El documento presenta los objetivos de aprendizaje de la Unidad 1 sobre el valor del dinero en el tiempo. El objetivo general es deducir y usar factores de ingeniería económica para explicar el valor del dinero. Se explica la capitalización compuesta y cómo se calcula el monto futuro para diferentes períodos de capitalización. También se muestran ejemplos de cómo calcular tasas efectivas equivalentes a tasas nominales y valor presente/futuro de deudas.

1. Objetivos de aprendizaje Unidad 1
Objetivo general: Deducir y usar los factores utilizados en ingeniería
económica para explicar el valor del dinero en el tiempo.
1.1 Capitalización compuesta.
En el sistema de capitalización compuesto el interés producido al final de cada
período financiero es adicionado al capital inicial que le dio origen y los dos, tanto
capital como el interés producido pasan a producir intereses en el siguiente período y
así sucesivamente, vamos a ilustrarlo de la siguiente manera, consideremos un
capital C el cual va a ser colocado bajo el sistema de interés compuesto y a la tasa i
de interés, al finalizar el primer período, el interés producido será:
𝐼1 = 𝐶. 𝑖 (1.1)
Si consideramos el monto al final del período y lo denotamos como:
𝑀1 = 𝐶 + 𝐼1 (1.2)
𝑀1 = 𝐶 + 𝐶. 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) (1.3)
La expresión anterior será el monto al final del primer período, si continuamos con
ese razonamiento en el segundo período tendremos un interés de la forma:
𝐼2 = 𝑀1 ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) ∙ 𝑖 (1.4)
El monto al final del segundo período lo podemos escribir:
𝑀2 = 𝑀1 + 𝐼2 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) + 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) ∙ 𝑖 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖) ∙ [1 + 𝑖] = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)2
Con un razonamiento similar en el tercer período obtenemos:
𝑀3 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)3
Con un razonamiento inductivo se puede obtener que en un período n tenemos un
monto igual:
𝑀𝑛 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
En la notación usada en ingeniería económica reescribimos la expresión anterior:

2. 𝐹 = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
(1.5) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝐹
𝑃
⁄ 𝑖, 𝑛)
Donde:
𝐹 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑛
𝑃 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑖 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑜 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
𝑛 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠
1.2 Ajuste del valor del dinero en el tiempo:
¡Veamos el siguiente ejemplo, un dólar en un año no vale lo mismo que un dólar hoy!
El jefe de mantenimiento de una empresa metal mecánica toma la previsión de invertir
1000 $ con la finalidad de obtener un rendimiento al cabo de un año para reposición
de algunos componentes de un equipo de cortado, el interés que devenga la inversión
es del 12% anual, calculemos el futuro de la inversión al cabo de un año:
𝐹 = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
𝐹 = 1000 ∙ (1 + 0.12)1
= 1.120 $
Si se capitaliza semestralmente obtenemos:
𝐹 = 1000 ∙ (1 +
0.12
2
)
2
= 1.123,60 $
Si se capitaliza trimestralmente, nos dará:
𝐹 = 1000 ∙ (1 +
0.12
4
)
4
= 1.125,51 $
Mensualmente la capitalización es:
𝐹 = 1000 ∙ (1 +
0.12
12
)
12
= 1.126,83 $
Finalmente, diario:
𝐹 = 1000 ∙ (1 +
0.12
365
)
365
= 1.127,47 $

