Problemas y teoria del curso de Dinamica de Gases para la Universidad Nacional del Callao-Peru

1. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA FLUIDA
Estudia el movimiento mecánico de una partícula en un flujo sin importar las fuerzas que lo
ocasionen,tambiénse puede decirque lacinemáticade unapartícula estudia: El fenómeno físico
que consiste enel cambiode posiciónde unapartícula enun fluidoenmovimiento, en el espacio
y el tiempo con respecto a un sistema de referencia establecido sin importar las causas que
producen dicho movimiento. (Flores ,2017)
1.1Métodos que analizan el movimiento de los fluidos
Existen dos métodos para analizar el movimiento de un fluido el método Lagrangiano y
Euleriano los cuales veremos en este primer capítulo.
1.1.1 MétodoLagrangiano
Por este métodoel estudiose centra en una partícula individual en el que se observara
su movimiento en función del tiempo, sus parámetros de posición, velocidad y
aceleración se denotan vectorialmente de la siguiente manera:
A. Vector posición
𝑟⃗( 𝑡) = 𝑥( 𝑡)𝑖̂ + 𝑦( 𝑡) 𝑗̂ + 𝑧( 𝑡) 𝑘̂
B. Vector velocidad
El cual se obtiene derivandoel vectorposiciónenfuncióndel tiempo.
𝑉⃗⃗( 𝑡) =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖̂ +
𝑑𝑦( 𝑡)
𝑑𝑡
𝑗̂ +
𝑑𝑧( 𝑡)
𝑑𝑡
𝑘̂
𝑉⃗⃗( 𝑡) = 𝑢( 𝑡)𝑖̂ + 𝑣( 𝑡) 𝑗̂ + 𝑤( 𝑡) 𝑘̂
C. Vector aceleración
De igual manerase obtiene derivandoel vectorvelocidadenfuncióndel tiempo.
𝑎⃗( 𝑡) =
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖̂ +
𝑑𝑣( 𝑡)
𝑑𝑡
𝑗̂ +
𝑑𝑤( 𝑡)
𝑑𝑡
𝑘̂
𝑎⃗( 𝑡) = 𝑎 𝑥( 𝑡)𝑖̂+ 𝑎 𝑦( 𝑡) 𝑗̂ + 𝑎 𝑧( 𝑡) 𝑘̂

2. 2.1.1 MétodoEuleriano
En este tipode análisis noestarácentrado en una sola partícula, sino en el conjunto de
partículas en movimiento el cual es conocido como flujo, se llevara su estudio
determinándolo en un volumen de control en función del espacio y el tiempo.
A. Velocidad de la partícula
Tendremos por el método Euleriano la explicación de fluido en movimiento conocido
como flujo y su vector velocidad el cual estará en función del espacio y tiempo:
𝑉̅ = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
B. Aceleracióntotal de la partícula
La aceleración se obtendrá aplicando el criterio de la derivada sustancial a la vector
velocidad dada mediante el método conocido como regla de la cadena.
𝑉̅ = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝐷𝑉
𝐷𝑡
=
𝑑𝑉
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑉
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝑑𝑉
𝑑𝑧
.
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+
𝑑𝑉
𝑑𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐷𝑉
𝐷𝑡
=
𝑑𝑉
𝑑𝑥
. 𝑢 +
𝑑𝑉
𝑑𝑦
. 𝑣 +
𝑑𝑉
𝑑𝑧
. 𝑤 +
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑢.
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+ 𝑤.
𝑑𝑉
𝑑𝑧
+
𝑑𝑉
𝑑𝑡
Acel. Convectiva Acel. Local

3. a. Aceleración convectiva
Es el cambiode velocidadque se suscita por efecto del cambio de la posición de la
partícula en un campo de flujo definido.
Fig. N°1-Fuente: Gabriel García
Traslación de la partícula de un punto a otro donde se produce una aceleración de esta la
cual llamaremos aceleración convectiva.
𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐. = 𝑢.
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+ 𝑤.
𝑑𝑉
𝑑𝑧
z´
y´
x'
z
y
x
Aquí se producela aceleraciónconvectiva.
s

4. b. AceleraciónLocal
No esnada másque laaceleracióninstantánea,representa el cambio de velocidad
en un instante de tiempo dado y un punto determinado como es (x, y, z).
Fig. N°2-Fuente: Gabriel Garcia
Representación vectorial de la aceleración local en proceso de traslación de la partícula.
𝑎⃗ = lim
Δ𝑡→0
𝑎⃗ 𝑚
𝑎⃗ = lim
Δ𝑡→0
Δ𝑉⃗⃗
Δ𝑡
𝑎⃗ = lim
Δ𝑡→0
𝑉⃗⃗( 𝑡 + Δ𝑡) + 𝑉⃗⃗(𝑡)
Δ𝑡
𝑎⃗ 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 =
𝑑𝑉⃗⃗
𝑑𝑡
Donde la aceleración local quedaría expresada finalmente en los siguientes
términos:
𝑎⃗( 𝑡) = 𝑎 𝑥( 𝑡)𝑖̂+ 𝑎 𝑦( 𝑡) 𝑗̂ + 𝑎 𝑧( 𝑡) 𝑘̂
y
x
z
s
(t+Δt)
(t)
V (t+Δt)
V (t)
alocal
am
d

5. C. Componentes de la aceleración en sus respectivos ejes coordenados cartesianos
Así mismopodemosdecirque lasvelocidadesensusrespectivosejesestaránenfunción
del espacioytiempo,debidoaque unapartícula moviéndose enel eje x puede sufrir un
cambio instantáneo en su trayectoria todo esto suscitándose en un espacio (x,y,z) y
tiempo dado, esta interpretación nos lleva a la siguiente expresión matemática:
𝑢⃗⃗ = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ; Velocidad en el eje x.
𝑣⃗ = 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡); Velocidad en el eje y.
𝑤⃗⃗⃗ = 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡); Velocidad en el eje z.
 Aceleración en el eje x
𝑢⃗⃗ = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
La aceleraciónenel eje ´´x´´se obtendráaplicandoel criteriode laderivadasustancial al
vectorvelocidaddadamediante el métodoconocidocomoreglade lacadena.
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑢
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝑑𝑢
𝑑𝑧
.
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+
𝑑𝑢
𝑑𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
. 𝑢 +
𝑑𝑢
𝑑𝑦
. 𝑣 +
𝑑𝑢
𝑑𝑧
. 𝑤 +
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑎 𝑥 = 𝑢.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑦
+ 𝑤.
𝑑𝑢
𝑑𝑧
+
𝑑𝑢
𝑑𝑡
 Aceleración en el eje y
𝑣⃗ = 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
La aceleraciónenel eje ´´y´´se obtendráaplicandoel criterio de laderivadasustancial al
vectorvelocidaddadamediante el métodoconocidocomoreglade lacadena.
𝐷𝑣
𝐷𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝑑𝑣
𝑑𝑧
.
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+
𝑑𝑣
𝑑𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐷𝑣
𝐷𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑥
. 𝑢 +
𝑑𝑣
𝑑𝑦
. 𝑣 +
𝑑𝑣
𝑑𝑧
. 𝑤 +
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑎 𝑦 = 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑤.
𝑑𝑣
𝑑𝑧
+
𝑑𝑣
𝑑𝑡

6.  Aceleración en el eje z
𝑤⃗⃗⃗ = 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
La aceleraciónenel eje ´´z´´se obtendráaplicandoel criteriode laderivadasustancial al
vectorvelocidaddadamediante el métodoconocidocomoreglade lacadena.
𝐷𝑤
𝐷𝑡
=
𝑑𝑤
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑤
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
.
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+
𝑑𝑤
𝑑𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐷𝑤
𝐷𝑡
=
𝑑𝑤
𝑑𝑥
. 𝑢 +
𝑑𝑤
𝑑𝑦
. 𝑣 +
𝑑𝑤
𝑑𝑧
. 𝑤 +
𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝑎 𝑧 = 𝑢.
𝑑𝑤
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑤
𝑑𝑦
+ 𝑤.
𝑑𝑤
𝑑𝑧
+
𝑑𝑤
𝑑𝑡
2.1 Derivada sustancial o derivada material
Recibe unnombre ysímboloespecial (
𝐷
𝐷𝑡
) enlugarde (
𝑑
𝑑𝑡
)para establecerque seguimos una
partícula de fluido determinada, es decir seguimos a la sustancia o materia, la derivada
sustancial representa la razón de cambio de alguna de las propiedades de la partícula en
espacio y tiempo.
Ejemplo:
(
𝐷
𝐷𝑡
) Representa la rapidez de cambio de la temperatura de una partícula de un fluido
mientras la seguimos en su camino, si la temperatura depende de la escala espacial y
temporal, la temperatura estará en función de: 𝑇 = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝐷𝑇
𝐷𝑡
=
𝑑𝑇
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑇
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝑑𝑇
𝑑𝑧
.
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+
𝑑𝑇
𝑑𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐷𝑇
𝐷𝑡
=
𝑑𝑇
𝑑𝑥
. 𝑢 +
𝑑𝑇
𝑑𝑦
. 𝑣 +
𝑑𝑇
𝑑𝑧
. 𝑤 +
𝑑𝑇
𝑑𝑡

7. 3.1 FlujoRotacional
Se denomina a un flujo como rotacional cuando las partículas presentan una rotación
alrededor del centro de gravedad de la trayectoria a seguir por la línea de corriente.
Según Flores (2001, p.9) ´´La rotación de una partícula de fluido es la velocidad angular
promedio de dos elementos de línea mutuamente perpendiculares de la particula.Una
partícula que se mueve en un campo de flujo tridimensional puede rotar alrededor de los
tresejescoordenados.’’Recordemosque si existen fuerzas viscosas es necesario considerar
un flujo como rotacional, de igual forma no se desarrollara un flujo rotacional si no se
produce la deformación angular.
𝑟𝑜𝑡 𝑉⃗⃗ = Ω =
1
2
(∇ × 𝑉⃗⃗) ≠ 0
Ω 𝑥 =
1
2
(
𝑑𝑤
𝑑𝑦
−
𝑑𝑣
𝑑𝑧
)𝑖̂
Ω 𝑦 =
1
2
(
𝑑𝑢
𝑑𝑧
−
𝑑𝑤
𝑑𝑥
)𝑗̂
Ω 𝑧 =
1
2
(
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−
𝑑𝑢
𝑑𝑦
)𝑘̂
Ω = Ω 𝑥 𝑖̂+ Ω 𝑦 𝑗̂ + Ω 𝑧 𝑘̂ ≠ 0
4.1 FlujoIrrotacional
El flujoirrotacional essimplemente loopuestoal flujorotacional esdecirse presenta cuando
las partículas no presentan un rotación alrededor del centro de gravedad de la trayectoria
por la línea de corriente.
Según Flores (2001, p.4) ‘’ Cuando no se consideran el efecto de la velocidad angular en la
rotaciónque tiene la partícula alrededor de su eje, es decir la velocidad angular es cero. ‘Es
importante tener en cuenta que en un flujo donde se desprecia las fuerzas viscosas se
cumplirá la condición de un flujo que presente irrotacionalidad en sus partículas.
𝑟𝑜𝑡 𝑉⃗⃗ = Ω =
1
2
(∇ × 𝑉⃗⃗) = 0
Ω = Ω 𝑥 𝑖̂ + Ω 𝑦 𝑗̂ + Ω 𝑧 𝑘̂ = 0
5.1 Vorticidad

8. 6.1 Divergencia
Matemáticamente cuandohablamosde divergenciaenunfluidose refiere al producto
escalarde la gradiente conla el vectorvelocidaddel fluido.
𝐷𝑖𝑣( 𝑉⃗⃗) = ∇. 𝑉⃗⃗ =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
La divergencia nos va indicar si el flujo será comprensible o incomprensible, será
comprensiblesi el resultadoesdiferente aceroy será incomprensiblesi el resultado es cero.
𝐷𝑖𝑣( 𝑉⃗⃗) ≠ 0 → 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
𝐷𝑖𝑣( 𝑉⃗⃗) = 0 → 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
7.1 Deformación angular del fluido
La deformaciónangulardel fluidoimplicacambiosenel ánguloentre doslíneas mutuamente
perpendiculares.
Fig. N° ()-Fuente: Jaime Flores
−
dγ
dt
=
𝑑𝛼
𝑑𝑡
+
𝑑𝛽
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
Se tiene que tenerencuentaque un flujo viscoso, es altamente improbable que
𝑑𝑣
𝑑𝑥
sea
igual y opuesto a
𝑑𝑢
𝑑𝑦
por todo el campo de flujo.

9. 8.1 Velocidadde deformaciónvolumétricade la partícula de un fluido
Cuando hablamos de deformación volumétrica de una partícula nos referimos a la
deformación física que sufre una partícula de un fluido en todas sus direcciones (x, y, z) a
travésdel tiempo(t).Debido a que una particular de un fluido se puede contraer y dilatar lo
cual estaría generando un cambio en su volumen.
Fig. N° ()-Fuente: Autoria Propia
La rapidezde cambiode volumendivididoentre el mismovolumense denominavelocidad
de deformaciónvolumétrica:
1
𝛿V
⋅
𝑑( 𝛿V)
𝑑𝑡
= ∇. 𝑉⃗⃗ =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
9.1 Puntos de estancamiento
Definimoslospuntosde estancamiento como aquellos puntos a lo larga de la trayectoria de
la partícula donde la velocidad de esta se hace cero. Es decir son de la trayectoria de la
partícula en donde esta encontrara un breve reposo al movimiento quedando estática por
unos momentos, para luego continuar su trayectoria.
𝑢 = 0 ; 𝑣 = 0 ; 𝑤 = 0
Fig. N° ()-Fuente: Autoría Propia
Placa de orificio donde en los extremos de la placa chocan las partículas del flujo
estancándose por unos momentos para luego seguir su recorrido.
Zonas de estancamiento.

10. 10.1 Líneas de corriente y líneasde trayectoria
Cuandonos referimosalíneasde corriente ytrayectoriasurge unagran confusiónenel
alumnopara la fácil compresióndel alumnose explicaramediante laFig.N°() el cual nos
muestraun ejemplodidácticode laslíneasde corriente ytrayectoria.
Fig. N° ()-Fuente: Autoría Propia
En la figura mostrada podemos ver la corriente del rio representado para las líneas azules
estaslíneasazulessonlaslíneas de corriente,luegopodemosapreciarcomoel pequeñoEsaú
arroja una botellade plásticoal riola cual será guiada desde un punto (1) hasta un punto (2)
por la corriente el recorrido que hace desde el punto (1) al punto (2) está representado de
color rojo esta será la línea de trayectoria.
9.1.1 Líneas de corriente
Son aquellascurvasdel espacioque, en un instante dado, son tangentes en todos sus
puntosal correspondiente vectorvelocidadlocal.ConceptoEuleriano,yel tiempohace
las funciones de parámetro. La representación de las líneas de corriente permite
conocer el movimiento de las partículas fluidas en pequeños intervalos de tiempo y
por tanto ayuda al estudio de las causas que dominan el comportamiento de las
mismas.Un amplioconocimientode ladinámicade los fluidos es esencial a la hora de
representarlaslíneasde corriente,peroa título orientativo conviene tener en cuenta
los siguientes aspectos:
• Es muy interesante calcular el comportamiento de las líneas de corriente en el
entorno de algunos puntos singulares, como pueden ser: en el infinito aguas arriba y
aguas abajo, puntos de remanso, puntos singulares (manantiales, sumideros,
torbellinos, dobletes), etc.
• Las líneas de corriente sólo pueden cortarse en puntos de remanso o puntos de
velocidad "infinita"(como manantiales, sumideros, torbellinos, dobletes, etc.).
• A las líneasde corriente que pasan por los puntos de remanso se les llama líneas de
corriente divisorias. Tienen tanta importancia que en gran parte de las situaciones
basta conocerlas para comprender el movimiento del fluido.

11. • Si hay uncuerpo sólidoe impermeablesumergidoenel fluido,sucontornoserá línea
de corriente.
Las ecuaciones de las líneas de corriente se pueden hallar aplicando 2 métodos:
1er Método
𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 0
𝑤𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑧 = 0
2do Método
𝑢 =
𝑑𝑥
𝑑𝑠
𝑣 =
𝑑𝑦
𝑑𝑠
𝑤 =
𝑑𝑧
𝑑𝑠
9.1.2 Líneas de trayectoria o de senda
Son aquellas curvas dadas por 𝑥⃗ = 𝑥(𝑥 𝑜, 𝑡) que es un lugar geométrico de los puntos
del espacio recorridosporcada partícula fluida(cadaunaidentificadapor 𝑥0,en 𝑡 = 𝑡 𝑜)
en función del tiempo. Es un concepto Lagrangiano, y en realidad representa la "ley
horaria"con la que se mueve cada partícula fluida. Desde un punto de vista Euleriano,
conocidoel campode velocidades lastrayectoriasse calcularánresolviendo un sistema
de tres ecuaciones diferenciales de primer orden, donde el t es la variable
independiente.
Se llamansendasa las"trayectoriasreales"seguidasporlaspartículasfluidas,esdecir, a
las ecuaciones implícitas del lugar geométrico descrito por cada partícula fluida en su
movimiento(conindependencia de cómo lo recorren con t). Se obtienen a partir de las
trayectorias eliminando el tiempo.
Las ecuaciones de las líneas de trayectorias se pueden hallar aplicando el siguiente
método:
𝑢 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑣 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑤 =
𝑑𝑧
𝑑𝑡
Nota:
Si el flujo es permanente o también conocido como flujo estacionario, las líneas de
corriente y líneas de trayectoria es una sola.

