Libro de vigas completo

Fuerzas de fijación y momentos
de empotramiento en vigas
43 y más
Ortiz David
Palomino Alex Henrry
Miranda Albert Richard
Martínez Hugo
Edición revisada
𝐴
𝐿/2 𝐿/2
𝑊 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝐴 𝐵
𝐿
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑤0
𝑊 = 𝑤𝑜 𝑒 𝑎𝑥

ACERCA DE LOS AUTORES
David Ortiz Soto (México)
Ingeniero Civil egresado de la Universidad Nacional Autónoma de
México (UNAM), FES Aragón, con Maestría en Ingeniería Civil, área
de estructuras, efectuada en el Instituto Politécnico Nacional (IPN),
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), UZ, donde fue
representante de la comunidad estudiantil de posgrado.
Actualmente se encuentra desarrollando el protocolo del doctorado
en la Facultad de Ingeniería, UNAM.
Es docente activo y secretario de la carrera de Ingeniería Civil en el Tecnológico Nacional de México,
Instituto Tecnológico de Iztapalapa III. Durante el 2015 y el 2016 fue profesor en la ESIA UZ IPN.
Entre las asignaturas que imparte o ha impartido están Estática, Estructuras Isostáticas, Mecánica
de Materiales, Fundamentos de la Mecánica de Medio Continuo, Análisis Estructural, Análisis
Estructural Avanzado y Dinámica Estructural. De igual manera es catedrático de la Universidad
DeLaSalle Bajío (León, Guanajuato) a nivel posgrado, donde dicta el curso de Ingeniería de
Cimentaciones en la Maestría en Estructuras.
El Maestro en Ingeniería David Ortiz ha participado en calidad de ponente de conferencias, cursos y
talleres en diversos congresos, simposios y ciclos de conferencias nacionales e internacionales,
contando ya con cuatro giras a Sudamérica. Ha disertado de manera destacada en universidades
tales como UJED (Durango), ITS Lagos de Moreno (Jalisco), ITI III y ESIA UZ IPN (Cd. de México),
TESJI (Estado de México), ITT (Tlaxiaco, Oaxaca), UJCM (Moquegua, Perú), UPT (Tacna, Perú),
UTO (Oruro, Bolivia), UPEA (La Paz, Bolivia), UPS (Quito, Ecuador) y UNACH (Chimborazo,
Ecuador). En agosto del 2016 impartió una conferencia y un workshop en el Encuentro Nacional de
Estudiantes de Arquitectura, organizado por UNEA, con sede en Oruro, Bolivia.
Ha escrito y compartido para su descarga gratuita los libros:” Estructuras Isostáticas en 2D:
Problemas Resueltos”, “Resolución de Armaduras en 2D con el Método Matricial de la Rigidez”,
“Análisis de Estructuras: Problemas Resueltos”. Sus obras literarias se han caracterizado por
contener mensajes de toque social, de reflexión y hasta cierto punto contestatarios.
Ha presentado sus libros en el programa “Profesionistas por el progreso” de la televisora ASTL.TV
del Consejo Nacional de Egresados Politécnicos, así como en el programa “Ingenio civil” de Nuestra
Voz Radio: La voz del pueblo organizado.
Forma parte del equipo de editores de la web de Ingeniería civil más destacada de América Latina,
civilgeeks.com.

Alex Henrry Palomino Encinas (Perú)
Bachiller en Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de
Cajamarca (UNC). Cuenta con especialización en cálculo y diseño
de concreto armado y albañilería, estructuras de contención y
cimentaciones, reservorios, puentes, así como en evaluación y
diseño por desempeño de edificios.
Ha participado en calidad de ponente de conferencias, cursos y talleres en diversos congresos y
ciclos de conferencias nacionales e internacionales. Realizó su primera gira internacional en Bolivia,
teniendo intervenciones destacadas en la UTO (Oruro) y la UPEA (La Paz) en el 2015. En ese mismo
año disertó nuevamente en Bolivia. En enero del 2016 impartió su primera conferencia en América
del Norte dentro del evento “Primera Jornada Internacional de Ingeniería Civil” en el Tecnológico
Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III.
Es autor de los siguientes manuales, de los cuales ha compartido algunas de sus partes para su
descarga gratuita: “Manual para los estudiantes del ETABS”, “Diseño de cimentaciones superficiales
con el uso de SAFE- teoría y práctica”, “Diseño de reservorios apoyados de concreto armado con
SAP 2000”, “Cálculo y diseño de edificios de concreto armado con ETABS”, “Manual de análisis
estático y dinámico- NTE E.030”, “Manual de AutoCAD Estructural Detailing”, entre otros.
Ha publicado diversos videos tutoriales de Ingeniería Estructural y actualmente se dedica a dictar
cursos especializados de forma independiente sobre distintos temas de Ingeniería Estructural. Forma
parte del equipo de editores de la web de Ingeniería civil más destacada de América Latina,
civilgeeks.com.
Albert Richard Miranda Sivila (Bolivia)
Licenciatura en Ingeniería Civil en la Universidad Católica Boliviana “San
Pablo” (Graduado por Excelencia). Maestría en Ingeniería Civil, área de
Estructuras, en la ESIA UZ IPN, México (Graduado con Mención
Honorífica).
Dentro de su experiencia laboral está: a) Sub Gerente Técnico,
Departamento de Ingeniería. VSL Corporation México SA de CV. Análisis
y diseño de estructuras postensadas (Julio de 2014 - a la fecha);
b) Ingeniero de Proyecto, Departamento de Ingeniería. VSL Corporation México SA de CV. Análisis y
diseño de estructuras postensadas (Febrero de 2014 - Junio de 2014); c) Consultor en Diseño de
ingeniería y Supervisión de Proyectos de Obras Civiles (Puentes, Edificios, Colegios). Empresa
Consultora Unión S.R.L-Bolivia. (Octubre de 2009- Diciembre 2011); d) Profesor de Asignatura,
Universidad Católica Boliviana “San Pablo”, asignaturas: Estática I, Estática II, Fundaciones I. (Agosto
de 2009- Diciembre 2011).
Participó como ponente de una conferencia en la “Primera Jornada Internacional de Ingeniería Civil”
en el Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III.

Hugo Martínez Hernández (México)
Ingeniero Civil egresado del Instituto Politécnico Nacional (IPN),
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), UZ. Ahí mismo
estudió la Maestría en Ingeniería Civil, área de estructuras, en la
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, graduándose con
mención honorífica. Actualmente efectúa el doctorado en la Escuela
Superior de Ingeniería Mecánica (ESIME) del IPN.
Desde el 2015 hasta la fecha es docente de la ESIA UZ IPN, en la que imparte asignaturas como
Estructuras Isostáticas, Mecánica de Materiales y Análisis Estructural.
Ha sido invitado por diversas Instituciones para impartir cursos y conferencias. Destacan sus
participaciones en la FES Aragón (UNAM), ESIA Tecamachalco (IPN) e Instituto Tecnológico de
Iztapalapa III.
Es coautor en el libro” Estructuras Isostáticas en 2D: Problemas Resueltos”.
Ha disertado sobre temas de Ingeniería en “Profesionistas por el progreso” de la televisora ASTL.TV
del Consejo Nacional de Egresados Politécnicos, así como en el programa “Ingenio civil” de Nuestra
Voz Radio: La voz del pueblo organizado.

Fuerzas de fijación y momentos de
empotramiento en vigas
43 y más

México 2016
Fuerzas de fijación y momentos de
empotramiento en vigas 43 y más
Ortiz Soto David
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores Aragón
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Iztapalapa III
Universidad DeLa Salle Bajío
Alex Henrry Palomino Encinas
Universidad Nacional de Cajamarca
Facultad de Ingeniería
Albert Richard Miranda Sivila
Universidad Católica Boliviana “San Pablo”
Martínez Hernández Hugo
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica
Revisión Técnica Internacional (Bolivia):
Ms. Luis Cabrera Fernández
Universidad Técnica de Oruro
Facultad Nacional de Ingeniería
Universidad Autónoma Juan Misael Saracho

Datos de catalogación bibliográfica
Ortiz, D., Palomino, A. H., Miranda, A. R., et al.
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas
Primera edición
INDEPENDIENTE, México, 2016
Distribuidora virtual oficial: CivilGeeks
Número de Registro de Obra 03-2018-072610390400-01
Área: Ingeniería
Formato: Carta 21.6 cm x 27.9 cm
Reservados todos los derechos. Se aclara que los autores del presente libro han colocado el
contenido de este para su descarga gratuita y permiten su libre difusión sin fines lucrativos.
Únicamente ellos están facultados para la venta de esta obra en físico.
Por consiguiente, no está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su
tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o cualquier medio, ya sea
electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos con fines lucrativos u
otros propósitos que no tengan el consentimiento previo por escrito de los autores, según
sea el caso.
DERECHOS RESERVADOS 2018, por David Ortiz Soto, Alex Henrry Palomino Encinas, Albert
Richard Miranda Sivila y Hugo Martínez Hernández. Obra inscrita en el Registro Público del
Derecho de Autor, SEP, INDAUTOR.
Impreso en México

V
DEDICATORIAS
Ortiz David
Dedico de manera especial este libro a Dios, a mis padres Clara y Antonio, así como a mis hermanos
José Carlos y Antonio.
A mis abuelas Paulina Ramírez y Juana Marín.
A mis sobrinos Diego y Antonio.
A Fidel, Anahí y Guadalupe.
He sido bendecido por el apoyo y afecto que me ha brindado cada uno de los miembros de mi familia
a lo largo de mi vida, lo cual les agradezco infinitamente, incluyendo a aquellos que se han
adelantado (abuelos Rafael y Antonio, y tía Lucía).
A mis alumnos del Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (UZ),
y del Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III.
Con toda sinceridad, les doy las gracias a todos mis amigos, compañeros, profesores y colegas que
siempre me han respaldado.
A todas las personas de México y del extranjero que directa o indirectamente me han apoyado y/o
han depositado su confianza en mí.
A los lectores por su incondicional apoyo, pues gracias a ellos mi filosofía está más viva que nunca...
“La información no es sólo para el que la paga, es para todos” y “No hay fronteras ni banderas para
el conocimiento”.
Palomino Alex Henrry
Dedico este libro a todas las personas que con su apoyo sincero han contribuido a encaminar mi
sendero hacia la superación constante, permitiéndome encontrar en la escritura una forma libre de
expresarme, con ideas objetivas; con humildad, contribuyendo con la educación superior teniendo
siempre en mente que tenemos cierta obligación de transmitir lo que sabemos a las nuevas
generaciones de profesionales que nos siguen. Porque el conocimiento académico debe ser libre y
sin políticas de restricción, dedico este libro a todos los estudiantes de ingeniería en el mundo.
En lo personal, dedico este libro a mis padres, Edmundo Palomino Bazán y Rudí Encinas Vega y a
mis hermanos Miguel, Franco, Dorisa, Carlos y hermana menor Iris.
A todos los ingenieros del Perú y el extranjero que desde el inicio me han dado su apoyo y respaldo,
en especial al Ing. Napoleón Franklin Cueva Guerra y compañero de promoción, el Ing. Christian
Gonzalo Salcedo Malaver.
A todos mis amigos de mi entorno, tanto del Perú como del extranjero, muchas gracias por esa
confianza depositada.

DEDICATORIAS
VI
Miranda Albert Richard
Dedico esta obra a quienes necesitan un empujoncito adicional para comprender el comportamiento
estructural y no se rinden, a quienes buscan superarse día a día a pesar de las dificultades, a quienes
la carencia de recursos no significa un pretexto para la ignorancia, a quienes no se conforman con
lo aprendido en las aulas y buscan más, a quienes la venganza no los consume sino que les renueva
las fuerzas para luchar, a quienes el espíritu de superación puede más que la injusta desigualdad
que gobierna nuestro mundo. No hay pretextos válidos, no hay venganzas justificadas, hay historia
aprendida y un mundo esperando por mejores personas en mente y corazón.
Martínez Hugo
A mis padres y hermanos, por su apoyo incondicional.
A mis amigos, que siempre han estado a mi lado en todo momento.
Todos los autores
En primera instancia, agradecemos enormemente al Máster de Bolivia Luis Cabrera Fernández por
el apoyo que nos brindó con la revisión técnica de esta obra, así como por su gran amistad, por ende,
le rendimos un homenaje por su brillante trayectoria como ingeniero civil.
A la memoria de Hugo…Dedicamos de manera especial este libro a un gran amigo boliviano, el Ing.
Hugo Moreno Parada, egresado de la Facultad Nacional de Ingeniería, Universidad Técnica de
Oruro. Luego de su partida a la presencia de Dios, siempre lo recordaremos como una gran persona
y un excelente colega.
A Sheila Sotomayor y John Rojas, creadores de la web Civilgeeks.com, la cual es la distribuidora
virtual oficial de esta y todas nuestras obras literarias. A todas las demás webs que también nos
apoyan con la difusión de este texto.
A todas las Universidades de los diferentes países de América del Norte y del Sur que nos han
brindado un espacio para disertar en distintos eventos. A la UJED (Durango), ITS Lagos de Moreno
(Jalisco), ITI III y ESIA UZ IPN (Cd. de México), TESJI (Estado de México), ITT (Tlaxiaco, Oaxaca),
UJCM (Moquegua, Perú), UPT (Tacna, Perú), UTO (Oruro, Bolivia), UPEA (La Paz, Bolivia), UPS
(Quito, Ecuador) y UNACH (Chimborazo, Ecuador). A todos los estudiantes, docentes y directivos
que han contribuido para que ello sea posible y que además han hecho que nuestras estancias sean
de las mejores experiencias en nuestras vidas.
A la Unión Nacional de Estudiantes de Arquitectura de Bolivia.
A las Instituciones en las que nos hemos formado académicamente a nivel de Licenciatura y
Posgrado.
A los lectores, esperando que el contenido de este libro sea de su agrado y utilidad. Sin el apoyo de
ellos nada de esto sería posible.

