ET30_Sistemas-Equivalentes.pdf

Clase: 01 1/8
SISTEMAS EQUIVALENTES
Estática
Motivación - objetivo
Definir las condiciones para que dos
sistemas de fuerzas y momentos
sean equivalentes

Clase: 01 2/8
Estática
Definición
(∑⃗
F)1
= (∑ ⃗
F)2
(∑⃗
M0)1
= (∑⃗
M0)2
Sistema 1 Sistema 2
F1
F2
M1
F3
M3
M 2

Clase: 01 3/8
Estática
Definición
Sistema 1 Sistema 2
F1
F2
M1
F3
M3
M 2
⃗
r2
⃗
r1
⃗
r3
O O
⃗
F1 + ⃗
F2 = ⃗
F3
(∑⃗
F)1
= (∑ ⃗
F)2
→
(∑⃗
M0)1
= (∑⃗
M0)2
→ ⃗
r1 × ⃗
F1 + ⃗
r2 × ⃗
F2 + ⃗
M 1 = ⃗
r3 × ⃗
F3 + ⃗
M 2 + ⃗
M 3

Clase: 01 4/8
Estática
Definición
Sistema 1 Sistema 2
F1
F2
M1
F3
M3
M 2
⃗
r '2
⃗
r '1
⃗
r '3
O ' O '
(∑⃗
M0')1
= (∑⃗
M0')2
→ ⃗
r '1 × ⃗
F1 + ⃗
r'2 × ⃗
F2 + ⃗
M1 = ⃗
r '3 × ⃗
F3 + ⃗
M 2 + ⃗
M 3

Clase: 01 5/8
Estática
Definición
Sistema 1 Sistema 2
F1
F2
M1
F3
M3
M 2
⃗
r '2
⃗
r '1
⃗
r '3
O ' O '
O O
⃗
r ⃗
r
⃗
r2
⃗
r1
⃗
r3
De la geometría
⃗
r '1 = ⃗
r + ⃗
r1
⃗
r '2 = ⃗
r + ⃗
r2
⃗
r '3 = ⃗
r + ⃗
r3

Clase: 01 6/8
Estática
Definición
(∑⃗
M0)1
= (∑⃗
M0)2
→ ⃗
r1 × ⃗
F1 + ⃗
r2 × ⃗
F2 + ⃗
M 1 = ⃗
r3 × ⃗
F3 + ⃗
M 2 + ⃗
M 3
(∑⃗
M0')1
= (∑⃗
M0')2
→ ⃗
r '1 × ⃗
F1 + ⃗
r'2 × ⃗
F2 + ⃗
M 1 = ⃗
r '3 × ⃗
F3 + ⃗
M 2 + ⃗
M 3
(⃗
r + ⃗
r1) × ⃗
F1 + (⃗
r + ⃗
r2) × ⃗
F2 + ⃗
M 1 = (⃗
r + ⃗
r3) × ⃗
F3 + ⃗
M 2 + ⃗
M 3
⃗
r × (⃗
F1 + ⃗
F2) + ⃗
r1 × ⃗
F1 + ⃗
r2 × ⃗
F2 + ⃗
M 1 = ⃗
r × ⃗
F3 + ⃗
r3 × ⃗
F3 + ⃗
M 2 + ⃗
M 3
⃗
r × ⃗
F3 + ⃗
r1 × ⃗
F1 + ⃗
r2 × ⃗
F2 + ⃗
M 1 = ⃗
r × ⃗
F3 + ⃗
r3 × ⃗
F3 + ⃗
M 2 + ⃗
M 3
⃗
F1 + ⃗
F2 = ⃗
F3
⃗
r '1 = ⃗
r + ⃗
r1
⃗
r '2 = ⃗
r + ⃗
r2
⃗
r '3 = ⃗
r + ⃗
r3
⃗
r1 × ⃗
F1 + ⃗
r2 × ⃗
F2 + ⃗
M 1 = ⃗
r3 × ⃗
F3 + ⃗
M 2 + ⃗
M 3
Factorizando
Simplificando

Clase: 01 7/8
Estática
Ejemplo: enunciado
x
y
10 N
100
10 N
20 N
5 N
100
50
25
25
5 N
x
y
20 N
100
100
50
25
25
Sistema 1 Sistema 2
Son equivalentes??
O O