12. 11.1 Funciónde corriente (𝝍)
Es usada para deducir las componentes de la velocidad del fluido y no es más que un
dispositivo matemático que va relacionar las líneas de corriente y las velocidades del flujo
(Flores,2009); la funciónde corriente paraque exista estará sujeta a dos condiciones que el
alumnonodebe olvidarque sonincompresibilidady que seaunflujobidimensional,enla fig.
N°() enun tiempodeterminadoenel punto (𝑥1;𝑦1) se trazan dos trayectorias arbitrarias a y
b hasta un punto (𝑥2; 𝑦2) cada trayectoria en nuestro estudio de dos dimensiones es un
perfil enel planoXY, de una superficie de unflujoque se prolongainfinitamente en el eje Z.
(Shames,1991).
Fig. N°()-Fuente: Gabriel García
Los puntos azules en el área encerrada por las trayectorias del punto (1) al punto (2) son las
líneas de corriente que se prolongan a lo largo del eje Z.
Entonces cada trayectoria en este estudio bidimensional, puede suponerse como el perfil primatico
que se extiende indefinidamente en la dirección del eje z. Por lo tanto el área limitada por las dos
trayectorias a y b puede interpretarse como la sección transversal de un volumen de control
prismático que se extiende sin cambios en la dirección z.
Fig. N°()-Fuente: Gabriel García
Líneas de corriente a lo largo del eje z que pasan por el área delimitado por las dos
trayectorias.
(𝑥2;𝑦2)
(𝑥1; 𝑦1)
a
b
y
x
Pto. (2)
Pto. (1)
b
a

13. Entoncespodemoshallarel caudal de que pasapor el área delimitadaentre lospuntos1y 2
siendo:
𝑑𝑞 = 𝑉⃗⃗ ∗ 𝑑𝐴
Siendoel flujovolumétricoque atraviesadichazonadelimitadaigual aladiferenciade las
funcionesde corriente que pasanporlospuntos1 y 2 respectivamente.
Fig. N°()-Fuente: Gabriel García
Considerandoel elementode superficie de control de unidadunitariads de profundidad
unitaria:
𝑑𝑞 = ( 𝑉⃗⃗. 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴 = 𝑑𝜓
𝑑𝑞 =
𝑑𝜓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝑑𝜓
𝜕𝑦
𝑑𝑦 = 𝑑𝜓
𝑞1−2 = ∫ ( 𝑉⃗⃗. 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴
2
1
= ∫ 𝑑𝜓
2
1
𝑞1−2 = 𝜓2 − 𝜓1
SegúnTamburrino (2009, p.1) consideraque:
El caudal (2D) que escurre entre doslíneasde corriente esigual a ladiferenciade las funciones
de corriente 𝑞1−2 = 𝜓2 − 𝜓1.
Fig. N°()-Fuente: Aldo Tamburrino
Pto. (2)
Pto. (1)
b
a
ds
𝑽⃗⃗⃗ = 𝒖𝒊̂ + 𝒗𝒋̂
𝒏⃗⃗⃗ =
𝒅𝒚
𝒅𝒔
𝒊̂ −
𝒅𝒙
𝒅𝒔
𝒋̂

14. Cuando se haya comprobado que el flujo es bidimensional la ecuación de función de
corriente se hallara de la siguiente forma:
𝑢 =
𝑑𝜓
𝑑𝑦
𝑣 = −
𝑑𝜓
𝑑𝑥
Luego tendremos dos ecuaciones 𝜓′ 𝑦 𝜓′′las cuales se sumaran respectivamente y
colocandosolounavezlos términosque se repitan en cada ecuación para al final obtener la
ecuación de función de corriente 𝜓 .
12.1 Potencial de velocidades( 𝝓)
Es la representación en forma de una función de las velocidades en los ejes (x, y, z) en un
tiempo determinado, función la cual al derivarla respecto a los ejes ya mencionadas me
tendrá que dar como resultado las velocidades para cada eje. Para que la función del
potencial de velocidadesexistasolotendraque cumplirlacondiciónserun flujo irrotacional.
Entoncesdiremosque el potencialde velocidadesestáenfunciónde losejesyel tiempo y
podemoshallarlode lasiguiente manera:
𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑢 =
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝑣 =
𝑑𝜙
𝑑𝑦
𝑤 =
𝑑𝜙
𝑑𝑧
Luego tendremos tres ecuaciones 𝜙′ ,𝜙′′ 𝑦 𝜙′′′las cuales se sumaran respectivamente y
colocandosolounavezlos términosque se repitan en cada ecuación para al final obtener la
ecuación de función de corriente 𝜙 .
13.1 Ecuacionesde Cauchy-Riemman
Son dos ecuaciones las cuales iguala las componentes de velocidades u y v quienes se
encuentranen funciónde laecuación de función de corriente y de la ecuación de potencial
de velocidades.
𝑑𝜓
𝑑𝑦
=
𝑑𝜙
𝑑𝑥
−
𝑑𝜓
𝑑𝑥
=
𝑑𝜙
𝑑𝑦

15. 14.1 Ecuación de NavierStokes
La definiciónmatemáticade la ecuación de Navier Stokes que postula Flores (2001, p.37) es
que: ‘’Relaciona el campo de velocidades con la magnitud de la rapidez de deformación
angular. Asume este modelo matemático: que la deformación es consecuencia
principalmente del desplazamientode unapartículapor efectode unafuerza cortante la cual
esproporcional al gradiente de velocidades’’.Para sencillez del estudiante en este proyecto
diremosque laecuaciónde Navier Stokes nos ayudara a encontrar la presión ejercida sobre
partícula en movimiento del flujo, a continuación generalizaremos la ecuación de Navier
Stokes de donde se podrá deducir las ecuaciones de Navier Stokes para los ejes (x, y, z).
Dónde:
𝜌: 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜.
𝑉⃗⃗𝑆:𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎.
𝜕𝑃
𝜕𝑠
: 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎.
𝜇: 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎.
Aplicandolaecuaciónde Navier-Stokesencadaeje seráde la siguienteforma:
Para el eje x:
𝜌 ∗ (
𝐷𝑢
𝑑𝑡
) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑠
+ 𝜌 ∗ 𝑔 𝑥 + 𝜇 (
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥2 +
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦2 +
𝜕2 𝑢
𝜕𝑧2
) +
𝜇
3
∗
𝜕
𝜕𝑥
(
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
)
Para el eje y:
𝜌 ∗ (
𝐷𝑣
𝑑𝑡
) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑠
+ 𝜌 ∗ 𝑔 𝑦 + 𝜇 (
𝜕2 𝑣
𝜕𝑥2 +
𝜕2 𝑣
𝜕𝑦2 +
𝜕2 𝑣
𝜕𝑧2
) +
𝜇
3
∗
𝜕
𝜕𝑦
(
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
)
Para el eje z:
𝜌 ∗ (
𝐷𝑤
𝑑𝑡
) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑠
+ 𝜌 ∗ 𝑔 𝑧 + 𝜇 (
𝜕2 𝑤
𝜕𝑥2 +
𝜕2 𝑤
𝜕𝑦2 +
𝜕2 𝑤
𝜕𝑧2
) +
𝜇
3
∗
𝜕
𝜕𝑥
(
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
)
Nota:
 AplicandoNavierStokesparael eje zla divergenciaseráderivadasiempre respectoal
eje x.
 Comoel eje ‘’Z’’esverticalmentehaciaarribalagravedadserá: 𝑔 𝑧 = −𝑔𝑘̂ mientras
que la 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑦 = 0.
𝜌 ∗ (
𝐷𝑉⃗⃗𝑆
𝑑𝑡
) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑠
+ 𝜌 ∗ 𝑔 + 𝜇 (
𝜕2 𝑉⃗⃗𝑆
𝜕𝑥2 +
𝜕2 𝑉⃗⃗𝑆
𝜕𝑦2 +
𝜕2 𝑉⃗⃗𝑆
𝜕𝑧2
)+
𝜇
3
∗
𝜕
𝜕𝑠
(
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
)
Flujo incomprensible
Flujo comprensible

16. 15.1 Aceleraciónencoordenadas cilíndricas
Aceleraciónparael eje r:
𝑎⃗ 𝑟 = (
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝜃
−
𝑉𝜃
2
𝑟
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑧
)
𝑒𝑟
Aceleraciónparael eje 𝜃:
𝑎⃗ 𝜃 = (
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝑉𝜃 𝑉𝑟
𝑟
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑧
)
𝑒 𝜃
Aceleraciónparael eje z:
𝑎⃗ 𝑧 = (
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝑉𝜃 𝑉𝑟
𝑟
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑧
)
𝑒𝑧
La aceleracióntotal será:
𝑎⃗ = 𝑎⃗ 𝑟 + 𝑎⃗ 𝜃 + 𝑎⃗ 𝑧
16.1 Divergenciaen coordenadascilíndricas
El conceptose mantiene tal cual el de coordenadascartesianasconla diferenciaque para
hallarsi un flujoescomprensible oincomprensibleutilizaremoslasiguienteecuación:
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑉𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
≠ 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑉𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
= 0 → 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
17.1 Flujoirrotacional en coordenadascilíndricas
Se cumpliráque la partículano presentararotacióna lolargo de su trayectoriacuandotodos
lostérminosresultencero.
𝑟𝑜𝑡𝑉⃗⃗ =
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑉𝑟)
𝜕𝑟
−
1
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
=
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑟
=
1
𝑟
𝜕( 𝑟𝑉𝜃)
𝜕𝑟
−
1
𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝜃
= 0

17. 18.1 Funciónde corriente en coordenadascilíndricas (𝝍)
De igual formatendráque serbidimensional e incomprensible tendremosdoscasos:
1er) Caso: 𝑉𝑧 = 0
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑉𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
= 0
Entoncesse cumpliráque:
𝑉𝑟 =
1
𝑟
𝜕𝜓
𝜕𝜃
𝑉𝜃 = −
𝜕𝜓
𝜕𝑟
2do) Caso: 𝑉𝜃 = 0
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑉𝑟)
𝜕𝑟
+
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
= 0
Entoncesse cumpliráque:
𝑉𝑟 = −
1
𝑟
𝜕𝜓
𝜕𝑧
𝑉𝑧 =
1
𝑟
𝜕𝜓
𝜕𝑟
Luego tendremos dos ecuaciones 𝜓′ 𝑦 𝜓′′las cuales se sumaran respectivamente y
colocandosolounavezlos términosque se repitan en cada ecuación para al final obtener la
ecuación de función de corriente 𝜓 .
19.1 Potencial de velocidadesencoordenadascilíndricas ( 𝝓)
Manteniendoel mismoconceptoencoordenadas cilíndricas el potencial de velocidades
tendráque cumplircon lacondiciónde irrotacionalidad, se hallaraconlassiguientes
ecuaciones:
𝑉𝜃 =
1
𝑟
𝜕𝜙
𝜕𝜃
𝑉𝑟 =
𝜕𝜙
𝜕𝑟
𝑉𝑧 =
𝜕𝜙
𝜕𝑧
Luegotendremostresecuaciones 𝜙′ , 𝜙′′ 𝑦 𝜙′′′lascualesse sumaranrespectivamentey
colocandosolounavezlos términosque se repitanencadaecuaciónpara al final obtenerla
ecuaciónde funciónde corriente 𝜙 .

18. 20.1 Ecuación de NavierStokes encoordenadas cilíndricas
Para un flujoincomprensible (𝜌 = 𝑐𝑡𝑒) e isotérmico (𝜇 = 𝑐𝑡𝑒) es decir viscoso o flujo real,
lasecuacionesde NavierStokesse expresande la siguiente forma para sus ejes respectivos:
Para el eje r:
𝜌 (
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝜃
−
𝑉𝜃
2
𝑟
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑧
) = 𝜌𝑔𝑟 −
𝜕𝑃
𝜕𝑟
+ 𝜇 {
1
𝜕𝑟
[
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑉𝑟)
𝜕𝑟
] +
1
𝑟2
𝜕2
𝑉𝑟
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑉𝑟
𝜕𝑧2
}
Para el eje 𝜃:
𝜌 (
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝑉𝜃 𝑉𝑟
𝑟
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑧
) = 𝜌𝑔𝜃 −
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝜇 {
𝜕
𝜕𝑟
[
1
𝑟
𝜕( 𝑟 𝑉𝜃
)
𝜕𝑟
] +
1
𝑟2
𝜕2
𝑉𝜃
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑉𝜃
𝜕𝑧2
}
Para el eje z:
𝜌 (
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝑧
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
) = 𝜌𝑔𝑧 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇 {
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
[ 𝑟
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑟
] +
1
𝑟2
𝜕2
𝑉𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2
𝑉𝑧
𝜕𝑧2
}
Para un flujoideal esdecir no viscoso( 𝜇 = 0) , las ecuaciones de Navier Stokes se expresan
de la siguiente forma para sus ejes respectivos:
Para el eje r:
𝜌 (
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝜃
−
𝑉𝜃
2
𝑟
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑟
𝜕𝑧
) = 𝜌𝑔𝑟 −
𝜕𝑃
𝜕𝑟
Para el eje 𝜃:
𝜌 (
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝜃
+
𝑉𝜃 𝑉𝑟
𝑟
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝜃
𝜕𝑧
) = 𝜌𝑔𝜃 −
𝜕𝑃
𝜕𝜃
Para el eje z:
𝜌 (
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑟
𝜕𝑉𝑧
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
) = 𝜌𝑔𝑧 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
Nota:
Comoel eje ―Z‖se dirige haciaarriba, 𝑔𝑟 = 𝑔𝜃 = 0 y 𝑔𝑧 = - 𝑔

19. 21.1 Conceptode circulación
La circulaciónalo largode una líneade corriente Llo definiremoscomoel calorque tomara
la integraΓ que seráequivalente al trabajoque desarrollael vectorvelocidadalolargo de la
líneaL. Es importante tenerencuentaque si lalíneaL es cerrada,la circulaciónseráigual al
flujodel vectorvorticidad 𝜔̆ atravésde la superficie contorneadaporlalíneaL es decira la
área encerrada.
Γ = ∮ 𝑉⃗⃗ 𝑑𝑙 =
𝐿
∮ 𝜔̆ 𝑑𝑠
𝑠
Dónde:
𝑉⃗⃗ = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑣𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎
𝑑𝑙 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎
𝜔̆ = 𝑣𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑎𝑑a en Rpm.
𝑑𝑠 = 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝐿.
Consideraciones básicas que ha de tener cuando hallamos la circulación:
 Si la circulación a lo largo de la línea cerrada es cero, significara que el flujo será
irrotacional y por lo tanto la vorticidad será cero.
Γ = 0 → 𝜔̆ = 0
 Si la circulacióna lolargo de la líneacerrada esdiferente acero,significara que el flujo es
rotacional y la vorticidad será diferente a cero.
Γ = 0 → 𝜔̆ ≠ 0
22.1 Flujoalrededorde un cilindrocon circulación
Tendremos un flujo que circula alrededor de un cilindro, es decir una circulación Γ al flujo
alrededor de un cilindro.
23.1 D
24.1

