deduccion de la formula

2. El B.M.L. Estudia como calcular los perfiles de velocidad laminar.
La definición de la viscosidad y del concepto del balance de
cantidad de movimiento.
𝒗 𝒎𝒂𝒙, 𝒗 𝒑𝒓𝒐𝒎, 𝝉

3. CASO1: B.M.L. En el reciento de una tubería.
CASO 2: B.M.L. En el recinto para una película descendente.
Se considera una superficie plana inclinada o vertical.
Se estudio con fenómenos relacionados con la transferencia
de masa y recubrimiento de superficies.

5. Los distintos componentes del balance de
cantidad de movimiento son por tanto:
(𝐋𝐖)( 𝛕 𝐗𝐙)
𝐗
Velocidad de entrada de movimiento z a través de la superficie
situada en x.
(𝐋𝐖)( 𝛕 𝐗𝐙)
𝐗+ ∆𝐗
Velocidad de salida de cantidad de movimiento z a través de la
superficie situada en x + ∆x.
(𝐖∆𝐗𝐕𝐙)(𝛒 𝐕𝐙)
𝐙=𝟎
Velocidad de entrada de cantidad de movimiento z a través de la
superficie situada en z=0.
(𝐖∆𝐗𝐕𝐙)(𝛒 𝐕𝐙)
𝐙=𝐋
Velocidad de salida de cantidad de movimiento z a través de la
superficie situada en z=L.
(𝐋𝐖∆𝐗)(𝛒𝐠) Fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido.

6. • El flujo es laminar.
• La densidad es constante (fluido incompresible).
• El flujo es independiente del tiempo (estado estacionario).
• El fluido es Newtoniano; es decir :
𝝉 𝒙𝒛 = −
𝝁 𝒅𝒗 𝒛
𝒅𝒙
• Los efectos finales son despreciables.
• El fluido se comporta como un medio continuo.

7. Primero consideramos el flujo específico de momento
lineal debido al transporte molecular. La velocidad de
salida de movimiento lineal es el flujo especifico de
movimiento lineal en el punto x+∆x menos el de x por el
área LW.
Efusión neta= (salida de energía) – (entrada de energía)
Efusión neta= (𝑳𝑾)( 𝝉 𝑿𝒁) 𝑿+ ∆𝑿 − (𝑳𝑾)( 𝝉 𝑿𝒁) 𝑿

8. El flujo especifico de movimiento lineal convectivo
neto es la velocidad de movimiento lineal que entra
en el área ∆x W en z=L menos la que sale en z=0. Esta
efusión neta es igual acero, ya que la 𝑽 𝒛 en z=0 es
igual a 𝑽 𝒛 en z=L para cada valor de X.
Efusión neta = (𝑾∆𝑿𝑽 𝒁)(𝝆 𝑽 𝒁) 𝒁=𝑳 − (𝑾∆𝑿𝑽 𝒁)(𝝆 𝑽 𝒁) 𝒁=𝟎 = 𝟎

9. Se utiliza la ecuación para la conservación de
momento lineal para un estado estacionario
descrito a continuación:
velocidad de entrada de
cantidad de movimiento
−
velocidad de salida de
cantidad de movimiento
+
velocidad de acumilacion de
cantidad de movimiento
=
suma de fuerzaque
actuan sobre el sistema
Reemplazando los valores de la efusión neta en la ecuación:
(𝑳𝑾)( 𝝉 𝑿𝒁) 𝑿+ ∆𝑿 − (𝑳𝑾)( 𝝉 𝑿𝒁) 𝑿 + 0 = 𝑳𝑾∆𝑿 𝝆𝒈 (Ec.1)

10. Dividiendo la Ec.1 por 𝑳𝑾∆𝑿 y tomando límite cuando ∆𝑿 tiende hacia cero:
𝒍𝒊𝒎
∆𝑿→𝟎
( 𝝉 𝑿𝒁) 𝑿+ ∆𝑿 − ( 𝝉 𝑿𝒁) 𝑿
∆𝑿
= 𝝆𝒈 (𝑬𝒄. 𝟐)
El primer miembro de esta ecuación es por definición de la derivada primera de 𝝉 𝑿𝒁 con respecto a
X. Por tanto la (Ec. 2) puede escribirse así:
𝒅
𝒅𝑿
𝝉 𝑿𝒁 = 𝝆𝒈 (𝑬𝒄. 𝟑)
Que es la ecuación diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento 𝝉 𝑿𝒁.
Al integrarla se obtiene:
𝝉 𝑿𝒁 = 𝝆𝒈𝑿 + 𝑪 𝟏

11. La constante de integración puede evaluarse aplicando la condición limite
correspondiente a la interface liquido – gas: X=0, 𝝉 𝑿𝒁 = 𝟎 en la superficie de líquido
libre y en X = X, 𝝉 𝑿𝒁 = 𝝉 𝑿𝒁; por lo tanto, la distribución de la densidad de flujo de
cantidad de movimiento es:
𝝉 𝑿𝒁 = 𝝆𝒈𝑿 (𝑬𝒄. 𝟒)
Esto significa que el perfil de flujo específico de momento lineal es lineal, como se
muestra en la figura y el valor máximo está en la pared. Para un fluido Newtoniano,
usando la ley de Newton de la viscosidad:
𝝉 𝑿𝒁 = − 𝝁
𝒅𝒗 𝒁
𝒅𝑿
(𝑬𝒄. 𝟓)
Sustituyendo este valor de 𝝉 𝑿𝒁 en la (𝑬𝒄. 𝟒) se obtiene la siguiente ecuación diferencial
para la distribución de velocidad:
𝒅𝒗 𝒁
𝒅𝑿
= −
𝝆𝒈
𝝁
𝒙 (𝑬𝒄. 𝟔)