VII
MENSAJE DE DAVID ORTIZ SOTO
Ante los recientes ataques que hemos sufrido algunos escritores altruistas en la escena de la
Ingeniería Estructural, tales como los intentos de sabotaje a los cursos de Alex Henrry o el hecho de
que webs oportunistas cobren dinero por descargar los aportes que Alex, Ph. D. Genner Villarreal y
yo hacemos cuando nosotros mismos, teniendo los derechos de autor, los colocamos para su
descarga gratuita, no me resta más que decir que seguiremos viendo a la literatura como una forma
de expresión para evidenciar un sistema injusto y perseguir nuestros ideales, aunque a algunos no
les parezca y por más que nos intenten derribar. Andaremos por la misma brecha de contribuir a
"Una educación universal, de calidad y al alcance de todos" como dice Genner, siempre pensaremos
que "La información no es sólo para el que la paga, es para todos", que "No hay fronteras ni banderas
para el conocimiento" y que "La clave está en ver a tus alumnos como el futuro para el gran cambio
que requerimos y no como tu competencia" como lo he venido promoviendo o como cita Alex
"Seguiremos escribiendo en favor de la comunidad de ingeniería en todo el mundo fomentando el
buen uso y las buenas prácticas"..."Larga vida a la escena autogestiva y altruista de la Ingeniería
Civil".

VIII
MENSAJE DE ALEX HENRRY PALOMINO ENCINAS
Empiezo este mensaje expresando mi infinito agradecimiento a todos ustedes que a través de mis
publicaciones hemos podido entablar amistad y compartido experiencias sobre temas de Cálculo,
Análisis y Diseño en la rama de Ingeniería Estructural. Todas nuestras publicaciones se realizan con
el objetivo de hacer saber a la comunidad que existen procedimientos y documentos que nos
permiten realizar ciertas acciones y ayudar en la toma de decisiones durante el proceso de diseño
de un proyecto cualquiera, esto es, que todo lo que han podido consultar hasta ahora tiene un
sustento técnico y criterios basados en los documentos que se hacen mención.
La filosofía de difusión de conocimiento de forma libre la tenemos bien clara y eso es lo que nuestro
grupo ha venido fomentando durante este corto tiempo que estamos activamente publicando a
menudo y como resultado de ello hemos recibido la aprobación del público objetivo porque damos a
conocer nuestra metodología y soluciones a inquietudes que muy pocas veces se logra encontrar o
se encuentra restringida ya sea por cuestiones de idioma o por cuestiones económicas.
Siempre nos realizan consultas, pero no a todos se les puede responder ese mismo día, ya que en
mi caso particular no solamente estoy escribiendo sobre temas de ingeniería, sino que también me
encuentro trabajando en el desarrollo de proyectos y eso suele hacerles pensar que somos
mezquinos en cuanto a compartir conocimiento se refiere. En esta aclaración quiero que sepan que
deben ser insistentes en cuanto a sus consultas ya que no son los únicos que preguntan.
Recientemente me di cuenta de los cientos de solicitudes de mensajes que tenía y me apena no
poderles haber respondido a tiempo y quiero pedirles disculpas por este inconveniente.
Por otro lado, debido a la manera original de exponer los temas de ingeniería estructural sustentados
de la mejor manera posible, nuestros seguidores nos han venido pidiendo desde el inicio que
desarrollemos cursos con temas específicos aplicativos a proyectos reales de ingeniería, petición
que gustosamente hemos sabido atender respondiendo con desarrollos detallados de uso y manejo
adecuado de software acompañado siempre de la teoría que lo sustenta, permitiéndonos demostrar
hipótesis y afirmaciones durante las exposiciones; acciones que nos han otorgado un prestigio y
trayectoria como ponentes y escritores, ya que nuestro trabajo es reconocido en todas partes del
mundo teniendo hasta peticiones de traducción al idioma inglés.
Hemos recibido invitaciones a participar en diversos eventos académicos nacionales e
internacionales, creo yo, en recompensa por nuestro trabajo realizado y reconocimiento que, por
supuesto, en respuesta a ello no realizamos ningún cobro por impartir talleres o clases enfocadas.
Este prestigio y trayectoria ganados de manera limpia, compitiendo siempre con conocimientos, ha
llevado a algunas personas a tener actitudes indeseables con supuestas campañas de desprestigio
y hasta decir que el material que entregamos es de otra persona, afirmación que para quienes nos
conocen es del todo ridícula, demostrando la poca educación personal que tienen, ya que mediante
cuentas de Facebook o correo electrónico sin identificación han intentado sabotear, sin éxito,
nuestras actividades.
Desde diversas partes del mundo les agradecemos el habernos tomado en cuenta. Seguiremos
escribiendo en favor de la comunidad de ingeniería en todo el mundo fomentando el buen uso y las
buenas prácticas.
Saludos cordiales.

IX
MENSAJE DE LOS AUTORES
A lo largo de nuestra corta trayectoria como escritores siempre hemos demostrado a través de las
obras escritas una gran solidaridad con los diferentes movimientos de lucha social y estudiantil.
En este libro brindamos un homenaje a los 43 estudiantes mexicanos desaparecidos de forma injusta
por el gobierno, en Ayotzinapa, Guerrero, México, de ahí que la portada tenga un 43; enseguida del
número citado aparecen las palabras “y más”, porque pretendemos evidenciar que los caídos,
oprimidos y marginados por el sistema somos muchos más. Nuestra portada básicamente de negro
es en alusión al luto que el pueblo mexicano vive hoy en día por tantos asesinatos injustos e impunes.
En ella, nuestros nombres se encuentran teñidos de rojo, en efecto, por la sangre derramada de un
pueblo que exige justicia y dignidad.
Va por aquellos que están luchando por un mundo mejor.
Dejamos en claro que toda clase de autoritarismo es reprobatoria y le decimos ¡no! al terrorismo de
Estado en México, ni en ningún país, de modo que repudiamos todo aquello que atente contra los
derechos humanos.
En todos los rincones del planeta, de distintas formas, pero todos unidos, conscientes y organizados
seguiremos resistiendo. Pensamos que América Latina es sólo una, y aún el mundo entero lo es.
A la memoria de los 43 normalistas…
43 y más
Ofrenda elaborada por estudiantes de la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (UZ) IPN
dentro de sus instalaciones en la que se rinde un homenaje a los 43 estudiantes normalistas

X
POEMAS Y FRASES POR DAVID ORTIZ SOTO
David Ortiz Soto, de nacionalidad mexicana, es un novel escritor de
Ingeniería. Su pasión por la poesía lo ha llevado a componer poemas
empleando un lenguaje propio de la Ingeniería Civil. El amor a su
profesión también ha propiciado que ingenie frases acordes a la
misma.
A continuación, se presentan algunos de sus poemas y frases con
más acogida por el público de la carrera citada.
Enamórate de un Ingeniero Civil o de una Ingeniera Civil
"Enamórate de un Ingeniero Civil para que te construya una gran historia de amor, te diseñe espacios
hermosos en tu vida, te modele un mundo lleno de felicidad y haga que vivas momentos máximos
junto a él…Él será siempre un soporte para ti y opondrá máxima resistencia ante solicitaciones
negativas, no permitiendo grandes deformaciones en una relación que siempre llevará al esfuerzo
admisible, incluso hasta el esfuerzo último, pero nunca a la falla, debido a que el límite del amor
cuando de él tienda hacia ti, será simple y sencillamente infinito".
"Enamórate de una Ingeniera Civil para que te construya una gran historia de amor, te diseñe
espacios hermosos en tu vida, te modele un mundo lleno de felicidad y haga que vivas momentos
máximos junto a ella…Ella será siempre un soporte para ti y opondrá máxima resistencia ante
solicitaciones negativas, no permitiendo grandes deformaciones en una relación que siempre llevará
al esfuerzo admisible, incluso hasta el esfuerzo último, pero nunca a la falla, debido a que el límite
del amor cuando de ella tienda hacia ti, será simple y sencillamente infinito”.
By David Ortiz Soto

XI
Un Ingeniero Civil sin limitantes
"No trates de ponerme un muro de longitud infinita para detener mis sueños, porque hallaré la
escalera de longitud ideal y la inclinaré a un ángulo necesario con respecto a la horizontal para
esquivarlo y seguir adelante."
By David Ortiz Soto
"Para un Ingeniero civil o una Ingeniera civil la distancia no sería un problema en una relación de
amor dado que puede despejarla de cualquier ecuación que la contenga, como la de la velocidad."
By David Ortiz Soto
"Ingeniería Civil, más que una profesión, una pasión e inspiración y un estilo de vida en sí."
By David Ortiz Soto
"Ingeniería Civil, tu habilidad de razonamiento e ingenio serán exigidos al máximo...Ahí donde
rendirse está prohibido."
By David Ortiz Soto

XII
Eres tú la persona que ama un Ingeniero Civil
Eres tú ese factor de seguridad que cubrirá mis fallas, incluso las de valores críticos.
Eres tú mi única variable de respuesta y mi constante en este mundo de infinitas variables.
Eres tú la mezcla perfecta de belleza e inteligencia diseñada para darle alta resistencia a nuestra
relación de amor estructuralmente estable.
Eres tú quien representa ese cimiento de longitud infinita y profundidad necesaria capaz de sostener
el peso propio de mis sueños.
Y soy yo quien será capaz de construir un muro con los ladrillos que te lancen quienes desean verte
caer.
Eres tú el principio para la superposición de mi cariño, respeto y amor por ti.
Aunque solicitaciones negativas quieran propiciar condiciones que lleven nuestra relación a la
frontera, nosotros preferimos darle siempre continuidad.
Eres tú la cuantía balanceada que fija los parámetros necesarios para mi irrefutable buen
comportamiento estructural.
Eres tú indudablemente mi línea de conducción a la felicidad
Siempre iremos de la mano siguiendo esa ruta crítica que nos lleve a la mejor toma de decisiones.
Juntos opondremos máxima resistencia ante los esfuerzos cortantes que intenten separarnos, pues
una conexión ha fijado nuestros corazones entre sí eternamente.
Eres tú ese momento máximo que me inspiró a escribir estas líneas.
By David Ortiz Soto

XIII
PREFACIO
El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en la formación académica de los estudiantes de
Ingeniería Civil, Arquitectura, Ingeniería Mecánica u otras carreras con afinidad, no obstante, también
se pretende que esta obra sirva de apoyo a los profesores que dictan los cursos de Análisis
Estructural y Mecánica de Materiales.
El énfasis de este libro es deducir las fórmulas de las “Fuerzas de Fijación y los Momentos de
Empotramiento” en vigas sometidas a distintos tipos de cargas con base en el método de
flexibilidades (de igual forma conocido como el método de las fuerzas). El uso de estas fórmulas es
necesario cuando se realiza el análisis estructural de una viga o un pórtico con el método de la rigidez
matricial o el método de Cross.
El método de flexibilidades es útil para determinar las fuerzas reactivas en los soportes de estructuras
hiperestáticas y se basa en el principio de superposición. Básicamente, plantea que una estructura
estáticamente indeterminada es equivalente a la suma de causas y efectos de una serie de
estructuras isostáticas, considerando la compatibilidad del desplazamiento de las mismas. Cabe
mencionar que solo es aplicable a un sistema estructural que responde en su rango elástico y lineal.
A continuación, se proporciona el enfoque seguido en esta obra. Exactamente 32 vigas
hiperestáticas son analizadas minuciosamente hasta el cálculo de sus reacciones en los apoyos. Las
solicitaciones aplicadas a las estructuras obedecen a fuerzas puntuales y distribuidas, y momentos
distribuidos y puntuales. Las cargas distribuidas actúan total o parcialmente sobre la longitud de la
estructura y pueden adquirir las siguientes formas: uniforme, variación lineal, parabólica, senoidal,
circular, elíptica, logarítmica, entre otras.

XV
CONTENIDO
1 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA AL CENTRO DEL CLARO .....................................1
2 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DISTRIBUIDA UNIFORME .........................................................................10
3 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA TRIANGULAR..............................................................................................15
4 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA TRIANGULAR SIMÉTRICA ........................................................................20
5 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA TRAPEZOIDAL ..........................................................................................26
6 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PARABÓLICA ............................................................................................31
7 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DE ENJUTA PARABÓLICA .......................................................................37
8 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA LOGARÍTMICA ...........................................................................................42
9 VIGA BIEMPOTRADA CON MOMENTO CONCENTRADO APLICADO AL CENTRO DEL CLARO ...................48
10 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO ......51
11 VIGA BIEMPOTRADA CON MOMENTO APLICADO EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO ..................55
12 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA INCLINADA EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO .......................58
13 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA SENOIDAL ................................................................................................63
14 VIGA BIEMPOTRADA CON MOMENTO DISTRIBUIDO UNIFORME .................................................................72
15 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA CIRCULAR DE UN CUARTO ...................................................................75
16 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA ELÍPTICA DE UN CUARTO .....................................................................80
17 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA PUNTUAL APLICADA AL CENTRO DEL CLARO
.....................................................................................................................................................................................84
18 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA DISTRIBUIDA UNIFORME ...............................86
19 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA TRIANGULAR SIMÉTRICA ..............................88
20 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA PARABÓLICA ...................................................90
21 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA TRIANGULAR ...................................................92
22 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA DE ENJUTA PARABÓLICA .............................94
23 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DISTRIBUIDA PARCIALMENTE UNIFORME .........................................96
24 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA TRIANGULAR PARCIALMENTE DISTRIBUIDA ...................................100
25 VIGA CON CARGA DISTRIBUIDA PARCIALMENTE UNIFORME CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO
ARTICULADO ..........................................................................................................................................................103
26 VIGA CON CARGA TRIANGULAR DISTRIBUIDA PARCIALMENTE CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO
ARTICULADO ..........................................................................................................................................................105
27 VIGA CON TRES CARGAS EQUIDISTANTES CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO ARTICULADO .....108
28 VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA CON CARGA UNIFORME CONCENTRADA EN UNA ZONA CENTRAL
...................................................................................................................................................................................111
29 VIGA EMPOTRADA-ARTICULADA CON CARGA UNIFORME CONCENTRADA EN UNA ZONA CENTRAL
...................................................................................................................................................................................117
30 VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA CON CARGA TRIANGULAR EN UNA PORCIÓN IZQUIERDA ............119
31 VIGA EMPOTRADA-ARTICULADA CON CARGA TRIANGULAR EN UNA PORCIÓN IZQUIERDA ..............124
32 VIGA EMPOTRADA-ARTICULADA CON MOMENTO APLICADO EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO
...................................................................................................................................................................................126
BIBLIOGRAFÍA .........................................................................................................................................................129

