EIIb-Teoremas de Energía.pdf

Teoremas de Energía
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos
El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2018

Teoremas de Energía (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 3
ENUNCIADO 3
APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES A LOS SISTEMAS DEFORMABLES ELÁSTICAMENTE 4
EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES Y LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO 5
APLICACIÓN DEL PTV AL CÁLCULO DE DEFORMACIONES 6
EJEMPLO UTILIZANDO TABLAS (MÉTODO GRÁFICO – INTEGRALES DE MOHR) 8
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO 14
ENUNCIADO 15
TEOREMA DE BETTI (LEY DE RECIPROCIDAD) 19
ENUNCIADO 19
TEOREMA DE MAXWELL 20
ENUNCIADO 20
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 23

Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

Principio de los Trabajos Virtuales
Enunciado
“Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en equilibrio, el
trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de deformación”
Es conveniente considerar algunos términos de la definición:
• En primer lugar, estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad se le
provoca una deformación. Dicha deformación es arbitraria, compatible con las condiciones de
vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo.
• Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el trabajo virtual
de las fuerzas exteriores, Te.
• Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales generan trabajo debido a la
deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de deformación, Ti.
• El Principio de Trabajos Virtuales puede entonces expresarse sintéticamente como: i
e T
T 
Consideremos ahora el caso de una estructura sometida a un sistema de cargas Pm en su plano, siendo R
las correspondientes reacciones de vínculo exteriores.
Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos Q, N, M de tal manera que existe
equilibrio entre la acción interna y la externa.
Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las cargas Pm y
R, sufrirán desplazamientos δm y ΔR (si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de las mismas. Por
lo tanto, el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por:
R
m
m
e R
P
T 



 
 
Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, es decir el trabajo de los esfuerzos internos (Q, N,
M) debido a la deformación virtual a que sometimos al sistema, consideramos un elemento de una barra
dx de altura h.
La deformación virtual provocará,
un desplazamiento relativo de las
dos secciones del elemento que
podrá expresarse por una
traslación y una rotación d. La
traslación la podemos considerar
compuesta por dos componentes;
una a lo largo del eje de la barra
dN y otra normal dc.
El trabajo diferencial de las fuerzas
internas que actúan sobre el
elemento dx será:
dc
Q
dN
N
d
M
dTi 




 

Aplicación del principio de los trabajos virtuales a los sistemas
deformables elásticamente
Cuando nos referimos a sistemas elásticos, llamaremos desplazamiento virtual de los mismos a cualquier
deformación elástica muy pequeña compatible con sus vínculos externos e internos.
La integración de esta expresión a toda la estructura representa el trabajo virtual de deformación Ti, y
como las deformaciones elásticas para una barra, en general son:
resultando:
dx
F
G
Q
dc
dx
T
F
E
N
dN
dx
h
T
J
E
M
d 


























 


 ;
;
Dónde:
α: coeficiente de dilatación térmica
F: Sección transversal de la barra
J: Momento de Inercia
E: Módulo de elasticidad
G: Módulo de elasticidad transversal
χ: Coeficiente de forma que tiene en cuenta la distribución no uniforme del corte en la sección transversal
de la viga
y reemplazando, será:
dx
F
G
Q
Q
dx
T
N
dx
F
E
N
N
dx
h
T
M
dx
J
E
M
M
Ti 





















 



 


que es la expresión del Principio de Trabajos Virtuales, para el caso general de estructuras planas.

El Principio de Trabajos Virtuales y las condiciones de equilibrio
A continuación, veremos como la aplicación del Principio de Trabajos Virtuales a chapas rígidas conducen
a las condiciones generales de equilibrio para cuerpos en dos dimensiones.
Consideremos en primer lugar, la chapa solicitada por un sistema de fuerzas exteriores Fi y Mi en
equilibrio. Como es bien sabido, las condiciones de equilibrio de cuerpos en el plano son las siguientes:
0
;
0
;
0 

 


m
i
i
n
i
Y
n
i
X M
F
F i
i
Por otro lado, una chapa en el plano posee tres grados de libertad que consisten en dos desplazamientos
y una rotación, en consecuencia, es susceptible de experimentar tres desplazamientos virtuales
independientes entre sí.
En primer lugar, suponemos que la chapa sufre un desplazamiento virtual paralelo al eje x de intensidad
x. Al tratarse de un sólido rígido, todos sus puntos materiales y en particular los puntos de aplicación de
las fuerzas sufrirán el mismo desplazamiento x, y el trabajo desarrollado por el sistema de fuerzas será:
  0
cos 




