vareavilidad de los componenetes de un tornillo adyacente

1. Capítulo IV
Medidas de Variabilidad
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
Dpto. de Matemática y Estadística
Estadística y Probabilidad Docente: Ing. César Meléndez

2. Objetivos del capítulo
2
Calcular e interpretar las principales
medidas de variabilidad para
describir las características
(variables) cuantitativas de las
unidades elementales en términos de
su dispersión.

3. Ejemplo 1 (Pág. 58)
3
Los grupos A, B y C tienen la misma media pero
diferente dispersión en torno a la media.
• Respecto a la variabilidad o dispersión: A < B < C
• Respecto a la homogeneidad : A > B > C
• Respecto a la confiabilidad de la media: A > B > C
Considerar los siguientes datos como las notas de la
primera práctica de una muestra de alumnos cada uno de
los tres grupos de una asignatura:
Grupo Notas Media
A 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14
B 14 13 15 14 12 15 16 13 12 16 14
C 19 8 19 11 16 18 6 13 10 20 14
x

4. Principales medidas de variabilidad
4
Las principales medidas de variabilidad
son las siguientes:
• La amplitud o rango
• El rango intercuartil
• La variancia
• La desviación estándar
• El coeficiente de variabilidad

5. El rango
R = Xmax - Xmin
Desventajas:
• Queda afectada por valores extremos
• No mide la variabilidad de los datos
intermedios
Ejemplo 2 (Pág. 69)
El rango de la nota para el grupo B es:
RB = 15 – 11 = 4 puntos.
5

6. El rango Intercuartil
El rango intercuartil, se define como la
diferencia entre el percentil 75 (P75 = Q3) y el
percentil 25 (P25 = Q1).
RI = P75 - P25
• El RI excluye el 25% más alto y el 25% más bajo.
Se obtiene un rango del cual se encuentra el 50%
central de los datos.
• Un RI pequeño indica alta homogeneidad o
pequeña variabilidad dentro del 50% central de los
datos.
6

7. Ejemplo 3 (Pág. 59)
Para el grupo C: P75 = 18 y P25 = 8.5, entonces
el rango intercuartil:
RI = 18 – 8.5 = 9.5 puntos.
Esto indica que la amplitud del 50% central de
las notas de la primera práctica para el grupo C
fue 9.5.
7

8. La variancia y la desviación estándar
“Datos no agrupados
Variancia N:
Variancia n:
Desviación estándar n:
onde k número de categorías
8
 
2
2 2 2
1 1
1 1
N N
j j
j j
X X N
N N
  
 
 
   
 
 
 
 
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
n n
j j
j j
S X X X n X
n n
 
 
   
 
   
 
2
S
S 

9. Halle la variancia y desviación estándar
muestral de las notas para cada una de las
muestras de los tres grupos de la asignatura en
estudio.
9
Ejemplo 4 (Pág. 59)
Grupo Notas Media
A 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 1960
B 14 13 15 14 12 15 16 13 12 16 14 1980
C 19 8 19 11 16 18 6 13 10 20 14 2192

10. La variancia y la desviación estándar
10
Grupo A:
Grupo B:
Grupo C:
A mayor variabilidad entre las observaciones, la variancia es
mayor. Esta comparación se cumple siempre cuando los
promedios sean similares.
  0
0
14
10
1960
1
10
1
1
1 2
2
10
1
2
2













 

A
i
i
A S
y
x
x
n
x
n
S
  49
.
1
22
.
2
22
.
2
14
10
1980
1
10
1
1
1 2
2
10
1
2
2














 

B
i
i
B S
y
x
x
n
x
n
S
  08
.
5
78
.
25
78
.
25
14
10
2192
1
10
1
1
1 2
2
10
1
2
2














 

C
i
i
C S
y
x
x
n
x
n
S

11. La variancia y la desviación estándar
“Datos agrupados”
Variancia
muestral:
Desviación estándar muestral:
donde k número de categorías
11
2
S
S 
2
2 2 2
1 1
1 1
( ) ( )
1 1
k k
i i i i
i i
S f X X f X nX
n n
 
   
 
 

12. 12
Intervalos Marca de clase xi fi hi % Fi
(xi-X
pro)^2
[1.99 - 3.90) 2.945 11 0.2444 0.2444 11 62.14560869
[3.90 - 5.81) 4.855 20 0.4444 0.4444 31 4.359704691
[5.81 - 7.72) 6.765 10 0.2222 0.2222 41 20.82569679
[7.72 - 9.63) 8.675 1 0.0222 0.0222 42 11.24335412
[9.63 - 11.54) 10.585 2 0.0444 0.0444 44 55.40067714
[11.54 - 13.45] 12.495 1 0.0222 0.0222 45 51.45352301
Total
45 1.0000 1.0000
205.4285644
2
2 2 2
1 1
1 1
( ) ( )
1 1
k k
i i i i
i i
S f X X f X nX
n n
 