20. Problemasaplicativos resueltos
ProblemaN°01
Un volumende flujodefinidonoviscosoenel planoXYes 𝑉⃗⃗ = (3𝑥 + 5) 𝑖̂ + (4 − 3𝑦) 𝑗̂ , la
distribuciónde lafuerzamásicaes 𝑔 = −𝑔𝑘̂ y densidadde 820 𝑘𝑔 𝑚3⁄ .
a. Hallarla funciónde corriente del volumende flujodefinido.
b. Determine lospuntosde estancamientodel volumende flujodefinido.
c. Determine lafunciónpotencial.
d. La diferenciade presionesentreel origenyel punto(2,2,2)
Solución:
a. Hallandolafunciónde corriente (ψ) ,tendráque cumplir2requisitosel campode flujo:
 El ser 𝑅2.
 Incomprensible.
Por divergencia: 𝐷𝑖𝑣(∇. 𝑉⃗⃗) =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 3 − 3 = 0…si esincomprensible.
∴ Por lotanto cumple conser incompresibleybidimensional,existelafunciónde corriente.
Por teoría sabemosque:
𝑢 =
𝑑𝜓
𝑑𝑦
⋏ 𝑣 = −
𝑑𝜓
𝑑𝑥
∫(3𝑥 + 5) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜓 ⋏ ∫(−4 + 3𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝜓
3𝑥𝑦 + 5𝑦 + 𝑐1 = 𝜓´ ⋏ −4𝑥 + 3𝑦𝑥 + 𝑐2 = 𝜓´´
∴ 𝜓 = −4𝑥 + 5𝑦 + 3𝑥𝑦 + 𝑐
b. Encuentre lospuntosde estancamiento:
𝑢 = 3𝑥 + 5 = 𝑜 ⟶ 𝑥 = −2.5
𝑣 = 4 − 3𝑦 = 𝑜 ⟶ 𝑦 = 4/3
∴ 𝑃𝑡𝑜. 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (−2.5 ;
4
3
)
c. Hallando la función potencial(𝜙), tendrá que cumplir la condición de ser un flujo
irrotacional.
𝜔 𝑥 =
1
2
(
𝑑𝑤
𝑑𝑦
−
𝑑𝑣
𝑑𝑧
) 𝑖̂ = 0
𝜔 𝑦 =
1
2
(
𝑑𝑢
𝑑𝑧
−
𝑑𝑤
𝑑𝑥
) 𝑗̂ = 0
𝜔 𝑧 =
1
2
(
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−
𝑑𝑢
𝑑𝑦
) 𝑘̂ = 0
∴ 𝜔 = 𝜔 𝑥 𝑖̂+ 𝜔 𝑦 𝑗̂+ 𝜔 𝑧 𝑘̂ = 0… 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙.
Por teoría sabemosque:

21. 𝑢 =
𝑑𝜙
𝑑𝑥
⋏ 𝑣 =
𝑑𝜙
𝑑𝑦
∫(3𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝜙 ⋏ ∫(4 − 3𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜙
3
2
𝑥2 + 5𝑥 + 𝑐1 = 𝜙1 ⋏ 4𝑦 +
3
2
𝑦2 + 𝑐2 = 𝜙2
∴ 𝜙 =
3
2
( 𝑥2 − 𝑦2) + 5𝑥 + 4𝑦 + 𝑐
d. Hallamosel diferencial de presionesporlaecuaciónde Navier-stokes,teniendoencuenta
que es un flujo no viscoso (𝜇 = 0) e incomprensible.
 Para el eje x:
𝜌 (
𝐷𝑢
𝐷𝑡
) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑥
+ 𝜌𝑔 𝑥
𝜌 ( 𝑢.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑦
+ 𝑤.
𝑑𝑢
𝑑𝑧
+
𝑑𝑢
𝑑𝑡
) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑥
𝜌((3𝑥 + 5) ∗ 3) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑥
𝜌(9𝑥 + 15) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑥
−𝜌(9𝑥 + 15) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑃
∫−𝜌(9𝑥 + 15) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑃… 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑜.
−𝜌 (
9
2
𝑥2 + 15𝑥) − 𝑓( 𝑦) = 𝑃 … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙.
𝑑𝑃
𝑑𝑦
= −𝑓´( 𝑦) … 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝐸𝑐𝑢. 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 ′′𝑦′′.
 Para el eje y:
𝜌 (
𝐷𝑣
𝐷𝑡
) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑦
+ 𝜌𝑔 𝑦
𝜌 (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
. 𝑢 +
𝑑𝑣
𝑑𝑦
. 𝑣 +
𝑑𝑣
𝑑𝑧
. 𝑤 +
𝑑𝑣
𝑑𝑡
) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑦
𝜌((4 − 3𝑦) ∗ −3) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑦
𝜌(−12 + 9𝑦) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑦
𝜌(12 − 9𝑦) =
𝑑𝑃
𝑑𝑦
𝜌(12 − 9𝑦) = −𝑓´( 𝑦)
∫ 𝜌(−12 + 9𝑦) = ∫ 𝑓´( 𝑦)… 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜.
𝑓( 𝑦) = 𝜌 (
9
2
𝑦2 − 12𝑦) …(𝛼)

22.  Para el eje z:
𝜌 (
𝐷𝑤
𝐷𝑡
) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑦
+ 𝜌𝑔 𝑧
𝜌 ( 𝑢.
𝑑𝑤
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑤
𝑑𝑦
+ 𝑤.
𝑑𝑤
𝑑𝑧
+
𝑑𝑤
𝑑𝑡
) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑧
+ 𝜌𝑔 𝑧
−𝜌𝑔 𝑧 = −
𝑑𝑃
𝑑𝑧
𝜌𝑔 𝑧 =
𝑑𝑃
𝑑𝑧
−𝜌𝑔 =
𝑑𝑃
𝑑𝑧
∫−𝜌𝑔𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑃
−𝜌𝑔𝑧 = 𝑃 …(𝛽)
Reemplazando (𝛼) y (𝛽) en nuestra ecuación general:
𝑃 = −𝜌(
9
2
𝑥2 + 15𝑥) + 𝜌 (−
9
2
𝑦2 + 12𝑦) − 𝜌𝑔𝑧
𝑃(2,2,2) = 0
𝑃(2,2,2) = −50528.4
∴△ 𝑃 = 𝑃(2,2,2) − 𝑃(0,0,0) = −50528.4

23. Problema N°02
Sea un campo de flujo definido por el siguiente vector velocidad: 𝑉⃗⃗ =
𝑥
1+2𝑡
𝑖̂ +
𝑦
1+𝑡
𝑗̂
Hallar:
a) La ecuaciónde laslíneasde corriente paraun tiempo 𝑡 = 0 utilizandolos dos metodos, si
se sabe que pasan por el punto ( 𝑥; 𝑦) = (1,1) y bosqueje el grafico.
b) La ecuaciónde laslíneasde trayectoria,bosquejarel graficohaciendocomparación con la
gráfica de línea de corriente para un tiempo 𝑡 = 0.
Solución:
a. 1er Método
𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 0
𝑑𝑥
𝑢
=
𝑑𝑦
𝑣
𝑑𝑥
𝑥
1 + 2𝑡
=
𝑑𝑦
𝑦
1 + 𝑡
𝑑𝑥
𝑥
=
𝑑𝑦
𝑦
.
1 + 𝑡
1 + 2𝑡
∫
𝑑𝑥
𝑥
= ∫
𝑑𝑦
𝑦
.
1 + 𝑡
1 + 2𝑡
+ 𝑐
𝐿𝑛( 𝑥) = 𝐿𝑛( 𝑦).
1 + 𝑡
1 + 2𝑡
+ 𝑐
Reemplazando el punto ( 𝑥; 𝑦) = (1,1) para un tiempo 𝑡 = 0.
𝐿𝑛(1) = 𝐿𝑛(1).1 + 𝑐
𝑐 = 0
Entonces la ecuación de las líneas de corriente será:
1 + 2𝑡
1 + 𝑡
. 𝐿𝑛( 𝑥) = 𝐿𝑛( 𝑦)
𝐿𝑛( 𝑥)
1+2𝑡
1+𝑡 = 𝐿𝑛( 𝑦)
( 𝑥)
1+2𝑡
1+𝑡 = 𝑦
∴ 𝑦 = ( 𝑥)
1+2𝑡
1+𝑡 … 𝑒𝑐𝑢. 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.

24. Para un 𝑡 = 0 → 𝑦 = 𝑥
Para un 𝑡 = 1 → 𝑦 = 𝑥
3
2
Para un 𝑡 = 1 2⁄ → 𝑦 = 𝑥
4
3
Para un 𝑡 = −1 3⁄ → 𝑦 = 𝑥
1
2
Para un 𝑡 = −1 4⁄ → 𝑦 = 𝑥
2
3
Fig. N° ()-Fuente: Jaime Flores
Familia de líneas de corriente que pasan por el punto (x; y)= (1; 1).
2do Método
𝑢 =
𝑑𝑥
𝑑𝑠
∧ 𝑣 =
𝑑𝑦
𝑑𝑠
𝑥
1+2𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑠
∧
𝑦
1+𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑠
∫
𝑑𝑠
1+2𝑡
= ∫
𝑑𝑥
𝑥
∧ ∫
𝑑𝑠
1+𝑡
= ∫
𝑑𝑦
𝑦
𝑠
1+2𝑡
+ 𝑐1 = 𝐿𝑛(𝑥) ∧
𝑠
1+𝑡
+ 𝑐2 = 𝐿𝑛(𝑦)
Recordandopropiedadesbásicasde logaritmo:
 𝐿𝑛( 𝑎. 𝑏) = 𝐿𝑛( 𝑎) + 𝐿𝑛(𝑏)
 𝑛𝐿𝑛( 𝑥) = 𝐿𝑛( 𝑥) 𝑛
 𝐿𝑛( 𝑒) = 1
Entoncesserálo mismoexpresar lasecuaciones yaintegradasde lasiguientemanera:
𝐿𝑛( 𝑥) =
𝑠
1+2𝑡
𝐿𝑛(𝑒) + 𝐿𝑛(𝑐1) ∧ 𝐿𝑛( 𝑦) =
𝑠
1+𝑡
𝐿𝑛(𝑒) + 𝐿𝑛(𝑐2)
𝐿𝑛( 𝑥) = 𝐿𝑛(𝑒)
𝑠
1+2𝑡 + 𝐿𝑛(𝑐1) ∧ 𝐿𝑛( 𝑦) = 𝐿𝑛(𝑒)
𝑠
1+𝑡 + 𝐿𝑛(𝑐2)
𝐿𝑛( 𝑥) = 𝐿𝑛(𝑒
𝑠
1+2𝑡. 𝑐1) ∧ 𝐿𝑛( 𝑦) = 𝐿𝑛(𝑒)
𝑠
1+𝑡 + 𝐿𝑛(𝑐2)
1
1
y
Aumentando hacia eleje Yen el tiempo.
t=-1/4
t=0
t=1/2
t=-1/3
t=1
x

25. 𝑥 = 𝑒
𝑠
1+2𝑡.𝑐1 ∧ 𝑦 = 𝑒
𝑠
1+𝑡. 𝑐2
Por condicionesde contorno 𝑠 = 0 yse sabe que pasa tambiénporel punto ( 𝑥; 𝑦) = (1,1).
𝑐1 = 1 ∧ 𝑐2 = 1
Entonces:
𝑥 = 𝑒
𝑠
1+2𝑡 ∧ 𝑦 = 𝑒
𝑠
1+𝑡
𝐿𝑛(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑒)
𝑠
1+2𝑡 ∧ 𝐿𝑛(𝑦) = 𝐿𝑛(𝑒)
𝑠
1+𝑡
𝐿𝑛(𝑥) =
𝑠
1+2𝑡
∧ 𝐿𝑛(𝑦) =
𝑠
1+𝑡
1+2𝑡
𝑠
. 𝐿𝑛(𝑥) = 1 ∧
1+𝑡
𝑠
. 𝐿𝑛(𝑦) = 1
Igualandolasdosexpresionestendremos:
1 + 𝑡
𝑠
. 𝐿𝑛(𝑦) =
1 + 2𝑡
𝑠
. 𝐿𝑛(𝑥)
𝐿𝑛(𝑦) =
1 + 2𝑡
1 + 𝑡
. 𝐿𝑛(𝑥)
𝐿𝑛(𝑦) = 𝐿𝑛(𝑥)
1+2𝑡
1+𝑡
∴ 𝑦 = (𝑥)
1+2𝑡
1+𝑡 … 𝑒𝑐𝑢. 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Se compruebaque por losdos métodosse obtieneexactamenteel mismoresultado.
b. Para hallarla ecuaciónde laslíneasde trayectoriase evaluaranenel tiempot=0 aplicando
la definiciónyaconocida:
𝑢 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
∧ 𝑣 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑥
1+2𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
∧
𝑦
1+𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑥
=
𝑑𝑡
1+2𝑡
∧
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑑𝑡
1+𝑡
∫
𝑑𝑥
𝑥
= ∫
𝑑𝑡
1+2𝑡
∧ ∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫
𝑑𝑡
1+𝑡
𝐿𝑛( 𝑥) =
1
2
𝐿𝑛(1 + 2𝑡) + 𝑐1 ∧ 𝐿𝑛( 𝑦) = 𝐿𝑛(1 + 𝑡) + 𝑐2
Evaluandoenel punto ( 𝑥; 𝑦) = (1,1) y 𝑡 = 0.
𝑐1 = 0 ∧ 𝑐2 = 0
Quedandolasexpresionesde laforma:
𝐿𝑛( 𝑥) =
1
2
𝐿𝑛(1+ 2𝑡) ∧ 𝐿𝑛( 𝑦) = 𝐿𝑛(1 + 𝑡)

26. 𝑥 = (1 + 2𝑡)
1
2 …(𝛼) ∧ 𝑦 = (1 + 𝑡) … (𝛾)
Despejando´´t´´en la ecuación (𝛾): 𝑡 = 𝑦 − 1 … (𝛽)
Reemplazandolaecuación (𝛽) en(𝛼):
𝑥 = (1 + 2(𝑦 − 1 ))
1
2
𝑥 = (1 + 2𝑦 − 2)
1
2
𝑥 = (2𝑦 − 1)
1
2
𝑥2 = (2𝑦 − 1)
∴ 𝑦 =
𝑥2+1
2
… 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎.
Fig. ()-Fuente: Jaime Flores.
Bosquejo decomparación de las ecuaciones de líneas de corriente y líneas de trayectoria en un
tiempo t=0.
L.C.
1
1
t=0
t=0
x
y
L.T.

27. ProblemaN°3
Seael movimientoen régimenpermanente definidoencoordenadaseulerianasporel campode
velocidades:
𝑉⃗⃗ = (4𝑥2 𝑦 − 1)𝑖̂ − (4𝑥𝑦2)𝑗̂
a. Halle lafunciónde corriente.
b. Determinalaaceleraciónylavorticidad.
c. Determinarlaecuaciónde líneasde corriente ybosqueje el grafico.
Solución:
a. Para que existala 𝜓 debe cumplirdoscondiciones:
 Serbidimensional e incomprensible.
Por divergencia: 𝐷𝑖𝑣(∇. 𝑉⃗⃗) =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 8𝑥𝑦 − 8𝑥𝑦 = 0…si esincomprensible.
∴ Por lotanto cumple conser incompresibleybidimensional,existelafunciónde corriente.
Por teoría sabemosque:
𝑢 =
𝑑𝜓
𝑑𝑦
⋏ 𝑣 = −
𝑑𝜓
𝑑𝑥
∫(4𝑥2 𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜓 ⋏ ∫−(−4𝑥𝑦2) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝜓
2𝑥2 𝑦2 − 𝑦 + 𝑐1 = 𝜓´ ⋏ 2𝑥2 𝑦2 + 𝑐2 = 𝜓´´
∴ 𝜓 = 2𝑥2 𝑦2 − 𝑦 + 𝑐
b. Hallandoel vectoraceleración aceleraciónylavorticidad:
𝑎 𝑥 = 𝑢.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= (4𝑥2
𝑦 − 1)(8𝑥𝑦) + (−4𝑥𝑦2)(4𝑥2) = 16𝑥3
𝑦2
− 8𝑥𝑦
𝑎 𝑦 = 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= (4𝑥2
𝑦 − 1)(−4𝑦2)+ (−4𝑥𝑦2)(−8𝑥𝑦) = 16𝑥2
𝑦3
+ 4𝑦2
∴ 𝑎⃗ = (16𝑥3
𝑦2
− 8𝑥𝑦) 𝑖̂ + (16𝑥2
𝑦3
+ 4𝑦2) 𝑗̂

28. Se sabe por definiciónque lavorticidadserá:
Ω = 2𝜔 = 2𝑟𝑜𝑡(∇ × 𝑉)⃗⃗⃗⃗⃗ = (∇ × 𝑉)⃗⃗⃗⃗⃗
Ω 𝑥 = (
𝑑𝑤
𝑑𝑦
−
𝑑𝑣
𝑑𝑧
) 𝑖̂ = 0
Ω 𝑦 = (
𝑑𝑢
𝑑𝑧
−
𝑑𝑤
𝑑𝑥
) 𝑗̂ = 0
Ω 𝑧 = (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−
𝑑𝑢
𝑑𝑦
) 𝑘̂ = (−4𝑦2 − 4𝑥2)𝑘̂
∴ Ω = Ω 𝑥 𝑖̂ + Ω 𝑦 𝑗̂+Ω 𝑧 𝑘̂ = (−4𝑦2 − 4𝑥2)𝑘̂
c. La ecuaciónde laslíneasde corriente lodeterminaremosmediante el primermétodoya
conocido:
𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−4𝑥𝑦2
4𝑥2 𝑦 − 1
Verificamos que tipo de ecuación diferencial es:
(4𝑥𝑦2) 𝑑𝑥 + (4𝑥2 𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = 0 , siendo de la forma 𝑀(𝑥; 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥; 𝑦)𝑑𝑦 = 0.
𝑀( 𝑥; 𝑦) = 4𝑥𝑦2
𝑁( 𝑥; 𝑦) = 4𝑥2 𝑦 − 1
Comprobamossi esuna ecuacióndiferencial exacta, recordando fundamentos de ecuaciones
diferenciales tendremos por definición que:
𝑑𝑀(𝑥; 𝑦)
𝑑𝑦
=
𝑑𝑁(𝑥; 𝑦)
𝑑𝑥
𝑑(4𝑥𝑦2)
𝑑𝑦
=
𝑑(4𝑥2 𝑦 − 1)
𝑑𝑥
8𝑥𝑦 = 8𝑥𝑦 … 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎.
Cuya solución de la ecuación diferencial será: 𝐹( 𝑥; 𝑦) = 𝐶𝑡𝑒
1er Paso:
𝑑𝐹(𝑥; 𝑦)
𝑑𝑥
= 𝑀(𝑥; 𝑦)
𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑀(𝑥; 𝑦)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝐹(𝑥; 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥; 𝑦)𝑑𝑥