Clase: 01 8/8
Estática
Ejemplo: solución
(∑⃗
F)1
= 10 ^
i + 20 ^
i + 5 ^
j − 10^
i − 5 ^
j = 20^
i
(∑⃗
M0)1
= 50 ^
j × 20^
i + 100 ^
i × 5 ^
j − 100 ^
j × 10^
i = 500 ^
k (N -mm)
(∑⃗
F)2
= 20 ^
i
(∑⃗
M0)2
= 75 ^
j × 20^
i = −1500 ^
k (N - mm)
Se verifica
No se verifica
Conclusión
No son sistemas equivalentes

Clase: 02 1/9
Estática
Transformar
sistemas de fuerzas y momentos
en sistemas equivalentes más simples

Clase: 02 2/9
Estática
Sistema de fuerzas y momentos → UNA fuerza y UN par
Sistema 1 Sistema 2
F2
F3
M 2 F
M
Fn
F1
M m
M1
(∑⃗
F)2
= (∑⃗
F)1
→ ⃗
F = (∑
i=1
n
⃗
Fi)1
(∑⃗
M0)2
= (∑⃗
M0)1
→ ⃗
M = (∑
i=1
m
⃗
Mi)1
+ (∑
i=1
n
(⃗
roi × ⃗
Fi))1
O
O

Clase: 02 3/9
Estática
Una fuerza → UNA fuerza y UN par
Sistema 1 Sistema 2
F
M
F p
(∑⃗
F)2
= (∑⃗
F)1
→ ⃗
F = ⃗
Fp
(∑⃗
M0)2
= (∑⃗
M0)1
→ ⃗
M = ⃗
r × ⃗
Fp
O
O
P
r

Clase: 02 4/9
Estática
Fuerzas concurrentes → UNA fuerza
Sistema 1 Sistema 2
F
F1
(∑⃗
F)2
= (∑⃗
F)1
→ ⃗
F = ⃗
F1 + ⃗
F2 + ⃗
F3 + ⋯ + ⃗
Fn
O
O
F2
F3
Fn

Clase: 02 5/9
Estática
Fuerzas paralelas → UNA fuerza
Sistema 1 Sistema 2
F
O
F2
F3
Fn
r
O
(∑⃗
M0)2
= (∑⃗
M0)1
→ ⃗
r × ⃗
F = ⃗
r1 × ⃗
F1 + ⃗
r2 × ⃗
F2 + ⃗
r3 × ⃗
F3 + ⋯ + ⃗
rn × ⃗
Fn
(∑⃗
F)2
= (∑⃗
F)1
→ ⃗
F = ⃗
F1 + ⃗
F2 + ⃗
F3 + ⋯ + ⃗
Fn
F1

Clase: 02 6/9
Estática
Ejemplo: enunciado
Representar por una sola fuerza el sistema de fuerzas paralelas
Sistema 1 Sistema 2

Clase: 02 7/9
Estática
Ejemplo: solución
El sistema 2, debe cumplir:
(∑⃗
F)2
= (∑⃗
F)1
⃗
F = 20 ^j − 10 ^j + 30 ^
j
⃗
F = 40 ^
j (N )
(∑⃗
M0)2
= (∑⃗
M0)1
⃗
r × ⃗
F = ⃗
r1 × (20 ^
j) + ⃗
r2 × (−10 ^j) + ⃗
r3 × (30 ^
j)
(x ^
i + y ^j + z ^
k) × (40 ^j) = (−3^
i − 2 ^
k ) × (20 ^j) + (2 ^
i + 4 ^
k) × (−10 ^
j) + (6 ^
i + 2 ^
k) × (30 ^j)
(−40⋅z ^
i + 40⋅x ^
k ) = (40 ^
i − 60 ^
k ) + (40 ^
i − 20 ^
k) + (−60 ^
i + 180 ^
k)
−40⋅z = 20
40⋅x = 100
x = 2.5 (m)
z = −0.5 (m)

Clase: 02 8/9
Estática
Ejemplo: enunciado
La sustentación sobre un ala de un avión está representada por 8 fuerzas.
La magnitud de cada fuerza está dada por la función:
200
√1−( x
17)
2
(N )
Si la sustentación se representa por una sola fuerza,
determinar la magnitud y ubicación de ésta.