1
1 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PUNTUAL
APLICADA AL CENTRO DEL CLARO
SOLUCIÓN
Verificación del grado de indeterminación
En primer lugar debe determinarse el grado de indeterminación de la estructura real (𝐸𝑅), figura
1-a, para saber cuántas restricciones hiperestáticas eliminar; ese mismo número nos indicará la
cantidad de ecuaciones simultáneas a plantear más adelante para la resolución del problema. Con
base en el diagrama de cargas, figura 1-b, hay 𝑟 = 6 incógnitas de reacción, las cuales son 𝑅 𝐴𝑋, 𝑅 𝐴𝑌,
𝑀𝐴, 𝑅 𝐵𝑋 , 𝑅 𝐵𝑌 y 𝑀 𝐵 (cabe mencionar que cuando se identifican las reacciones en los soportes, el
sentido de cada una de ellas debe ser supuesto arbitrariamente al desconocerse la magnitud
correspondiente), así mismo, no se tiene alguna condición impuesta por la construcción (articulación
o rótula, conector cortante, etc.), es decir, 𝑐 = 0 . Por otra parte, existen 𝑛 = 3 ecuaciones de
equilibrio en el plano, que son ∑ 𝑀 = 0, ∑ 𝐹𝑋 = 0, ∑ 𝐹𝑌 = 0.
A partir de la ecuación +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0, dado que la viga no está sometida a cargas horizontales, se
obtiene directamente que 𝑅 𝐴𝑋 y 𝑅 𝐵𝑋 son nulas. Por consiguiente, ahora únicamente se tienen 𝑟 = 4
fuerzas reactivas y 𝑛 = 2 ecuaciones de la Estática. En consecuencia, la viga es estáticamente
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑃
Figura 1
(a)
Estructura real (𝐸𝑅)
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑃
𝑅 𝐴𝑌 𝑅 𝐵𝑌
𝑅 𝐴𝑋 𝑅 𝐵𝑋
𝑀 𝐴 𝑀 𝐵
(b)

2
indeterminada o hiperestática de segundo grado ya que 𝑟 > (𝑛 + 𝑐), puesto que 4 > (2 + 0) con una
diferencia de 4 − 2 = 2.
Elección de las reacciones redundantes o fuerzas correctivas
Como la viga es estáticamente indeterminada en grado dos, hay dos redundantes, lo cual significa
que existe tal cantidad de fuerzas en exceso de las fuerzas primarias o son sobrantes o
superabundantes de las necesarias para mantener el equilibrio estático. Las redundantes deben
seleccionarse de tal modo que al suprimirlas de la viga, esta sea isostática y estable. Por lo tanto,
para el tipo de vigas doblemente empotradas se cuenta con dos alternativas: 1) eliminar los
momentos reactivos o 2) retirar un momento y una reacción vertical con un punto de aplicación
coincidente.
Basándose en la opción 2, se opta porque 𝑅 𝐴𝑌 y 𝑀𝐴 sean las redundantes, pero tome en cuenta que
de la misma opción, las fuerzas correctivas pueden ser 𝑅 𝐵𝑌 y 𝑀 𝐵, o bien, de la opción 1, se pudo
haber considerado como fuerzas sobrantes a 𝑀𝐴 y 𝑀 𝐵. Cuando ya se tiene un buen dominio del
método de secciones, es más fácil visualizar la alternativa mayormente conveniente para hacer
menos tedioso el análisis.
Planteamiento de la estructura primaria
Con lo anterior, es posible idealizar una nueva estructura denominada estructura primaria o isostática
fundamental (𝐸𝑃); como se dejó entrever previamente, se trata de convertir la viga hiperestática en
una isostática y estable desapareciendo precisamente las redundantes seleccionadas. Siendo así,
la capacidad de la viga para resistir 𝑅 𝐴𝑌 y 𝑀𝐴 se elimina si se quita el empotramiento en 𝐴. Esta
estructura liberada forzosamente debe soportar las carga reales, figura 1-c.
Principio de superposición
Aquí se esquematiza claramente que la estructura estáticamente indeterminada puede ser igual a la
suma de una serie de estructuras estáticamente determinadas compuesta por la estructura primaria
y otro número de estructuras igual a la cantidad de redundantes (𝐸𝑅𝑑𝑖). Por lo tanto, la estructura
real es igual a la adición de la estructura liberada sometida a: A) las cargas reales, figura 1-c, y B) la
acción individual de cada una de las reacciones redundantes (con un sentido propuesto de forma
indistinta), figuras 1-d y 1-e. Para este ejercicio se tiene
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑃
𝑅 𝐵𝑌 = 𝑃
𝑅 𝐵𝑋 = 0
𝑀 𝐵 =
𝑃𝐿
2
𝑥
(c)
Estructura primaria (𝐸𝑃) ⟹ 𝑀

3
𝐸𝑅 = 𝐸𝑃 + 𝐸𝑅𝑑1 + 𝐸𝑅𝑑2
Contrariamente a la viga de la figura 1-a, las vigas representadas en las figuras 1-c, 1-d y 1-e
experimentan de forma respectiva un desplazamiento vertical o deflexión en 𝐴 (𝛿 𝑉𝐴) y una pendiente
o rotación en 𝐴 (𝜃𝐴) dado que no hay soporte alguno en ese nodo que los impida.
Suponga que tales deflexiones y pendientes son iguales a una cierta cantidad. Entonces, para la
viga 𝐸𝑃 se tiene que 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝑃
= 𝑑1 y 𝜃𝐴 𝐸𝑃
= 𝑑2. A su vez, para la viga 𝐸𝑅𝑑1 tenemos que
𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝑅𝑑1
= 𝑅 𝐴𝑌(𝑓11) y 𝜃𝐴 𝐸𝑅𝑑1
= 𝑅 𝐴𝑌(𝑓21). De forma análoga, en la viga 𝐸𝑅𝑑2, 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝑅𝑑2
= 𝑀𝐴(𝑓12) y
𝜃𝐴 𝐸𝑅𝑑2
= 𝑀𝐴(𝑓22). Posteriormente se ofrecerá una explicación de la razón por la cual se empleó la
nomenclatura citada.
Planteamiento de las ecuaciones de compatibilidad geométrica
Para obtener ecuaciones adicionales que coadyuven a la solución del problema hacemos uso del
principio de superposición formulado en el apartado precedente y tomamos en cuenta la
compatibilidad del desplazamiento vertical y la pendiente en el empotramiento 𝐴; por lo tanto, las
ecuaciones de compatibilidad para la deflexión en 𝐴 y la rotación en 𝐴 son, respectivamente
𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝑅
= 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝑃
+ 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝑅𝑑1
+ 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝑅𝑑2
− − − (1 − 1)
𝜃𝐴 𝐸𝑅
= 𝜃𝐴 𝐸𝑃
+ 𝜃𝐴 𝐸𝑅𝑑1
+ 𝜃𝐴 𝐸𝑅𝑑2
− − − (1 − 2)
Si en la viga 𝐸𝑅 tanto el desplazamiento vertical como la rotación en 𝐴 no existen debido a que la
reacción vertical y el momento reactivo del soporte en 𝐴 los impiden, entonces 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝑅
= 𝜃𝐴 𝐸𝑅
= 0.
Efectuando las sustituciones correspondientes en las ecuaciones (1 − 1) y (1 − 2), el sistema de
ecuaciones de compatibilidad geométrica pasa a ser el siguiente:
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑅 𝐴𝑌
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑀 𝐴
(d)
Estructura liberada con fuerza redundante 𝑅 𝐴𝑌 aplicada (𝐸𝑅𝑑1)
(e)
Estructura liberada con momento redundante 𝑀𝐴 aplicado (𝐸𝑅𝑑2)

4
0 = 𝑑1 + 𝑓11 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓12 𝑀𝐴 − − − (1 − 3)
0 = 𝑑2 + 𝑓21 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓22 𝑀𝐴 − − − (1 − 4)
Cada desplazamiento del punto de aplicación de la acción redundante 𝑅𝑖 o 𝑀𝑖 en la dirección de
esta, producido al actuar la carga original sobre la estructura liberada es expresado por 𝑑𝑖. Estos en
conjunto se denominan incompatibilidades geométricas porque en la estructura real no ocurren.
Los coeficientes de flexibilidad 𝑓𝑖𝑗 anteriores conforman la matriz de flexibilidad de la estructura y
pueden calcularse sencillamente si en la estructura liberada aplicamos una carga unitaria
correspondiente a cada fuerza redundante (𝐸𝐶𝑢𝑖), figuras 1-f y 1-g.
Entonces, directamente de la viga 𝐸𝐶𝑢1 tenemos que la deflexión y la rotación en 𝐴 son equivalentes
de forma respectiva a un determinado valor de 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝐶𝑢1
= 𝑓11 y 𝜃𝐴 𝐸𝐶𝑢1
= 𝑓21. Así mismo, para la viga
𝐸𝐶𝑢2, 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝐶𝑢2
= 𝑓12 y 𝜃𝐴 𝐸𝐶𝑢2
= 𝑓22.
Cálculo de las incompatibilidades geométricas y de los coeficientes de flexibilidad
En resumen, para poder resolver el sistema simultáneo de ecuaciones (1 − 3) y (1 − 4), el cual nos
permite calcular las redundantes, en las vigas visualizadas en las figuras 1-c, 1-f y 1-g es necesario
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
1
𝑅 𝐵𝑌 = 1
𝑅 𝐵𝑋 = 0
𝑀 𝐵 = 𝐿𝑥
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
1
𝑅 𝐵𝑌 = 0
𝑅 𝐵𝑋 = 0
𝑀 𝐵 = 1
𝑥
(f)
Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en 𝐴 (𝐸𝐶𝑢1) ⟹ 𝑚1
(g)
Estructura liberada con momento unitario aplicado en 𝐴 (𝐸𝐶𝑢2) ⟹ 𝑚2

5
conocer cuánto valen el desplazamiento vertical en 𝐴 dado que 𝑅 𝐴𝑌 (fuerza reactiva vertical en el
empotramiento del punto 𝐴) fue suprimida y la pendiente en 𝐴 debido a que 𝑀𝐴 (momento reactivo
en el empotramiento del punto 𝐴) fue eliminado.
Los desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera de los métodos apropiados del
análisis estructural; en la presente obra se empleará el método del principio del trabajo virtual (es
lo más recomendable) y se considerarán únicamente las deformaciones debidas a la flexión. En
términos generales, este principio indica que debe incorporarse una carga ficticia unitaria sobre la
viga descargada en el punto y en la dirección donde se requiere conocer el desplazamiento. Si debe
determinarse la pendiente, se coloca un momento de par virtual unitario en el punto.
Para asociar a los momentos internos (se obtendrán a partir del método de secciones) con las
estructuras, le hemos denominado 𝑀 a la viga primaria, 𝑚1 a la viga liberada con fuerza vertical
unitaria aplicada en 𝐴 y 𝑚2 a la viga liberada con momento unitario aplicado en 𝐴. Es importante
recordar que las coordenadas 𝑥 a emplear y las direcciones positivas de los momentos internos entre
las tres estructuras recién mencionadas deben ser iguales. En las figuras 1-c, 1-f y 1-g se puede
observar que usaremos únicamente la coordenada 𝑥 para determinar la energía de deformación,
cuyo origen se asocia en 𝐴, es positiva hacia la derecha y es válida para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, pero el lector
puede usar otra u otras coordenadas distintas que sean apropiadas para cubrir la longitud de la viga.
Con base en el principio del trabajo virtual, se tiene
𝑑1 = 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝑃
= ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝐼) 𝑑2 = 𝜃𝐴 𝐸𝑃
= ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝐼𝐼)
𝑓11 = 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝐶𝑢1
= ∫
𝑚1 𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝐼𝐼𝐼) 𝑓21 = 𝜃𝐴 𝐸𝐶𝑢1
= ∫
𝑚1 𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝐼𝑉)
𝑓12 = 𝛿 𝑉𝐴 𝐸𝐶𝑢2
= ∫
𝑚2 𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝑉) 𝑓22 = 𝜃𝐴 𝐸𝐶𝑢2
= ∫
𝑚2 𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝑉𝐼)
Note que para determinar 𝑑1 se requiere de la combinación apropiada de los momentos internos 𝑀
y 𝑚1; algo análogo ocurre con las expresiones restantes. En todas las vigas de este libro, 𝐸𝐼 es
constante.
A continuación se calculan las reacciones y los momentos internos en las vigas isostáticas de las
figuras 1-c, 1-f y 1-g.
Considere que la función del momento flector será discontinua en los puntos donde el tipo o la
magnitud de la carga distribuida cambia, o bien donde se apliquen fuerzas concentradas. La carga
distribuida, así como la fuerza concentrada, o una de sus componentes, actúan perpendicularmente
al eje longitudinal de la viga. Además de lo anterior, habrá discontinuidad en cada punto donde se
aplique algún momento de par.
Viga 𝐸𝑃, figura 1-c.
Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en una secuencia y emplear los resultados calculados
previamente, se obtiene

6
+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑋 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝑃 + 𝑅 𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 = 𝑃
+ ∑ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ −𝑃 (
𝐿
2
) + 𝑀 𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀 𝐵 =
𝑃𝐿
2
Se formulan los momentos internos 𝑀. Las funciones de momento serán discontinuas en el punto
de aplicación de la carga 𝑃, así que se requiere de efectuar dos cortes perpendiculares al eje
longitudinal de la viga para definir 𝑀 a lo largo de la estructura, figuras 1-h y 1-i.
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
2⁄
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0
𝑀1 = 0
𝐿
2⁄ ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
−𝑀2 − 𝑃 (𝑥 −
𝐿
2
) = 0 ⇒ 𝑀2 = −𝑃𝑥 +
𝑃𝐿
2
Viga 𝐸𝐶𝑢1, figura 1-f.
Las fuerzas reactivas en el apoyo empotrado 𝐵 son resultado de
+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑋 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 1 − 𝑅 𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 = 1
+ ∑ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ 1(𝐿) − 𝑀 𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀 𝐵 = 𝐿
Se deduce el momento interno 𝑚1. Como no hay discontinuidad de carga, la viga se secciona
ortogonalmente a su eje en una sola ocasión, figura 1-j.
𝐴 𝑀1
𝑥
𝐴
𝐿/2
𝑥
𝑃
𝑀2
𝑥 − 𝐿/2
(h)
(i)

