1. Carlos Alberto BermúdezMejía
DESARROLLO DEL TEOREMA DE BETTI
Enrico Betti 1972
Para desarrollar el teorema de Betti, consideremos una estructura sujeta a dos conjuntos de
cargas, A y B, como se muestra en la Figura 1.10. Si el conjunto A se aplica a la estructura
primero, entonces la expresión para el trabajo externo realizado es:
Donde el superíndice A indica cantidades del conjunto A. Si el conjunto B se aplica
entonces, con el conjunto A aún actuando sobre la estructura, el trabajo externo hecho será:
Figura 1.10
Página
1
El superíndice B indica cantidades del conjunto B. No hay factor de ½ en el segundo
término debido a que las cargas del conjunto A no generan los desplazamientos
pero sí
realizan un trabajo al experimentar dichos desplazamientos.

2. Carlos Alberto BermúdezMejía
El trabajo total realizado sobre la estructura después de aplicar los dos conjuntos de cargas
es:
Si las cargas del conjunto B se aplican a las estructura primero, el trabajo externo realizado
es:
Si el conjunto A se aplica después a la estructura, con el conjunto B aún actuando sobre la
estructura, el trabajo externo será:
El trabajo total realizado al aplicar esta secuencia de cargas está representado por la
expresión:
Página
2
El trabajo total realizado en las dos secuencias de carga es el mismo por lo que se pueden
igualar las ecuaciones 1.8 y 1.9 y se obtiene:

3. Carlos Alberto BermúdezMejía
La ecuación 1.10 es la expresión matemática del teorema de Betti. Significa que en una
,
estructura linealmente elástica el trabajo realizado por un conjunto de cargas externas
actuando a través de los desplazamientos debidos a un conjunto de fuerzas externas
, es
, actuando a través de los desplazamientos
igual al trabajo realizado por las fuerzas
debidos al conjunto de fuerzas
.
El teorema reciproco de Maxwell puede desarrollarse al aplicar el teorema de Betti a un
tipo particular de carga. Así, si consideramos que las cargas del conjunto A consisten en
una carga unitaria aplicada en el grado de libertad i y que las cargas del conjunto B
consisten en una carga unitaria aplicada en el grado de libertad j y, puesto que por
definición fij es igual al desplazamiento de i debido a la fuerza unitaria aplicada en j,
tenemos en base a la ecuación 1.10:
1.fij = 1.fji
fij = fji
(Ecuación 1.11)
Página
3
La anterior es la expresión matemática del teorema reciproco de Maxwell. Significa que
para una estructura linealmente elástica la deflexión en un grado de libertad i debida a la
carga unitaria aplicada en un grado de libertad j es igual a la deflexión en j debida a una
carga unitaria aplicada en i.