3. El lector debe sacar sus conclusiones, cabe preguntar, ¿Cuál es el valor de una tasa
que es equivalente a otra y referidas las dos a períodos financieros distintos en el
régimen de capitalización compuesta? Para dar respuesta a la pregunta
consideremos que 𝑖 es una tasa relativa al período n, la tasa
𝑖
𝑝
relativa a un período
𝑛
𝑝
, 𝑖 es la tasa nominal que capitaliza p veces al año, entonces la tasa efectiva 𝑒 será
la tasa anual equivalente a la tasa
𝑖
𝑝
, para obtener la tasa efectiva procedemos a
igualar los montos o cantidad acumulada en el período de un año utilizando las
expresiones:
𝐹 = 𝑃 ∙ (1 +
𝑖
𝑝
)
𝑝
(1.6)
𝐹 = 𝑃 ∙ (1 + 𝑒)1 (1.7) Igualamos las dos expresiones y finalmente tenemos:
(1 +
𝑖
𝑝
)
𝑝
= 1 + 𝑒 ⟹ 𝑒 = (1 +
𝑖
𝑝
)
𝑝
− 1
Le queda al lector demostrar que la tasa:
𝑖
𝑝
= √𝑒 + 1
𝑝
− 1 (1.8)
Ejemplos:
Calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal del 4% capitalizable
mensualmente:
Según el enunciado del problema tenemos:
(1 +
0.04
12
)
12
= 1 + 𝑒 ⟹ 𝑒 = (1 +
0.04
12
)
12
− 1 = 0.04074
𝑒 = 4.07 %
Notemos que la tasa efectiva es ligeramente mayor a la tasa nominal.

4. 1. Calcular la tasa nominal capitalizable trimestralmente equivalente a una tasa
efectiva del 5 %.
El enunciado nos indica que las tasas son equivalentes, por lo tanto, debe
tenerse que:
(1 +
𝑖
4
)
4
= (1 + 0,05) ⟹ (1 +
𝑖
4
) = √1,05
4
= 1,01227 ⇒
𝑖
4
= 1,01227 − 1 = 0,01227
𝑖 = 4 ∙ 0,01227 = 0,04909 ⟹ 𝑖 = 4,909 %
Notemos que la tasa es ligeramente inferior a la tasa efectiva.
2. Una entidad financiera ha establecido una tasa de interés nominal anual del
16% capitalizada mensualmente. ¿Cuál es su tasa de interés efectiva anual?
La equivalencia implica que:
(1 +
𝑖
𝑃
)
𝑃
= (1 + 𝑒) ⟹ 𝑒 = (1 +
𝑖
𝑃
)
𝑃
− 1 ⇒ 𝑒 = (1 +
0,16
12
)
12
− 1
𝑒 = 1,17227 − 1 = 0,17227 ⇒ 𝑒 = 17,227%
3. Calcular la tasa de interés nominal capitalizable bimestralmente equivalente al
6% capitalizable cuatrimestralmente.
Del enunciado del problema y de la equivalencia obtenemos la siguiente igualdad:
(1 +
𝑖
6
)
6
= (1 +
0,06
3
)
3
= 1,061 21 ⟹ (1 +
𝑖
6
) = √1,06121
6
= 1,00995 ⇒
𝑖
6
= 1,00995 − 1 = 0,00995 ⇒ 𝑖 = 6 ∙ 0,00995 = 0,05970 ⟹ 𝑖 = 5.970%

5. 4. Calcular la tasa nominal capitalizable mensualmente tal que el capital de 3.250
$ se convierte en 4.000 $ en 8 años.
Utilizamos la relación F/P ya que conocemos el futuro por ende obtenemos:
𝐹
𝑃
⁄ , 𝑖, 𝑛 se traduce en: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
4.000 = 3.250 ∙ (1 +
𝑖
12
)
96
⟹
4.000
3.250
= 1,23077 ⟹ (1 +
𝑖
12
) = √1,23077
96
= 1.00217
𝑖
12
= 1,00217 ⇒
𝑖
12
= 1,00217 − 1 = 0,00217 ⟹
𝑖 = 12 ∙ 0,00217 = 0,02604 ⟹ 𝑖 = 2,604%
5. Una empresa consultora de ingeniería adquirió un nuevo plotter con el fin de
agilizar la entrega de planos de un proyecto metalúrgico y decide pagar el 4%
de interés anual sobre el valor actual de la deuda de 100.000 $, la cual fue
adquirida al 6% anual con capitalizaciones trimestrales y la cual tenía que ser
cancelada en 8 años, calcular el valor actual de la deuda.
Primero calculamos el valor futuro de la deuda en el tiempo de 8 años al 6%
con capitalizaciones trimestrales:
Utilizamos la expresión F/P:
𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝐹 = 100.000 ∙ (1 +
0,06
4
)
8∙4
= 100.000 ∙ (1 + 0,015)32
= 161.032,4 $
Este monto es el valor de la deuda al cabo de 8 años, por lo tanto, calculamos
el valor presente al 4% anual, utilizando la relación P/F:
𝑃 =
161.032,4
(1 + 0,04)8
= 117.664,80 $
En este ejemplo concluimos que, al comparar el valor del dinero en diferentes
períodos de tiempo, el dinero se puede pasar a su valor equivalente en el
futuro, multiplicando por el factor (1 + 𝑖)𝑛
o bien pasar del futuro hacia el
presente es decir descuento dividiendo entre (1 + 𝑖)𝑛