7
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
−𝑀1 + (1)(𝑥) = 0 ⇒ 𝑀1 = 𝑥
Viga 𝐸𝐶𝑢2, figura 1-g.
Las reacciones en el empotramiento 𝐵 equivalen a
+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑋 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 = 0
+ ∑ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ −1 + 𝑀 𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀 𝐵 = 1
Se infiere el momento interno 𝑚2 a partir de la figura 1-k.
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
−𝑀1 − 1 = 0 ⇒ 𝑀1 = −1
Obsérvese que la coordenada 𝑥 seleccionada conlleva a que no haya necesidad de determinar las
reacciones con el fin de encontrar los momentos internos.
Enseguida se presenta el cálculo de las incompatibilidades geométricas, empleando las ecuaciones
(𝐼) y (𝐼𝐼).
𝑑1 =
1
𝐸𝐼
[∫ (0)(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (−𝑃𝑥 +
𝑃𝐿
2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
] =
1
𝐸𝐼
∫ (−𝑃𝑥2
+
𝑃𝐿
2
𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑃
3
𝑥3
+
𝑃𝐿
4
𝑥2
]
𝐿
2⁄
𝐿
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑃
3
(𝐿3
− (
𝐿
2
)
3
) +
𝑃𝐿
4
(𝐿2
− (
𝐿
2
)
2
)] =
1
𝐸𝐼
(−
7𝑃𝐿3
24
+
3𝑃𝐿3
16
) = −
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
𝑑2 =
1
𝐸𝐼
[∫ (0)(−1)𝑑𝑥 + ∫ (−𝑃𝑥 +
𝑃𝐿
2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
]
𝐴
𝑀1
𝑥
1
(j)
𝐴
𝑀1
𝑥
1
(k)

8
=
1
𝐸𝐼
∫ (𝑃𝑥 −
𝑃𝐿
2
) 𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
=
1
𝐸𝐼
[
𝑃
2
𝑥2
−
𝑃𝐿
2
𝑥]
𝐿
2⁄
𝐿
=
1
𝐸𝐼
[
𝑃
2
(𝐿2
− (
𝐿
2
)
2
) −
𝑃𝐿
2
(𝐿 −
𝐿
2
)]
=
1
𝐸𝐼
(
3𝑃𝐿2
8
−
𝑃𝐿2
4
) =
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
Ahora se muestra el cálculo de los coeficientes de flexibilidad, aplicando las ecuaciones (𝐼𝐼𝐼) hasta
(𝑉𝐼).
𝑓11 =
1
𝐸𝐼
∫ (𝑥)(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ 𝑥2
𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[
1
3
𝑥3
]
0
𝐿
=
1
3𝐸𝐼
(𝐿3
− 03) =
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑓21 =
1
𝐸𝐼
∫ (𝑥)(−1)𝑑𝑥 = −
1
𝐸𝐼
∫ 𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
= −
1
𝐸𝐼
[
1
2
𝑥2
]
0
𝐿
= −
1
2𝐸𝐼
(𝐿2
− 02) = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
0
𝑓12 =
1
𝐸𝐼
∫ (−1)(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
= −
1
𝐸𝐼
∫ 𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
= −
1
𝐸𝐼
[
1
2
𝑥2
]
0
𝐿
= −
1
2𝐸𝐼
(𝐿2
− 02) = −
𝐿2
2𝐸𝐼
Obsérvese que como una consecuencia del teorema de Maxwell de los desplazamientos recíprocos,
se cumple que 𝑓12 = 𝑓21. De forma más generalizada, se tiene que 𝑓𝑖𝑗 = 𝑓𝑗𝑖, lo cual hace que mientras
más grande sea el grado de hiperestaticidad, más se evita el cálculo de varios coeficientes de
flexibilidad.
𝑓22 =
1
𝐸𝐼
∫ (−1)(−1)𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
∫ 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[𝑥]0
𝐿
=
1
𝐸𝐼
(𝐿 − 0) =
𝐿
𝐸𝐼
𝐿
0
Cálculo de las redundantes
Al sustituir los coeficientes en el sistema simultáneo de ecuaciones (1 − 3) y (1 − 4), se tiene
−
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (1 − 5)
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (1 − 6)
Despejando 𝑀𝐴 de las expresiones (1 − 5) y (1 − 6) respectivamente, resulta
𝑀𝐴 =
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
−
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌
−
𝐿2
2𝐸𝐼
− − − (1 − 7) 𝑀𝐴 =
−
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
+
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌
𝐿
𝐸𝐼
− − − (1 − 8)
Igualando la ecuación (1 − 7) con la ecuación (1 − 8) y simplificando da
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
−
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌
−
𝐿2
2𝐸𝐼
=
−
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
+
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌
𝐿
𝐸𝐼
⇒ (
𝐿
𝐸𝐼
) (
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
−
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌) = (−
𝐿2
2𝐸𝐼
) (−
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
+
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌)
−
𝐿4
3(𝐸𝐼)2
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿4
4(𝐸𝐼)2
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑃𝐿4
16(𝐸𝐼)2
−
5𝑃𝐿4
48(𝐸𝐼)2
⇒ −
1
12
𝑅 𝐴𝑌 = −
1
24
𝑃 ⇒ 𝑅 𝐴𝑌 =
1
24
𝑃
1
12
⇒∴ 𝑅 𝐴𝑌 =
𝑃
2

9
Si se reemplaza el resultado previamente obtenido en la expresión (1 − 7), entonces
𝑀𝐴 =
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
−
𝐿3
3𝐸𝐼
(
𝑃
2
)
−
𝐿2
2𝐸𝐼
=
−
𝑃𝐿3
16𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
⇒∴ 𝑀𝐴 =
𝑃𝐿
8
La magnitud positiva obtenida tanto para 𝑅 𝐴𝑌 como 𝑀𝐴 indicó que tales redundantes tienen el mismo
sentido que el propuesto para su correspondiente carga unitaria. En caso de haber resultado
negativas, simplemente el sentido es opuesto al observado en la figuras 1-d y 1-e.
Ecuaciones de equilibrio
Como las reacciones redundantes ya han sido calculadas, los valores de las reacciones
desconocidas faltantes pueden deducirse aplicando las ecuaciones de equilibrio al diagrama de
cargas de la figura 1-l.
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
𝑃
2
− 𝑃 + 𝑅 𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 =
𝑃
2
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −
𝑃𝐿
8
+ 𝑃 (
𝐿
2
) −
𝑃
2
(𝐿) + 𝑀 𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀 𝐵 =
𝑃𝐿
8
Finalmente, en la figura 1-m se muestran las reacciones en los empotramientos 𝐴 y 𝐵 de la viga real.
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑃
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑃
2
𝑅 𝐵𝑌 =
𝑃
2
𝑀 𝐵 =
𝑃𝐿
8
𝑀 𝐴 =
𝑃𝐿
8
(m)
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑃
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑃
2
𝑅 𝐵𝑌
𝑀 𝐵
𝑀 𝐴 =
𝑃𝐿
8
(l)

10
2 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DISTRIBUIDA
UNIFORME
SOLUCIÓN
Verificación del grado de indeterminación
Como en toda viga doblemente empotrada que no soporta carga axial, pero soporta carga que es
perpendicular a su eje longitudinal, para la viga de la figura 2-a en automático se infiere que las
reacciones horizontales de los empotramientos 𝐴 y 𝐵 son nulas, en consecuencia, la estructura es
estáticamente indeterminada en grado dos.
Elección de las reacciones redundantes
Si se seleccionan como fuerzas redundantes las mismas que en la viga resuelta anteriormente, es
decir, 𝑅 𝐴𝑌 y 𝑀𝐴, el problema se reducirá notablemente ya que muchos cálculos se repetirían, tales
como los momentos internos 𝑚1 y 𝑚2, y los coeficientes de flexibilidad 𝑓11, 𝑓21, 𝑓12 y 𝑓22.
Planteamiento de la estructura primaria
Se suprime el empotramiento 𝐴 de la viga real con la finalidad de eliminar las redundantes 𝑅 𝐴𝑌 y 𝑀𝐴.
La viga liberada que soporta las cargas reales se muestra en la figura 2-b.
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊
Figura 2
(a)
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊
(b)

11
Principio de superposición y sistema de ecuaciones de compatibilidad geométrica
Como se vio en la viga 1, conviene que cuando la viga liberada se somete a la acción individual de
cada una de las reacciones redundantes, estas últimas sean unitarias. El principio de superposición
aplicado a la viga real se observa esquemáticamente en la figura 2-c.
El sistema resultante es como el sistema de ecuaciones (1 − 3) y (1 − 4) de la viga mostrada en la
figura 1-a.
0 = 𝑑1 + 𝑓11 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓12 𝑀𝐴 − − − (2 − 1)
0 = 𝑑2 + 𝑓21 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓22 𝑀𝐴 − − − (2 − 2)
Cálculo de las incompatibilidades geométricas y de los coeficientes de flexibilidad
Estos coeficientes se obtienen directamente aplicando las ecuaciones 𝐼 hasta 𝑉𝐼 del ejercicio
precedente. Para ello, se determinan en primera instancia los momentos internos de las vigas de la
figura 2-c. Como el origen de la coordenada 𝑥 se eligió en 𝐴, el cálculo de las reacciones en el
empotramiento 𝐵 se vuelve innecesario para este fin.
Se deduce el momento interno 𝑀 con base en la viga primaria. La distribución de la carga actuante
no presenta discontinuidad, así que sólo será necesario efectuar un corte perpendicular al eje de la
viga para definir 𝑀 a lo largo de la estructura. Por consiguiente, se secciona la viga en un punto
arbitrario (intermedio en el segmento 𝐴 − 𝐵) a una distancia 𝑥 del punto 𝐴.
En la figura 2-d se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud 𝑥.
Para la carga distribuida se ha determinado: a) la carga concentrada equivalente, es decir, la
magnitud de la fuerza resultante de la carga, que es igual al área bajo la curva de carga (en este
caso, por ser carga uniforme es el área del rectángulo) y b) el centroide de dicha área a través del
+
+
(𝑑𝑒 𝑅 𝐴𝑌)
(𝑑𝑒 𝑀 𝐴)
1
1
𝐴 𝐵
𝐿
𝐴 𝐵
𝐿
𝐿
𝐴 𝐵
𝑊
𝑀
𝑚1
𝑚2
𝐸𝑅 =
𝑥 𝑥
𝑥
(c)

12
cual pasa la línea de acción de la resultante, o sea, se halla el punto de aplicación de la resultante
(para una carga uniforme distribuida se tiene que se ubica a la mitad de la longitud sobre la cual
actúa).
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
−𝑀1 − 𝑊(𝑥) (
𝑥
2
) = 0 ⇒ 𝑀1 = −
𝑊𝑥2
2
Luego, se retoman los momentos internos 𝑚1 y 𝑚2 de las figuras 1-j y 1-k.
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Se calculan las incompatibilidades geométricas.
𝑑1 = ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥2
2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥3
2
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
2𝐸𝐼
[−
𝑊𝑥4
4
]
𝐿
2⁄
𝐿
= −
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
𝑑2 = ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥2
2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊𝑥2
2
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
2𝐸𝐼
[−
𝑊𝑥3
3
]
𝐿
2⁄
𝐿
=
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
Evidentemente, los coeficientes de flexibilidad son los mismos que se tienen en la viga 1.
𝑓11 = ∫
𝑚1 𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑓21 = ∫
𝑚1 𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
= −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓12 = 𝑓21 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓22 = ∫
𝑚2 𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
𝐿
𝐸𝐼
Cálculo de las redundantes
Al reemplazar los resultados obtenidos en las ecuaciones (2 − 1) y (2 − 2), se obtiene
−
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (2 − 3)
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (2 − 4)
𝐴
𝑀1
𝑥
𝑊
𝑊(𝑥)
𝑥/2
(d)

13
Se resuelve el sistema simultáneo de ecuaciones (2 − 3) y (2 − 4), empleando el método de Cramer.
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
− − − (2 − 5)
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = −
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
− − − (2 − 6)
Con base en las ecuaciones (2 − 5) y (2 − 6), se tienen los siguientes determinantes
∆= ||
𝐿3
3𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
𝐸𝐼
|| = [(
𝐿3
3𝐸𝐼
) (
𝐿
𝐸𝐼
)] − [(−
𝐿2
2𝐸𝐼
) (−
𝐿2
2𝐸𝐼
)] =
𝐿4
3(𝐸𝐼)2
−
𝐿4
4(𝐸𝐼)2
=
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
∆ 𝑅 𝐴𝑌
= ||
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿
𝐸𝐼
|| = [(
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
) (
𝐿
𝐸𝐼
)] − [(−
𝐿2
2𝐸𝐼
) (−
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
)] =
𝑊𝐿5
8(𝐸𝐼)2
−
𝑊𝐿5
12(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿5
24(𝐸𝐼)2
∆ 𝑀 𝐴
= ||
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
|| = [(
𝐿3
3𝐸𝐼
) (−
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
)] − [(
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
) (−
𝐿2
2𝐸𝐼
)] = −
𝑊𝐿6
18(𝐸𝐼)2
+
𝑊𝐿6
16(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿6
144(𝐸𝐼)2
𝑅 𝐴𝑌 =
∆ 𝑅 𝐴𝑌
∆
=
𝑊𝐿5
24(𝐸𝐼)2
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿
2
⇒∴ 𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
2
𝑀𝐴 =
∆ 𝑀 𝐴
∆
=
𝑊𝐿6
144(𝐸𝐼)2
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿2
12
⇒∴ 𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
12
Por lo tanto, a partir del diagrama de cargas de la figura 2-e, resulta
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊
𝑊𝐿
𝐿/2
𝑀 𝐴 =
𝑊𝐿2
12
𝑀 𝐵
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
2
𝑅 𝐵𝑌
(e)

14
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
𝑊𝐿
2
− 𝑊𝐿 + 𝑅 𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
2
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −
𝑊𝐿2
12
+ 𝑊𝐿 (
𝐿
2
) −
𝑊𝐿
2
(𝐿) + 𝑀 𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
12
Finalmente, la viga queda como la que se muestra en la figura 2-f.
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊
𝑀 𝐴 =
𝑊𝐿2
12
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
12
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
2
𝑅 𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
2
(f)