   
 
 
𝑆2
=
205.4285644
45 − 1
= 4.67 𝑆 = 4.67 = 1.16

13. Coeficiente de variabilidad
13
¿Es posible evaluar la variabilidad entre grupos con
la varianza o la desviación estándar cuando los
promedios de los grupos son muy distintos y/o las
unidades de medida son distintas ente sí?
El coeficiente de variabilidad es una medida de
dispersión relativa (no tiene unidades) y se define
como la razón entre la desviación estándar y la
media aritmética de un conjunto de observaciones.

14. Coeficiente de variabilidad
14
100




CV
100


x
s
cv
Coeficiente de variabilidad poblacional:
Coeficiente de variabilidad muestral:

15. Ejemplo 5 (Pág. 60)
15
Halle el coeficiente de variabilidad de las notas de la
primera práctica para cada grupo.
Grupo A:
Grupo B:
Grupo C:
%
6
.
10
100
14
49
.
1
100 

 x
x
x
S
cv
B
B
B
0
100
14
0
100 

 x
x
x
S
cv
A
A
A
%
3
.
36
100
14
08
.
5
100 

 x
x
x
S
cv
C
C
C

16. Ejemplo 6 (Pág. 60)
16
Los siguientes datos corresponden al tiempo (en
minutos), al cabo del cual se duermen las ratas después
de haber recibido un tipo de tranquilizante (A o B).
Tipo A Tipo B
n 18 ratas 20 ratas
x 9.94 min 15.2 min
s 2.81 min 2.84 min
¿Con qué tranquilizante el tiempo es más homogéneo?
2.81
100% 28.27 %
9.94
A
cv   
2.84
100% 18.68 %
15.2
B
cv   
El tranquilizante B tiene observaciones más homogéneas

17. Ejercicio 1 (Pág. 61)
17
Los siguientes datos corresponden a las mediciones
de la emisión diaria (en toneladas) de óxido de azufre
de una planta industrial.
Calcule e interprete las medidas de variabilidad
(Rango, Rango intercuartil, Varianza, Desviación
estándar y Coeficiente de variación).
15.8 26.4 17.3 11.2 23.9 24.5 13.9 9.4
15.2 11.0 7.7 20.0 16.2 22.7 18.5

18. Comparación de la variabilidad
18
Para comparar la variabilidad entre dos o más
conjuntos de datos, se debe considerar:
Unidades de
medidas
diferentes
Unidades de medidas
iguales
Medias
similares
Medias
diferentes
cv1 con cv2 S1 con S2 cv1 con cv2

19. 19
Ejercicio 2 (Pág. 62)
Se presentan las medidas estadísticas de las
ventas (soles) y tiempo extra (horas) de los
vendedores de dos zonas (A y B).
Promedio
Desviación
estándar
Coeficiente de
variabilidad
Zona Ventas Tiempo Ventas Tiempo Ventas Tiempo
A 236.3 3.5 82.6 1.5 35.0 42.9
B 450.5 3.6 98.5 2.8 21.9 73.7
a) Las ventas de la zona A son menos variables que las de la zona B.
b) El tiempo extra de la zona B muestra más variabilidad que la zona A.
c) Para la zona A, las ventas son más variables que el tiempo extra.

20. Transformación de datos
20
Sea la transformación de la variable X a la variable Y:
Y a bX
 
X
Y
X
Y
bS
S
S
b
S

 2
2
2
Si a y b son valores constantes, entonces:

21. Transformación de datos
Ejemplo
Sean las variables X1=3, X2=4, X3=5, cuya
varianza es 0.5.
Se hace la transformación de datos donde las
constante a=2 y b=3, entonces:
21
2 2
(3) (0.5) 4.5
(3)(0.5) 1.5
Y
Y
S
S
 
 
2 3
Y X
 

22. Ejercicio 4 (Pág. 63)
Los sueldos de 100 empleados de una empresa
tienen una media de $300 y una desviación
estándar de $50. Se proponen dos alternativas
de aumento A: $75 a cada uno B: 15% del
sueldo más $20 a cada uno. ¿Cuál alternativa es
la más conveniente?. Justifique su respuesta.
a) Si la empresa dispone solo de $37000 para
pagar sueldos
b) b) Si la empresa quiere homogeneizar los
sueldos.
22