29. 𝐹(𝑥; 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥; 𝑦)𝑑𝑥
𝐹(𝑥; 𝑦) = ∫4𝑥𝑦2 𝑑𝑥
𝐹( 𝑥; 𝑦) = 2𝑥2 𝑦2 + 𝑓(𝑦)…( 𝛼)
Derivando (𝛼) respecto a la variable ´´y´´:
𝑑𝐹(𝑥;𝑦)
𝑑𝑦
= 4𝑥2 𝑦 + 𝑓′(𝑦)…(𝛽)
2do Paso:
𝑑𝐹(𝑥; 𝑦)
𝑑𝑦
= 𝑁(𝑥; 𝑦)
𝑑𝐹(𝑥;𝑦)
𝑑𝑦
= 4𝑥2 𝑦 − 1…(𝛾)
Igualando (𝛽) con (𝛾) tendremos:
𝑑𝐹(𝑥; 𝑦)
𝑑𝑦
= 4𝑥2 𝑦 − 1 = 4𝑥2 𝑦 + 𝑓′(𝑦)
𝑓′( 𝑦) = −1
∫ 𝑓′( 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ −1 𝑑𝑦 …integrando respecto a ´´y´´.
𝑓( 𝑦) = −𝑦 + 𝐶0…(𝛿)
Reemplazando (𝛿) en(𝛼) tendremoscomo resultado final la ecuación de líneas de corriente:
𝐹( 𝑥; 𝑦) = 2𝑥2 𝑦2 − 𝑦 + 𝐶0
Sabiendo que: 𝐹( 𝑥; 𝑦) = 𝐶𝑡𝑒
𝑐𝑡𝑒 = 2𝑥2 𝑦2 − 𝑦 + 𝐶0
0 = 2𝑥2 𝑦2 − 𝑦 + (𝐶0 + 𝑐𝑡𝑒)
∴ 0 = 2𝑥2 𝑦2 − 𝑦 + 𝐶

30. Siendo la gráfica de la ecuación de líneas de corriente:
Fig. N° ( )-Fuente: Jaime Flores
Grafica referida a la ecuación de líneas de corriente asumiendo un c=0, obtenida mediante el
programa WolframAlpha.
Fig. N° ( )-Fuente: Jaime Flores
Grafica referida a la ecuación de líneas de corriente asumiendo un 𝐶 ≠ 0 proyectándolo en un
plano de 3 dimensiones, obtenida mediante el programa WolframAlpha.

31. ProblemaN°4
En un campo de flujose tiene 𝑢 = 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑣 = −2𝑥𝑦 se pide determinar:
a. La deformaciónangular.
b. La aceleraciónenel punto(1,2).
c. La circulación alrededorde lacurva definidapor:y=0, x=1, y=1, x=0.
Solución:
a. La deformaciónangularserádenotadapor:
−𝑑𝛾
𝑑𝑡
=
𝑑𝛼
𝑑𝑡
+
𝑑𝛽
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−𝑑𝛾
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−𝑑𝛾
𝑑𝑡
= −2𝑦 − 2𝑦
∴
−𝑑𝛾
𝑑𝑡
= −4𝑦
b. Hallandolaaceleraciónenel pto. (1,2):
𝑎 𝑥 = 𝑢.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= ( 𝑥2
− 𝑦2)(2𝑥) + (−2𝑥𝑦)(−2𝑦) = 2𝑥3
+ 2𝑥𝑦2
𝑎 𝑦 = 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= ( 𝑥2
− 𝑦2)(−2𝑦) + (−2𝑥𝑦)(−2𝑥) = 2𝑦3
+ 2𝑥2
𝑦
𝑎⃗ = (2𝑥3 + 2𝑥𝑦2)𝑖̂ + (2𝑦3 + 2𝑥2 𝑦) 𝑗̂
∴ 𝑎⃗(1,2) = (10)𝑖̂ + (20) 𝑗̂

32. c. Sabemosque lacirculaciónseráel equivalente al trabajodesarrolladoporel vector
velocidadalolargo delalíneaL y estádado por el valorde la integral:
Γ = ∮ 𝑉⃗⃗ 𝑑𝐿
𝐿
Siendolacirculaciónalrededorde lacurva cerrada delimitadapor:
Fig.N° ( )-Fuente: Jaime Flores
Cuadrado infinitesimal en el plano xy.
Γ = ∫ 𝑢( 𝑥; 𝑦) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑣( 𝑥; 𝑦) 𝑑𝑦
𝑐
𝑏
+ ∫ 𝑢( 𝑥; 𝑦) 𝑑𝑥
𝑑
𝑐
+ ∫ 𝑣( 𝑥; 𝑦) 𝑑𝑦
𝑎
𝑑
Γ = ∫ (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ −2𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑐
𝑏
+ ∫ (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑥
𝑑
𝑐
+ ∫ −2𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑎
𝑑
Γ = (
1
3
− 0) + (−1 − 0) + (0 − (
1
3
− 1)) + (0 + 0)
∴ Γ = 0
d (0,1) c (1,1)
b (1,0)a (0,0) x
y

33. ProblemaN°5
Un campo de flujo incomprensible estádadopor 𝜙 = 2( 𝑥2 − 𝑦2) + 𝑥𝑦 , determine:
a. La funciónde corriente ybosquejeel graficopara 𝜓 = 1 , si se sabe que para el punto
( 𝑥; 𝑦) = (0,0) la funciónde corriente tomael valorde cero 𝜓 = 0.
b. El vectorvelocidadyal deformaciónvolumétrica.
c. El vectorde aceleración.
d. La presiónenel punto(x;y).
Solución:
a. Aplicandolaecuaciónde Cauchy-Reiman:
𝑑𝜓
𝑑𝑦
=
𝑑𝜙
𝑑𝑥
∧ −
𝑑𝜓
𝑑𝑥
=
𝑑𝜙
𝑑𝑦
𝑑𝜓
𝑑𝑦
= 4𝑥 + 𝑦 ∧ −
𝑑𝜓
𝑑𝑥
= −4𝑦 + 𝑥
∫ 𝑑𝜓 = ∫(4𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 ∧ ∫ 𝑑𝜓 = ∫(4𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑥
𝜓´ = 4𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑐1 ∧ 𝜓´´ = 4𝑥𝑦 − 2𝑥2 + 𝑐2
∴ 𝜓 = 2( 𝑦2 − 𝑥2) + 4𝑥𝑦 + 𝑐
Si reemplazamos enlafunciónde corriente 𝜓 = 0 y ( 𝑥; 𝑦) = (0,0) :
0 = 2(02 − 02) + 4(0)(0) + 𝑐
𝑐 = 0
Entoncesteniendocomoecuaciónfinal:
𝜓 = 2( 𝑦2 − 𝑥2) + 4𝑥𝑦
Bosquejandolafunciónde corriente para: 𝜓 = 1 ⟶ 1 = 2( 𝑦2 − 𝑥2) + 4𝑥𝑦

34. Fig. N°( )-Fuente: Jaime Flores
Grafica de función de corriente para un 𝜓 = 1 .
b. Teniendoel vectorvelocidad:
𝑉⃗⃗ = (4𝑥 + 𝑦) 𝑖̂ + ( 𝑥 − 4𝑦) 𝑗̂
Por teoría ladeformaciónvolumétricase hallara:
∴
1
𝛿∀
𝑑(𝛿∀)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= 4 − 4 = 0
c. Hallandoel vectoraceleración:
𝑎 𝑥 = 𝑢.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= (4𝑥 + 𝑦)(4)+ (−4𝑦 + 𝑥)(1) = 17𝑥
𝑎 𝑦 = 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= (4𝑥 + 𝑦)(1) + (−4𝑦 + 𝑥)(−4) = 17𝑦
∴ 𝑎⃗ = (17𝑥) 𝑖̂ + (17𝑦) 𝑗̂

35. d. Sabemosque esunflujoincomprensible , aplicandolaecuaciónde Navier-Stokes:
 En el eje x:
𝜌 (
𝐷𝑢
𝐷𝑡
) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑥
+ 𝜌𝑔 𝑥 + 𝜇(
𝑑2 𝑢
𝑑𝑥2 +
𝑑2 𝑢
𝑑𝑦2 +
𝑑2 𝑢
𝑑𝑧2)
𝜌(17𝑥) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑥
+ 𝜌𝑔 𝑥 + 𝜇(0)
𝜌(17𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑑𝑃
∫−𝜌(17𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑃
𝑃 = (−
17
2
𝑥2) 𝜌 − 𝑓( 𝑦) … 𝐸𝑐𝑢. 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙.
𝑑𝑃
𝑑𝑦
= −𝑓′( 𝑦)… 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 ´´𝑦´´.
 En el eje y:
𝜌 (
𝐷𝑣
𝐷𝑡
) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑦
+ 𝜌𝑔 𝑦 + 𝜇(
𝑑2 𝑣
𝑑𝑥2 +
𝑑2 𝑣
𝑑𝑦2 +
𝑑2 𝑣
𝑑𝑧2)
𝜌(17𝑦) = −
𝑑𝑃
𝑑𝑦
= − (−𝑓´( 𝑦))
17𝑦𝜌 = 𝑓´(𝑦)
∫17𝑦𝜌 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓´(𝑦) 𝑑𝑦… 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 ´´𝑦´´.
𝑓( 𝑦) =
17
2
𝑦2 𝜌
Remplazandoenlaecuacióngeneral tendremoscomoresultadofinal:
𝑃 = −
17
2
𝑥2 𝜌 −
17
2
𝑦2 𝜌
∴ 𝑃 = −
17
2
𝜌(𝑥2 + 𝑦2)

36. ProblemaN°6
Para un flujobidimensional ybidireccional se tiene:
𝑉𝜃 = 20 (1 +
1
𝑟2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
40
𝑟
y 𝑉𝑟 = −20𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
1
𝑟2
), para 𝑟 ≥ 𝑅,determinelafunciónde
corriente yla funciónpotencial.
Solución:
Hallandolafunciónde corriente sabiendoque 𝑉𝑧 = 0aplicamoslaecuaciónde continuidaden
coordenadascilíndricas:
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑉𝑟)
𝑑𝑟
+
1
𝑟
𝑑(𝑉𝜃)
𝑑𝜃
= 0
𝑑(−20𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑟 −
1
𝑟
))
𝑑𝑟
+
𝑑(20 (1 +
1
𝑟2) 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
40
𝑟
)
𝑑𝜃
= 0
(−20𝑐𝑜𝑠𝜃(1 +
1
𝑟2
)) + (20𝑐𝑜𝑠𝜃(1 +
1
𝑟2
)) = 0
Cumple conla condiciónde serunflujoincomprensible porlotantoexiste funciónde corriente.
𝑉𝑟 =
1
𝑟
𝑑𝜓
𝑑𝜃
= −20𝑐𝑜𝑠𝜃 (1 −
1
𝑟2
) ∧ 𝑉𝜃 =
−𝑑𝜓
𝑑𝑟
= −(20 (1 +
1
𝑟2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
40
𝑟
)
𝑑𝜓
𝑑𝜃
= −20𝑐𝑜𝑠𝜃 ( 𝑟 −
1
𝑟
) ∧
𝑑𝜓
𝑑𝑟
= (
40
𝑟
− 20 (1 +
1
𝑟2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑑𝜓 = −20𝑐𝑜𝑠𝜃( 𝑟 −
1
𝑟
) 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜓 = (
40
𝑟
− 20(1 +
1
𝑟2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝑟
∫ 𝑑𝜓 = ∫−20𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑟 −
1
𝑟
) 𝑑𝜃 ∧ ∫ 𝑑𝜓 = ∫(
40
𝑟
− 20 (1 +
1
𝑟2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑑𝑟
𝜓´ = −20𝑠𝑒𝑛𝜃 ( 𝑟 −
1
𝑟
) + 𝑐1 ∧ 𝜓´´ = 40𝐿𝑛( 𝑟) − 20 ( 𝑟 −
1
𝑟
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐2
∴ 𝜓 = 40𝐿𝑛( 𝑟) − 20𝑠𝑒𝑛𝜃 ( 𝑟 −
1
𝑟
) + 𝑐

37. Para hallarla funciónpotencial comprobamossi el flujoesirrotacional:
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
𝑑𝑉𝑧
𝑑𝜃
−
𝑑𝑉𝜃
𝑑𝑧
=
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝑧
−
𝑑𝑉𝑧
𝑑𝑟
=
1
𝑟
𝑑𝑟𝑉𝜃
𝑑𝑟
−
1
𝑟
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝜃
= 0
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
𝑑𝑟𝑉𝜃
𝑑𝑟
−
1
𝑟
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝜃
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
𝑑(𝑟 (20 (1 +
1
𝑟2) 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
40
𝑟
))
𝑑𝑟
−
1
𝑟
𝑑(−20𝑐𝑜𝑠𝜃 (1 −
1
𝑟2))
𝑑𝜃
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
𝑑 (20 (𝑟 +
1
𝑟
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 40)
𝑑𝑟
−
1
𝑟
𝑑(−20𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
1
𝑟2))
𝑑𝜃
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
20 (1 −
1
𝑟2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
1
𝑟
(20𝑠𝑒𝑛𝜃(1 −
1
𝑟2)
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) = 0
Cumple conla condiciónde serunflujoirrotacional porlotantoexiste funciónpotencial.
𝑉𝜃 =
1
𝑟
𝑑𝜙
𝑑𝜃
∧ 𝑉𝑟 =
𝑑𝜙
𝑑𝑟
𝑑𝜙 = 𝑟 (20 (1 +
1
𝑟2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
40
𝑟
) 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙 = (−20𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
1
𝑟2)𝑑𝑟
∫ 𝑑𝜙 = ∫(20 ( 𝑟 +
1
𝑟
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 40) 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙 = ∫(−20𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
1
𝑟2) 𝑑𝑟
𝜙´ = −20 ( 𝑟 +
1
𝑟
) 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 40𝜃 + 𝑐1 ∧ 𝜙´´ = −20𝑐𝑜𝑠𝜃( 𝑟 +
1
𝑟
) + 𝑐2
∴ 𝜙 = −20𝑐𝑜𝑠𝜃 ( 𝑟 +
1
𝑟
) − 40𝜃 + 𝑐

38. ProblemaN°7
Un cilindrode 10pulg.de diámetrogiraenel sentidode lasmanecillasdel reloj a 100𝜋 3⁄ enuna
corriente de aire atmosféricoa40°F que fluye a 10 𝑓𝑡 𝑠⁄ ,Determine:
a. La circulación.
b. Diga ustedlalocalizaciónde lospuntosde estancamiento ybosqueje el grafico.
c. Halle lapresiónmínimaymáxima.
Solución:
a. La circulaciónse defineporlasiguiente ecuación:
Γ = ∮ 𝑤𝑑𝑠
𝑠
Γ = ∫ 𝑤𝑑𝑠
2𝜋
0
Γ = 𝑤 × [ 𝑠]2𝜋
0
Γ = 𝑤 × 2𝜋𝑅2
Γ =
100𝜋
3
× 2𝜋 × (
10𝑝𝑢𝑙𝑔
2
×
1𝑓𝑡
12𝑝𝑢𝑙𝑔
)2
∴ Γ = 114,23
𝑓𝑡2
𝑠
b. Para hallarlospuntosde estancamientodebemosconocerenqué casonosencontramos
para estoevaluamoslacirculaciónobtenidacomparándolaaloscasosaprendidosenla
teoría:
∴ 4𝜋𝑅𝑉∞ = 4𝜋 (
10𝑝𝑢𝑙𝑔
2
×
1𝑓𝑡
12𝑝𝑢𝑙𝑔
)10
𝑓𝑡
𝑠
∴ 4𝜋𝑅𝑉∞ == 52.35
𝑓𝑡2
𝑠
Encontrándonosenel 4to caso cuando Γ > 4𝜋𝑅𝑉∞ cumpliéndose porlotantoque existirán
dos puntosde estancamientounodentrodel cilindroyel otrofuera,ubicados en:
𝜃 = 270° Y 𝑟 =
Γ
4𝜋𝑉∞
± √(
Γ
4𝜋𝑉∞
)
2
− 𝑅2

39. 𝑟1 =
Γ
4𝜋𝑉∞
− √(
Γ
4𝜋𝑉∞
)
2
− 𝑅2 =
114,23 𝑓𝑡2 𝑠⁄
4𝜋 × 10 𝑓𝑡 𝑠⁄
− √(
114,23 𝑓𝑡2 𝑠⁄
4𝜋 × 10 𝑓𝑡 𝑠⁄
)
2
− (
10𝑝𝑢𝑙𝑔
2
×
1𝑓𝑡
12𝑝𝑢𝑙𝑔
)
2
𝑟1 = 0.10𝑓𝑡
𝑟2 =
Γ
4𝜋𝑉∞
+ √(
Γ
4𝜋𝑉∞
)
2
− 𝑅2 =
114,23 𝑓𝑡2 𝑠⁄
4𝜋 × 10 𝑓𝑡 𝑠⁄
+ √(
114,23 𝑓𝑡2 𝑠⁄
4𝜋 × 10 𝑓𝑡 𝑠⁄
)
2
− (
10𝑝𝑢𝑙𝑔
2
×
1𝑓𝑡
12𝑝𝑢𝑙𝑔
)
2
𝑟2 = 1.76𝑓𝑡
Entoncessabemosque el cilindroencirculacióntiene 𝑟 = 0.41𝑓𝑡ylospuntosde estancamiento
se encontraranen:
𝜃 = 270° ⟶ 𝑟1 = 0.10𝑓𝑡 … 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜.
𝜃 = 270° ⟶ 𝑟2 = 1.76𝑓𝑡 … 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜.
Fig.N° ()-Fuente: Jaime Flores
Flujo alrededor de un cilindro con circulación y ubicación de sus puntos de estancamiento.