6. 6. A que tasa anual debemos colocar un capital C de manera de obtener al cabo
de 4 años un interés igual al 50% del capital invertido.
En cualquier tipo de régimen de capitalización simple o compuesta, el futuro que
en mercantil se conoce como monto está formado por interés más capital, en el
lenguaje matemático será:
𝐹 = 𝐼 + 𝐶
Por el enunciado del problema el interés es igual al 50% del capital invertido, la
expresión será:
𝐼 = 0.5 ∙ 𝐶 ⟹ 𝐹 = 0.5𝐶 + 𝐶 = 𝐶 ∙ (0,5 + 1) = 1,5 𝐶
Por lo tanto, tenemos usando la relación F/P:
𝐹 = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
1,5𝐶 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)4
⟹ 1,5 = (1 + 𝑖)4
⟹ (1 + 𝑖) = √1,5
4
(1 + 𝑖) = 1,10668 ⇒ 𝑖 = 1,10668 − 1 = 0,10668
𝑖 = 10,668%
7. La empresa Siemens realizó un estudio que arrojó el ahorro de 50.000 $ en la
reducción de mantenimiento este año, (es decir año cero) en una línea de
procesamiento, producto del mejoramiento de la tecnología de fabricación de
circuitos integrados con base a diseños que cambian rápidamente, este tipo de
ahorro equivale a un 20% anual, calcular el número de años trascurridos si el
ahorro alcanzado fue de 124.415 $.
Utilizamos la expresión F/P:
𝐹 = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
⟹ 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛

7. 𝐹
𝑃
= (1 + 𝑖)𝑛
⇒ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜
𝐿𝑜𝑔 (
𝐹
𝑃
) = 𝐿𝑜𝑔[(1 + 𝑖)𝑛]; 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜
𝐿𝑜𝑔 (
𝐹
𝑃
) = 𝑛 ∙ 𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖) ⟹ 𝑛 =
𝐿𝑜𝑔 (
𝐹
𝑃
)
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖)
Sustituimos los datos del problema y tenemos:
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔 (
124.415
50.000
)
𝐿𝑜𝑔(1 + 0,20)
=
0,39590
0,07918
= 5 𝑎ñ𝑜𝑠
Conclusión a la empresa se ahorraría en 5 años en mantenimiento la cantidad de
124.415 $.
1.3 Equivalencia de capitales.
Es frecuente que debido a diversos motivos necesitamos modificar los
compromisos de pagos de alguna deuda adquirida en una organización, por lo
tanto, se quiere conocer si la nueva forma de pago propuesta es equivalente a la
forma convenida cuando fue adquirida la deuda, se debe comparar las dos formas
de pago con respecto a un mismo lapso con el fin de conocer si un capital es
equivalente a otro,
Nuestro problema consiste en establecer un período llamado fecha de
comparación y llevar los capitales de las dos ofertas a dicha fecha, capitalizando
es decir multiplicar por el factor (1 + 𝑖)𝑛
o descontado es decir dividiendo entre el
factor (1 + 𝑖)𝑛
de acuerdo con la ubicación de cada capital, en la fecha de
comparación definimos la ecuación de equivalencia en el cuál un miembro de la
ecuación es la suma de los capitales relativos a la .primera oferta de esa fecha y
el otro miembro la misma situación para la segunda oferta, lo podemos resumir
con la expresión:
𝐷𝑒𝑢𝑑𝑎𝑠 = 𝑃𝑎𝑔𝑜𝑠