Clase: 02 9/9
Estática
Ejemplo: solución
El sistema equivalente solicitado debe tener la forma:
(∑⃗
F)2
= (∑⃗
F)1
⃗
F = ⃗
F1 + ⃗
F2 + ⋯⋯ + ⃗
F8
⃗
F1 = 198.6 (N) ⃗
F2 = 194.4 (N )
⃗
F3 = 187.1 (N) ⃗
F4 = 176.5 (N )
⃗
F5 = 161.7 (N) ⃗
F6 = 141.7 (N )
⃗
F7 = 113.5 ( N ) ⃗
F8 = 67.6 (N )
⃗
F = 1241.1 (N )
(∑⃗
M0)2
= (∑⃗
M0)1
D⋅F = 2⋅F 1 + 4⋅F 2 + 6⋅F3 + 8⋅F4 +
10⋅F5 + 12⋅F6 + 14⋅F7 + 16⋅F8
D⋅F = 9697.4
D = 7.81 ( pies)

Clase: 03 1/13
Estática
Transformar
sistemas de fuerzas y momentos aplicados sobre una línea

Clase: 03 2/13
Estática
Cargas distribuidas sobre una línea
x
y
y
x
ω(x)
Ripio apilado
sobre una superficie
Representación
de la carga sobre
una línea
L
L

Clase: 03 3/13
Estática
y
x
ω(x)
Representación
de la carga sobre
una línea
Carga total
sobre la línea
M o =∫0
L
xω(x)dx
x dx
o
Momento de la carga
respecto al origen
dF ω = ω(x)dx
dM o = xdFω
Fω =∫0
L
ω( x)dx

Clase: 03 4/13
Estática
y
x
ω(x)
Sistema 1
L
y
x
Sistema 2
L
Fω
x̄
(∑⃗
F)2
= (∑⃗
F)1
→ Fω =∫0
L
ω (x)dx
(∑⃗
M0)2
= (∑⃗
M0)1
→ x Fω =∫0
L
xω (x)dx
o
o
x =
∫0
L
xω (x)dx
∫0
L
ω (x)dx
→

Clase: 03 5/13
Estática
Analogía: carga - área
x =
∫A
x dA
∫A
dA
y
x
x dx
o
dA
y
x
ω(x)
x dx
o
dFω = ω(x)dx
dA = ω(x)dx
Fω = A
Fω = ∫0
L
ω (x)dx → Fω = ∫0
L
dA x Fω =∫0
L
xω (x)dx → x Fω =∫0
L
xdA
Centroide
Fuerza total

Clase: 03 6/13
Estática
Centroide de carga uniforme
y
x
ω(x) = ω
o
L
Fω = A
Fuerza total
Fω = ∫0
L
dA → Fω =∫0
L
ω dx
Fω = ω L
x̄ =
L
2
Centroide x =
∫A
xdA
∫A
dA
∫0
L
x dA = ∫0
L
xω dx =
L
2
2
ω
y
x
x dx
o
L
ω
dA = ωdx
y
x
o
L
ω L
1
2
L

Clase: 03 7/13
Estática
Centroide de carga triangular
y
x
ω(x) =
ω0
L
x
o
L
ω0
Fω = ∫0
L
dA → Fω =∫0
L ω0
L
xdx
Fω =
1
2
ω0 L
x =
2
3
L
∫0
L
x dA = ∫0
L
x
ω0
L
x dx =
L
2
3
ω0
y
x
o
L
1
2
ω0 L
2
3
L
y
x
x dx
o
L
dA = ω(x)dx
ω0
Fω = A
Fuerza total
Centroide x =
∫A
xdA
∫A
dA

Clase: 03 8/13
Estática
Centroide de cargas compuestas (integración)
y
x
ω(x) = ω0 +
ωL − ω0
L
x
o
L
ω0
A =∫0
L
dA → A = ∫0
L
ω0 +
ω L − ω0
L
x dx
Fω =
L
2
(ω L + ω0)
y
x
o
ωL
Fω = A
Fuerza total
ωL
ω0
x dx
L
dA = ω(x)dx
A =∫0
L
ω0 dx + ∫0
L ω L − ω0
L
x dx
A = ω0 L +
1
2
L(ωL − ω0)