 

n
i
i
i
X
X
n
i
X F
F
U i



siendo i el ángulo que forma cada fuerza Fi respecto del eje x. Dado que x es arbitrario, para que se
cumpla la igualdad precedente es necesario que:
  0
cos 


n
i
i
i
F 
ecuación que corresponde a la condición de equilibrio 0


n
i
Xi
F
Consideremos ahora un desplazamiento virtual paralelo al eje y de intensidad y. En forma análoga se
tendrá: 0


n
i
Yi
F

Por último, para una rotación virtual θ de la chapa respecto del centro O, los puntos de aplicación de las
fuerzas sufrirán el siguiente corrimiento virtual en la dirección de las mismas:

 
 i
i d
siendo di la distancia medida en forma perpendicular desde el origen de coordenadas a la dirección de las
fuerzas Fi. Por lo tanto, el trabajo virtual desarrollado por sistema de fuerzas, para una rotación virtual, de
acuerdo con el enunciado del Principio de Trabajos Virtuales debe ser nulo.
0



















 





m
i
i
n
i
i
i
m
i
i
n
i
i
i
m
i
i
n
i
i
i M
d
F
M
d
F
M
F
U 




de donde:
0








 

m
i
i
n
i
i
i M
d
F
De esta manera se ha demostrado que todo cuerpo que cumple el Principio de Trabajos Virtuales cumple
a su vez las condiciones de equilibrio.
Aplicación del PTV al Cálculo de Deformaciones
Supongamos una viga simplemente apoyada con un estado de cargas cualquiera, que genera el diagrama
de momentos M indicado en la figura.
Si queremos calcular la deformación de esa viga (desplazamiento vertical) en el punto m, aplicamos en
dicho punto una carga auxiliar (ficticia), unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Si

aplicamos ahora la ecuación del PTV y admitimos que no hay descenso de apoyos, ni variaciones de
temperatura y despreciando los efectos de N y Q, resulta:
i
m
e T
ds
J
E
M
M
T 





 

1
Análogamente, si queremos calcular el giro del punto m, aplicamos una cupla unitaria en dicho punto, en
donde por aplicación de la ecuación del PTV, resulta:
i
m
e T
ds
J
E
M
M
T 





 

1
Problemas de aplicación
Ejercicio Nº I: Calculemos, por ejemplo, el desplazamiento vertical del extremo “B” de una ménsula
horizontal de longitud “L”, módulo de elasticidad “E” y momento de inercia “J”, cargada con un afuerza q
uniformemente distribuída:
Para ello previamente trazamos los diagramas de momentos debidos a la causa (fuerza distribuida) Mp y
al esfuerzo auxiliar Mv, ellos son:
x
M
x
p
M v
p 


 ;
2
2
luego será:
 
J
E
L
p
dx
J
E
x
p
J
E
dx
x
x
p
L
L
P
B













 
 8
2
2
4
0
3
0
2


Si en lugar de desplazamientos del baricentro de la sección extrema hubiésemos querido hallar el giro de
la misma, el esfuerzo auxiliar en este caso sería un par +1 aplicado en “B”, resultaría:
 
J
E
L
p
dx
J
E
x
p
J
E
dx
M
M
L
L
v
p
P
B












 
 6
2
3
0
2
0

La preparación de tablas para los casos corrientes para resolver integrales que multiplican distintos
diagramas de características resulta sumamente sencilla, y debe tenerse en cuanta que los diagramas de
momentos pueden descomponerse, dada la propiedad distributiva de la integración en la forma que
resulte más conveniente para el cálculo.
Ejemplo utilizando tablas (Método gráfico – Integrales de Mohr)
Ejercicio Nº II: Calcular la flecha en el punto medio y el giro en los extremos de la viga simplemente
apoyada de la figura cuando actúa sobre ella una carga uniforme p.
La función de momentos flexores de la viga es:
     
8
2
2
2
2
2
2
l
p
l
l
l
p
x
M
x
l
x
p
x
M l


















Si queremos calcular la deformación de la viga (desplazamiento vertical) en el punto C, aplicamos en
dicho punto una carga auxiliar (ficticia), unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Los
momentos generados por esta fuerza serán:
 