40. c. La presión máxima y mínima se hallara aplicando la ecuación de Bernoulli en un punto
arbitrario de las líneas de corriente y otro en la superficie del cilindro:
𝑃∞
𝛾
+
𝑉∞
2
2𝑔
=
𝑃
𝛾
+
𝑉2
2𝑔
Siendo 𝑉2 = 𝑉𝑟
2 + 𝑉𝜃
2
y que para un flujo alrededor de un cilindro con circulación sus
velocidades en la superficie para un (R=r) son:
𝑉𝑟 = 0 ∧ 𝑉𝜃 = −2𝑉∞ 𝑠𝑒𝑛𝜃−
Γ
2𝜋𝑅
𝑉2 = 𝑉𝜃
2
Consideremosque 𝑃∞ eslapresiónatmosféricaytrabajemosconpresionesrelativas:
𝑉∞
2
2𝑔
=
𝑃
𝛾
+
𝑉2
2𝑔
𝑃
𝛾
= (
𝑉∞
2
2𝑔
−
𝑉2
2𝑔
)
𝑃 =
𝜌
2
(𝑉∞
2 − 𝑉2)
𝑃 =
𝜌
2
(𝑉∞
2 − (−2𝑉∞ 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
Γ
2𝜋𝑅
)
2
)
∴ 𝜃 = 270° ⟶ 𝑃 = −0.56 𝑃𝑠𝑓 … 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎.
∴ 𝜃 = 90° ⟶ 𝑃 = −4.87 𝑃𝑠𝑓 … 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎.

41. ProblemaN°8
Un flujobidimensional e incomprensible tiene lasiguiente funciónde corriente 𝜓 = −𝑉𝑂 𝑌(1 −
(
𝑅2
𝑋2+𝑌2
)) ; 𝑋2 + 𝑌2 ≥ 𝑅2, determinar:
a. El vectorvelocidadencoordenadascartesianasycilíndricas.
b. La funciónpotencialencoordenadascilíndricas.
c. El vectoraceleraciónencoordenadascilíndricas.
Solución:
a. Por teoría sabemosque:
𝑢 =
𝑑𝜓
𝑑𝑦
∧ 𝑣 = −
𝑑𝜓
𝑑𝑥
𝑢 = −𝑉𝑂 (1−
𝑅2
𝑋2 + 𝑌2 +
2𝑦2 𝑅2
( 𝑋2 + 𝑌2)2
) ∧ 𝑣 = 𝑉𝑂
2𝑥𝑦𝑅2
( 𝑋2 + 𝑌2)2
∴ 𝑉⃗⃗ = −𝑉𝑂 (1 −
𝑅2
𝑋2 + 𝑌2 +
2𝑦2 𝑅2
( 𝑋2 + 𝑌2)2
) 𝑖̂ + 𝑉𝑂
2𝑥𝑦𝑅2
( 𝑋2 + 𝑌2)2 𝑗̂
Sabemos que 𝑋 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ∧ 𝑌 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 reemplazando en la función de corriente obtendremos
que:
𝜓 = −𝑉𝑂 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃(1 −
𝑅2
𝑟2
)
𝑉𝑟 =
1
𝑟
𝑑𝜓
𝑑𝜃
∧ 𝑉𝜃 = −
𝑑𝜓
𝑑𝑟
𝑉𝑟 = −𝑉𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
𝑅2
𝑟2) ∧ 𝑉𝜃 = 𝑉𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃(1 +
𝑅2
𝑟2)
∴ 𝑉⃗⃗ = −𝑉𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
𝑅2
𝑟2) 𝑒𝑟̂ + 𝑉𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃(1 +
𝑅2
𝑟2) 𝑒 𝜃̂

42. b. Comprobandosi esun flujoirrotacional:
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
𝑑𝑉𝑧
𝑑𝜃
−
𝑑𝑉𝜃
𝑑𝑧
=
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝑧
−
𝑑𝑉𝑧
𝑑𝑟
=
1
𝑟
𝑑𝑟𝑉𝜃
𝑑𝑟
−
1
𝑟
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝜃
= 0
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
𝑑𝑟𝑉𝜃
𝑑𝑟
−
1
𝑟
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝜃
𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑉𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃(1 +
𝑅2
𝑟2 ))
𝑑𝑟
−
1
𝑟
𝑑(−𝑉𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
𝑅2
𝑟2 ) )
𝑑𝜃
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
𝑑 ( 𝑉𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑟 +
𝑅2
𝑟
))
𝑑𝑟
−
1
𝑟
𝑑(−𝑉𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
𝑅2
𝑟2 ))
𝑑𝜃
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) =
1
𝑟
𝑉𝑜 (1 −
1
𝑟2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
1
𝑟
(𝑉𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃(1 −
1
𝑟2)
𝑟𝑜𝑡( 𝑉⃗⃗) = 0
Cumple conla condiciónde serunflujoirrotacional porlotantoexiste funciónpotencial.
𝑉𝜃 =
1
𝑟
𝑑𝜙
𝑑𝜃
∧ 𝑉𝑟 =
𝑑𝜙
𝑑𝑟
𝑑𝜙 = 𝑟 ( 𝑉𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃(1 +
𝑅2
𝑟2)) 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙 = (−𝑉𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
𝑅2
𝑟2 ) 𝑑𝑟
∫ 𝑑𝜙 = ∫( 𝑉𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃(1 +
𝑅2
𝑟2)) 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙 = ∫(−𝑉𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃(1 −
𝑅2
𝑟2) ) 𝑑𝑟
𝜙´ = 𝑉𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑟 +
𝑅2
𝑟
)+ 𝑐1 ∧ 𝜙´´ = 𝑉𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃( 𝑟 +
𝑅2
𝑟
) + 𝑐2
∴ 𝜙 = 𝑉𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃( 𝑟 +
𝑅2
𝑟
) − 40𝜃 + 𝑐

43. c. Hallandolaaceleración:
𝑎 𝑟 =
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑉𝑟
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝑟
+
𝑉𝜃
𝑟
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝜃
+ 𝑉𝑧
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝑧
−
𝑉𝜃
2
𝑟
𝑎 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃2( 𝑟2 − 𝑅2)
𝑅2
𝑟5 𝑉𝑜
2 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃2(𝑟2 + 𝑅2)
𝑅2
𝑟2 𝑉𝑜
2
𝑎 𝑟 =
2𝑅2
𝑟2 𝑉𝑜
2[ 𝑐𝑜𝑠𝜃2( 𝑟2 − 𝑅2) − 𝑠𝑒𝑛𝜃2(𝑟2 + 𝑅2)]
𝑎 𝜃 =
𝑑𝑉𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑉𝑟
𝑑𝑉𝜃
𝑑𝑟
+
𝑟
𝑟
𝑑𝑉𝜃
𝑑𝜃
+ 𝑉𝑧
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝑧
− 𝑉𝑟
𝑉𝜃
𝑟
𝑎 𝜃 =
𝑉𝑜
2
𝑟5 𝑠𝑒𝑛2𝜃 [( 𝑟2 − 𝑅2) 𝑅2 +
( 𝑟2 + 𝑅2)2
2
+
( 𝑟4 − 𝑅4)
2
]
∴ 𝑎⃗ =
2𝑅2
𝑟2 𝑉𝑜
2[ 𝑐𝑜𝑠𝜃2( 𝑟2
− 𝑅2) − 𝑠𝑒𝑛𝜃2
(𝑟2
+ 𝑅2
)] 𝑒̂ 𝑟
+
𝑉𝑜
2
𝑟5 𝑠𝑒𝑛2𝜃[( 𝑟2
− 𝑅2) 𝑅2
+
( 𝑟2
+ 𝑅2)2
2
+
( 𝑟4
− 𝑅4)
2
]
𝑒̂ 𝜃

44. Problemaspropuestos
Problema 1.-El flujo bidimensional de un fluido incompresible no viscoso esta descrito por 𝜓 =
3𝑟2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 donde r en determine:
a. El potencial de velocidades.
b. El gradiente de presionesenel punto(x;y).

45. MODELO Y PROTOTIPO
ProblemaN°1
En un túnel de vientose probadael modelode unautomóvil aescala1:4, a 15°C, 1bar, con una
resistenciaal movimientode 300N; el prototipodebe probarse enunambiente a32°C,1bar, con
90 km/h;se pide:
a. La velocidaddel modeloenm/s.
b. La fuerzaque debe vencerel automóvil alaresistenciadel aire enkN.
c. La potenciaque se debe aplicaral automóvil,Hp.
Solución
Paso 1: Ordenandolosdatosdel problema.
En un túnel de vientose probarael modelode unautomóvil aescala1:4.
Modelo(1k) Prototipo(4k)
Fig. N°()-Fuente:Gabriel Garcia
𝑃𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
=
4𝑘
1𝑘
DATOS DEL PROBLEMA
Modelo(m) Prototipo(p)
T(m)=15°C T(p)=32°C
P(m)=1bar P(p)=1bar
Fa(m)=300N 𝑉⃗⃗(p)=90 km/hr
𝜇 = 1.789 ∗ 105 𝑝𝑎. 𝑠(𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
𝜌𝑝 =
𝑃𝑝
𝑅 𝑎𝑖 𝑟 𝑒 ∗ 𝑇𝑝
= 1.142 𝐾𝑔 𝑚3⁄
𝜌 𝑚 = 1.225 𝐾𝑔 𝑚3⁄ (𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
𝑉⃗⃗ (m)=? Fa (p)=?
Pasó 2: Analizamosnuestrosposiblesnúmerosadimensionalesque podemosobtenerguiándonos
de las recomendacionesdadas.

46. 𝐶 𝐴 =
𝐹𝑎
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗2∗A
: El enunciadonosseñalaque el automóvil presentaraunaresistenciaal movimiento,
por lotanto deducimosque existiráuna fuerzade arrastre producidaporel vientoy
al existirtal fuerzade arrastre existirá su respectivo coeficiente de arrastre el cual
es un numero adimensional. También podemos predecir que existirá el numero
adimensional coeficientede arrastre debidoa que el texto nos señala con simpleza
que resistenciaofuerza(N) al movimiento y por lo tanto toda fuerza presentara su
respectivo coeficiente de arrastre.
𝑅𝑒 =
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗∗𝐿
𝜇
: Al existir un fluido en movimiento existirá siempre el número de Reynolds, muy
aparte el enunciadonosindicaque el modelodel automóvil se probara en un túnel
de viento donde el viento estará siempre en movimiento.
Paso 3: Seleccionolosparámetrosdimensionales que conformaran y no conformaran mi matriz:
∆𝑃: No tomo la presión pues se mantiene constante en el modelo y prototipo.
T: Por la recomendación N°(),cuandome hablande túneles de viento no tomare la temperatura.
g: Consideraremos la aceleración pues un automóvil en movimiento siempre presentara una
aceleración yserádiferente parael modelo y prototipo, en este caso lo representaremos con
un g(gravedad) por tener las mismas unidades.
Entonces guiándome del enunciado seleccionare los siguientes parámetros:
𝐹𝑎, 𝑉⃗⃗, 𝜇, 𝜌, 𝐿, 𝑔
Paso 4: Dimensiono mis parámetros.
[ 𝐹𝑎] = 𝑀𝐿𝑇−2
[ 𝑉⃗⃗] = 𝐿𝑇−1
[ 𝜌] = 𝑀𝐿−3 [ 𝐿] = 𝐿
[ 𝜇] = 𝑀𝐿−1 𝑇−1 [ 𝑔] = 𝐿𝑇−2
Paso 5: Construyo mi tabla y selecciono mis parámetros respectivos.
𝐹𝑎 𝜌 𝜇 𝑉⃗⃗ L 𝑔
M 1 1 1 0 0 0
L 1 -3 -1 1 1 1
T -2 0 -1 -1 0 -2
Seleccionare las variables que tienen en común mis 2 formulas señaladas en el Paso 2.
Paso 6: Hallo los números 𝜋.

47. 𝜋1 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝐹𝑎 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c + 1 = 0 → 𝑐 = −2
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = 2
Reemplazo:
𝜋1 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L−2 ∗ 𝐹𝑎
𝜋1 =
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
𝜋2 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝜇 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿−1 𝑇−1
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c − 1 = 0 → 𝑐 = −1
T:0 ; −b − 1 = 0 → 𝑏 = −1
𝜋2 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−1 ∗ L−1 ∗ 𝜇
𝜋2 =
𝜇
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
→ 𝜋2
′ =
1
𝜋2
=
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
𝜋3 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝑔 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a = 0
L:0 ; −3a + b + c + 1 = 0 → 𝑐 = 1
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = −2
𝜋3 = 𝜌0 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L1 ∗ 𝑔
𝜋3 =
𝑔 ∗ 𝐿
𝑉⃗⃗−2
→ 𝜋3
′ =
1
𝜋3
=
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔

48. Tendremos los siguientes números 𝜋:
𝜋1 =
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
; 𝜋2
′ =
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
; 𝜋3
′ =
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
Vemosque el Paso2 mediante lasrecomendacionesresultoútilaplicarloatinandoa dos números
adimensionales.
a. Usaremos el Numero de Freud para hallar la velocidad del modelo, no el número de
Reynolds pues la velocidad de su fórmula es la del fluido gaseoso.
𝜋3𝑚 = 𝜋3𝑃
(
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
)
𝑚
= (
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
)
𝑃
𝑉⃗⃗ 𝑚 = 𝑉⃗⃗𝑃 ∗ √
𝐿 𝑚
𝐿 𝑃
𝑉⃗⃗𝑚 = 45
𝑘𝑚
ℎ𝑟
∗
1000𝑚
1𝑘𝑚
∗
1ℎ𝑟
3600𝑠
∴ 𝑉⃗⃗𝑚 = 12.5 𝑚 𝑠⁄
b. Tomaremos a 𝜋1 para hallar la fuerza que debe vencer el automóvil a la resistencia del
aire pues nos convendrá mas ya que tiene al parámetro fuerza dentro de su número
adimensional.
𝜋1𝑚 = 𝜋1𝑃
(
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑚
= (
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑃
𝐹𝑎 𝑃 = 𝐹𝑎 𝑚 ∗
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2) 𝑃
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2) 𝑚
𝐹𝑎 𝑃 = 300𝑁 ∗
(1.142 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ∗ (90 𝑘𝑚 ℎ𝑟⁄ )2 ∗ (4k)2) 𝑃
(1.225 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ∗ (45 𝑘𝑚 ℎ𝑟⁄ )2 ∗ (1k)2) 𝑚
𝐹𝑎 𝑃 = 17899.10204𝑁
c. Hallando la potencia del automóvil.
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐹𝑎 𝑃 ∗ 𝑉⃗⃗𝑃 = 17899.10204𝑁 ∗ 90
𝑘𝑚
ℎ𝑟
∗
1000𝑚
1𝑘𝑚
∗
1ℎ𝑟
3600
= 447477.551𝑊
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 447477.551𝑊 ∗
1𝐻𝑃
746𝑊
∴ 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 599.83𝐻𝑃

49. Problema N°2
El empuje producidoporlahélice del modelode un avión es 200N, que se prueba en un túnel de
viento a condiciones normales; si el avión volara a 30000ft de altura, determine usted:
a. La cantidad de números adimensionales existentes
b. El empuje producido por su hélice en Kgf.
Solución:
Paso 1: Ordenandolosdatosdel problema.
El empuje producidoporlahélice del modelode unavión escala1:4.
Modelo(1k) Prototipo(4k)
Fig. N°()-Fuente:Gabriel Garcia
𝑃𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
=
4𝑘
1𝑘
DATOS DEL PROBLEMA
Modelo(m) Prototipo(p)
El modelo se prueba a 0 metros de altura. El avión vuela a 30000ft de altura (Tablas).
F(m)=200N 𝑇𝑃 = 48°𝐹 = 228.706°𝐾(𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
𝑇 𝑚 = 25°𝐶 = 298.15°𝐾 (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠) 𝑃 𝑃 = 628 𝑙𝑏 𝑓𝑡2⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
𝑃𝑚 = 101.325 𝐾𝑝𝑎 (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠) 𝜌 𝑃 = 0.000890 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠 𝑓𝑡3⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
𝜌 𝑚 = 1.184 𝑘𝑔 𝑚3⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠) 𝜌 𝑃 = 0.4586 𝑘𝑔 𝑚3⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
𝜇 𝑚 = 1.844 ∗ 10−5 𝑘𝑔 𝑚. 𝑠⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
Paso 2: Analizamosnuestrosposiblesnúmerosadimensionalesque podemosobtenerguiándonos
de las recomendacionesdadas.
𝐶 𝐴 =
𝐹𝑎
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗2∗A
El enunciado nos señala que la hélice presentara una fuerza de arrastre al o
resistencia al movimiento, por lo tanto deducimos que existirá una fuerza de
arrastre producida por el viento y al existir tal fuerza de arrastre existirá su
respectivo coeficiente de arrastre el cual es un numero adimensional.
𝑅𝑒 =
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗∗𝐿
𝜇
: Al existir un fluido en movimiento existirá siempre el número de Reynolds, muy
aparte el enunciado nos indica que el modelo de hélice se probara en un túnel de
viento, donde el viento estará siempre en movimiento.