Clase: 03 9/13
Estática
Centroide de cargas compuestas (integración)
y
x
ω(x) = ω0 +
ωL − ω0
L
x
o
L
ω0
y
x
o
ωL
ωL
ω0
x dx
L
dA = ω(x)dx
x =
L
3 (2ω L + ω0
ωL + ω0
)
Centroide x =
∫A
xdA
∫A
dA
∫0
L
x dA = ∫0
L
x(ω0 +
ω L − ω0
L
x)dx
∫0
L
x dA = ∫0
L
xω0 dx + ∫0
L
x(ω L − ω0
L
x)dx
∫0
L
x dA =
L2
2
ω0 +
L2
3
(ωL − ω0)
∫0
L
x dA =
L
2
6
(ω0 + 2ωL)

Clase: 03 10/13
Estática
Centroide de cargas compuestas (sumatoria)
Fω = A
Fuerza total
A =∫0
L
ω0 dx + ∫0
L ω L − ω0
L
x dx
A = ∫A1
dA + ∫A2
dA
A = ∑
i
∫Ai
dA = ∑
i
Ai
A1 = ω0 L
A2 =
L
2
(ω L − ω0)
Fω =
L
2
(ω L + ω0)
Fω = ∑
i
Ai
y
x
ω(x) = ω0 +
ωL − ω0
L
x
o
L
ω0
y
x
o
L
ωL − ω0
ωL
ω0 A1
A2

Clase: 03 11/13
Estática
Centroide de cargas compuestas (sumatoria)
y
x
ω(x) = ω0 +
ωL − ω0
L
x
o
L
ω0
y
x
o
L
ωL − ω0
ωL
ω0 A1
A2
Centroide x =
∫A
xdA
∫A
dA
∫0
L
x dA = ∫0
L
xω0 dx + ∫0
L
x(ω L − ω0
L
x)dx
∫0
L
x dA = ∫A1
xdA + ∫A2
xdA
∫0
L
x dA = ∑
i
∫Ai
xdA = ∑
i
xi Ai x =
∑
i
xi Ai
∑
i
Ai
x̄ =
L
3 (2ω L + ω0
ωL + ω0
)
A1 = ω0 L A2 =
L
2
(ω L − ω0)
x1 =
L
2
x =
2
3
L

Clase: 03 12/13
Estática
Centroide de cargas compuestas (posibilidades de análisis)
y
x
o
L
L
2
(ωL − ω0)
2
3
L
ω0 L
L
2 L
2
(ωL + ω0)
L
3 (2ω L + ω0
ω L + ω0
)

Clase: 03 13/13
Estática
Centroides y Centros de masa
Entidad
geometrica
Magnitud Centroide Centro de masa
Línea
Superficie
Volumen
L =∫L
dL = ∑
i
Li
V = ∫V
dV = ∑
i
Vi
A =∫A
dA = ∑
i
Ai
x =
∫L
xdL
∫L
dL
=
∑
i
xi Li
∑
i
Li
x =
∫V
xdV
∫V
dV
=
∑
i
xi Vi
∑
i
Vi
x =
∫A
xdA
∫A
dA
=
∑
i
xi Ai
∑
i
Ai
para las direcciones y, z reemplazar x por y , z
x =
∫L
x ρ L dL
∫L
ρ L dL
=
∑
i
xi(ρ L)i Li
∑
i
(ρ L)i Li
x =
∫A
x ρ A dA
∫A
ρ A dA
=
∑
i
xi(ρ A)i Ai
∑
i
(ρ A)i Ai
x =
∫V
x ρV dV
∫V
ρV dV
=
∑
i
xi(ρV )iV i
∑
i
(ρV )iV i

Clase: 04 1/8
Estática
Transformar
sistemas de fuerzas y momentos aplicados sobre una línea

Clase: 04 2/8
Estática
Ejemplo: enunciado
La viga de la figura está sometida a una carga distribuida, una fuerza y un par.
Determinar las reacciones en A.
w( x) = 300 x−50 x2
+0.3 x4
(lb/ pie)
La ecuación de la fuerza distribuida es:

Clase: 04 3/8
Estática
Ejemplo: solución
a) Diagrama de cuerpo libre

Clase: 04 4/8
Estática
Ejemplo: solución
b) Fuerza total ejercida por w( x)
Fw =∫0
10
(300 x−50 x
2
+0.3 x
4
)dx
Fw = 4333.3 (lb)
(M w)A = ∫0
10
x(300 x−50 x
2
+0.3 x
4
)dx
(M w)A = 25000 (lb- pie)
d) Ecuaciones de equilibrio
∑ Fx = 0 → Ax = 0
∑ F y = 0 → Ay+2000−4333,3 = 0
∑ M A = 0 → M A+20⋅2000+10000−25000 = 0
Ax = 0
Ay = 2333.3 (lb)
M A =−25000 (lb- pie)
c) Momento ejercido por w( x) respecto al punto A

Clase: 04 5/8
Estática
Ejemplo: solución
Fw
x̄
a) Diagrama de cuerpo libre

Clase: 04 6/8
Estática
Ejemplo: solución
b) Fuerza total ejercida por w( x)
Fw = 4333.3 (lb)
(M w)A = 25000 (lb- pie)
e) Ecuaciones de equilibrio
∑ Fx = 0 → Ax = 0
∑ F y = 0 → Ay+2000−Fw = 0
∑ M A = 0 → M A+20⋅2000+10000−x̄ Fω = 0
Ax = 0
Ay = 2333.3 (lb)
M A =−25000 (lb- pie)
c) Momento ejercido por w( x) respecto al punto A
Fw
x̄
d) Centroide del área w( x)
x̄ =
(M ω)A
Fω
→ x̄ = 5.77'

Clase: 04 7/8
Estática
Ejemplo: enunciado
La viga está sometida a dos fuerzas distribuidas.
Determinar las reacciones en A y B.

Clase: 04 8/8
Estática
Ejemplo: solución
Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
∑ Fx = 0 → 2400+1200+Ax = 0
∑ F y = 0 → Ay+B−2400 = 0
∑ M A = 0 → 6⋅B−3⋅2400−2⋅1200−3⋅2400 = 0 Ax = −3600 (N )
Ay =−400 (N )
B = 2800 (N )

Clase: 05 1/9
Estática
Transformar
la carga debida a una distribución de presión

Clase: 05 2/9
Estática
Fuerza ejercida por la presión sobre una superficie
x
z
y
p(x , y)
F p =∫A
p( x , y)dA
x
z
y
F p
x
z
y
dF p = p dA
dA
x
y
Sistema 2
Sistema 1
(∑⃗
F)2
= (∑⃗
F)1

Clase: 05 3/9
Estática
Centro de presión
x
z
y
p(x , y)
x
z
y
F p
x̄
ȳ
o
(∑⃗
M0)2
= (∑⃗
M0)1
Sistema 2
Sistema 1
(x̄ ^
i + ȳ ^
j) × (−F p
^
k) =∫A
(x ^
i + y ^
j) × (− pdA ^
k )
− ȳ F p
^
i + x̄ F p
^
j =∫A
− y p dA^
i + ∫A
x p dA ^
j
x̄ =
∫A
x pdA
∫A
pdA
ȳ =
∫A
y p dA
∫A
pdA

Clase: 05 4/9
Estática
Presión de un líquido en reposo
A
x
po
po
p(x)
p(x)
∑ Fx = 0 → po A − p(x) A + W = 0
W = γ A x p( x) = po + γ x
W

Clase: 05 5/9
Estática
Ejemplo: enunciado
La compuerta tiene agua por el lado derecha hasta una altura de 2 pies.
El ancho de la compuerta es de 3 pies y su peso es de 100 lb.
El peso por unidad de volumen del agua es 62.4 lb/pie3
Determinar las reacciones en los soportes A y B.

Clase: 05 6/9
Estática
Ejemplo: solución
Primer método.
Las cargas sobre la compuerta se calculan
integrando la presión en el dominio.
La presión atmosférica produce una repartición
uniforme de carga y el líquido produce una
repartición triangular de carga.
La presión atmosférica actúa sobre todos
los lados de la compuerta, por lo tanto
su efecto se anula.
La carga sobre la compuerta se debe
a la presión ejercida por el líquido.