   
 






































4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
0
2
2
*
*
2
*
*
*
*
l
l
l
F
l
l
F
x
M
l
x
l
x
l
x
l
F
l
x
x
x
F
x
M l
y planteando la ecuación de PTV (dado que ambos momentos son simétricos, resolveremos la integral de
media viga y la multiplicaremos por 2):
     
J
E
l
p
dx
x
x
l
x
p
J
E
dx
J
E
x
M
x
M
L
L
C





























 

4
*
384
5
2
2
2

Análogamente, si queremos calcular el giro del punto B, aplicamos una cupla unitaria auxiliar (ficticia) en
dicho punto, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Los momentos generados por esta
cupla serán:
 
l
x
l
x
M
x
M 

 *
*
y planteando la ecuación de PTV:
     

 





























L
L
B
J
E
l
p
dx
l
x
x
l
x
p
J
E
dx
J
E
x
M
x
M
3
*
24
1
2
1

También podemos resolver las integrales por el método gráfico:

Si queremos calcular la deformación de la viga, será:
   
J
E
l
p
l
l
l
p
J
E
L
m
M
dx
J
E
x
M
x
M
L
C

























 



















 
4
2
*
384
5
2
4
8
12
5
2
12
5

   
J
E
l
p
l
l
p
J
E
L
m
M
dx
J
E
x
M
x
M
L
B

























 
3
2
*
24
1
8
3
1
1
3
1

Ejercicio Nº III: Calcular aplicando el teorema de los Trabajos Virtuales:
La rotación absoluta de los extremos A y B.
a) La rotación relativa de los extremos A y B.
b) El corrimiento vertical en el punto C.
c) Compara resultados con los obtenidos en el
ejercicio Nº 1 del Trabajo Práctico Nº 7.
Datos: Perfil “doble T” (DIN 1025); l = 7,4 m; P = 4,5 t;
q = 1,8 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; adm = 800
Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2
Resolución:
a) Rotación absoluta de los extremos A y B:
La rotación absoluta de los extremos “A” y “B” la calculamos con la siguiente expresión:

    

 














L
v
q
L
v
p
L
v
q
p
q
P
A dx
M
M
J
E
dx
M
M
J
E
J
E
dx
M
M
M
0
0
0
,
1
1

El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso un par unitario aplicado sucesivamente en ambos extremos
(“A” y “B”). Por simetría el giro absoluto en el extremo “A” será igual al giro absoluto en el extremo “B”
por lo tanto:
Resolviendo las integrales por tablas, tendremos:




































 
2
0
16
1
1
1
4
1
4
1
1
1
L
P
J
E
L
L
P
J
E
dx
M
M
J
E
L
v
p
y





























 
3
2
0
24
1
1
1
8
3
1
1
1
L
q
J
E
L
L
q
J
E
dx
M
M
J
E
L
v
q
por lo que, reemplazando será:
3
3
2
10
898
,
5
3
2
16
1 
















 L
q
L
P
J
E
B
A 

b) Rotación relativa de los extremos A y B:
La rotación relativa de los extremos “A” y “B” la calculamos con la siguiente expresión:
    

 














L
v
q
L
v
p
L
v
q
p
q
P
A dx
M
M
J
E
dx
M
M
J
E
J
E
dx
M
M
M
0
0
0
,
1
1

El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso un par de pares unitarios aplicados en ambos extremos (“A”
y “B”) por lo tanto:



























 







 
2
0
8
1
1
1
4
2
1
1
1
L
P
J
E
L
L
P
J
E
dx
M
M
J
E
L
v
p
y


























 







 
3
2
0
12
1
1
1
8
3
2
1
1
L
q
J
E
L
L
q
J
E
dx
M
M
J
E
L
v
q
3
3
2
10
796
,
11
3
2
8
1 
















 L
q
L
P
J
E
BA
AB 

A este valor podríamos haber llegado con el siguiente
razonamiento:
3
10
796
,
11
2
2
;




















B
A
BA
AB
B
A
BA
AB
B
A
B
A


















c) El corrimiento vertical en el punto C:
El corrimiento vertical en el punto “C” lo calculamos
con la siguiente expresión:

    

 














L
v
q
L
v
P
L
v
q
P
q
P
C dx
M
M
J
E
dx
M
M
J
E
J
E
dx
M
M
M
0
0
0
,
1
1

El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso una fuerza unitaria aplicada en el centro de la luz (punto “C”)
por lo tanto:


































