15
3 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA
TRIANGULAR
SOLUCIÓN
Puesto que la carga axial es insignificante, la viga de la figura 3-a es hiperestática de grado dos. La
reacción vertical y el momento reactivo, ambos del extremo 𝐴, se considerarán como redundantes.
Entonces, la capacidad de la viga para soportar 𝑅 𝐴𝑌 y 𝑀𝐴 se anula si se elimina el empotramiento 𝐴.
La figura 3-b muestra cómo la viga real es igual a la suma de una serie de vigas más simples.
+
+
1
1
𝐴 𝐵
𝐿
𝐴 𝐵
𝐿
𝐿
𝐴 𝐵
𝑊
𝑀
𝑚1
𝑚2
𝐸𝑅 =
𝑥
𝑥
𝑥
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊
Figura 3
(a)
(b)

16
Ecuaciones de compatibilidad
Con referencia al nodo 𝐴 de la figura 3-b, se requiere
0 = 𝑑1 + 𝑓11 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓12 𝑀𝐴 − − − (3 − 1)
0 = 𝑑2 + 𝑓21 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓22 𝑀𝐴 − − − (3 − 2)
Se secciona la viga primaria para obtener el momento interno 𝑀. En la figura 3-c se muestra un
diagrama de cargas de la sección cortada. En la figura 3-d, se proporciona un esquema para
determinar por triángulos semejantes el valor en función de 𝑥 de la intensidad 𝑊´.
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑊
𝐿
=
𝑊´
𝐿 − 𝑥
⇒ 𝑊´ =
𝑊(𝐿 − 𝑥)
𝐿
= 𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥
Se observa que del corte se origina una carga trapezoidal. Esta se divide en una distribución uniforme
y una triangular para mayor facilidad. En la figura 3-c se indican las fuerzas resultantes 𝐴𝐼 y 𝐴𝐼𝐼 (áreas
𝐴 𝐵𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
𝑥
𝐿
𝐿 − 𝑥
𝑊
𝑊´
𝐴
𝑊´
𝑥
𝑊
𝑀1
𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥
𝑊 − ൬𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥൰
𝐼
𝐼𝐼
𝐴𝐼𝐴𝐼𝐼
2𝑥/3
𝑥/2
(c)
(d)

17
bajo el rectángulo y el triángulo), las cuales vienen aplicadas en el centroide de sus respectivas
áreas. Recuerde que para un área triangular, el centroide se ubica a las dos terceras partes de la
base, y tal distancia se mide desde el punto del “pico”.
El equilibrio estático del cuerpo libre implica que
−𝑀1 −
(
(𝑥) (𝑊 − (𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥))
2
)
൬
2
3
𝑥൰ − (𝑥) ൬𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥൰ ൬
1
2
𝑥൰ = 0
−𝑀1 + ൬−
𝑊
2
𝑥 +
𝑊
2
𝑥 −
𝑊
2𝐿
𝑥2
൰ ൬
2
3
𝑥൰ + ൬−𝑊𝑥 +
𝑊
𝐿
𝑥2
൰ ൬
1
2
𝑥൰ = 0
−𝑀1 −
𝑊
3𝐿
𝑥3
−
𝑊
2
𝑥2
+
𝑊
2𝐿
𝑥3
⇒ 𝑀1 =
𝑊𝑥3
6𝐿
−
𝑊𝑥2
2
Por otra parte, de los ejercicios previos, se sabe que
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Se calculan los desplazamientos y giros requeridos. Para las incompatibilidades geométricas
tenemos
𝑑1 = ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊𝑥3
6𝐿
−
𝑊𝑥2
2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊𝑥4
6𝐿
−
𝑊𝑥3
2
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[
𝑊𝑥5
30𝐿
−
𝑊𝑥4
8
]
0
𝐿
=
1
𝐸𝐼
[
𝑊
30𝐿
(𝐿5) −
𝑊
8
(𝐿4)] = −
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
𝑑2 = ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊𝑥3
6𝐿
−
𝑊𝑥2
2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥3
6𝐿
+
𝑊𝑥2
2
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑊𝑥4
24𝐿
+
𝑊𝑥3
6
]
0
𝐿
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑊𝐿4
24𝐿
+
𝑊𝐿3
6
] =
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
𝐴𝐼𝐼
𝐴𝐼

18
Los coeficientes de flexibilidad son
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑓21 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
Reemplazando los valores previos en las ecuaciones (3 − 1) y (3 − 2) da
−
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (3 − 3)
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (3 − 4)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (3 − 3) y (3 − 4), resulta
∆= ||
𝐿3
3𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
𝐸𝐼
|| =
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
∆ 𝑅 𝐴𝑌
= ||
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
𝐿
𝐸𝐼
|| = [(
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
) ൬
𝐿
𝐸𝐼
൰] − [(−
𝐿2
2𝐸𝐼
) (−
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
)] =
11𝑊𝐿5
120(𝐸𝐼)2
−
𝑊𝐿5
16(𝐸𝐼)2
=
7𝑊𝐿5
240(𝐸𝐼)2
∆ 𝑀 𝐴
= ||
𝐿3
3𝐸𝐼
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
|| = [(
𝐿3
3𝐸𝐼
) (−
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
)] − [(
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
) (−
𝐿2
2𝐸𝐼
)] = −
𝑊𝐿6
24(𝐸𝐼)2
+
11𝑊𝐿6
240(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿6
240(𝐸𝐼)2
𝑅 𝐴𝑌 =
∆ 𝑅 𝐴𝑌
∆
=
7𝑊𝐿5
240(𝐸𝐼)2
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
=
7𝑊𝐿
20
⇒∴ 𝑅 𝐴𝑌 =
7𝑊𝐿
20
𝑀𝐴 =
∆ 𝑀 𝐴
∆
=
𝑊𝐿6
240(𝐸𝐼)2
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿2
20
⇒∴ 𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
20

19
Si se aplican las ecuaciones de la estática en el diagrama de cargas de la figura 3-e, se obtiene la
viga final, figura 3-f.
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
7𝑊𝐿
20
−
𝑊𝐿
2
+ 𝑅 𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 =
3𝑊𝐿
20
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −
𝑊𝐿2
20
+
𝑊𝐿
2
൬
𝐿
3
൰ −
3𝑊𝐿
20
(𝐿) + 𝑀 𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
30
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊
𝐿/3
𝑊𝐿/2
𝑀 𝐴 =
𝑊𝐿2
20
𝑀 𝐵
𝑅 𝐴𝑌 =
7𝑊𝐿
20
𝑅 𝐵𝑌
(e)
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊
𝑀 𝐴 =
𝑊𝐿2
20
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
30
𝑅 𝐴𝑌 =
7𝑊𝐿
20 𝑅 𝐵𝑌 =
3𝑊𝐿
20
(f)

20
TRIANGULAR SIMÉTRICA
SOLUCIÓN
A simple vista, la viga de la figura 4-a es estáticamente indeterminada de segundo grado. Se siguen
tomando como redundantes a 𝑅 𝐴𝑌 y 𝑀𝐴. Note como para remover tales fuerzas sobrantes, se requiere
de retirar el empotramiento 𝐴. En la figura 4-b se muestra el principio de superposición para esta
viga.
+
+
1
1
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
𝐿
𝐿
𝐴 𝐵
𝑀
𝑚1
𝑚2
𝐸𝑅 =
𝑊
𝐿/2 𝐿/2
𝑥 𝑥
𝑥
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑊
Figura 4
(a)
(b)

21
Con referencia al punto 𝐴 de la figura 4-b, se requiere
0 = 𝑑1 + 𝑓11 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓12 𝑀𝐴 − − − (4 − 1)
0 = 𝑑2 + 𝑓21 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓22 𝑀𝐴 − − − (4 − 2)
Como siempre, los momentos internos 𝑀 se obtienen a partir de la viga liberada con cargas reales.
Dado que la distribución de la carga que actúa a lo largo de esta viga presenta una discontinuidad
(en la mitad del claro 𝐴 − 𝐵), deben efectuarse dos cortes perpendiculares al eje de la viga.
Corte en el primer tramo. Se secciona la viga a una distancia 𝑥 de 𝐴 en un punto arbitrario antes de
𝐿/2, es decir, antes de que la intensidad de la carga con variación lineal alcance el valor de 𝑊. El
diagrama de cuerpo libre de la sección cortada se visualiza en la figura 4-c.
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
2⁄
Note que la intensidad de la carga de triangulo rectángulo se encuentra en proporción, es decir,
𝑊
𝐿
2
=
𝑊´
𝑥
⇒ 𝑊´ =
2𝑊
𝐿
𝑥
−𝑀1 − [
(
2𝑊
𝐿
𝑥) (𝑥)
2
] (
𝑥
3
) = 0 ⇒ 𝑀1 = −
𝑊𝑥3
3𝐿
Corte en el tramo segundo tramo. Se secciona la viga a una distancia 𝑥 de 𝐴 en un punto arbitrario
justo después de 𝐿/2. En la figura 4-d se observa el diagrama de cargas para este segmento de viga
con longitud 𝑥.
𝐿
2⁄ ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Con base en la figura 4-e, empleando conceptos básicos de trigonometría, se deduce el punto de
intensidad 𝑊´´ de carga.
𝑊
𝐿
2
=
𝑊´´
𝐿 − 𝑥
⇒ 𝑊´´ =
𝑊(𝐿 − 𝑥)
𝐿
2
= 2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥
𝐴
𝑊´ = 2
𝑊
𝐿
𝑥
𝑥
𝑀1
𝐴𝐼
𝑥/3
𝐴𝐼
(c)

22
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ − (
(
𝐿
2
) (𝑊)
2
) ((
1
3
) (
𝐿
2
) + 𝑥 −
𝐿
2
) − (𝑥 −
𝐿
2
) (2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥) (
1
2
) (𝑥 −
𝐿
2
)
−
(
(𝑥 −
𝐿
2
) (𝑊 − (2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥))
2
)
(
2
3
) (𝑥 −
𝐿
2
) − 𝑀2 = 0
− (
𝑊𝐿
4
) (
𝐿
6
+ 𝑥 −
𝐿
2
) − (𝑥 −
𝐿
2
) (2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥) (
𝑥
2
−
𝐿
4
) − (𝑥 −
𝐿
2
) (−𝑊 +
2𝑊
𝐿
𝑥) (
𝑥
3
−
𝐿
6
) − 𝑀2 = 0
− (
𝑊𝐿
4
) (𝑥 −
𝐿
3
) − (𝑥 −
𝐿
2
) (𝑊𝑥 −
𝑊
𝐿
𝑥2
−
𝑊𝐿
2
+
𝑊
2
𝑥) − (𝑥 −
𝐿
2
) (−
𝑊
3
𝑥 +
𝑊𝐿
6
+
2𝑊
3𝐿
𝑥2
−
𝑊
3
𝑥) − 𝑀2
= 0
−
𝑊𝐿
4
𝑥 +
𝑊𝐿2
12
− 𝑊𝑥2
+
𝑊
𝐿
𝑥3
+
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊
2
𝑥2
+
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊
2
𝑥2
−
𝑊𝐿2
4
+
𝑊𝐿
4
𝑥
𝑊
3
𝑥2
−
𝑊𝐿
6
𝑥 −
2𝑊
3𝐿
𝑥3
+
𝑊
3
𝑥2
−
𝑊𝐿
6
𝑥 +
𝑊𝐿2
12
+
𝑊
3
𝑥2
−
𝑊𝐿
6
𝑥 − 𝑀2 = 0
𝑀2 =
𝑊
3𝐿
𝑥3
− 𝑊𝑥2
+
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊𝐿2
12
𝐴
𝐿/2
𝐴1
1
3
(
𝐿
2
)
𝑀2
𝑥
𝑊
𝑥 − 𝐿/2
𝑊´´ = 2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥
𝐴𝐼𝐼
𝐴𝐼𝐼𝐼
1
2
( 𝑥 −
𝐿
2
)
2
3
( 𝑥 −
𝐿
2
)
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
1
𝐴
𝑊´´
𝐿/2
𝑊
𝐵𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
𝐿/2
𝑥 𝐿 − 𝑥
𝑊 − 𝑊´´
(d)
(e)
𝐴𝐼𝐼𝐼
𝐴1
𝐴𝐼𝐼

23
Luego, los momentos internos de las vigas liberadas que soportan una unidad de las reacciones
redundantes son, respectivamente
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Entonces,
𝑑1 = ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
[∫ (−
𝑊𝑥3
3𝐿
) (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (
𝑊
3𝐿
𝑥3
− 𝑊𝑥2
+
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊𝐿2
12
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
]
=
1
𝐸𝐼
[∫ (−
𝑊
3𝐿
𝑥4
) 𝑑𝑥 + ∫ (
𝑊
3𝐿
𝑥4
− 𝑊𝑥3
+
𝑊𝐿
2
𝑥2
−
𝑊𝐿2
12
𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
]
=
1
𝐸𝐼
{[−
𝑊
15𝐿
𝑥5
]
0
𝐿
2⁄
+ [
𝑊
15𝐿
𝑥5
−
𝑊
4
𝑥4
+
𝑊𝐿
6
𝑥3
−
𝑊𝐿2
24
𝑥2
]
𝐿
2⁄
𝐿
}
=
1
𝐸𝐼
{[−
𝑊
15𝐿
((
𝐿
2
)
5
)] + [
𝑊
15𝐿
(𝐿5
− (
𝐿
2
)
5
) −
𝑊
4
(𝐿4
− (
𝐿
2
)
4
) +
𝑊𝐿
6
(𝐿3
− (
𝐿
2
)
3
) −
𝑊𝐿2
24
(𝐿2
− (
𝐿
2
)
2
)]}
=
𝑊𝐿4
𝐸𝐼
(−
1
480
+
31
480
−
15
64
+
7
48
−
1
32
) = −
11𝑊𝐿4
192𝐸𝐼
𝑑2 = ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
[∫ (−
𝑊𝑥3
3𝐿
) (−1)𝑑𝑥 + ∫ (
𝑊
3𝐿
𝑥3
− 𝑊𝑥2
+
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊𝐿2
12
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
]
=
1
𝐸𝐼
[∫ (
𝑊𝑥3
3𝐿
) 𝑑𝑥 + ∫ (−
𝑊
3𝐿
𝑥3
+ 𝑊𝑥2
−
𝑊𝐿
2
𝑥 +
𝑊𝐿2
12
) 𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
]
=
1
𝐸𝐼
{[
𝑊
12𝐿
𝑥4
]
0
𝐿
2⁄
+ [−
𝑊
12𝐿
𝑥4
+
𝑊
3
𝑥3
−
𝑊𝐿
4
𝑥2
+
𝑊𝐿2
12
𝑥]
𝐿
2⁄
𝐿
}
=
1
𝐸𝐼
{[
𝑊
12𝐿
((
𝐿
2
)
4
)] + [−
𝑊
12𝐿
(𝐿4
− (
𝐿
2
)
4
) +
𝑊
3
(𝐿3
− (
𝐿
2
)
3
) −
𝑊𝐿
4
(𝐿2
− (
𝐿
2
)
2
) +
𝑊𝐿2
12
(𝐿 −
𝐿
2
)]}
=
𝑊𝐿3
𝐸𝐼
(
1
192
−
5
64
+
7
24
−
3
16
+
1
24
) =
7𝑊𝐿3
96𝐸𝐼