Clase: 05 7/9
Estática
Ejemplo: solución
F = ∫A
pdA = ∫A
γ x dA
dA = 3dx
F = ∫0
2
62.4⋅x⋅3dx
F = 374.4(lb)
Momento respecto al eje y:
M y =∫0
2
x⋅γ⋅x⋅3dx
M y = 499.2(lb- pie)
Centro de presión:
xp =
M y
F
→ xp = 1.33( pies)
Considerando un elemento diferencial de área,
el valor de la carga se obtiene según:

Clase: 05 8/9
Estática
Ejemplo: solución
Segundo método.
Se determina un sistema equivalente
utilizando la analogía entre
área-volumen con el valor de la carga
(3 pie)
F =
1
2
b⋅h =
1
2
3⋅2⋅γ⋅2
F = 374.4(lb)
xp =
2
3
h =
2
3
⋅2 → xp = 1.33( pies)

Clase: 05 9/9
Estática
Ejemplo: solución
Diagrama de cuerpo libre
∑ Fx = 0 → 100+ Ax = 0
∑ Fz = 0 → B+ Az−374.4 = 0
∑ M A = 0 → (2−1.33)⋅374.4−3⋅B = 0
Ax = −100 (lb)
Az = 290.8 (lb)
B = 83.6 (lb)

Clase: 06 1/6
Estática
Transformar
la carga debida a una masa de agua

Clase: 06 2/6
Estática
Ejemplo: enunciado
Considerando 1 pie de largo del dique, determinar:
a) Las resultantes de las reacciones ejercidas por el suelo sobre la base AB del dique.
b) La resultante de la fuerza ejercida por el agua sobre la cara BC del dique.
La densidad del concreto es 150 lb/pie3
y del agua es 62.4 lb/pie3

Clase: 06 3/6
Estática
Ejemplo: diagrama de cuerpo libre
P = (24 pies)(62.4 lb/ pie
3
)(1 pie)

Clase: 06 4/6
Estática
Ejemplo: cálculo de fuerzas
W 1 =
1
2
bx⋅hy⋅γ =
1
2
9⋅24⋅150 = 16200(lb)
x̄1 =
2
3
bx =
2
3
9 = 6( pies)
W 2 = bx⋅hx⋅γ = 7⋅24⋅150 = 25200(lb)
¯
x2 =
bx
2
=
7
2
= 3.5( pies)
W 3 =
1
3
bx⋅hx⋅γ =
1
3
10⋅24⋅150 = 12000(lb)
x̄3 =
3
10
bx =
3
10
⋅10 = 3.0( pies)
W 4 =
2
3
bx⋅hx⋅γ =
2
3
10⋅24⋅62.4 = 9984(lb)
¯
x4 =
3
5
bx =
3
5
⋅10 = 6.0( pies)
P =
1
2
bx⋅hx =
1
2
(24⋅62.4⋅1)⋅24 = 17971.2(lb)
ȳ =
1
3
hy =
1
3
⋅24 = 8.0( pies)
P = (24 pies)(62.4 lb/ pie
3
)(1 pie)

Clase: 06 5/6
Estática
Ejemplo: ecuaciones de equilibrio
∑ Fx = 0 → H − P = 0
∑ F y = 0 → V − W 1 − W 2 − W 3 − W 4 = 0
∑ M A = 0 → M − 6⋅W 1 − 12.5⋅W 2 − 19⋅W 3 − 22⋅W 4 + 8⋅P = 0
H = 17971.2 (lb)
V = 63384 (lb)
M = 716080 (lb- pie)

Clase: 06 6/6
Estática
Ejemplo: diagrama de cuerpo libre y equilibrio
∑ Fx = 0 → Rcosα − P = 0
∑ F y = 0 → R senα − W 4 = 0
R=20547.4 (lb)

ET30_Sistemas-Equivalentes.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a ET30_Sistemas-Equivalentes.pdf

Similar a ET30_Sistemas-Equivalentes.pdf (20)

Último

Último (20)

ET30_Sistemas-Equivalentes.pdf