3
0
0
0
2
2
0
0
48
1
1
1
2
4
4
3
1
1
2
4
4
3
1
1
1
1
1
1
L
P
J
E
dx
M
M
J
E
L
L
L
P
J
E
L
L
L
P
J
E
dx
M
M
J
E
dx
M
M
J
E
dx
M
M
J
E
dx
M
M
J
E
L
v
p
L
v
p
L
v
p
L
v
p
L
v
p
y






































































4
0
2
2
0
0
2
2
0
0
384
1
1
1
2
4
8
12
5
1
2
4
8
12
5
1
1
1
1
1
L
q
J
E
dx
M
M
J
E
L
L
L
q
J
E
L
L
L
q
J
E
dx
M
M
J
E
dx
M
M
J
E
dx
M
M
J
E
dx
M
M
J
E
L
v
q
L
v
q
L
v
q
L
v
q
L
v
q

m
L
q
L
P
J
E
C 013945
,
0
384
48
1 4
3








 






d) Cuadro comparativo de resultados con en el ejercicio Nº 1 del Trabajo Práctico Nº 7:
 (cm)  A= B
Por integración: 1,3940 5.890x10-3
Por Trabajos virtuales: 1.3945 5.898x10-3
Primer Teorema de Castigliano
Uno de los métodos más comunes para calcular los desplazamientos se basa en dos principios básicos.
Estos son el concepto de energía y la ley de la conservación de la energía. En el primero se deducen los
teoremas de Castigliano y de Engesser, mientras que con el segundo se formula el método de la carga
unitaria.
Teoremas de Energía
Castigliano 1879.- Energía de deformación elástica restringida a estructuras con diagramas lineales de
carga-desplazamiento (comportamiento elástico).
Engesser 1889.- Energía complementaria, sin especificar que la estructura tenga un diagrama lineal.
El trabajo realizado para un incremento de Δ es P • Δ y por definición este trabajo es igual al incremento
en la energía de deformación elástica. Entonces el incremento total de la energía elástica U cuando la
carga aumenta de 0 a P1 será:





1
0
d
P
Ui
Esta integral es igual al área bajo la curva de la línea 0A. De esa misma ecuación puede obtenerse:

P
Ui




Enunciado
"En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, la variación del trabajo interno
para un incremento unitario de la fuerza aplicada en un punto cualquiera del mismo representa el
desplazamiento del punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre que el sistema se encuentre en
el régimen elástico."
Consideremos una estructura, que no puede
ser hipostática (mecanismo con movimientos).
Consideremos ahora un sistema de cargas
actuando sobre la misma, con valores tales
que todos los elementos estructurales estén
sometidos a esfuerzos, para los cuales, las
tensiones y deformaciones estén dentro del
régimen elástico. Dichas fuerzas las indicamos
con P1 ..... Pj ..... Pn, sistema que está en
equilibrio, es decir que, o bien son sistema de
fuerzas externas, o alguna de ellas son
fuerzas externas y otras son reacciones de
vínculo.
Al actuar las fuerzas creciendo desde cero a
su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicación de las mismas se desplazan. Por ejemplo,
el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2', por lo que cada fuerza realizará un trabajo elástico de valor:


 P
Te
2
1
Siendo δ la proyección del despalzamiento Δ sobre la recta de acción de la fuerza. El trabajo total, debido
a todas las fuerzas vale:




n
j
j
j
e P
T
1 2
1

lo cual expresa la energía total elástica acumulada por el sistema. Si la fuerza Pj, varía en dPj, el trabajo
valdría:
j
j
e
e dP
P
T
T 



donde ∂Te/∂Pj es la variación del trabajo total cuando P
j
varía en la unidad. Consideramos ahora que
primero se aplique dP
j
y luego el sistema P
1
a P
n
. El trabajo total, en este caso resulta:
e
j
j
j
j T
dP
d
dP 


 

2
1
donde:

• El 1° sumando, expresa el trabajo elástico de dPj, al aplicar dicha fuerza creciendo desde cero a su
valor final.
• El 2° sumando, representa el trabajo físico de dPj debido al desplazamiento que provoca el sistema
P1 a Pn, al crecer desde cero a sus valores finales.
• El 3° sumando, el trabajo elástico del sistema P1 a Pn.
Como los estados finales, del 1° y 2° caso son iguales, debe cumplirse:
j
e
j
j
j
j
j
e
e
j
j
j
j
j
j
e
e
P
T
dP
dP
P
T
T
dP
d
dP
dP
P
T
T


