24
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑓21 = 𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
En consecuencia, el sistema de ecuaciones de flexibilidades es
−
11𝑊𝐿4
192𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (4 − 3)
7𝑊𝐿3
96𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (4 − 4)
Que equivale a
𝐿3
3
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2
𝑀𝐴 =
11𝑊𝐿4
192
− − − (4 − 5)
−
𝐿2
2
𝑅 𝐴𝑌 + 𝐿𝑀𝐴 = −
7𝑊𝐿3
96
− − − (4 − 6)
Por lo tanto,
∆= ||
𝐿3
3
−
𝐿2
2
−
𝐿2
2
𝐿
|| =
𝐿4
12
∆ 𝑅 𝐴𝑌
= ||
11𝑊𝐿4
192
−
𝐿2
2
−
7𝑊𝐿3
96
𝐿
|| = [(
11𝑊𝐿4
192
) (𝐿)] − [(−
𝐿2
2
) (−
7𝑊𝐿3
96
)] =
11𝑊𝐿5
192
−
7𝑊𝐿5
192
=
𝑊𝐿5
48
∆ 𝑀 𝐴
= ||
𝐿3
3
11𝑊𝐿4
192
−
𝐿2
2
−
7𝑊𝐿3
96
|| = [(
𝐿3
3
) (−
7𝑊𝐿3
96
)] − [(
11𝑊𝐿4
192
) (−
𝐿2
2
)] = −
7𝑊𝐿6
288
+
11𝑊𝐿6
384
=
5𝑊𝐿6
1152
𝑅 𝐴𝑌 =
∆ 𝑅 𝐴𝑌
∆
=
𝑊𝐿5
48
𝐿4
12
=
𝑊𝐿
4
⇒∴ 𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
4
𝑀𝐴 =
∆ 𝑀 𝐴
∆
=
5𝑊𝐿6
1152
𝐿4
12
=
5𝑊𝐿2
96
⇒∴ 𝑀𝐴 =
5𝑊𝐿2
96

25
Finalmente, a partir de la figura 4-f, se tienen las siguientes reacciones en el empotramiento 𝐵, figura
4-g.
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
𝑊𝐿
4
− (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) − (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) + 𝑅 𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
4
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0
−
5𝑊𝐿2
96
+ (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) (
2
3
) (
𝐿
2
) + (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) (
𝐿
2
+
1
3
(
𝐿
2
)) −
𝑊𝐿
4
(𝐿) + 𝑀 𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀 𝐵 =
5𝑊𝐿2
96
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑊(
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
)
𝑀 𝐵
𝑅 𝐵𝑌
2
3
(
𝐿
2
)
1
3
(
𝐿
2
)
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
4
𝑀 𝐴 =
5𝑊𝐿2
96
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑊
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
4
𝑀 𝐴 =
5𝑊𝐿2
96 𝑀 𝐵 =
5𝑊𝐿2
96
𝑅 𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
4
(f)
(g)

26
TRAPEZOIDAL
SOLUCIÓN
Por inspección, la viga de la figura 5-a es hiperestática de grado dos. Se considera que 𝑅 𝐴𝑌 y 𝑀𝐴 son
las fuerzas reactivas redundantes, de tal modo que se podrán determinar directamente con el método
de flexibilidades. La remoción de las fuerzas superabundantes implica eliminar el empotramiento 𝐴.
En la figura 5-b se observa la aplicación del principio de superposición.
+
+
1
1
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
𝐿
𝐿
𝐴 𝐵
𝑀
𝑚1
𝑚2
𝐸𝑅 =
𝐿
𝑥
𝑥
𝑥
𝑊1
𝑊2
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊1
𝑊2
Figura 5
(a)
(b)

27
0 = 𝑑1 + 𝑓11 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓12 𝑀𝐴 − − − (5 − 1)
0 = 𝑑2 + 𝑓21 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓22 𝑀𝐴 − − − (5 − 2)
Se puede notar que la viga isostática fundamental soporta una carga cuya intensidad varía
linealmente desde 𝑊1 en el punto 𝐴 hasta 𝑊2 en el punto 𝐵. Entonces, una sola región se distingue
en esta estructura. El momento interno 𝑀 se infiere de tomar momentos alrededor del punto del corte
en el cuerpo libre de la figura 5-c. No obstante, previo a la aplicación de la ecuación de equilibrio
citada, debe calcularse el punto de intensidad 𝑊´ de carga en función de 𝑥, figura 5-d.
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝐴
𝑥
𝑊1
𝑊´ = 𝑊1 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥
𝑀1
𝐼
𝐼𝐼
𝑥/2
2𝑥/3
𝐴𝐼
𝐴𝐼𝐼
𝑊1 − 𝑊´
(c)
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊1
𝑊2
𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
𝑥 𝐿 − 𝑥
𝑌
𝑊´
𝑊1 − 𝑊2
(d)

28
𝑊1 − 𝑊2
𝐿
=
𝑌
𝐿 − 𝑥
𝑌 =
(𝑊1 − 𝑊2)(𝐿 − 𝑥)
𝐿
=
𝑊1 𝐿 − 𝑊1 𝑥 − 𝑊2 𝐿 + 𝑊2 𝑥
𝐿
= 𝑊1 − 𝑊2 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥
𝑊´ = 𝑊2 + 𝑌 = 𝑊2 + 𝑊1 − 𝑊2 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥 = 𝑊1 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥
−𝑀1 − (𝑥) (𝑊1 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥) (
1
2
𝑥) −
[
(𝑥) (𝑊1 − (𝑊1 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥))
2
]
(
2
3
𝑥) = 0
−𝑀1 − (𝑥) (
𝑊1
2
𝑥 +
𝑊2
2𝐿
𝑥2
−
𝑊1
2𝐿
𝑥2
) − (
1
3
𝑥2
) (−
𝑊2
𝐿
𝑥 +
𝑊1
𝐿
𝑥) = 0
𝑀1 =
𝑊1 𝑥3
2𝐿
−
𝑊2 𝑥3
2𝐿
−
𝑊1 𝑥2
2
+
𝑊2 𝑥3
3𝐿
−
𝑊1 𝑥3
3𝐿
=
𝑊1 𝑥3
6𝐿
−
𝑊2 𝑥3
6𝐿
−
𝑊1 𝑥2
2
Los momentos internos de las otras dos vigas isostáticas son
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Se necesita de los siguientes desplazamientos y pendientes
𝑑1 = ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊1 𝑥3
6𝐿
−
𝑊2 𝑥3
6𝐿
−
𝑊1 𝑥2
2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊1 𝑥4
6𝐿
−
𝑊2 𝑥4
6𝐿
−
𝑊1 𝑥3
2
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[
𝑊1 𝑥5
30𝐿
−
𝑊2 𝑥5
30𝐿
−
𝑊1 𝑥4
8
]
0
𝐿
= −
11𝑊1 𝐿4
120𝐸𝐼
−
𝑊2 𝐿4
30𝐸𝐼
𝑑2 = ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊1 𝑥3
6𝐿
−
𝑊2 𝑥3
6𝐿
−
𝑊1 𝑥2
2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊1 𝑥3
6𝐿
+
𝑊2 𝑥3
6𝐿
+
𝑊1 𝑥2
2
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑊1 𝑥4
24𝐿
+
𝑊2 𝑥4
24𝐿
+
𝑊1 𝑥3
6
]
0
𝐿
=
𝑊1 𝐿3
8𝐸𝐼
+
𝑊2 𝐿3
24𝐸𝐼
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑓21 = 𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
𝐴𝐼
𝐴𝐼𝐼

29
Al reemplazar los resultados en las ecuaciones (5 − 1) y (5 − 2), se tiene
− (
11𝑊1 𝐿4
120𝐸𝐼
+
𝑊2 𝐿4
30𝐸𝐼
) +
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (5 − 3)
(
𝑊1 𝐿3
8𝐸𝐼
+
𝑊2 𝐿3
24𝐸𝐼
) −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (5 − 4)
Al resolver el sistema el sistema simultáneo de ecuaciones previo, se obtiene
∆= ||
𝐿3
3
−
𝐿2
2
−
𝐿2
2
𝐿
|| =
𝐿4
12
∆ 𝑅 𝐴𝑌
= ||
11𝑊1 𝐿4
120
+
𝑊2 𝐿4
30
−
𝐿2
2
− (
𝑊1 𝐿3
8
+
𝑊2 𝐿3
24
) 𝐿
|| = [(
11𝑊1 𝐿4
120
+
𝑊2 𝐿4
30
) (𝐿)] − [(−
𝐿2
2
) (− (
𝑊1 𝐿3
8
+
𝑊2 𝐿3
24
))]
=
11𝑊1 𝐿5
120
+
𝑊2 𝐿5
30
−
𝑊1 𝐿5
16
−
𝑊2 𝐿5
48
=
7𝑊1 𝐿5
240
+
𝑊2 𝐿5
80
∆ 𝑀 𝐴
= ||
𝐿3
3
11𝑊1 𝐿4
120
+
𝑊2 𝐿4
30
−
𝐿2
2
− (
𝑊1 𝐿3
8
+
𝑊2 𝐿3
24
)
|| = [(
𝐿3
3
) (− (
𝑊1 𝐿3
8
+
𝑊2 𝐿3
24
))] − [(
11𝑊1 𝐿4
120
+
𝑊2 𝐿4
30
) (−
𝐿2
2
)]
= −
𝑊1 𝐿6
24
−
𝑊2 𝐿6
72
+
11𝑊1 𝐿6
240
+
𝑊2 𝐿6
60
=
𝑊1 𝐿6
240
+
𝑊2 𝐿6
360
𝑅 𝐴𝑌 =
∆ 𝑅 𝐴𝑌
∆
=
7𝑊1 𝐿5
240
+
𝑊2 𝐿5
80
𝐿4
12
=
7𝑊1 𝐿
20
+
3𝑊2 𝐿
20
⇒∴ 𝑅 𝐴𝑌 = (
7𝑊1 𝐿
20
+
3𝑊2 𝐿
20
)
𝑀𝐴 =
∆ 𝑀 𝐴
∆
=
𝑊1 𝐿6
240
+
𝑊2 𝐿6
360
𝐿4
12
=
𝑊1 𝐿2
20
+
𝑊2 𝐿2
30
⇒∴ 𝑀𝐴 = (
𝑊1 𝐿2
20
+
𝑊2 𝐿2
30
)
Se dibuja un diagrama de cargas colocando las redundantes calculadas, figura 5-e. Si en él se
aplican las ecuaciones de la estática, se obtienen las reacciones faltantes, figura 5-f.
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ (
7𝑊1 𝐿
20
+
3𝑊2 𝐿
20
) − (𝐿)(𝑊2) − [
(𝐿)(𝑊1 − 𝑊2)
2
] + 𝑅 𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 = (
3𝑊1 𝐿
20
+
7𝑊2 𝐿
20
)
𝐴1
𝐴2

30
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ − (
𝑊1 𝐿2
20
+
𝑊2 𝐿2
30
) + 𝑊2(𝐿) (
𝐿
2
) + (
(𝐿)(𝑊1− 𝑊2)
2
) (
𝐿
3
) − (
3𝑊1 𝐿
20
+
7𝑊2 𝐿
20
) (𝐿) + 𝑀 𝐵 = 0
∴ 𝑀 𝐵 = (
𝑊1 𝐿2
30
+
𝑊2 𝐿2
20
)
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊1
𝑊2
𝐴1
𝐴2
𝐿/2
2𝐿/3
1
2
𝑀 𝐴 = (
𝑊1 𝐿2
20
+
𝑊2 𝐿2
30
)
𝑅 𝐴𝑌 = (
7𝑊1 𝐿
20
+
3𝑊2 𝐿
20
) 𝑅 𝐵𝑌
𝑀 𝐵
(e)
(f)
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊1
𝑊2
𝑀 𝐴 = (
𝑊1 𝐿2
20
+
𝑊2 𝐿2
30
)
𝑅 𝐴𝑌 = (
7𝑊1 𝐿
20
+
3𝑊2 𝐿
20
) 𝑅 𝐵𝑌 = (
3𝑊1 𝐿
20
+
7𝑊2 𝐿
20
)
𝑀 𝐵 = (
𝑊1 𝐿2
30
+
𝑊2 𝐿2
20
)

31
PARABÓLICA
SOLUCIÓN
Para la viga de la figura 6-a, los tres grados de libertad en 𝐴 están restringidos, no obstante, la
eliminación del soporte izquierdo conllevaría a que el desplazamiento vertical y la pendiente, ambos
del punto 𝐴, no se encuentren impedidos. La figura 6-b muestra como la viga real es igual a la
adición de una serie de vigas más sencillas.
+
+
1
1
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
𝐿
𝐿
𝐴 𝐵
𝑀
𝑚1
𝑚2
𝐸𝑅 =
𝑊
𝐿/2 𝐿/2
𝑥 𝑥
𝑥
𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
Figura 6
(a)
(b)

