan (θ) − θ
y = cos 1 − x2
74.- y = x cos (x)
cos (x)
75.- y =
x
76.- y = sen (2x) cos (x)
1
77.- y = tan3 (θ) − tan (θ) + θ
3
x
78.- y = x sen
2
79.- y = sen (x) cos (2x)
80.- y = sen (x) − x cos (x) + x2 + 4x + 3
81.- y = sen2 (3x − 2)
82.- y = sen3 (2x − 3)
1
83.- y = tan (x) sen (2x)
2
1
84.- =
3
(sec (2θ − 1)) 2
tan (2θ)
85.- =
1 − cot (2θ)
86.- y = x2 sen (x) + 2x cos (x) − 2 sen (x)
49.- y =
50.51.52.53.54.-
y = cos (1 − x)2
y = cot 1 − 2x2
s = tan (3t)
u = 2 cot (v)
y = sec (4x)
y = tan x2
y = tan2 (x)
1
62.- y = sen2 (x)
2
63.- s = cos (2t)
55.56.57.58.59.60.61.-
64.- y = 3 sen (x)
65.- y = sen3 (3x)
x+1
66.- y = cos
x−1
67.-
=
3
Calcula la derivada de las siguientes funciones exponenciales y logar´
ıtmicas.
87.- y = log2 3x2 − 5
tan (3θ)
88.- y = ln (x + 3)2
89.- y = 2 ln (x + 3)
90.- y = ln (4x − 3)
√
3 − x2
91.- y = ln
1 − sen (x)
68.- f (x) =
1 + sen (x)
√
69.- y = sec3 x
70.-
=
sen (θ)
71.-
=
csc (2θ)
4
72.- y =
92.- y = ln 3x5
3
93.- y = ln x2 + x − 1
94.- y = x ln (x) − x
95.- y = ln (sec (x) + tan (x))
sec (2θ)
73.- f (x) = x2 sen (x)
3

4. 121.- y = tan2 e3 x
122.- y = x2 ln x2
96.- y = ln [ln (tan (x))]
97.- y = ln2 (x + 3)
98.- y = ln x3 + 2 x2 + 3
x4
99.- y = ln
(3x − 4)2
100.- y = ln (sen (3x))
√
101.- y = ln x + 1 + x2
2
102.- y = ln x3
103.- y = ln3 (x)
104.- y = ln 2x3 − 3x2 + 4
2
105.- y = log
x
x2
106.- y = ln
1 + x2
√
107.- y = ln
9 − 2x2
108.109.110.111.112.-
y
y
y
y
y
113.- y
114.- y
115.116.117.118.119.120.-
y
y
y
y
y
y
1
= e− 2 x
2
= ex
= x2 e x
= e−x ln (x)
= e−2x sen (3x)
ln (x3 )
=
x2
1
1
= x5 ln (x) −
5
5
= x [sen (ln (x)) − cos (ln (x))]
= e3x
3
= ex
= esen(3x)
2
= 3−x
= e−x cos (x)
4
123.- y = ex
2
124.- y = x
e√
125.- s = e t
126.- u = ses
eu
127.- v =
u
ln (x)
128.- y =
x
129.- y = ln x2 ex
ex − 1
130.- y = x
e +1
131.- y = x2 e−x
ex − e−x
132.- y = x
e + e−x
ln (t2 )
133.- s =
t2
√
x2 + 1 − x
134.- f (x) = ln √
x2 + 1 + x
135.- y = ln x2 + 2
136.- y = log (4x − 3)
137.- y = xe−2x
En las siguientes funciones, calcular la
derivada que se indica.
138.- y = x4 − 2x2 + x − 5,
y
1
y (iv)
139.- y = √ ,
x
√
140.- f (x) = 2 − 3x2 ,
f (x)
x
141.- y = √
,
y
x−1

5. 142.143.144.145.146.147.-
y
y
y
y
y
y
= 3 sen (2x + 3) ,
y
= sen (x) + 2 cos (x) ,
y
−x
= e ln (x) ,
y
−2x
=e
sen (x) ,
y
2 x
=x e ,
y
−2x
=e
[sen (2x) + cos (2x)] ,
y
Calcular la derivada de las siguientes
funciones implicitas.
148.149.150.151.152.153.154.155.156.157.158.159.-
x0 = −4
x0 = π/8
2
x0 =
π
x0 = π/3
x0 = 1
Calcule los valores m´ximos y m´
a
ınimos
de las siguientes funciones.
xy + x − 2y − 1 = 0
x2 y − xy 2 + x2 + y 2 = 0
x3 y + xy 3 = 2
sen (y) = cos (2x)
cos (3y) = tan (2x)
x cos (y) = sen (x + y)
√
√
x+ y =1
x3 − 3xy 2 + y 3 = 1
√
2x + 3y = 5
√
x2 − 2 xy − y 2 = 52
x3 + y 3 = 1
4x2 + 9y 2 = 36
= x4 − 2x2 − 8
= 3x − x3
= x4 − 8x2 + 3
= x3 − 18x2 + 96x + 4
x 3 x2
5.- y =
−
− 2x + 5
3
2
1.2.3.4.-
Calcule las ecuaciones en su forma
pendiente-ordenada de las rectas tangente y normal de las siguinetes curvas en
los puntos que se indican.
1.- y = 2x4 + x3 − x2 + 4,
1
2.- y = 2
x0 = 1
3x
1
x0 = 4
3.- y = √
x x
√
4.- y = 1 − 2x
5.- y = 3 tan (2x)
2
6.- y = sen
x
3
7.- y = sen (3x)
8.- y = ln (4x − 3)
x0 = 0
5
y
y
y
y