 



2
1
donde hemos simplificado Te y despreciando el primer sumando del segundo miembro por ser un
diferencial de orden superior. Esta es la expresión del Teorema de Castigliano.
Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn, se acumula como energía interna
elástica, podemos escribir Te = Ti, y por lo tanto:
j
i
j
e
j
P
T
P
T







Debido que para obtener las deformaciones con el trabajo externo Te, necesitamos las deformaciones,
debemos desarrollar la expresión del trabajo interno Ti.
Dado que los esfuerzos internos están representados por tensiones y las deformaciones por
deformaciones específicas, el trabajo interno por unidad de volumen estará expresado de la siguiente
manera:



 



2
1
2
1
*
i
T y por la Ley de Hooke resulta
G
E
Ti
2
2
*
2
1
2
1 



Para obtener el trabajo interno de deformación debemos integrar la expresión en el volumen:
dx
dA
G
dx
dA
E
dV
T
T
V
i
i 






 


2
2
*
2
1
2
1 

Las tensiones normales son producidas por momentos y esfuerzos axiles (M y N), y las tensiones
tangenciales por los esfuerzos de corte (Q):
A
Q
J
b
Q
S
y
J
M
A
N x


 






0
; con
J
b
A
Sx



0

y reemplazando:



 












 dx
dA
A
Q
G
dx
dA
y
J
M
E
dx
dA
y
J
M
A
N
E
dx
dA
A
N
E
Ti 2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1






















A
A
A
A
dA
A
A
dA
y
dA
y
A
dA
donde
sección)
la
de
forma
de
te
(coeficien
inercia)
de
(momento
sección)
la
de
área
el
toda
de
estático
(momento
0
(área)
:
2
2


por lo tanto:


 




 dx
GA
Q
dx
EJ
M
dx
EA
N
Ti
2
2
2
2
1
2
1
2
1
 y aplicando el Teorema de Castigliano
resulta:
GA
dx
P
Q
Q
EJ
dx
P
M
M
EA
dx
P
N
N
P
T
j
j
j
j
i
j 

 













 

Ejercicio IV: Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nos
planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de
AB). En tal caso:
 






L
x
x
i
C dx
F
M
M
EJ
F
T
0
1

donde F es una fuerza infinitesimal aplicada en C, en la dirección en
que se quiere calcular el desplazamiento. Así tendremos:




































2
;
0
0
;
2
;
2
2
0
2
2
0
L
x
dF
dM
dF
dM
F
L
x
F
M
M
M
M
L
L
x
L
x
L
L
x
L
x
y reemplazando:
     
EJ
ML
L
M
ML
EJ
L
L
M
L
L
M
EJ
dx
L
M
dx
x
M
EJ
dx
L
x
M
dx
M
EJ
C
C
L
L
L
L
L
L
L
C
8
4
8
3
1
2
2
4
2
1
2
1
2
0
1
2
2
2
2
2
2 2
2
2
0


































































  






Ejercicio V: Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con una carga en el extremo libre B. Calcular
el giro de la sección C. En tal caso:
 






L
x
x
i
C dx
m
M
M
EJ
m
T
0
1

Como en C no actúa un momento, debemos aplicar en dicho punto un
momento m infinitamente pequeño en la dirección en que se quiere
calcular el giro. Así tendremos:
 


















1
;
0
0
;
;
2
2
0
2
2
0
L
L
x
L
x
L
L
x
L
x
dm
dM
dm
dM
m
x
P
m
M
x
P
M
y reemplazando:
       
EJ
PL
L
L
P
EJ
dx
x
P
dx
x
P
EJ
C
L
L
L
C
8
3
4
2
1
1
1
0
1 2
2
2
2
2
0




























 
 

Ejercicio VI: Sea un pórtico empotrado en A y con una carga en el extremo libre C. Calcular el
desplazamiento vertical del punto C = δvc. En tal caso:
 






L
x
x
i
C dx
P
M
M
EJ
P
T
0
1

Para el cálculo del desplazamiento vertical, dado que P está en el punto y con la
dirección del desplazamiento que queremos calcular, el diagrama Mx1 será el
correspondiente para P.

















