Analisis estructural

ANALISIS ESTRUCTURAL
ESTÁTICA
La estática como parte de la mecánica estudia los cuerpos en equilibrio dinámico
bajo la condición de velocidad cero.
Plantea dos principios básicos, el de transmisibilidad y el de superposición
causas y efectos, bajo sistemas cerrados desde el punto de vista de la
termodinámica.
El principio de transmisibilidad afirma que una fuerza conserva su magnitud
dirección y sentido, a menos que otro sistema de fuerzas lo modifique. En
forma práctica, la carga actúa donde está aplicada.
El principio de superposición causas y efectos permite separar los efectos de un
sistema de acciones y posteriormente sumarlos por separados para conocer el
resultado final. Este principio permite sencillez en el análisis de cualquier
estructura.

ESTÁTICA
Se requieren pocos conceptos para el manejo de la estáticas los cuales se
mencionan en seguida:
Elementos mecánicos. Nombre que reciben las acciones internas y externas de
una estructura.
En la naturaleza se conocen 6 elementos mecánicos
independientes. Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz.
Compatibilidad. Es la congruencia en la respuesta de la estructura y sus apoyos
cuando se le somete a un sistema de acciones; bajo condiciones de equilibrio
dinámico, la estructura tiene una sola respuesta para cada sistema de acciones.
Equilibrio estático. Se presenta solo si ∑Fx = ∑Fy = ∑Fz = ∑Mx = ∑My =
=∑Mz = 0, para un espacio tridimensional.

ESTÁTICA
En el plano se presenta solo si ∑Fx = ∑Fy = ∑Mx =0 ∑My =0.
Las expresiones de equilibrio estático también son conocidas como ecuaciones
de la estática y permiten conocer en una gran cantidad de casos si el sistema
estructural es inestable, isostático o hiperestático; para el primer caso (inestable)
existirán mas ecuaciones que variables independientes (reacciones), en el
segundo caso (isostático), el número de ecuaciones es igual que el número de
variables independientes y en el tercer caso (hiperestático), habrá mas reacciones
o variables independientes que ecuaciones de la estática.
Es bueno aclarar que los subíndices x, y, z, corresponden a la dirección de los
ejes globales que generalmente se orientan en coincidencia con los ejes de la
estructura.

VIGAS
A partir de las expresiones de equilibrio se resuelve una viga isostática en
seguida.
Determine las reacciones de la viga mostrada:
2.5 T/m
d

c

B

3

5

e

A

2

+ ∑Fy = 0 = RAY + RBY – (2.5*5*1/2) = 0
RAY = 6.25 – RBy

+

∑MA = 10RBY – (5*2.5*1/2*11/3) = 0
10RBY = 22.91666
RBY = 2.2916 Kg.
RAY = 6.25 – 2.2916 = 3.95833 Kg.

VIGAS
Para diseñar la viga es necesario obtener los diagramas de cortante y de
momento flector. Estos se obtiene a continuación:
Para el intervalo 0 ≤ x ≤ 3, haciendo un corte en el punto c:

c

+ ∑Fy = 0 = 2.2917 – V1(X)
V1(X) = 2.2917

∑Mc =2.2917X – M1(x)
M1(x) = 2.2917x

VIGAS
Para el intervalo 3 ≤ x ≤ 8 , haciendo un corte en el punto d:

d
X- 3

+ ∑Fy = 0 = 2.2917 – (0.5(x-3)2)/2 – V2(x)

2.5
5

+

y
x - 3

V2(X) = 2.2917 – 0.25(x-3)2
∑Md =2.2917x – (0.5(x-3)2 )/2((x-3)/3) - M2(x)
M2(x) = 2.2917x - (0.5(x-3)3)/6

2.5-5 = y*(x-3)
y = (2.5(x-3))/5
y = 0.5(x-3)

Para el intervalo 8 ≤ x ≤ 10 , haciendo un corte en el punto e:
+ ∑Fy = 0 = 2.2917 – (5*2.5)/2 – V3(x)
+

V3 (x) =

-3.9583

∑Me =2.2917x – (5*2.5)/2*(x -19/3) – M3(x)
M3 (x) =
39.583 – 3.9584x

VIGAS
DIAGRAMA DE LA FUNCIÓN DE CORTANTE

0
1

2

3

4

5

6

7

-2

9

-5

-3.9583

-4

10

-3.9583

-3.9583

-3

8

-1.7083

-1

0.0417

1.2917

2.0417

1

2.2917

2

2.2917

2.2917

3

DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE
14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-0.00067