50. 𝑀 =
𝑉⃗⃗⃗
𝐶
: Se considerara como posible resultado el número de mach debido a que el
prototipo de la hélice se probara en un avión el cual volara a una altura
determinadayme hacenmenciónque el modelose probaraenuntúnel del viento.
𝑆𝑡 =
ω̌̌ ∗𝑙
𝑉⃗⃗⃗
: Al producirse el giro de la hélice el flujo alrededor de esta tendrá un
comportamiento oscilatorio generando una velocidad angular por lo tanto
consideraremos la posible aparición del número de Strouhal.
Paso 3: Seleccionolosparámetrosdimensionales que conformaran y no conformaran mi matriz:
∆𝑃: No tomo la presión pues esta se encontrara contenida en la fuerza.
T: Por la recomendaciónN°(), Notomaremoslatemperaturapues estará incluida en la densidad.
g: No consideramos la gravedad al permanecer constante en altura, muy aparte por la
recomendación N°().
Entonces guiándome del enunciado seleccionare los siguientes parámetros:
𝐹𝑎, 𝑉⃗⃗, 𝜇, 𝜌, 𝐿, ω̌, 𝐶
Paso 4: Dimensiono mis parámetros.
[ 𝐹𝑎] = 𝑀𝐿𝑇−2
[ 𝑉⃗⃗] = 𝐿𝑇−1
[ 𝜌] = 𝑀𝐿−3 [ 𝐶] = 𝐿𝑇−1
[ 𝜇] = 𝑀𝐿−1 𝑇−1 [ω̌] = 𝑇−1
Paso 5: Construyo mi tabla y selecciono mis parámetros respectivos.
𝐹𝑎 𝜌 𝜇 𝑉⃗⃗ L ω̌ 𝐶
M 1 1 1 0 0 0 0
L 1 -3 -1 1 1 0 1
T -2 0 -1 -1 0 -1 -1
Seleccionare las variables que tienen en común mis 2 formulas señaladas en el Paso 2.

51. Paso 6: Hallo los números 𝜋.
𝜋1 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝐹𝑎 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c + 1 = 0 → 𝑐 = −2
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = 2
Reemplazo:
𝜋1 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L−2 ∗ 𝐹𝑎
𝜋1 =
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
𝜋2 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝜇 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿−1 𝑇−1
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c − 1 = 0 → 𝑐 = −1
T:0 ; −b − 1 = 0 → 𝑏 = −1
Reemplazo:
𝜋2 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−1 ∗ L−1 ∗ 𝜇
𝜋2 =
𝜇
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
→ 𝜋2
′ =
1
𝜋2
=
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
𝜋3 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ W̌ = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑇−1
Siendo:
M:0 ; c = 0
L:0 ; a + b − 3c = 0 → 𝑏 = 1
T:0 ; −a − 1 = 0 → 𝑎 = −1
Reemplazo:

52. 𝜋3 = 𝜌0 ∗ 𝑉⃗⃗−1 ∗ L1 ∗ ω̌
𝜋3 =
ω̌ ∗ 𝐿
𝑉⃗⃗
𝜋4 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ C = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝐿𝑇−1
Siendo:
M:0 ; c = 0
L:0 ; a + b − 3c + 1 = 0 → 𝑏 = 0
T:0 ; −a − 1 = 0 → 𝑎 = −1
Reemplazo:
𝜋4 = 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗−1 ∗ L1 ∗ C
𝜋4 =
C
𝑉⃗⃗
→ 𝜋4
′ =
1
𝜋4
=
𝑉⃗⃗
𝐶
a. Siendo los números adimensionales :
∴ 𝜋1 = 𝐶 𝐴 =
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2 ∴ 𝜋2
′ = 𝑅𝑒 =
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
∴ 𝜋3 = 𝑆𝑡 =
ω̌ ∗ 𝐿
𝑉⃗⃗ ∴ 𝜋4
′ = 𝑀 =
𝑉⃗⃗
𝐶
b. El empuje producido por su hélice:
Hallaremosprimeroparafacilidadesde cálculolarelación de velocidades trabajando con
𝜋4
′ que será el número de Mach.
( 𝜋4
′) 𝑚 = ( 𝜋4
′) 𝑃
(
𝑉⃗⃗
𝐶
)
𝑚
= (
𝑉⃗⃗
𝐶
)
𝑃
𝑉⃗⃗𝑃
𝑉⃗⃗𝑚
=
𝐶 𝑃
𝐶 𝑚
=
√ 𝐾 ∗ 𝑅 𝑎𝑖𝑟𝑒 ∗ 𝑇𝑃
√ 𝐾 ∗ 𝑅 𝑎𝑖𝑟𝑒 ∗ 𝑇 𝑚
(
𝑉⃗⃗𝑃
𝑉⃗⃗ 𝑚
)
2
=
𝑇𝑃
𝑇 𝑚
…(𝛼)

53. El empuje producido por su hélice en Kgf:
( 𝜋1) 𝑚 = ( 𝜋1) 𝑃
(
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑚
= (
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑃
𝐹𝑎 𝑃 = 𝐹𝑎 𝑚 ∗ (
𝑉⃗⃗𝑃
𝑉⃗⃗𝑚
)
2
∗
L2
𝑃
L2
𝑚
∗
𝜌 𝑃
𝜌 𝑚
… (𝛽)
Reemplazando (𝛼) en (𝛽):
𝐹𝑎 𝑃 = 𝐹𝑎 𝑚 ∗
𝑇𝑃
𝑇 𝑚
∗
L2
𝑃
L2
𝑚
∗
𝜌 𝑃
𝜌 𝑚
𝐹𝑎 𝑃 = 200𝑁 ∗ (
228.76°𝐾
298.15°𝐾
) ∗ (
4k
1k
)
2
∗
0.4586 𝑘𝑔/𝑚3
1.184 𝑘𝑔/𝑚3
𝐹𝑎 𝑃 = 950.993N ∗
1𝑘𝑔𝑓
9.8𝑁
∴ 𝐹𝑎 𝑃 = 97.040 𝑘𝑔𝑓

54. Problema N°3
La hélice de unbuque tiene comoparámetrosrelevantes el empuje axial, diámetro de la misma,
Viscosidad cinemática y densidad del fluido, aceleración de la gravedad, velocidad de avance y
velocidad angular. Se sabe que su modelo se prueba en agua dulce a 15°C, a una velocidad de
avance de 1,8 m/s, con un empuje de 960N y el prototipo se mueve en agua salada S=1.025, con
15 nudos, girando la hélice de 4m de diámetro a 90rpm, se pide hallar:
a. Los números adimensionales conocidos.
b. Los rpm del modelo y la viscosidad cinemática del agua del mar, en Stokes.
c. El diámetro del modelo de la hélice.
d. El empuje del prototipo.
Solución:
Paso 1: Ordenandolosdatosdel problema.
La hélice del buque.
Modelo Prototipo
Fig. N°()-Fuente:Gabriel Garcia
𝐷 𝑚 ≠ 𝐷 𝑃
DATOS DEL PROBLEMA
Modelo(m) Prototipo(p)
El modelo se prueba en agua dulce. El prototipo que se prueba en agua salada.
𝐹𝑚 = 960𝑁 𝐹𝑃 =?
𝑇 𝑚 = 15°𝐶 𝑆 𝑃 = 1.025
𝑆 𝑚 = 1 𝑘𝑔 𝑚3⁄ 𝑉⃗⃗ 𝑚 = 15 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 = 7.71667 𝑚/𝑠
𝑉⃗⃗ 𝑚 = 1.8 𝑚/𝑠 ω̌ = 90 𝑟𝑝𝑚
𝜐 𝑚 = 9.06 ∗ 10−5 𝑚2 𝑠⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠) 𝐷 𝑃 = 4𝑚
𝐷 𝑚 =?
Paso 2: Analizamosnuestrosposiblesnúmerosadimensionalesque podemosobtenerguiándonos
de las recomendacionesdadas.

55. 𝐶 𝐴 =
𝐹𝑎
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗2∗A
El enunciado nos señala que la hélice sumergida en el agua presentara un empuje
que no es más que una fuerza de arrastre, por lo tanto consideraremos la posible
presencia del coeficiente de arrastre.
𝑅𝑒 =
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗∗𝐿
𝜇
: Al existir un fluido en movimiento existirá siempre el número de Reynolds.
𝐹𝑟 =
𝑉⃗⃗⃗2
𝐷∗𝑔
: Recordamos que debido a la recomendación N°(),cada vez que el enunciado nos
mencionen la presencia de la gravedad consideraremos la certera aparición del
número de Freud.
𝑆𝑡 =
ω̌ ∗𝑙
𝑉⃗⃗⃗
: Al producirse el girode la hélice el flujoalrededorde estatendráuncomportamiento
oscilatoriogenerandounavelocidadangularporlotanto consideraremoslaposible
aparición del número de Strouhal.
Paso 3: Seleccionolosparámetrosdimensionales que conformaran y no conformaran mi matriz:
T: Por la recomendaciónN°(),Notomaremoslatemperaturapuesestaráincluida en la densidad.
Entonces guiándome del enunciado seleccionare los siguientes parámetros:
𝐹𝑎, 𝐷, 𝜇, 𝜌,ω̌, 𝑉⃗⃗, 𝑔
Paso 4: Dimensiono mis parámetros.
[ 𝐹𝑎] = 𝑀𝐿𝑇−2
[ 𝜌] = 𝑀𝐿−3
[ 𝜇] = 𝑀𝐿−1 𝑇−1
[ 𝑉⃗⃗] = 𝐿𝑇−1
[ 𝐷] = 𝐿
[ω̌] = 𝑇−1
[ 𝑔] = 𝐿𝑇−2
Paso 5: Construyo mi tabla y selecciono mis parámetros respectivos.
Realizaremos la solución del problema mediante 2 caminos en la elección de las variables
dimensionales para demostrar que el camino que tomemos nos llevara al mismo resultado
siempre y cuando elijamos con criterio nuestras variables o parámetros para hallar los números
adimensionales.
1er Camino.- En clase el docente aconseja al alumno que tome como parámetro a trabajar en
casos de turbinas y hélices a la velocidad angular.
2do Camino.-Se puededemostraremosque tomandolavelocidad siendounade las variables que
se repite másen nuestras formulas planteadas en el paso 3 se obtendrá el mismo resultado que
tomando la velocidad angular.

56. Solución por el 1er Camino:
ω̌ D 𝑉⃗⃗ 𝜌 𝜇 𝐹𝑎 𝑔
M 0 0 0 1 1 1 0
L 0 1 1 -3 -1 1 1
T -1 0 -1 0 -1 -2 -2
Paso 6: Hallo los números 𝜋.
𝜋1 = ω̌ 𝑎 ∗ D 𝑏 ∗ 𝜌 𝑐 ∗ 𝑉⃗⃗ = ( 𝑇−1) 𝑎 ∗ ( 𝐿) 𝑏 ∗ ( 𝑀𝐿−3) 𝑐 ∗ 𝐿𝑇−1
Siendo:
M:0 ; c = 0
L:0 ; b − 3c + 1 = 0 → 𝑏 = −1
T:0 ; −a − 1 = 0 → 𝑎 = −1
Reemplazo:
𝜋1 = ω̌−1 ∗ D−1 ∗ 𝜌0 ∗ 𝑉⃗⃗
𝜋1 =
𝑉⃗⃗
𝐷 ∗ ω̌
→ 𝜋1
′ =
1
𝜋1
=
𝐷 ∗ ω̌
𝑉⃗⃗
𝜋2 = ω̌ 𝑎 ∗ D 𝑏 ∗ 𝜌 𝑐 ∗ 𝜇 = ( 𝑇−1) 𝑎 ∗ ( 𝐿) 𝑏 ∗ ( 𝑀𝐿−3) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿−1 𝑇−1
Siendo:
M:0 ; c + 1 = 0 → 𝐶 = −1
L:0 ; b − 3c − 1 = 0 → 𝑏 = −2
T:0 ; −a − 1 = 0 → 𝑎 = −1
Reemplazando:
𝜋2 = ω̌−1 ∗ D−2 ∗ 𝜌−1 ∗ 𝜇
𝜋2 =
𝜇
𝐷2 ∗ ω̌ ∗ 𝜌
=
𝜐
𝐷2 ∗ ω̌
→ 𝜋2
′ =
1
𝜋2
=
𝐷2 ∗ ω̌
𝜐
𝜋3 = ω̌ 𝑎 ∗ D 𝑏 ∗ 𝜌 𝑐 ∗ 𝐹𝑎 = ( 𝑇−1) 𝑎 ∗ ( 𝐿) 𝑏 ∗ ( 𝑀𝐿−3) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿𝑇−2

57. Siendo:
M:0 ; c + 1 = 0 → 𝐶 = −1
L:0 ; b − 3c + 1 = 0 → 𝑏 = −4
T:0 ; −a − 2 = 0 → 𝑎 = −2
Reemplazando:
𝜋3 = ω̌−2 ∗ D−4 ∗ 𝜌−1 ∗ 𝐹𝑎
𝜋3 =
𝐹𝑎
𝐷4 ∗ ω̌2 ∗ 𝜌
𝜋4 = ω̌ 𝑎 ∗ D 𝑏 ∗ 𝜌 𝑐 ∗ 𝑔 = ( 𝑇−1) 𝑎 ∗ ( 𝐿) 𝑏 ∗ ( 𝑀𝐿−3) 𝑐 ∗ 𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; c = 0
L:0 ; b − 3c + 1 = 0 → 𝑏 = −1
T:0 ; −a − 2 = 0 → 𝑎 = −2
Reemplazando:
𝜋4 = ω̌−2 ∗ D−1 ∗ 𝜌0 ∗ 𝑔
𝜋4 =
𝑔
𝐷 ∗ ω̌2
a. Los números adimensionales serán:
∴ 𝜋1
′ =
𝐷 ∗ ω̌
𝑉⃗⃗ 𝜋2
′ =
𝐷2 ∗ ω̌
𝜐
∴ 𝜋3 =
𝐹𝑎
𝐷4 ∗ ω̌2 ∗ 𝜌
∴ 𝜋4 =
𝑔
𝐷 ∗ ω̌2
Pero el enunciado me pide tener números adimensionales conocidos:
𝜋1
′ =
𝐷 ∗ ω̌
𝑉⃗⃗
: 𝑆𝑡 =
ω̌ ∗ 𝑙
𝑉⃗⃗
𝜋2
′ =
𝐷2 ∗ ω̌
𝜐
=
𝑚2 ∗
1
𝑠
𝜐
=
𝑚 ∗
𝑚
𝑠
𝜐
=
[ 𝑚] ∗ [
𝑚
𝑠
]
𝜐
=
𝐿 ∗ 𝐿𝑇−1
𝜐
=
𝐷 ∗ 𝑉⃗⃗
𝜐
: 𝑅𝑒 =
𝑉⃗⃗ ∗ 𝑙
𝜐
𝜋3 =
𝐹𝑎
𝐷4 ∗ ω̌2 ∗ 𝜌
=
𝐹𝑎
𝑚4 ∗
1
𝑠2 ∗ 𝜌
=
𝐹𝑎
[ 𝑚]2 ∗ [
𝑚
𝑠
]
2
∗ 𝜌
=
𝐹𝑎
𝐿2 ∗ ( 𝐿𝑇−1)2 ∗ 𝜌
=
𝐹𝑎
𝐷2 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ 𝜌
: 𝐶 𝐴 =
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ A
𝜋4 =
𝑔
𝐷 ∗ ω̌2 =
𝑚
𝑠2 ∗
𝑚
𝑚
𝐷 ∗
1
𝑠2
=
𝑚 ∗ 𝑚
𝑠2
𝐷 ∗
𝑚
𝑠2
=
[
𝑚
𝑠
]
2
𝐷 ∗ [
𝑚
𝑠2]
=
( 𝐿𝑇)2
𝐷 ∗ 𝐿𝑇−2 =
𝑉⃗⃗2
𝐷 ∗ 𝑔
: 𝐹𝑟 =
𝑉⃗⃗2
𝐷 ∗ 𝑔