1
0
0
1
0
0
2
1
2
1
;
;
L
dP
dM
x
dP
dM
L
P
M
x
P
M
L
x
L
x
L
x
L
x
y reemplazando:
       
2
2
2
1
1
3
1
0
1
1
2
0
1
2
3
1
1 2
1
EJ
L
L
P
EJ
L
P
dy
L
L
P
EJ
dx
x
x
P
EJ
vc
L
L
vc

















 




TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad)
Enunciado
“El trabajo de un estado de cargas en equilibrio PΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por otro
estado de cargas en equilibrio PΙΙ es igual al trabajo de las cargas PΙΙ a lo largo de los desplazamientos
producidos por PΙ.”
De la relación del Trabajo con funciones cuadráticas de las fuerzas y deformaciones, ratificamos lo ya
señalado en el tema (1-2) de que no es aplicable el Principio de Superposición y por lo tanto el trabajo de
deformación de varias fuerzas no es igual a la
suma de los trabajos de cada una de ellas por
separado.
Supongamos que sobre un cuerpo actúa un
sistema de fuerzas P que produce
deformaciones δ y una energía de
deformación U igual a un trabajo Te, y dicho
sistema de cargas P está formado por la suma
de dos estados de carga que llamaremos PΙ y
PΙΙ
Si δΙ es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga PΙ y δΙΙ es el correspondiente a las
cargas PΙΙ se cumplirá:
cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas.
P; δ producen Te = U y veamos de aplicar las cargas P de dos formas distintas:
a) Primero PΙ y luego PΙΙ

Donde Ui, j representa el valor de la energía o trabajo externo de las cargas Pi a lo largo de los
desplazamientos debido a las cargas Pj (i y j con valores Ι y ΙΙ)
b) Primero PΙΙ y luego PΙ
Como los dos estados finales son iguales, también lo serán los Trabajos finales y de igualar las
expresiones de a) y b) obtendremos:
Expresión del Teorema de BETTI. A estos trabajos se los denomina recíprocos o indirectos.
TEOREMA DE MAXWELL
Enunciado
“El valor del corrimiento de un punto 1 según una cierta dirección P1 debido a una fuerza unitaria aplicada
en 2 según una dirección P2, es igual al valor del corrimiento en 2 según la dirección P2, provocado por
una fuerza unitaria aplicada en 1 según una dirección P1”.
Este Teorema tratado aquí como un caso particular del Teorema de Betti fue enunciado con anterioridad a
este último. Betti solo generalizo las conclusiones a que había llegado Maxwell.
En la figura siguiente de una viga tenemos dos estados de carga y deformaciones, con la salvedad que
ambos estados de cargas son unitarios.

Aplicando el Teorema de Betti:
y siendo ambas cargas unitarias
Expresión del Teorema de MAXWELL:
Mencionamos específicamente el “valor”, pues como se aprecia en el ejemplo, la igualdad no incluye a las
unidades, pues δ12 es un desplazamiento que se mide en unidades de longitud y δ21 es un ángulo que se
mide en radianes, ya que cuando hablamos de corrimientos entendemos tanto a un desplazamiento lineal
como una rotación, dependiendo del tipo de vector carga con el que se evalúa el trabajo.
Ejercicio Nº VII: Para hallar el momento de empotramiento MFB de la viga indicada en la figura A se
aplica el teorema de Maxwell-Betti.
Primero hay que quitar la carga W y dejar libre el extremo B para permitir la rotación. Aplicando un
momento arbitrario M en B se produce una elástica como la indicada en la figura B. la deflexión en “x”,
que definir la posición de la carga, es “y”. Para proseguir con el problema es necesario obtener una
expresión para “y”. Esto se realiza fácilmente a partir de la ecuación general de la elástica:
por tanto
Ahora se aplica el teorema de Maxwell-Betti a los sistemas de fuerzas de las figuras A y B

por tanto
Ahora
por tanto

Bibliografía Recomendada
• Estabilidad II - E. Fliess
• Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
• Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros
• Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced
Mechanics of Materials")
• El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")
• Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
• Mecánica de materiales - F. Beer y otros
• Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler
• Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros
• Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir
• Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
• Resistencia de materiales - V. Feodosiev
• Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
• Resistencia de materiales - S. Timoshenko

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