serie de fourier

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De Las Fuerzas Armadas
UNEFA – Apure
Facilitador:
 Lcdo. Elier España
Participantes:
* Jose Quintana
* Jeison Rodríguez
* Abraham Pérez
* Jose Peña
San Fernando, Julio de 2018

2. Periodo de una función
Sea ƒ: R → R una función. Decimos que ƒ es periódica cuando
existe un numero real T, no nulo, tal que ƒ ( x+T) = ƒ(x) para todo
x ∈ 𝑅. En este caso se dice que T es un período para f.
Si T es un período para f entonces ±T, ±2T, … , ±nT, … también
son periodos para ƒ.

3. Periodo de una función
Si una función tiene un patrón repetitivo como el seno o
el coseno, se llama función periódica. El periodo es la
longitud del intervalo más pequeño que contiene
exactamente una copia del patrón repetido.
Entonces el periodo de y=sen(x) o y=cos(x) es 2π.
Cualquier parte de la gráfica que muestre éste patrón sobre
un periodo se llama ciclo. Por ejemplo, la gráfica de
y=cos(x) en el intervalo [0,2π] es un ciclo.

4. Serie de Fourier
Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del
análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones
sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras).
Las series de Fourier tienen la forma:
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑡) + 𝑏 𝑛 sin(𝑛𝜔𝑜𝑡)
En donde 𝜔0=
2π
𝑇
que es denominado frecuencia fundamental de la señal y
2𝜔o, 3𝜔0 ,…,n𝜔0, son los componentes armónicos de la señal.

5. Coeficientes de FourierEscriba aquí la ecuación.
Nos indican cuánto de los componentes armónicos se le debe agregar a la
serie para representar adecuadamente una función.
𝑓 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔𝑜𝑡) + 𝑏 𝑛 sin(𝑛𝜔𝑜𝑡)
Donde 𝑎0, 𝑎 𝑛, 𝑏 𝑛 son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
𝑎0 =
2
𝑇 −2/𝑇
2/𝑇
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑛 =
2
𝑇 −2/𝑇
2/𝑇
𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑜𝑡 𝑑𝑡
𝑏 𝑛 =
2
𝑇 −2/𝑇
2/𝑇
𝑓 𝑡 sin 𝑛 𝜔𝑜𝑡 𝑑𝑡

6. Ejemplo.
Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadra de
periodo T:
La expresión para f(t) en –T/2 < t < T/2 es :
-1 para –T/2 < t< 0
f(t) ω0=2𝜋/T
1 para 0< t< T/2
t
-T/2 T/2 T
1
-1
0

7. Coeficiente a0
-1 para –T/2 < t< 0
f(t)= a0=
1
𝑇 −𝑇/2
𝑇/2
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
1 para 0< t< T/2
0 -T/2
a0=
2
𝑇 −𝑇/2
0
−𝑑𝑡 + 0
𝑇/2
𝑑𝑡
2
𝑇
-t + t =0
T/2 0

8. Coeficiente an
-1 para –T/2 < t< 0
f(t)= an=
2
𝑇 −𝑇/2
𝑇/2
𝑓 𝑡 cos(𝑛 𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡
1 para 0< t< T/2
an =
2
𝑇 −𝑇/2
0
(−1) cos(𝑛 𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 + 0
𝑇/2
(1) cos(𝑛 𝜔0 𝑡)dt
0 T/2
…=
2
𝑇
-
1
𝑛 𝜔0
se𝑛 𝑛 𝜔0 𝑡 +
1
𝑛 𝜔0
sen(𝑛 𝜔0 𝑡) =0
-T/2 0
para n≠0

9. Coeficiente an
-1 para –T/2 < t< 0
f(t)= bn=
2
𝑇 −𝑇/2
𝑇/2
𝑓 𝑡 sen(𝑛 𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡
1 para 0< t< T/2
bn =
2
𝑇 −𝑇/2
0
(−1) sen(𝑛 𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 + 0
𝑇/2
(1) sen(𝑛 𝜔0 𝑡)dt
0 T/2
…=
2
𝑇
1
𝑛 𝜔0
cos 𝑛 𝜔0 𝑡 -
1
𝑛 𝜔0
cos(𝑛 𝜔0 𝑡)
-T/2 0
=
1
𝑛π
1 − cos 𝑛π − cos 𝑛π − 1 =
2
𝑛π
1 − (−1) 𝑛
)
Para n ≠ 0