32
Si tomamos en cuenta la compatibilidad del desplazamiento vertical y la pendiente en el
empotramiento 𝐴, figura 6-b, se tiene
0 = 𝑑1 + 𝑓11 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓12 𝑀𝐴 − − − (6 − 1)
0 = 𝑑2 + 𝑓21 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓22 𝑀𝐴 − − − (6 − 2)
Se analiza la viga primaria.
Inicialmente se efectúa un análisis de la carga cuya intensidad es descrita por una curva en forma
de parábola. La ecuación que define la intensidad parabólica puede expresarse de la siguiente forma:
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 − − − (𝐼)
Si se toma como origen el punto 𝐴, los tres puntos conocidos de la curva son
1) 𝑒𝑛 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 2) 𝑒𝑛 𝑥 =
𝐿
2
, 𝑦 = 𝑊 3) 𝑒𝑛 𝑥 = 𝐿, 𝑦 = 0
Es posible construir un sistema de ecuaciones reemplazando cada uno de los puntos anteriores de
manera individual en la ecuación (𝐼) con la finalidad de calcular las constantes 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
0 = 𝑎(0)2
+ 𝑏(0) + 𝑐 ⇒ 0𝑎 + 0𝑏 + 𝑐 = 0 − − − ①
𝑊 = 𝑎 (
𝐿
2
)
2
+ 𝑏 (
𝐿
2
) + 𝑐 ⇒
𝐿2
4
𝑎 +
𝐿
2
𝑏 + 𝑐 = 𝑊 − − − ②
0 = 𝑎(𝐿)2
+ 𝑏(𝐿) + 𝑐 ⇒ 𝐿2
𝑎 + 𝐿𝑏 + 𝑐 = 0 − − − ③
Se resuelve el sistema simultáneo de ecuaciones ① hasta ③ con el método de Cramer. Cada
determinante de orden 3x3 se calcula empleando la regla de Sarrus.
Δ = ||
0 0 1 | 0 0
𝐿2
4
𝐿
2
1 |
𝐿2
4
𝐿
2
𝐿2
𝐿 1 | 𝐿2
𝐿
|| = (0 + 0 +
𝐿3
4
) − (0 + 0 +
𝐿3
2
) = −
𝐿3
4
Δa = |
0 0 1 |0 0
𝑊
𝐿
2
1 |𝑊
𝐿
2
0 𝐿 1 |0 𝐿
| = (0 + 0 + 𝑊𝐿) − (0 + 0 + 0) = 𝑊𝐿
Δb = ||
0 0 1 | 0 0
𝐿2
4
𝑊 1 |
𝐿2
4
𝑊
𝐿2
0 1 | 𝐿2
0
|| = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 𝐿2
𝑊) = −𝐿2
𝑊
Δc = ||
0 0 0 | 0 0
𝐿2
4
𝐿
2
𝑊 |
𝐿2
4
𝐿
2
𝐿2
𝐿 0 | 𝐿2
𝐿
|| = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = 0

33
𝑎 =
Δa
Δ
=
𝑊𝐿
−𝐿3
4
= −4
𝑊
𝐿2
𝑏 =
Δb
Δ
=
−𝐿2
𝑊
−𝐿3
4
= 4
𝑊
𝐿
𝑐 =
Δc
Δ
=
0
−𝐿3
4
= 0
En consecuencia, al sustituir estos valores en la expresión (𝐼), se tiene que
𝑦 = −4
𝑊
𝐿2
𝑥2
+ 4
𝑊
𝐿
𝑥
Como no hay discontinuidad de carga a lo largo de la estructura primaria, sólo se efectuará un corte
perpendicular al eje longitudinal de la viga, entonces, no importa si tal seccionamiento se hace antes
o después de que la carga distribuida alcanza una intensidad de 𝑊.
En la figura 6-c se proporciona un diagrama de cargas del segmento de viga con longitud 𝑥. Previo
a efectuar el equilibrio estático en el cuerpo libre para deducir la función del momento 𝑀, se
determina la carga concentrada equivalente 𝐴𝐼 de la fuerza distribuida y su punto de aplicación 𝑥̅ 𝐼.
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es
𝐴𝐼 = ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
= ∫ (−4
𝑊
𝐿2
𝑥2
+ 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥 = −4
𝑊
𝐿2
∫ 𝑥2
𝑥
0
𝑑𝑥 + 4
𝑊
𝐿
∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑥
0
𝑥
0
−4
𝑊
𝐿2
[
𝑥3
3
]
0
𝑥
+ 4
𝑊
𝐿
[
𝑥2
2
]
0
𝑥
= −
4𝑊
3𝐿2
[𝑥3
− 03] +
4𝑊
2𝐿
[𝑥2
− 02] = −
4𝑊
3𝐿2
𝑥3
+
2𝑊
𝐿
𝑥2
y su ubicación es
𝑥̅ 𝐼 =
∫ 𝑥̃ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑥𝑦𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
∫ 𝑥 (−4
𝑊
𝐿2 𝑥2
+ 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥
𝑥
0
∫ (−4
𝑊
𝐿2 𝑥2 + 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥
𝑥
0
Como el denominador ya fue resuelto, se atiende al numerador.
∫ 𝑥
𝐿
0
(−4
𝑊
𝐿2
𝑥2
+ 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥 = −4
𝑊
𝐿2
∫ 𝑥3
𝐿
0
𝑑𝑥 + 4
𝑊
𝐿
∫ 𝑥2
𝑑𝑥
𝐿
0
𝐴
𝑥
𝑦 = −4
𝑊
𝐿2
𝑥2
+ 4
𝑊
𝐿
𝑥
𝑥̅ 𝐼 𝑥 − 𝑥̅ 𝐼
𝐴𝐼
𝑀1
(c)

34
= −4
𝑊
𝐿2
[
𝑥4
4
]
0
𝑥
+ 4
𝑊
𝐿
[
𝑥3
3
]
0
𝑥
=
−4𝑊
4𝐿2
[𝑥4
− 04] +
4𝑊
3𝐿
[𝑥3
− 03] = −
𝑊
𝐿2
𝑥4
+
4𝑊
3𝐿
𝑥3
∴ 𝑥̅ 𝐼 =
−
𝑊
𝐿2 𝑥4
+
4𝑊
3𝐿
𝑥3
−
4𝑊
3𝐿2 𝑥3 +
2𝑊
𝐿
𝑥2
𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐴
Tomando momentos alrededor del punto del corte, se obtiene
−𝑀1 − (−
4𝑊
3𝐿2
𝑥3
+
2𝑊
𝐿
𝑥2
) (𝑥 −
−
𝑊
𝐿2 𝑥4
+
4𝑊
3𝐿
𝑥3
−
4𝑊
3𝐿2 𝑥3 +
2𝑊
𝐿
𝑥2
) = 0
−𝑀1 − (−
4𝑤
3𝐿2
𝑥4
+
2𝑤
𝐿
𝑥3
+
𝑤
𝐿2
𝑥4
−
4𝑤
3𝐿
𝑥3
) ⇒ 𝑀1 =
𝑊
3𝐿2
𝑥4
−
2𝑊
3𝐿
𝑥3
Además,
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Por consiguiente,
𝑑1 =
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊
3𝐿2
𝑥4
−
2𝑊
3𝐿
𝑥3
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊
3𝐿2
𝑥5
−
2𝑊
3𝐿
𝑥4
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[
𝑊
18𝐿2
𝑥6
−
2𝑊
15𝐿
𝑥5
]
0
𝐿
=
𝑊𝐿4
18𝐸𝐼
−
2𝑊𝐿4
15𝐸𝐼
= −
7𝑊𝐿4
90𝐸𝐼
𝑑2 =
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊
3𝐿2
𝑥4
−
2𝑊
3𝐿
𝑥3
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊
3𝐿2
𝑥4
+
2𝑊
3𝐿
𝑥3
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑊
15𝐿2
𝑥5
+
𝑊
6𝐿
𝑥4
]
0
𝐿
= −
𝑊𝐿3
15𝐸𝐼
+
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
=
𝑊𝐿3
10𝐸𝐼
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑓21 = 𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
De tal modo que el sistema simultáneo de ecuaciones (6 − 1) y (6 − 2) se convierte en
−
7𝑊𝐿4
90𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (6 − 3)
𝑊𝐿3
10𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (6 − 4)

35
Entonces, las fuerzas correctivas son resultado de
∆= ||
𝐿3
3
−
𝐿2
2
−
𝐿2
2
𝐿
|| =
𝐿4
12
∆ 𝑅 𝐴𝑌
= ||
7𝑊𝐿4
90
−
𝐿2
2
−
𝑊𝐿3
10
𝐿
|| = [(
7𝑊𝐿4
90
) (𝐿)] − [(−
𝐿2
2
) (−
𝑊𝐿3
10
)] =
7𝑊𝐿5
90
−
𝑊𝐿5
20
=
𝑊𝐿5
36
∆ 𝑀 𝐴
= ||
𝐿3
3
7𝑊𝐿4
90
−
𝐿2
2
−
𝑊𝐿3
10
|| = [(
𝐿3
3
) (−
𝑊𝐿3
10
)] − [(
7𝑊𝐿4
90
) (−
𝐿2
2
)] = −
𝑊𝐿6
30
+
7𝑊𝐿6
180
=
𝑊𝐿6
180
𝑅 𝐴𝑌 =
∆ 𝑅 𝐴𝑌
∆
=
𝑊𝐿5
36
𝐿4
12
=
𝑊𝐿
3
⇒∴ 𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
3
𝑀𝐴 =
∆ 𝑀 𝐴
∆
=
𝑊𝐿6
180
𝐿4
12
=
𝑊𝐿2
15
⇒∴ 𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
15
Estas se aplican al diagrama de cargas de la figura 6-d. La carga concentrada equivalente de la
carga distribuida con intensidad parabólica es
𝐴1 = ∫ (−4
𝑊
𝐿2
𝑥2
+ 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
0
= −
4𝑊
3𝐿2
[𝐿3
− 03] +
4𝑊
2𝐿
[𝐿2
− 02] =
2
3
𝑊𝐿
y su línea de acción se ubica en
𝑥̅1 =
∫ 𝑥 (−4
𝑊
𝐿2 𝑥2
+ 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
0
∫ (−4
𝑊
𝐿2 𝑥2 + 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
−4𝑊
4𝐿2 [𝐿4
− 04] +
4𝑊
3𝐿
[𝐿3
− 03]
2
3
𝑊𝐿
=
−𝑊𝐿2
+
4
3
𝑊𝐿2
2
3
𝑊𝐿
=
𝑊𝐿2
3
2
3
𝑊𝐿
=
1
2
𝐿
Así que,
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
𝑊𝐿
3
−
2
3
𝑊𝐿 + 𝑅 𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
3
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −
𝑊𝐿2
15
+
2
3
𝑊𝐿 (
𝐿
2
) −
𝑊𝐿
3
(𝐿) + 𝑀 𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
15

36
En la figura 6-e se muestran las reacciones en los empotramientos 𝐴 y 𝐵 de la viga hiperestática.
𝐴 𝐵
𝑥̅1 = 𝐿/2 𝐿/2
𝑀 𝐴 =
𝑊𝐿2
15
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
3
𝑅 𝐵𝑌
𝑀 𝐵
𝐴1 =
2𝑊𝐿
3
(d)
𝐴 𝐵
𝐿/2 𝐿/2
𝑀 𝐴 =
𝑊𝐿2
15
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
3
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
15
𝑅 𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
3
(e)

37
7 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DE ENJUTA
PARABÓLICA
SOLUCIÓN
Se obtendrá una solución directa para la reacción vertical y el momento, ambos del punto 𝐴, a través
del método de la fuerza, por lo que estas se escogen como fuerzas sobrantes. Entonces, el principio
de superposición aplicado a la viga real, figura 7-a, es el que se muestra esquemáticamente en la
figura 7-b.
+
+
1
1
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
𝐿
𝐿
𝐴 𝐵
𝑀
𝑚1
𝑚2
𝐸𝑅 =
𝐿
𝑥
𝑥
𝑥
𝑊
𝐴 𝐵
𝑊
𝐿
Figura 7
(a)
(b)

38
0 = 𝑑1 + 𝑓11 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓12 𝑀𝐴 − − − (7 − 1)
0 = 𝑑2 + 𝑓21 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓22 𝑀𝐴 − − − (7 − 2)
Se analiza la viga liberada con cargas reales.
Se sigue el siguiente procedimiento para determinar tanto el área bajo la curva y como su centroide
de área para una enjuta parabólica.
La ecuación de una parábola es
(𝑥 − ℎ)2
= 2𝑝(𝑦 − 𝑘) − − − ①
Donde
𝑝 = Distancia entre el foco y la recta directriz
ℎ,𝑘 = Coordenadas del vértice de la parábola
Si se considera que el origen está en 𝐴 y que el vértice de la parábola se ubica en ese mismo punto,
entonces
𝑉 = (ℎ, 𝑘) = (0,0)
Sustituyendo ℎ = 𝑘 = 0 en la expresión algebraica ① y despejando 𝑦, tenemos
(𝑥 − 0)2
= 2𝑝 (𝑦 − 0) ⇒ 𝑥2
= 2𝑝𝑦
𝑦 =
1
2𝑝
𝑥2
− − − ②
Dado que
1
2𝑝
es una constante 𝑐, la ecuación ② pasa a ser
𝑦 = 𝑐𝑥2
− − − ③
El valor de 𝑐 puede obtenerse despejándolo de la expresión ③.
𝑐 =
𝑦
𝑥2
− − − ④
En este caso se sabe que en 𝑥 = 𝐿, 𝑦 = 𝑊. Sustituyendo las coordenadas del punto conocido en la
ecuación ④, resulta
𝑐 =
𝑊
𝐿2
− − − ⑤
Al reemplazar la ecuación ⑤ en la ecuación ③, se obtiene la ecuación final de la curva en la que
𝑦 representa la intensidad de la carga y 𝑥 la posición.
𝑦 =
𝑊
𝐿2
𝑥2