-2

0

0

3.95773

2

7.916933

2.2917

4

4.5834

6

6.8751

8

10.70857

9.083467

10

11.5002

10.79183

12

ARMADURAS
Se pueden analizar armaduras isostáticas para una infinidad de usos; para ello se
debe verificar si son aplicables los conceptos ya mencionados.
Requisitos:
1.-Ser estable externa e internamente.
-Estable internamente. La geometría no se altera.
-Estable externamente. No se mueve en su conjunto.
2.- Que sea isostática: ( que se resuelva con las ecuaciones de la estática), si la
armadura es isostática externamente, en la mayoría de los casos será isostática
si se cumple lo siguiente:
6 Nodos.
9 Barras
2N – 3 = 9
7 Nodos
11 Barras
2N – 3 = 11

ARMADURAS
2(Número de Nodos) – 3(Ecuaciones de la Estática) = # de Barras.
4 Nodos
4 Barras
2(4) – 3 = 5 no es Isostática.

En resumen:
Si 2N – 3 =
Si 2N – 3 <
Si 2N – 3 >

# de Barras
# de Barras
# de Barras

(ISOSTÁTICA)
(HIPERESTÁTICA)
( INESTABLE)

ARMADURAS
Se conocen algunos métodos para resolver armaduras isostáticas, entre ellos se
encuentran, el método de nodos, el método de secciones y el método matricial. A
continuación se presentan 3 ejemplos, uno para cada método, respectivamente.
MÉTODO DE LOS NODOS.

G

2n – 3 = # Barras
2(8) – 3 = 13 por lo
que es isobática.

H

50000 kg
D

Determinar el equilibrio externo.
∑ Fx = 0
RBX = 0
∑ Fy = 0 = RBY + RCY – 130000
RBY = 130000 – RCY
∑MB = 6(80000) +6RCY – 12(50000)
RCY = (12(50000) – 6(80000))/6

E
F

A
B

80000 kg
3

3

C

3

3

3

3

RCY = 100000 – 80000 = 20000
RBY = 130000 – 20000 = 110000

Convención de Signos
Nodo

Barra

Nodo
Barra
TENSIÓN

COMPRESIÓN
Nodo

Nodo

DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS EN LAS BARRAS.
∑Fx = 0 = -FAB + FAD cosθ = 0

Nodo A

- FAB + (3/5) FAD = 0
(1)
Sen θ = 4/5
Cos θ = 3/5
∑Fy = 0= -80000 + 4/5FAD = 0 (2)
FAB
-1
0

FAB
3/5
4/5

D

A

FAB
FAD

=

0
80000

FAB = 3/5(100000) = 60000 Kg.
FAD = 5/4(80000) = 100 000 Kg.

FAD

T
FAB

B
C

80000

Nodo D
D

E

∑Fx = 0 = FDE - FBD (3/5) – 100000(3/5)
Fy = 4/5FBD – 100000(4/5) = 0
FBD = 100000 Kg.
FDE = 120000 Kg.

100000

B

A

Nodo B
D

∑Fx = 0 = 60000 + FBC + 100000(3/5) – 37500(3/5)
FBC = -97500
FBC = 97500

100000

A

Fy = 110000 – 100000(4/5) + (4/5)FBE = 0
FBE = -37500
FBE = 37500

E

C

60000
B

110000

Nodo C
E

∑Fx = 0 = 97500 + (3/5) FCE - (3/5) FCF
∑Fy = 0 = 20000 – (4/5) FCE - (4/5)FCF
3FCE – 3 FCF = -487500
-4FCE – 4FCF = -100000
12FCE – 12 FCF = -1950000
-12FCE – 12 FCF = -300000
-24 FCF = -2250000
FCF = 93750
3 FCE – 281250 = -487500
3 FCE = -206250
FCE = -68750