58. b. Hallandolosrpmen el modelo,operemosconlosnúmeros 𝜋1
′ 𝑦 𝜋4 siguiendoesteorden
respectivo
( 𝜋1
′) 𝑚 = ( 𝜋1
′) 𝑃
(
𝐷 ∗ ω̌
𝑉⃗⃗
)
𝑚
= (
𝐷 ∗ ω̌
𝑉⃗⃗
)
𝑃
( 𝐷 ∗ ω̌) 𝑚 = 𝑉⃗⃗ 𝑚 ∗ (
𝐷 ∗ ω̌
𝑉⃗⃗
)
𝑃
= 1.8
𝑚
𝑠
∗ (
4𝑚 ∗ 90rpm
7.71667 𝑚/𝑠
)
𝑃
( 𝐷 ∗ ω̌) 𝑚 = 83.98 𝑟𝑝𝑚 ∗ 𝑚 …(𝛼)
( 𝜋4) 𝑚 = ( 𝜋4) 𝑃
(
𝑔
𝐷 ∗ ω̌2)
𝑚
= (
𝑔
𝐷 ∗ ω̌2)
𝑃
→ 𝑔 𝑚 = 𝑔 𝑃 = 9.81𝑚/𝑠
1 =
( 𝐷 ∗ ω̌2) 𝑃
( 𝐷 ∗ ω̌2) 𝑚
1 =
( 𝐷 ∗ ω̌2) 𝑃
( 𝐷 ∗ ω̌ ∗ ω̌) 𝑚
ω̌ 𝑚 =
( 𝐷 ∗ ω̌2) 𝑃
( 𝐷 ∗ ω̌) 𝑚
Reemplazando en :
ω̌ 𝑚 =
(4𝑚 ∗ (90rpm)2) 𝑃
83.98 𝑟𝑝𝑚 ∗ 𝑚
∴ ω̌ 𝑚 = 385.80 𝑟𝑝𝑚
Hallando la viscosidad cinemática:
( 𝜋2
′) 𝑚 = ( 𝜋2
′) 𝑃
(
𝐷2 ∗ ω̌
𝜐
)
𝑚
= (
𝐷2 ∗ ω̌
𝜐
)
𝑃
𝜐 𝑃 = 𝜐 𝑚 ∗
( 𝐷2 ∗ ω̌) 𝑃
( 𝐷2 ∗ ω̌) 𝑚
𝜐 𝑃 = 1.15 ∗ 10−6
𝑚2
𝑠
∗
((4𝑚)2 ∗ 90rpm) 𝑃
((0.2176𝑚)2 ∗ 385.80rpm) 𝑚
∴ 𝜐 𝑃 = 9.06 ∗ 10−5
𝑚2
𝑠
c. Entonces el diámetro del modelo será:
( 𝐷 ∗ ω̌) 𝑚 = 83.98 𝑟𝑝𝑚 ∗ 𝑚
( 𝐷 ∗ 385.80rpm) 𝑚 = 83.98 𝑟𝑝𝑚 ∗ 𝑚
∴ 𝐷 𝑚 = 0.2176 𝑚

59. d. Hallando el empuje o fuerza de arrastre que se produce en la hélice:
( 𝜋3) 𝑚 = ( 𝜋3) 𝑃
(
𝐹𝑎
𝐷4 ∗ ω̌2 ∗ 𝜌
)
𝑚
= (
𝐹𝑎
𝐷4 ∗ ω̌2 ∗ 𝜌
)
𝑃
𝐹𝑎 𝑃 = 𝐹𝑎 𝑚 ∗
( 𝐷4 ∗ ω̌2 ∗ 𝜌) 𝑃
( 𝐷4 ∗ ω̌2 ∗ 𝜌) 𝑚
𝐹𝑎 𝑃 = 960𝑁 ∗
((4𝑚)4 ∗ (90 rpm)2 ∗ 1.025) 𝑃
((0.2176 𝑚)4 ∗ (385.8 rpm)2 ∗ 1) 𝑚
∴ 𝐹𝑎 𝑃 = 6114.487 𝑘𝑁

60. Problema N°4
Un cuerpo cilíndricode secciónconstante,de longitudL,se desplazaenunfluido de viscosidad 𝜇,
densidad 𝜌,con unavelocidad 𝑉⃗⃗,lafuerzade oposiciónal movimiento es la fricción superficial F,
a la que influyentambiénlaaceleraciónde lagravedadgy el módulode elasticidadE, determinar
los principales grupos adimensionales conocidos.
Fig. N°()-Fuente:García León
Solución
Por serde carácter aplicativodirectamente aplicaremos el paso 3 el cual es determinar nuestros
parámetros dimensionales conforme los datos que nos indicara el enunciado del problema.
Paso 1:
D: Consideraremos el diámetro del cilindro será de sección cte.
L: Consideraremos la longitud del cilindro el enunciado lo recalca.
ω̌: Consideraremoslavelocidadangularpuesel cilindroal desplazarse irarotandoalrededorde su
eje ocasionando una velocidad angular.
Entonces nuestras variables a considerar para el cálculo de los números adimensionales por el
método de Buckingham serán:
𝐷, 𝐿, 𝜇, 𝜌, 𝑉⃗⃗, F,g, E,ω̌
Paso 2: Dimensionando mis variables.
[ 𝐷] = 𝐿 [ 𝜇] = 𝑀𝐿−1 𝑇−1 [ 𝐸] = 𝑀𝐿−1 𝑇−2
[ 𝐿] = 𝐿 [ 𝑉⃗⃗] = 𝐿𝑇−1 [ω̌] = 𝑇−1
[ 𝜌] = 𝑀𝐿−3 [ 𝐹𝑎] = 𝑀𝐿𝑇−2 [ 𝑔] = 𝐿𝑇−2
ω̌
𝜇, 𝜌, 𝑉⃗⃗
ω̌

61. Paso 3: Formo mi matriz.
D L 𝜌 𝜇 𝑉⃗⃗ 𝐹𝑎 E ω̌ 𝑔
M 0 0 1 1 0 1 1 0 0
L 1 1 -3 -1 1 1 -1 0 1
T 0 0 0 -1 -1 -2 -2 -1 -2
Formando mi matriz para una discriminante diferente de 0:
0 0 1
1 1 -3
0 -1 0
El discriminante será diferente de cero por lo tanto tomaremos las variables L,
𝜌 y 𝑉⃗⃗.
Paso 4: Hallo los números 𝜋.
𝜋1 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝐷 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝐿
Siendo:
𝑀:0 ; 𝑎 = 0
𝐿: 0 ; −3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 1 = 0 → 𝑐 = −1
𝑇:0 ; −𝑏 = 0 → 𝑏 = 0
Reemplazo:
𝜋1 = 𝜌0 ∗ 𝑉⃗⃗0 ∗ L𝑐 ∗ 𝐷
𝜋1 =
𝐷
𝐿
𝜋2 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝜇 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿−1 𝑇−1
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c − 1 = 0 → 𝑐 = −1
T:0 ; −b − 1 = 0 → 𝑏 = −1
Reemplazo
𝜋2 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−1 ∗ L−1 ∗ 𝜇

62. 𝜋2 =
𝜇
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
→ 𝜋2
′ =
1
𝜋2
=
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
𝜋3 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝐹𝑎 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c + 1 = 0 → 𝑐 = −2
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = 2
Reemplazo:
𝜋3 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L−2 ∗ 𝐹𝑎
𝜋3 =
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
𝜋4 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝐸 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿−1 𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c − 1 = 0 → 𝑐 = 0
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = −2
Reemplazo:
𝜋4 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L0 ∗ 𝐸
𝜋4 =
𝐸
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2
𝜋5 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝑔 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a = 0
L:0 ; −3a + b + c + 1 = 0 → 𝑐 = 1
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = −2

63. 𝜋5 = 𝜌0 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L1 ∗ 𝑔
Reemplazo
𝜋5 =
𝑔 ∗ 𝐿
𝑉⃗⃗−2
→ 𝜋5
′ =
1
𝜋5
=
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
𝜋6 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ ω̌ = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑇−1
Siendo:
M:0 ; c = 0
L:0 ; a + b − 3c = 0 → 𝑏 = 1
T:0 ; −a − 1 = 0 → 𝑎 = −1
Reemplazo:
𝜋6 = 𝜌0 ∗ 𝑉⃗⃗−1 ∗ L1 ∗ ω̌
𝜋6 =
ω̌ ∗ 𝐿
𝑉⃗⃗
Existen 6 números adimensionales de los cuales 5 son conocidos:
∴ 𝜋1 =
𝐷
𝐿 ∴ 𝜋2
′ = 𝑅𝑒 =
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
∴ 𝜋3 = 𝐶 𝐴 =
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
∴ 𝜋4 =
𝐸
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∴ 𝜋5
′ = 𝐹𝑟 =
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
∴ 𝜋6 = 𝑆𝑡 =
ω̌ ∗ 𝐿
𝑉⃗⃗

64. Problema N°5
El modelo de un submarino de peso de 1000kg, se prueba en agua dulce a 20°C que ofrece una
resistenciaal movimientode 90kgf. El submarino navegara en agua salada de S=1.025, con escala
de 12:1, a una velocidad de 10 nudos, si la aceleración de la gravedad es un parámetro
importante, se pide:
a. La viscosidad absoluta del agua de mar.
b. La potencia que se invierte en el submarino para vencer la resistencia del agua en HP.
Solución:
Paso 1: Ordenandolosdatosdel problema.
Modelo(1k) Prototipo(12K)
Fig.N°()-Fuente:Jaime Flores
𝑃𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
=
12𝑘
1𝑘
DATOS DEL PROBLEMA
Modelo(m) Prototipo(p)
El modelo se prueba en agua dulce. El prototipo se prueba en agua salada.
F(m)=90kgf 𝑆 𝑃 = 1.025
𝑇 𝑚 = 20°𝐶 𝜌 𝑃 = 1025 𝑘𝑔 𝑚3⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
𝜌 𝑚 = 998 𝑘𝑔 𝑚3⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠) 𝑉 = 10 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 = 5.14 𝑚/𝑠
𝜇 𝑚 = 1.02 ∗ 10−3 𝑃𝑎. 𝑠 (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
Paso 2: Analizamosnuestrosposiblesnúmerosadimensionalesque podemosobtenerguiándonos
de las recomendacionesdadas.
𝐶 𝐴 =
𝐹𝑎
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗2∗A
El enunciado nos señala que el submarino presentara una fuerza de arrastre al o
resistencia al movimiento, por lo tanto deducimos que existirá una fuerza de
arrastre producidaporel mar y al existirtal fuerzade arrastre existirásu respectivo
coeficiente de arrastre el cual es un numero adimensional.
𝑅𝑒 =
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗∗𝐿
𝜇
: Al existirunfluidoenmovimientoexistirásiempre el número de Reynolds, en este
caso el medio donde se moverá el submarino.
𝐹𝑟 =
𝑉⃗⃗⃗2
𝐷∗𝑔
: Se considerara como posible resultado ya que el enunciado nos menciona que es
importante considerar como variable a la fuerza de gravedad, ver recomendación
N°().

65. Pasó 3: Seleccionolosparámetrosdimensionales que conformaran y no conformaran mi matriz:
T: No tomare la temperaturapuesladensidadrelativa del agua salda es 1.025 a una temperatura
de 20°C manteniéndose constante para los dos casos, Ver recomendación N°().
W: No se considerael pesodebidoaque este puede variarytener la misma dimensión, y al estar
sumergido el cuerpo será más liviano.
Entonces seleccionaremos los siguientes parámetros:
𝐹𝑎, 𝑔, 𝐿, 𝑉⃗⃗, 𝜇, 𝜌
Paso 4: Dimensiono mis parámetros.
[ 𝐹𝑎] = 𝑀𝐿𝑇−2 [ 𝜇] = 𝑀𝐿−1 𝑇−1
[ 𝑔] = 𝐿𝑇−2
[ 𝑉⃗⃗] = 𝐿𝑇−1
[ 𝜌] = 𝑀𝐿−3 [ 𝐿] = 𝐿
Paso 5: Construyo mi tabla y selecciono mis parámetros respectivos.
𝐹𝑎 𝑔 L 𝑉⃗⃗ 𝜇 𝜌
M 1 0 0 0 1 1
L 1 1 1 1 -1 -3
T -2 -2 0 -1 -1 0
Seleccionare las variables que tienen en común mis 3 formulas señaladas en el Paso 2.
Paso 6: Hallo los números 𝜋.
𝜋1 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝐹𝑎 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c + 1 = 0 → 𝑐 = −2
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = 2
Reemplazo:
𝜋1 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L−2 ∗ 𝐹𝑎
𝜋1 =
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2

66. 𝜋2 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝜇 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿−1 𝑇−1
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c − 1 = 0 → 𝑐 = −1
T:0 ; −b − 1 = 0 → 𝑏 = −1
𝜋2 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−1 ∗ L−1 ∗ 𝜇
𝜋2 =
𝜇
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
→ 𝜋2
′ =
1
𝜋2
=
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
𝜋3 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝑔 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a = 0
L:0 ; −3a + b + c + 1 = 0 → 𝑐 = 1
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = −2
𝜋3 = 𝜌0 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L1 ∗ 𝑔
𝜋3 =
𝑔 ∗ 𝐿
𝑉⃗⃗−2
→ 𝜋3
′ =
1
𝜋3
=
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
Tendremos los siguientes números 𝜋:
𝜋1 =
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
; 𝜋2
′ =
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
; 𝜋3
′ =
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
a. La viscosidad absoluta o dinámica del agua de mar.
𝜋3𝑚 = 𝜋3𝑃
(
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
)
𝑚
= (
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
)
𝑃
𝑉⃗⃗ 𝑚 = 𝑉⃗⃗𝑃 ∗ √
𝐿 𝑚
𝐿 𝑃
𝑉⃗⃗𝑚 = 5.14 𝑚/𝑠 ∗ √
1𝑘
12𝑘
∴ 𝑉⃗⃗𝑚 = 1.48 𝑚 𝑠⁄

67. Luego:
( 𝜋2
′) 𝑚 = ( 𝜋2
′) 𝑃
(
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
)
𝑚
= (
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
)
𝑃
𝜇 𝑃 = 𝜇 𝑚 ∗
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L) 𝑃
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L) 𝑚
𝜇 𝑃 = 1.02 ∗ 10−3 𝑃𝑎. 𝑠 ∗
(1025𝑘𝑔/𝑚3 ∗ 5.14 𝑚/𝑠 ∗ 12k) 𝑃
(998𝑘𝑔/𝑚3 ∗ 1.48𝑚/𝑠 ∗ 1k) 𝑚
∴ 𝜇 𝑃 = 43.65 ∗ 10−3 𝑃𝑎. 𝑠
b. La potencia del submarino en el agua salada:
𝜋1𝑚 = 𝜋1𝑃
(
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑚
= (
𝐹𝑎
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑃
𝐹𝑎 𝑃 = 𝐹𝑎 𝑚 ∗
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2) 𝑃
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2) 𝑚
𝐹𝑎 𝑃 = 90𝑘𝑔𝑓 ∗
(1025 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ∗ 5.14 𝑚 𝑠⁄ ∗ (12k)2) 𝑃
(998 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ∗ 1.48 𝑚 𝑠⁄ ∗ (1k)2) 𝑚
𝐹𝑎 𝑃 = 160546.6075 𝑘𝑔𝑓
Teniendo la fuerza podemos hallar la potencia del submarino entonces diremos:
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐹𝑎 𝑃 ∗ 𝑉⃗⃗𝑃 = 160546.6075 𝑘𝑔𝑓 ∗
9.81𝑁
1𝑘𝑔𝑓
∗ 5.14
𝑚
𝑠
= 8095305.809𝑊
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 8095305.809𝑊 ∗
1𝐻𝑃
746𝑊
∴ 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 10851.6163 𝐻𝑃

