Apuntes de la clase de matemáticas II de bachillerato

1. Matemáticas II
Ecuaciones cuadráticas

2. Ecuaciones cuadráticas
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Ejemplo
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0
𝑎 = 2
𝑏 = −5
𝑐 = 3

3. Encontrar raíces: caso 1
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
Ejemplo
𝑥2 − 64 = 0
𝑥2
= 64
𝑥 = 64
𝑥 = ±8
Esto quiere decir que
𝑥1 = 8
𝑥2 = −8

4. Encontrar raíces: caso 2
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
Ejemplo
6𝑥2 + 30𝑥 = 0
𝑥(6𝑥 + 30) = 0
𝑥 = 0
6𝑥 + 30 = 0
6𝑥 = −30
𝑥 =
−30
6
= −6
Esto quiere decir que
𝑥1 = 0
𝑥2 = −6

5. Encontrar raíces: caso 3
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Fórmula general
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Discriminante
𝑑 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
Reglas:
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 → raíces iguales
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 → raíces imaginarias
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 𝑦 𝑒𝑠 𝑇. 𝐶. 𝑃 → raíces
diferentes de números enteros
Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐 > 0 𝑦 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑇. 𝐶. 𝑃 →
raíces diferentes de números
decimales

6. Encontrar raíces: caso 3
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Fórmula general
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo
3𝑥2
+ 17𝑥 − 28 = 0
𝑎 = 3 𝑏 = +17 𝑐 = −28
𝑑 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 172
− 4 3 −28 = 289 + 336
= 625
𝑥 =
−(17) ± (17)2−4(3)(−28)
2(3)
𝑥 =
−(17) ± 625
2(3)
𝑥 =
−(17) ± 25
6
𝑥1 =
− 17 + 25
6
=
8
6
𝑥2 =
− 17 − 25
6
=
−42
6
𝑥1 =
4
3
𝑥2 = −7

7. Encontrar raíces: raíces imaginarias
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0
Fórmula general
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo
𝑥2 + 14 + 58 = 0
𝑎 = 1 𝑏 = 14 𝑐 = 58
𝑑 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 142
− 4 1 58 = 196 − 232
= −36
𝑥 =
−(14) ± (14)2−4(1)(58)
2(1)
𝑥 =
−(14) ± −36
2(1)
𝑥 =
−(14) ± 6𝑖
2
𝑥1 =
− 14 + 6𝑖
2
𝑥2 =
− 14 − 6𝑖
2
𝑥1 = −7 + 3𝑖
𝑥2 = −7 − 3𝑖