B

F

97500
C

20000

Nodo E

∑Fy = 0 = 37500(4/5) – 68750(4/5) +(4/5)FEG
FEG = 31250

G

∑Fx = 0 = -120000 +31250(3/5)+37500(3/5) + 68750(3/5) + FEF
FEF = 37500
120000

D

37500

B

E
F

68750

C

Nodo F

H
∑Fx = 0 = -37500 +93750(3/5)+ (3/5)FFG – (3/5)FFH
(3/5)FFG - (3/5)FFH = -18750
∑Fy = 0 = 93750(4/5) – (4/5)FFG - (4/5)FFH
-(4/5)FFG - (4/5)FFH = -75000
3FFG - 3FFH = -18750
-4FFG - 4FFH = -75000
12FFG - 12FFH = -93750
-12FFG - 12FFH = 375000
12FFG – 12 FFH = -375000
-12FFG – 12 FFH = -1125000
-24FFH = -1500000
FFH = 62500
FGH = 31250

G

37500
93750

F

Nodo H

37500
∑Fx = 0 = 62500(3/5) – 37500
∑ Fy = 0 = 62500(4/5) - 50000

H

62500
50000

Nodo G

G
37500

∑Fx = 0 = 37500 - 2(31250)(3/5)

∑ Fy = 0 = 31250*(4/5)-31250*(4/5)

31250

31250

El método de secciones permite resolver parcialmente la armadura, bastará realizar un corte y
plantear las ecuaciones de equilibrio estático.

PRINCIPIOS BÁSICOS DE ESTRUCTURAS
EJEMPLO: Determine la fuerza en la barra AB.

+ ΣFx = -Fad (3/5) + Fab = 0
Fab = 3/5 Fad
+ ΣFy = 5000 – 4/5 Fad = 0
4/5 Fad = 5000
Fad = 6250
Fab = 3750

Método matricial para armaduras se resume en el siguiente diagrama:

Ejemplo del método matricial para armaduras. Determine las reacciones y las fuerzas en todas las
barras de la siguiente armadura.

NODO A
(+) Σ Fx = - Rax + Fab – Fad (3/5) = 0
(1)
(+) Σ Fy = Ray + Fad(4/5) = 0
(2)
NODO B
 (+) Σ Fx = Fbc + Fbe(3/5) + Fbd(3/5) – Fab = 0
(+) Σ Fy = Fbe(4/5) – Fbd(4/5) = 0

(3)
(4)

Ejemplo del método matricial para armaduras. Determine las reacciones y las fuerzas en todas las
barras de la siguiente armadura.

NODO C
(+) Σ Fx = -Fbc + Fce(3/5) = 0

(5)

(+) Σ Fy = Rcy – Fce(4/5) = 0
(6)
NODO D
(+) Σ Fx = 10000 – Fde + Fad(3/5) – Fbd(3/5) = 0
(7)
(+) Σ Fy = Fad(4/5) + Fbd(4/5) – 15000 = 0
(8)
NODO E
(+) Σ Fx = Fde – Fbe(3/5) – Fce(3/5) = 0

(9)

(+) Σ Fy = -1000 –Fbe(4/5) + Fce(4/5) = 0

(10)

Lo que resta es formar la matriz y resolver el sistema:

Fab =

16125

Fad =

10208.33

Fbc =

5875

Fbd =

8541.6

Fbe =

8541.6

Fce =

9741.6

Fde =

11000

Rax =

10000

Ray =

8166.66

Rcy =

7833.3

θ B ,θC ,θ D

MARCOS ISOSTÁTICOS:

GRADO DE LIBERTAD
θ B ,θC ,θ D
RESTRICCIONES
Rax, Ray, Ma, Rdx, Rdy
ECUACIONES DE LA ESTÁTICA
ΣFx = ΣFy= ΣMD = 0
ECUACIONES ADICIONALES
ΣMB = ΣMD = 0
ECUACIONES = # RESTRICCIONES
 ES ISOSTATICA

PRINCIPIOS BÁSICOS DE ESTRUCTURAS
MARCOS ISÓSTÁTICOS

ELEMENTOS MECÁNICOS
M = MOMENTO FLECTOR
V = FUERZA CORTANTE
N = FUERZA NORMAL

MARCOS ISOSTÁTICOS

EQUILIBRIO EXTERNO:
+  Σ Fx = Rgx – Rix = 0
+ Σ Fy = Rgy + Riy – 12 = 0
Σ Mg = 7Riy – 12(1.5) = 0
ECUACIÓN ADICIONAL
Σ Mh = -Rgy(3) + Fgx(4) + 12(1.5) = 0