12. Al separar variables y al integrarlas se obtiene:
𝒗 𝒁 = −
𝝆𝒈
𝟐𝝁
𝒙 𝟐
+ 𝑪 𝟏 (𝑬𝒄. 𝟕)
La constante de integración se evalúa a partir de la condición límite correspondiente:
𝒗 𝒁=0 y X= 𝜹
𝜹: 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒔𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒆𝒍𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂
Sustituyendo esta condición límite en la (𝑬𝒄. 𝟕) se obtiene que:
𝑪 𝟏= (
𝝆𝒈
𝟐𝝁
) ∗ 𝜹 𝟐 (𝑬𝒄. 𝟖)
Por lo tanto, reemplazando la 𝑬𝒄. 𝟖 en la (𝑬𝒄. 𝟕) se obtiene distribución de la velocidad:
𝒗 𝒁 =
(𝝆𝒈𝜹 𝟐)
𝟐𝝁
∗ 𝟏 −
𝑿
𝜹
𝟐
(𝑬𝒄. 𝟗)

13. El perfil de velocidad es parabólico; a partir de la ecuación de la
distribución de velocidad (EC.9), se pueden obtener las siguientes
magnitudes:
𝒗 𝒛 =
(𝝆𝒈𝜹 𝟐)
𝟐𝝁
𝟏 −
𝒙
𝜹
𝟐
La velocidad máxima 𝒗 𝒛 𝒎𝒂𝒙
𝒗 𝒛 𝒎𝒂𝒙 =
(𝝆𝒈𝜹 𝟐)
𝟐𝝁
(𝑬𝒄. 𝟏𝟎)
para x = 0
𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎
𝑣𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
1
𝐴
𝑣𝑧 𝑑𝐴
donde A = W𝜹
A
La velocidad promedio

14. 𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝟏
𝒘𝜹 𝟎
𝑾
𝟎
𝜹
𝒗 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚Reemplazando A = W𝜹
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐬𝐞 𝐨𝐛𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞: 𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝒘
𝒘𝜹 𝟎
𝜹
𝒗 𝒛 𝒅𝒙 𝑬𝒄. 𝟏𝟏
Reemplazando 𝒗 𝒛 de 𝑬𝒄. 𝟗 en 𝑬𝒄. 𝟏𝟏 :
𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝝆𝒈𝜹 𝟐
𝟐𝝁 𝟎
𝟏
𝟏 −
𝑿
𝜹
𝟐
𝒅
𝒙
𝜹 𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝝆𝒈𝜹 𝟐
𝟑𝝁
(𝑬𝒄. 𝟏𝟐)
Al combinar las ecuaciones: 𝑬𝒄. 𝟏𝟎 𝒚 (𝑬𝒄. 𝟏𝟐) se obtiene:
𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝟐
𝟑
𝒗 𝒛 𝒎𝒂𝒙

15. La velocidad volumétrica de flujo Q
𝑸 = 𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎 ∗ 𝑨 𝑸 =
𝝆𝒈𝜹 𝟑 𝑾
𝟑𝝁
𝒎 𝟑
𝒔
El gasto de masa por unidad de grosor de pared 𝜞 se define como:
𝜞 = 𝝆𝜹𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎
El espesor de la película 𝜹, puede expresarse en función, 𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎, 𝑸, o de 𝜞 .
𝜹 =
𝟑𝝁𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎
𝝆𝒈
=
𝟑 𝟑𝝁𝑸
𝝆𝒈𝑾
=
𝟑 𝟑𝝁𝜞
𝝆 𝟐 𝒈

16. Experimentalmente se ha encontrado que al aumentar la velocidad promedio
de la película (𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎), al aumentar su espesor (𝜹 ), y al disminuir la
viscosidad cinemática (𝜸 = 𝝁/𝝆), varia gradualmente la naturaleza del flujo.
Durante este cambio gradual se pueden observar tres tipos distintos de flujo,
más o menos estables, donde la información cuantitativa respecto del tipo de
flujo para paredes verticales.
• Flujo laminar sin ondulaciones : 𝑵 𝑹𝑬 < 𝟒 𝒂 𝟐𝟓
• Flujo laminar con ondulaciones: 𝟒 𝒂 𝟐𝟓 < 𝑵 𝑹𝑬 < 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒂 𝟐𝟎𝟎𝟎
• Flujo turbulento: 𝑵 𝑹𝑬 > 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒂 𝟐𝟎𝟎𝟎
Siendo 𝑵 𝑹𝑬 𝑵 𝑹𝑬 =
𝟒𝜞
𝝁
=
𝟒𝝆𝜹𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎
𝝁

17. Se encontró la ecuación de distribución de la velocidad, lo que
indico que el perfil de velocidad es parabólico:
𝒗 𝒁 =
(𝝆𝒈𝜹 𝟐)
𝟐𝝁
∗ 𝟏 −
𝑿
𝜹
𝟐
Se encontró la velocidad máxima:
𝒗 𝒛 𝒎𝒂𝒙 =
𝝆𝒈𝜹 𝟐
𝟐𝝁
Se encontró la velocidad promedio:
𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝝆𝒈𝜹 𝟐
𝟑𝝁

18. Se encontró la relación entre la velocidad máxima y la
velocidad promedio:
𝒗 𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝟐
𝟑
𝒗 𝒛 𝒎𝒂𝒙
Se encontró que el caudal del flujo es:
𝑸 =
𝝆𝒈𝜹 𝟑 𝑾
𝟑𝝁
𝒎 𝟑
𝒔