Modelado de perfiles a partir de la ecuación de Navier-Stokes

1. Flujo laminar dentro de tubo
Considere un tubo circular en posición horizontal dentro del cual se desplaza un fluido newtoniano
incompresible en estado estacionario. El tubo es de gran longitud de modo que los efectos de entrada y
salida (extremos) son despreciables. Obtenga para este caso el perfil de velocidad, la velocidad máxima,
la velocidad media, el gasto volumétrico, el esfuerzo cortante máximo y el perfil del esfuerzo cortante.
P1 P2
R vz
0 L
Esta geometría ya se había analizado al aplicar la ecuación de continuidad y en dicho análisis se llegó a la
conclusión de que vz = vz(r)
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
vr = vθ = 0 y son constantes
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
La integral de vz con respecto z es constante:
vz = vz (r, θ, z)
si no está girando el flujo, entonces la conclusión es vz = vz (r)
Con esto en mente, analizaremos la ecuación de Navier-Stokes para el componente axial de la velocidad
en coordenadas cilíndricas:
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝑔 𝑧 +
𝜇
𝜌
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝑟2
+
𝜇
𝜌𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
+
𝜇
𝜌𝑟2
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜇
𝜌
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝑧2
Edo. Vr = 0 Vθ = 0 No es vz = vz (r)
Estacionario Ecn cont factor motriz
Después de simplificar términos, obtenemos
∆𝑃
𝐿
= 𝜇 (
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
)
Pero la derivada del producto

2. 𝜕
𝜕𝑟
[𝑟 (
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
)] = 𝑟
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝑟2
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
= 𝑟 (
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
)
Así que podemos sustituir estos términos en la ecuación
∆𝑃
𝐿
=
𝜇
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
[𝑟 (
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
)]
Separamos variables
∆𝑃
𝐿
𝑟𝑑𝑟 = 𝜇𝑑 [𝑟 (
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
)]
Integrando
∆𝑃
𝐿
∫ 𝑟𝑑𝑟 = 𝜇 ∫ 𝑑 [𝑟 (
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
)] + 𝑐1
∆𝑃
2𝐿
𝑟2
= 𝜇𝑟
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
+ 𝑐1
Condición frontera 1
Se espera un perfil de velocidad simétrico respecto al eje central de la tubería donde por ser el punto
más alejado de las paredes del tubo, la velocidad sea máxima
En r = 0; dvz/dr = 0
Sustituyendo
∆𝑃
2𝐿
(0) = 𝜇𝑟(0) + 𝑐1, ∴ 𝑐1 = 0
De modo que
∆𝑃
2𝐿
𝑟2
= 𝜇𝑟
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
Separando variables e integrando
𝑐2 +
∆𝑃
2𝐿𝜇
∫ 𝑟𝑑𝑟 = ∫ 𝑑𝑣𝑧
𝑐2 +
∆𝑃
4𝐿𝜇
𝑟2
= 𝑣𝑧
Aplicando la segunda condición frontera,
En r = R; vz = 0
𝑐2 +
∆𝑃
4𝐿𝜇
𝑅2
= 0

3. 𝑐2 = −
∆𝑃
4𝐿𝜇
𝑅2
Por lo tanto,
𝑣𝑧 =
∆𝑃
4𝐿𝜇
𝑟2
−
∆𝑃
4𝐿𝜇
𝑅2
𝑣𝑧 =
(−∆𝑃)𝑅2
4𝐿𝜇
[1 − (
𝑟
𝑅
)
2
] 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
Para obtener la velocidad máxima regresamos a la condición que ya usamos de que esto ocurre en r = 0
(𝑣𝑧) 𝑚𝑎𝑥 =
(−∆𝑃)𝑅2
4𝐿𝜇
No es inusual obtener la relación vz/vmax:
𝑣𝑧
(𝑣𝑧) 𝑀𝑎𝑥
= 1 − (
𝑟
𝑅
)
2
Para el cálculo de caudal hay dos estrategias
El análogo a un promedio ponderado integral por diferencial de áreas
𝑣 𝑚 =
𝑄
𝐴
=
∫ 𝑣𝑧 𝑑𝐴
𝑅
0
𝐴
Hacer la doble integral estricta de caudal
𝑄 = ∫ ∫ 𝑣𝑧 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑅
0
2𝜋
0
Como vz no depende de θ, puede integrarse esta variable sin problemas
𝑄 = ∫ 2𝜋𝑣𝑧 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
𝑄 = ∫ 2𝜋𝑟
(−∆𝑃)𝑅2
4𝐿𝜇
[1 − (
𝑟
𝑅
)
2
] 𝑑𝑟
𝑅
0
Sacamos constantes y separamos en dos integrales

4. 𝑄 =
2𝜋(−∆𝑃)𝑅2
4𝜇𝐿
{∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
+ ∫
𝑟3
𝑅2
𝑑𝑟
𝑅
0
}
𝑄 =
2𝜋(−∆𝑃)𝑅2
4𝜇𝐿
{
𝑅2
2
+
𝑅4
4𝑅2} =
2𝜋(−∆𝑃)𝑅2
4𝜇𝐿
{
𝑅2
2
+
𝑅2
4
} =
𝜋(−∆𝑃)𝑅4
8𝜇𝐿
Y la expresión de velocidad se obtiene a partir de v = Q/A
(𝑣𝑧) 𝑚 =
𝑄
𝐴
=
𝜋(−∆𝑃)𝑅4
8𝜇𝐿
𝜋𝑅2
𝑣 𝑚 =
(−∆𝑃)𝑅2
8𝜇𝐿
(𝑣𝑧) 𝑚𝑒𝑑
(𝑣𝑧) 𝑚á𝑥
=
1
2
La ecuación de velocidad media frecuentemente se escribe en función de diámetro –porque es más fácil
medir el diámetro de una tubería-:
𝑣 𝑚 =
(−∆𝑃)𝐷2
32𝜇𝐿
Esta ecuación también se despeja de variadas maneras:
(−𝛥𝑃) =
32𝑣 𝑚 𝜇𝐿
𝐷2
(𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐻𝑎𝑔𝑒𝑛 − 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑒𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒)
Expresión que se utiliza para obtener valores aproximados de viscosidad de los fluidos que se esperan
ser newtonianos en rango laminar (tema a analizar a futuro).
Para la expresión de esfuerzo cortante regresamos al balance de fuerzas que se usó en la lección de
generación de moméntum
𝜏 𝑟𝑧 𝐴 𝑟 = 𝐴 𝑧(−∆𝑃)
𝜏 𝑟𝑧 =
𝐴 𝑧(−∆𝑃)
𝐴 𝑟
=
𝜋𝑟2(−∆𝑃)
2𝜋𝑟𝐿
con lo que el perfil de esfuerzo es
𝜏 𝑟𝑧 =
𝑟(−∆𝑃)
2𝐿
Para nuestro caso también es verdad que 𝜏 𝑟𝑧 = −𝜇
𝑑𝑣 𝑧
𝑑𝑟
Y como ya habíamos analizado, en r = 0, dvz/dr = 0, por lo que τrz = 0, constituyendo así el valor mínimo
de esfuerzo, lo que nos lleva a pensar que la condición “opuesta” geométricamente que es la pared (en r
= R) de la tubería es la posición del esfuerzo máximo:
(𝜏 𝑟𝑧) 𝑀á𝑥 = (𝜏 𝑟𝑧) 𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑 =
𝑅(−∆𝑃)
2𝐿