MARCOS ISOSTÁTICOS
REACCIONES
Rgx =

2.57

Rgy =

9.42

Rix =

2.57

Riy =

2.57

Conocidas las reacciones se pueden obtener los diagramas de fuerza normal, fuerza
cortante y momento flector. Para la fuerza normal se necesita obtener la carga axial en la
barra que es paralela al eje de la barra, para la fuerza cortante bastará obtener la fuerza
perpendicular al eje. Ya que las reacciones se obtienen en coordenadas que pueden o no
coincidir con los ejes de la barra, se requiere obtener las componentes de dichas
acciones conforme a la orientación de la barra; se sugiere el uso de las siguientes matrices
de rotación.

MARCOS ISOSTÁTICOS

.

MARCOS ISOSTÁTICOS:
Siguiendo con el ejemplo:

MARCOS ISOSTÁTICOS
ELEMENTOS MECÁNICOS EN LA BARRA. PARA FORMULAR LAS ECUACIONES DE
FUERZA NORMAL, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE.

FUNCION DE FUERZA
NORMAL
N(X) = -1.92 x + 9.07
FUNCION DE FUERZA CORTANTE
V(X) = -1.44 x + 3.59
FUNCION DE MOMENTO FLEXIONANTE
M(X) = 3.596 x – (1.44/2) x2

MARCOS ISOSTÁTICOS

MARCOS ISOSTÁTICOS
PARA LA SIGUIENTE BARRA:

[ K ]{δ } T = { F } T

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
Por ahora se han planteado soluciones a problemas isostáticos, sin embargo existen en la
práctica una gran cantidad de estructuras hiperestáticas que para obtener sus elementos
mecánicos se deben seguir otros caminos, una vez obtenidos, el procedimiento para
obtener los diagramas de fuerza normal, fuerzas cortantes, momentos flexionantes y
momento torzor es el mismo que se presentó anteriormente.
Se conocen 2 métodos par resolver estructuras hiperestáticas, que se basan en métodos
energéticos, uno se conoce como método de rigideces o de las fuerzas y el otro como
método de flexibilidades o de los desplazamientos.
El método de rigideces consiste en plantear un número suficiente de ecuaciones de
compatibilidad equivalente al número de grados de libertad de la estructura, mediante las
suma de las contribuciones a la rigidez de cada junta de las barras concurrentes.
Por rigidez se entiende, la fuerza necesaria para desplazar una unidad el grado de libertad
correspondiente.

[ K ]{δ } T = { F } T

La expresión de compatibilidad de la estructura se presenta en seguida:

[ K ]{δ } T = { F } T
Donde [ K ] es la matriz de rigidez de la estructura, {δ } es el vector desplazamientos
correspondiente al vector dependiente y { F } es el vector fuerzas o vector independiente.
La solución de la expresión anterior permite conocer los desplazamientos totales en los
nodos; para determinar los efectos en cada barra concurrente al nudo, será suficiente
realizar el producto del desplazamiento del nudo por la rigidez de la barra
correspondiente. Si se desean obtener los elementos mecánicos, a los efectos del
desplazamiento se le deberán sumar los efectos cruzados y las fuerzas de fijación
correspondiente.
El método de flexibilidades, busca la solución de la estructura resolviendo la frontera, es
decir, se obtienen las reacciones. A diferencia del método de rigideces, el de flexibilidades
plantea un número de ecuaciones igual al número de restricciones de la estructura y se
resume en la siguiente expresión:

[ f ]{ F } T = {δ } T

[ K ]{δ } T = { F } T

Donde [ f ] es la matriz de flexibilidad de la estructura, {δ } es el vector desplazamientos
correspondiente al vector independiente y { F } es el vector fuerzas o vector dependiente.
La solución del sistema da como resultado el valor de las reacciones.
Existe una relación inversa entre la matriz de rigidez y la matriz de flexibilidad solo si las
coordenadas coinciden, el caso específica se da en un elemento barra sin modificar su
lugar espacial.
Para otro tipo de estructuras diferentes a los esqueletos altamente hiperestáticas, su
solución se realiza mediante métodos numéricos, pues el planteamiento de las ecuaciones
de compatibilidad queda en medios continuos y por lo regular se deben resolver
ecuaciones diferenciales. En estos casos son recomendables los métodos de diferencias
finitas, elementos finito, elementos fronteras, etc.

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