68. Problema N°6
La resistencia al avance de un buque depende de la aceleración de la gravedad, la eslora entre
perpendiculares,lavelocidadde avance,de la densidad y viscosidad absoluta el agua del mar, se
mueve con 13 nudos; su modelo a escala de 1:10, se prueba en un canal de agua dulce a 20°C, la
maquinaprincipal generaunapotenciade 10HP, con una fuerza de resistencia de 200kg; se pide:
a. La velocidad del modelo del buque en m/s.
b. La resistencia que debe vencer el busque para desplazarse en Kgf.
c. La potencia necesaria para remolcar el buque en HP.
d. La eficiencia de propulsión del buque.
Solución
Paso 1: Ordenandolosdatosdel problema.
Fig. N°()-Fuente: Autoría Propia
𝑃𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
=
10𝑘
1𝑘
DATOS DEL PROBLEMA
Modelo(m) Prototipo(p)
El modelose pruebaenuncanal de agua dulce.
R=200kgf
𝑇 𝑚 = 20°𝐶
El prototipose pruebaenagua salada,como no
me dicen la temperatura asumiremos una
temperatura ambiente.(20°C)
𝐼𝐻𝑃 = 10𝐻𝑃 𝑆 𝑃 = 1.025
𝜌 𝑚 = 998 𝑘𝑔 𝑚3⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠) 𝜌 𝑃 = 1025 𝑘𝑔 𝑚3⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
𝜇 𝑚 = 1.02 ∗ 10−3 𝑃𝑎. 𝑠 (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠) 𝑉 = 13 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 = 6.68778 𝑚/𝑠

69. Paso 2: Analizamosnuestrosposiblesnúmerosadimensionalesque podemosobtenerguiándonos
de las recomendacionesdadas.
𝐶 𝐴 =
𝐹𝑎
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗2∗A
El enunciado nos señala que el buque presentara una resistencia al avance o
resistencia al movimiento, por lo tanto deducimos que existirá una fuerza de
arrastre producida por el viento y mar al existir tal fuerza de arrastre existirá su
respectivo coeficiente de arrastre el cual es un numero adimensional.
𝑅𝑒 =
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗∗𝐿
𝜇
: Al existirunfluidoenmovimientoexistirásiempre el número de Reynolds, en este
caso el medio donde se moverá el buque.
𝐹𝑟 =
𝑉⃗⃗⃗2
𝐷∗𝑔
: Se considerara como posible resultado ya que el enunciado nos menciona que es
importante considerar como variable a la fuerza de gravedad, ver recomendación
N°().
Pasó 3: Seleccionolosparámetrosdimensionales que conformaran y no conformaran mi matriz:
T: No tomare la temperaturapuesla densidadrelativadel aguasaladaes1.025 a una temperatura
de 20°C manteniéndose constante para los dos casos, Ver recomendación N°().
Entonces seleccionaremos los siguientes parámetros:
𝑅, 𝑔, 𝐿, 𝑉⃗⃗, 𝜇, 𝜌
Paso 4: Dimensiono mis parámetros.
[ 𝑅] = 𝑀𝐿𝑇−2 [ 𝜇] = 𝑀𝐿−1 𝑇−1
[ 𝑔] = 𝐿𝑇−2
[ 𝑉⃗⃗] = 𝐿𝑇−1
[ 𝜌] = 𝑀𝐿−3 [ 𝐿] = 𝐿
Paso 5: Construyo mi tabla y selecciono mis parámetros respectivos.
𝑅 𝑔 L 𝑉⃗⃗ 𝜇 𝜌
M 1 0 0 0 1 1
L 1 1 1 1 -1 -3
T -2 -2 0 -1 -1 0
Seleccionare las variables que tienen en común mis 3 formulas señaladas en el Paso 2.

70. Paso 6: Hallo los números 𝜋.
𝜋1 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝑅 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c + 1 = 0 → 𝑐 = −2
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = 2
Reemplazo:
𝜋1 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L−2 ∗ 𝑅
𝜋1 =
𝑅
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
𝜋2 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝜇 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝑀𝐿−1 𝑇−1
Siendo:
M:0 ; a + 1 = 0 → 𝑎 = −1
L:0 ; −3a + b + c − 1 = 0 → 𝑐 = −1
T:0 ; −b − 1 = 0 → 𝑏 = −1
𝜋2 = 𝜌−1 ∗ 𝑉⃗⃗−1 ∗ L−1 ∗ 𝜇
𝜋2 =
𝜇
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
→ 𝜋2
′ =
1
𝜋2
=
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
𝜋3 = 𝜌 𝑎 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑏 ∗ L𝑐 ∗ 𝑔 = ( 𝑀𝐿−3) 𝑎 ∗ ( 𝐿𝑇−1) 𝑏 ∗ ( 𝐿) 𝑐 ∗ 𝐿𝑇−2
Siendo:
M:0 ; a = 0
L:0 ; −3a + b + c + 1 = 0 → 𝑐 = 1
T:0 ; −b − 2 = 0 → 𝑏 = −2
𝜋3 = 𝜌0 ∗ 𝑉⃗⃗−2 ∗ L1 ∗ 𝑔
𝜋3 =
𝑔 ∗ 𝐿
𝑉⃗⃗−2
→ 𝜋3
′ =
1
𝜋3
=
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔

71. Tendremos los siguientes números 𝜋:
𝜋1 =
𝑅
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
; 𝜋2
′ =
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
; 𝜋3
′ =
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
a. La velocidad del modelo del buque.
𝜋3𝑚 = 𝜋3𝑃
(
𝑉⃗⃗2
𝐿∗ 𝑔
)
𝑚
= (
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔
)
𝑃
𝑉⃗⃗ 𝑚 = 𝑉⃗⃗𝑃 ∗ √
𝐿 𝑚
𝐿 𝑃
𝑉⃗⃗𝑚 = 6.68778 𝑚/𝑠 ∗ √
1𝑘
10𝑘
∴ 𝑉⃗⃗𝑚 = 2.11486 𝑚 𝑠⁄
b. La resistencia que debe vencer el buque para desplazarse.
𝜋1𝑚 = 𝜋1𝑃
(
𝑅
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑚
= (
𝑅
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑃
𝑅 𝑃 = 𝑅 𝑚 ∗
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2) 𝑃
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2) 𝑚
𝑅 𝑃 = 𝑅 𝑚 ∗
𝜌 𝑃
𝜌 𝑚
∗ (
𝑉⃗⃗𝑃
𝑉⃗⃗𝑚
)
2
∗ (
𝐿 𝑃
𝐿 𝑚
)
2
𝑅 𝑃 = 𝑅 𝑚 ∗
𝜌 𝑃
𝜌 𝑚
∗ (
𝐿 𝑃
𝐿 𝑚
) ∗ (
𝐿 𝑃
𝐿 𝑚
)
2
𝑅 𝑃 = 𝑅 𝑚 ∗
𝜌 𝑃
𝜌 𝑚
∗ (
𝐿 𝑃
𝐿 𝑚
)
3
𝑅 𝑃 = 200𝑘𝑔𝑓 ∗
(1025 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ∗ (10k)3) 𝑃
(998 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ∗ (1k)3) 𝑚
∴ 𝑅 𝑃 = 205410.8216 𝑘𝑔𝑓

72. c. La potencia necesaria para remolcar el buque.
𝐸𝐻𝑃 = 𝑅 ∗ 𝑉⃗⃗ = 𝑅 𝑃 ∗ 𝑉⃗⃗𝑃 = 205410.8216𝑘𝑔𝑓 ∗ 6.68778
𝑚
𝑠
∗
1𝐻𝑃
76
𝑘𝑔𝑓 ∗ 𝑚
𝑠
∴ 𝐸𝐻𝑃 = 18075.55769𝐻𝑃
d. La eficiencia de propulsión del buque:
Sabiendo que la eficiencia del modelo y prototipo son las mismas, podemos hallar la
eficiencia del prototipo usando los datos del modelo.
η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 =
𝐸𝐻𝑃
𝐼𝐻𝑃
=
𝑅 𝑚 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑚
𝐼𝐻𝑃
=
200𝑘𝑔𝑓 ∗ 2.11486
𝑚
𝑠
10𝐻𝑃
∗
1𝐻𝑃
76
𝑘𝑔𝑓 ∗ 𝑚
𝑠
η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 = 0.5565
∴ η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 = 55.65 %

73. Problema N°7
La resistencia al avance de un buque depende de la aceleración de la gravedad, la eslora entre
perpendiculares,lavelocidadde avance,de la densidad y viscosidad absoluta el agua del mar, se
mueve con 13 nudos; su modelo a escala de 1:8, se prueba en un canal de agua dulce a 20°C, la
maquinaprincipal generaunapotenciade 10HP, con una fuerza de resistencia de 200kg; se pide:
a. La resistencia que debe vencer el busque para desplazarse en Kgf.
b. La potencia que debe invertir su máquina principal para desplazarse en HP.
c. La eficiencia del buque.
Solución
Paso 1: Ordenandolosdatosdel problema.
Fig. N°()-Fuente: Autoría Propia
𝑃𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
=
8𝑘
1𝑘
DATOS DEL PROBLEMA
Modelo(m) Prototipo(p)
El modelose pruebaenuncanal de agua dulce.
R=200kgf
𝑇 𝑚 = 20°𝐶
El prototipose pruebaenagua salada,como no
me dicen la temperatura asumiremos una
temperatura ambiente.(20°C)
𝐼𝐻𝑃 = 10𝐻𝑃 𝑆 𝑃 = 1.025
𝜌 𝑚 = 998 𝑘𝑔 𝑚3⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠) 𝜌 𝑃 = 1025 𝑘𝑔 𝑚3⁄ (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
𝜇 𝑚 = 1.02 ∗ 10−3 𝑃𝑎. 𝑠 (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠) 𝑉 = 13 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 = 6.68778 𝑚/𝑠
Tendremos los siguientes números 𝜋:
𝜋1 =
𝑅
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
; 𝜋2
′ =
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗ ∗ L
𝜇
; 𝜋3
′ =
𝑉⃗⃗2
𝐿 ∗ 𝑔

74. a. La resistencia que debe vencer el buque para desplazarse.
𝜋1𝑚 = 𝜋1𝑃
(
𝑅
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑚
= (
𝑅
𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2
)
𝑃
𝑅 𝑃 = 𝑅 𝑚 ∗
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2) 𝑃
( 𝜌 ∗ 𝑉⃗⃗2 ∗ L2) 𝑚
𝑅 𝑃 = 𝑅 𝑚 ∗
𝜌 𝑃
𝜌 𝑚
∗ (
𝑉⃗⃗𝑃
𝑉⃗⃗𝑚
)
2
∗ (
𝐿 𝑃
𝐿 𝑚
)
2
𝑅 𝑃 = 𝑅 𝑚 ∗
𝜌 𝑃
𝜌 𝑚
∗ (
𝐿 𝑃
𝐿 𝑚
) ∗ (
𝐿 𝑃
𝐿 𝑚
)
2
𝑅 𝑃 = 𝑅 𝑚 ∗
𝜌 𝑃
𝜌 𝑚
∗ (
𝐿 𝑃
𝐿 𝑚
)
3
𝑅 𝑃 = 200𝑘𝑔𝑓 ∗
(1025 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ∗ (8k)3) 𝑃
(998 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ∗ (1k)3) 𝑚
∴ 𝑅 𝑃 = 105170.3407 𝑘𝑔𝑓
b. La Potencia que debe invertir su máquina principal del prototipo para desplazarse.
Recuerda que la eficiencia del modelo y prototipo son las mismas, entonces podemos
hallar la eficiencia del prototipo usando los datos del modelo.
η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
=
𝐸𝐻𝑃
𝐼𝐻𝑃
=
𝑅 𝑚 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑚
𝐼𝐻𝑃
=
200𝑘𝑔𝑓 ∗ 2.36448
𝑚
𝑠
10𝐻𝑃
∗
1𝐻𝑃
76
𝑘𝑔𝑓 ∗ 𝑚
𝑠
η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
= 0.622
Entonces:
η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖 𝑝 𝑜
= η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
= 0.622
η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜
=
𝐸𝐻𝑃 𝑃
𝐼𝐻𝑃𝑃
𝐼𝐻𝑃 𝑃 =
𝐸𝐻𝑃 𝑃
η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖 𝑝 𝑜
𝐼𝐻𝑃 𝑃 =
𝑅 𝑚 ∗ 𝑉⃗⃗ 𝑚
η 𝑏𝑢𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜
=
105170.3407 𝑘𝑔𝑓 ∗ 6.68778
𝑚
𝑠
0.622
∗
1𝐻𝑃
76
𝑘𝑔𝑓 ∗ 𝑚
𝑠
∴ 𝐼𝐻𝑃 𝑃 = 14878.91566 𝐻𝑃

75. Problema N°8
Los parámetrosmás relevantesparauncompresorcentrífugo:presióny temperatura de entrada,
capacidad calorífica a presión constante del gas, densidad, velocidad del gas a la entrada,
velocidad angular,diámetro del impulsor,flujo volumétrico,potenciaque recibe el fluido. Para el
modelo 𝑇𝑒 = 55°𝐶,𝑃𝑒 = 1𝑏𝑎𝑟 , 𝑉⃗⃗𝑒 = 25 𝑚/𝑠 , D=20cm, Potencia de 2HP y para el prototipo
1800rpm, D=85cm , 𝑇𝑒 = 15°𝐶 , 𝑃𝑒 = 1.5𝑏𝑎𝑟.
a. Calcular los números adimensionales conocidos.
b. La velocidad del aire al ingreso y potencia del compresor.
Solución
Paso 1: Ordenandolosdatosdel problema.
Modelo Prototipo
Fig.N°()-Fuente:Jaime Flores
DATOS DEL PROBLEMA
Modelo(m) Prototipo(p)
𝑇𝑒 = 55°𝐶.
𝑃𝑒 = 1𝑏𝑎𝑟
,𝑉⃗⃗𝑒 = 25 𝑚/𝑠
𝑇𝑒 = 15°𝐶
𝑃𝑒 = 1.5𝑏𝑎𝑟
N=1800RPM
D=20cm D=85cm
𝑃𝑜𝑡 = 2𝐻𝑃

76. Paso 2: Analizamosnuestrosposiblesnúmerosadimensionalesque podemosobtenerguiándonos
de las recomendacionesdadas.
𝐶 𝐴 =
𝐹𝑎
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗2∗A
: Desde que me mencionanlapotenciaesporque existiráunafuerza que moverá su
eje por lo tanto deducimos que existirá el coeficiente de arrastre.
𝐸𝑐 =
𝑉⃗⃗⃗2
𝐶𝑝∗𝑇
: Como en el enunciado me mencionan que debo tomar en cuenta la capacidad
calorífica a presión constante existirá el número de Eckert pues el fluido gaseoso
presentara un cambio de energía al pasar por el compresor centrífugo.
𝑆𝑡 =
ω̌ ∗𝑙
𝑉⃗⃗⃗
: Al producirse el girodel eje del este tendráuncomportamientooscilatoriogenerando
una velocidadangularporlotantoconsideraremoslaposible aparición del número
de Strouhal.
𝑅𝑒 =
𝜌∗𝑉⃗⃗⃗∗𝐿
𝜇
: Al existir un fluido en movimiento existirá siempre el número de Reynolds.
Pasó 3: Seleccionolosparámetrosdimensionales que conformaran y no conformaran mi matriz:
Entonces guiándome del enunciado seleccionare los siguientes parámetros:
𝑃𝑜, 𝑉⃗⃗, 𝑇, 𝐶 𝑃,𝐷,ω̌, 𝑉̇, 𝜌, 𝑃
Paso 4: Dimensiono mis parámetros.
[ 𝑃𝑜] = 𝑀𝐿−1 𝑇−2 [ 𝐶 𝑃] = 𝑀2 𝐿−2Θ−1 [ 𝑉̇] = 𝐿3 𝑇−1
[ 𝑉⃗⃗] = 𝐿𝑇−1 [ 𝐷] = 𝐿 [ 𝜌] = 𝑀𝐿−3
[ 𝑇] = Θ [ω̌] = 𝑇−1 [ 𝑃] = 𝑀𝐿2 𝑇−3
Paso 5: Construyo mi tabla y selecciono mis parámetros respectivos.
D T 𝜌 𝑃𝑜 𝑉⃗⃗ 𝐶 𝑃 P ω̌ 𝑉̇
M 0 0 1 1 0 0 1 0 0
L 1 0 -3 -1 1 -2 -1 0 3
T 0 0 0 -1 -1 2 -2 -1 -1
Θ 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Seleccionare las variables que tienen en común mis 4 formulas señaladas en el Paso 2.