39
Se secciona la viga primaria. Con base en la figura 7-c, se calcula 𝑀.
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es
𝐿2
𝐿1
= ∫ (
𝑊
𝐿2
𝑥2
) 𝑑𝑥 =
𝑥
0
𝑊
𝐿2
∫ 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑊
𝐿2
[
𝑥3
3
]
0
𝑥
=
𝑊
𝐿2
[
𝑥3
− 03
3
] =
1
3
𝑊
𝐿2
𝑥3
𝑥
0
y su punto de aplicación es
𝑥̅ 𝐼 =
∫ 𝑥̃ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑥𝑦𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
∫ 𝑥 (
𝑊
𝐿2 𝑥2
) 𝑑𝑥
𝑥
0
1
3
𝑊
𝐿2 𝑥3
=
𝑊
𝐿2 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
𝑥
0
1
3
𝑊
𝐿2 𝑥3
=
𝑊
𝐿2 [
𝑥4
4
]
0
𝑥
1
3
𝑊
𝐿2 𝑥3
=
𝑊
𝐿2 [
𝑥4
− 04
4
]
1
3
𝑊
𝐿2 𝑥3
=
1
4
𝑊
𝐿2 𝑥4
1
3
𝑊
𝐿2 𝑥3
=
3
4
𝑥
Se calcula el momento interno 𝑀. La suma de momentos respecto del punto del corte para el
cuerpo libre de la figura 7-c conlleva a
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −𝑀1 − (
1
3
𝑊
𝐿2
𝑥3
) (
1
4
𝑥) = 0 ⇒ 𝑀1 = −
𝑊𝑥4
12𝐿2
Luego, los momentos internos para las vigas liberadas sometidas a una unidad de las fuerzas
redundantes son
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Se calculan las incompatibilidades geométricas.
𝑑1 =
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥4
12𝐿2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
= −
𝑊𝐿4
72𝐸𝐼
𝐴
𝑥
𝑦 =
𝑊
𝐿2
𝑥2
𝑥̅ 𝐼 =
3
4
𝑥
𝐴𝐼 =
1
3
𝑊
𝐿2
𝑥3
𝑥
4
𝑀1
(c)

40
𝑑2 =
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥4
12𝐿2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
=
𝑊𝐿3
60𝐸𝐼
Los coeficientes de flexibilidad siguen siendo los mismos que los obtenidos en las vigas previas.
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑓21 = 𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
Si se reemplazan estos valores en las ecuaciones (7 − 1) y (7 − 2), se tiene
−
𝑊𝐿4
72𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (7 − 3)
𝑊𝐿3
60𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (7 − 4)
Al resolver el sistema, resulta
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
15
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
60
La fuerza resultante de la carga distribuida tipo enjuta parabólica es
𝐴 = ∫ (
𝑊
𝐿2
𝑥2
) 𝑑𝑥 =
1
3
𝑊𝐿
𝐿
0
y su línea de acción, figura 7-d, se localiza a una distancia
𝑥̅ =
∫ 𝑥 (
𝑊
𝐿2 𝑥2
) 𝑑𝑥
𝐿
0
∫ (
𝑊
𝐿2 𝑥2) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
3
4
𝐿 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐴
𝐴 𝐵
3𝐿/4 𝐿/4
𝑊
1
3
𝑊𝐿
𝑀 𝐴 =
𝑊𝐿2
60
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
15
𝑅 𝐵𝑌
𝑀 𝐵
(d)

41
Las reacciones desconocidas restantes, figura 7-e, se obtienen de
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
𝑊𝐿
15
−
1
3
𝑊𝐿 + 𝑅 𝐵𝑌 = 0 ⇒ 𝑅 𝐵𝑌 =
4𝑊𝐿
15
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −
𝑊𝐿2
60
+
1
3
𝑊𝐿 (
3
4
𝐿) −
4𝑊𝐿
15
(𝐿) + 𝑀 𝐵 = 0 ⇒ 𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
30
𝐴 𝐵
𝐿
𝑊
𝑀 𝐴 =
𝑊𝐿2
60
𝑅 𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
15
𝑅 𝐵𝑌 =
4𝑊𝐿
15
𝑀 𝐵 =
𝑊𝐿2
30
(e)

42
LOGARÍTMICA
SOLUCIÓN
Principio de superposición, figura 8-b. Se optó por suprimir el empotramiento 𝐴.
Ecuaciones de compatibilidad. Al considerarse la compatibilidad del desplazamiento vertical y la
pendiente en el empotramiento 𝐴, figura 8-b, tenemos
0 = 𝑑1 + 𝑓11 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓12 𝑀𝐴 − − − (8 − 1)
0 = 𝑑2 + 𝑓21 𝑅 𝐴𝑌 + 𝑓22 𝑀𝐴 − − − (8 − 2)
+
+
1
1
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
𝐿
𝐿
𝐴 𝐵
𝑀
𝑚1
𝑚2
𝐸𝑅 =
𝐿/2 𝐿/2
𝑥 𝑥
𝑥
𝑦 = 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)
𝐴 𝐵
𝐿
𝑦 = 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)
Figura 8
(a)
(b)

43
Se secciona la viga isostática fundamental en un punto arbitrario (intermedio en el segmento 𝐴 − 𝐵)
a una distancia 𝑥 de 𝐴; en la figura 8-c se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de
viga con longitud 𝑥, en el que se observan la fuerza resultante 𝐴𝐼 de la carga distribuida logarítmica,
así como su punto de aplicación 𝑥𝐼, para definir al momento interno 𝑀.
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Se determina la resultante de la carga variable logarítmica.
𝐿2
𝐿1
= ∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)𝑑𝑥
𝑥
0
Se procede a resolver la integral de manera indefinida.
∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)𝑑𝑥
Sea
𝑢 = 𝑙𝑛 (1 + 𝑥2) 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
Entonces
𝑑𝑢 =
2𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥
Al integrar por partes tendremos
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)𝑑𝑥 = (𝑙𝑛(𝑥2
+ 1))(𝑥) − ∫(𝑥) (
2𝑥
1 + 𝑥2
) 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑙𝑛(𝑥2
+ 1) − 2 ∫
𝑥2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
La integral que obtuvimos, ∫
𝑥2
1+𝑥2 𝑑𝑥, es más sencilla que la original pero todavía no es obvia, así
que efectuamos lo siguiente para resolverla:
𝐴
𝑥
𝑦 = 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)
𝑀1
𝑥ത𝐼
𝑥 − 𝑥ത𝐼
𝐴𝐼
(c)

44
∫
𝑥2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2(1 + 𝑥2)−1
𝑑𝑥
Esta última integral es del tipo:
∫(𝑥 𝑚)(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑚−1(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) 𝑛+1
𝑐(2𝑛 + 𝑚 + 1)
−
𝑏(𝑛 + 𝑚)
𝑐(2𝑛 + 𝑚 + 1)
∫ 𝑥 𝑚−1(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) 𝑛
𝑑𝑥
−
𝑎(𝑚 − 1)
𝑐(2𝑛 + 𝑚 + 1)
∫ 𝑥 𝑚−2 (𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) 𝑛
𝑑𝑥
En este caso, 𝑚 = 2, 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 1 y 𝑛 = −1.
Sustituyendo y simplificando, se tiene
∫(𝑥2)(1 + 𝑥2)−1
𝑑𝑥 =
𝑥2−1(1 + 𝑥2)−1+1
1(2(−1) + 2 + 1)
−
(0)(−1 + 2)
1(2(−1) + 2 + 1)
∫ 𝑥2−1(1 + 𝑥2)−1
𝑑𝑥
−
1(2 − 1)
1(2(−1) + 2 + 1)
∫ 𝑥2−2 (1 + 𝑥2)−1
𝑑𝑥 = 𝑥 − ∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
La integral obtenida, ∫
𝑑𝑥
1+𝑥2, ya es de solución obvia, pues directamente se sabe que
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
= 𝑎𝑟𝑐 tan(𝑥)
Por lo tanto,
∫
𝑥2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2(1 + 𝑥2)−1
𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑎𝑟𝑐 tan(𝑥)
En consecuencia,
∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2) + 2(𝑎𝑟𝑐 tan(𝑥) − 𝑥)
La integral definida resulta ser
∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)𝑑𝑥
𝑥
0
= [𝑥 ∙ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2) + 2(𝑎𝑟𝑐 tan(𝑥) − 𝑥)]0
𝑥
= [𝑥 ∙ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2) + 2(𝑎𝑟𝑐 tan(𝑥) − 𝑥)] − [(0)𝑙𝑛(1 + 02) + 2(𝑎𝑟𝑐 tan(0) − 0)]
= 𝑥 ∙ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2) + 2(𝑎𝑟𝑐 tan(𝑥) − 𝑥)
Se determina la ubicación de la carga concentrada previa.
𝑥̅ 𝐼 =
∫ 𝑥̃ 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
∫ 𝑦 𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
∫ 𝑥(𝑙𝑛(1 + 𝑥2))𝑑𝑥
𝑥
0
∫ 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)𝑑𝑥
𝑥
0
=
(𝑥2
+ 1)𝑙𝑛(𝑥2
+ 1)
2
−
𝑥2
2
𝑥 ∙ 𝑙𝑛(𝑥2 + 1) + 2(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) − 𝑥)
El denominador de la expresión anterior, ya había sido resuelto. A continuación se detalla el
procedimiento para esclarecer la forma en que se obtuvo el valor del numerador.

45
La integral en forma indefinida es
∫ 𝑥(𝑙𝑛(1 + 𝑥2))𝑑𝑥
Esta se resuelve como sigue. Sea 𝑧 = 1 + 𝑥2
. Entonces 𝑑𝑧 = 2𝑥𝑑𝑥, y por tanto 𝑥𝑑𝑥 =
1
2
𝑑𝑧. Así, la
regla de sustitución da
∫ 𝑥(𝑙𝑛(1 + 𝑥2))𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑙𝑛(𝑧)𝑑𝑧
La integral que obtuvimos, ∫ 𝑙𝑛(𝑧)𝑑𝑧, es más sencilla que la original pero todavía no es obvia, así
que aplicamos la regla del producto para derivación para resolverla.
Sea
𝑢 = 𝑙𝑛(𝑧) 𝑑𝑣 = 𝑑𝑧
Entonces
𝑑𝑢 =
1
𝑧
𝑑𝑧 𝑣 = 𝑧
Al integrar por partes tendremos ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢, es decir,
∫ 𝑙𝑛(𝑧)𝑑𝑧 = (𝑙𝑛(𝑧))(𝑧) − ∫ 𝑧 (
1
𝑧
𝑑𝑧) = 𝑧𝑙𝑛(𝑧) − ∫ 𝑑𝑧 = 𝑧 ∙ 𝑙𝑛(𝑧) − 𝑧 = 𝑧[𝑙𝑛(𝑧) − 1]
Por lo tanto,
∫ 𝑥(𝑙𝑛(1 + 𝑥2))𝑑𝑥 =
1
2
𝑧[𝑙𝑛(𝑧) − 1]
Sustituyendo 𝑧 = 1 + 𝑥2
en la ecuación anterior se obtiene
∫ 𝑥(𝑙𝑛(1 + 𝑥2))𝑑𝑥 =
1
2
(1 + 𝑥2)[𝑙𝑛(1 + 𝑥2) − 1]
Así, tenemos
∫ 𝑥(𝑙𝑛(1 + 𝑥2))𝑑𝑥
𝑥
0
= [
1
2
(1 + 𝑥2)[𝑙𝑛(1 + 𝑥2) − 1]]
0
𝑥
= [
1
2
(1 + 𝑥2)[𝑙𝑛(1 + 𝑥2) − 1]] − [
1
2
(1 + 02)[𝑙𝑛(1 + 02) − 1]] =
(𝑥2
+ 1)𝑙𝑛(𝑥2
+ 1)
2
−
𝑥2
2
Por consiguiente, la función del momento flector 𝑀 es

46
−𝑀1 − [𝑥 ∙ 𝑙𝑛(𝑥2
+ 1) + 2(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) − 𝑥)] [𝑥 −
(𝑥2
+ 1)𝑙𝑛(𝑥2
+ 1)
2
−
𝑥2
2
𝑥 ∙ 𝑙𝑛(𝑥2 + 1) + 2(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) − 𝑥)
] = 0
𝑀1 = −
𝑥2
∙ 𝑙𝑛(𝑥2
+ 1)
2
+
𝑙𝑛(𝑥2
+ 1)
2
− 2𝑥 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) +
3
2
𝑥2
Los momentos internos de las dos vigas isostáticas restantes de la figura 8-b, son
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Se calculan los desplazamientos necesarios empleando el método del trabajo virtual.
𝑑1 =
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑥2
∙ 𝑙𝑛(𝑥2
+ 1)
2
+
𝑙𝑛(𝑥2
+ 1)
2
3
2
𝑥2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[−
𝐿4
∙ 𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
8
+
𝐿2
∙ 𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
4
+
𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
24
−
2𝐿3
∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝐿)
3
+
7𝐿4
16
−
𝐿2
24
]
𝑑2 =
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑥2
∙ 𝑙𝑛(𝑥2
+ 1)
2
+
𝑙𝑛(𝑥2
+ 1)
2
3
2
𝑥2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[
𝐿3
∙ 𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
6
−
𝐿 ∙ 𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
2
+ 𝐿2
∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝐿) −
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝐿)
3
−
11𝐿3
18
+
𝐿
3
]
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑓21 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
El sistema de ecuaciones de flexibilidades resulta en
Por lo tanto,
𝑅 𝐴𝑌 =
6(𝐿4
− 1)𝑙𝑛(𝐿2
+ 1) + 𝐿(24(𝐿2
+ 1)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝐿) − 𝐿(19𝐿2
+ 18))
12𝐿3
= 𝐴
𝑀𝐴 =
6(𝐿4
+ 6𝐿2
− 3)𝑙𝑛(𝐿2
+ 1) + 𝐿(96𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝐿) − 13𝐿(𝐿2
+ 6))
72𝐿2
= 𝐵
Ecuaciones de equilibrio. Por último, se calculan las reacciones en el empotramiento 𝐵 aplicando
las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de la figura 8-d.
1
𝐸𝐼
[−
𝐿4
∙ 𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
8
+
𝐿2
∙ 𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
4
+
𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
24
−
2𝐿3
∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝐿)
3
+
7𝐿4
16
−
𝐿2
24
] +
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 − − − (8 − 3)
1
𝐸𝐼
[
𝐿3
∙ 𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
6
−
𝐿 ∙ 𝑙𝑛(𝐿2
+ 1)
2
+ 𝐿2
∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝐿) −
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝐿)
3
−
11𝐿3
18
+
𝐿
3
] −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅 𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (8 − 4)

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