8. Problema:
Una empresa de ingeniería en el ramo de obras civiles adquiere un préstamo por
un monto de 300.000 $ con el fin de iniciar una obra de infraestructura y se
compromete a cancelar mediante dos pagos dentro de 2 y 6 años respectivamente
a la tasa de interés del 18% capitalizable mensualmente. Conociendo que los
pagos son iguales, ¿cuál es el valor de cada uno de ellos? Utilice como fecha de
comparación el año cero (hoy).
Para ilustra el problema se hace un diagrama de tiempo tal como se muestra:
𝑥 𝑥
𝟎 300.000 2 6 𝑎ñ𝑜𝑠
La fecha de comparación es el año cero, la ecuación de equivalencia se puede
escribir utilizando la expresión:
𝐷𝑒𝑢𝑑𝑎𝑠 = 𝑃𝑎𝑔𝑜𝑠
En el lado derecho colocamos la deuda y el otro miembro de la ecuación los pagos,
recordando que debemos descontar al llevarlos a la fecha de comparación,
tenemos:
300.000 =
𝑥
(1 +
0,18
12
)
24 +
𝑥
(1 +
0,18
12
)
72
Obtenemos una ecuación lineal con una incógnita muy sencillo de resolver
obtenemos:
300.000 = 0,69954 ∙ 𝑥 + 0,34233 ∙ 𝑥 ⟹ 300.000 = 1,04187 ∙ 𝑥 ⟹
𝑥 =
300.000
1,04187
= 287.943,80 $

9. En los cálculos se utilizaron 5 decimales, de nuevo vemos cómo cambia el valor
del dinero en el tiempo.
1.4 Series uniformes, factores de valor presente y recuperación de capital
Una serie uniforme podemos considerar una serie de capitales disponibles en
períodos diferentes, estos capitales se denominan términos o anualidades en la serie
y pueden ser iguales o diferentes, en caso de ser iguales las anualidades son
constantes o una serie uniforme, el término anualidad no necesariamente indica que
debe ser anual, puede ser semestral, trimestral, mensual entre otros, si las
anualidades no son constantes tenemos una serie geométrica, ejemplos de series
uniformes los pagos realizados mensuales para amortizar algún bien adquirido o
crédito, las rentas de pensionados por ejemplo lo podemos considerar una serie
uniforme, se puede representar la serie mediante un diagrama de flujo de efectivo, tal
como se muestra:
𝑃 =?
0 1 2 3 4 5 𝑛 − 1 𝑛
𝐴 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠
Podemos obtener una expresión para P considerando cada valor de A como
valor futuro y utilizamos la razón P/F tenemos:
𝑃 = [
𝐴
(1 + 𝑖)1
+
𝐴
(1 + 𝑖)2
+
𝐴
(1 + 𝑖)3
+ ⋯
𝐴
(1 + 𝑖)𝑛−1
+
𝐴
(1 + 𝑖)𝑛
] (1.9)
𝑠𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝐴 ⟹
𝑃 = 𝐴 ∙ [
1
(1+𝑖)1
+
1
(1+𝑖)2
+
1
(1+𝑖)3
+ ⋯
1
(1+𝑖)𝑛−1
+
1
(1+𝑖)𝑛
] (1.10)

10. 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (1.10) 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
1
(1 + 𝑖)
𝑃
(1 + 𝑖)
= 𝐴 ∙ [
1
(1 + 𝑖)2
+
1
(1 + 𝑖)3
+ ⋯
1
(1 + 𝑖)𝑛
+
1
(1 + 𝑖)𝑛. (1 + 𝑖)
] (1.11)
𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (1.11) 𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 (1.10) 𝑦 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑃
(1 + 𝑖)
− 𝑃 = 𝐴 ∙ [(
1
(1 + 𝑖)2
−
1
(1 + 𝑖)
) + (
1
(1 + 𝑖)3
−
1
(1 + 𝑖)2
) … … … … ]
Notamos que los términos se cancelan salvo el primero y el último, de la
expresión de la izquierda el factor común P y tenemos que:
𝑃 ∙ [
1
1 + 𝑖
− 1] = 𝐴 ∙ [
1
(1 + 𝑖)𝑛+1
−
1
(1 + 𝑖)
]
Simplificamos el lado izquierdo de la expresión anterior:
𝑃 ∙ [
1 − (1 + 𝑖)
1 + 𝑖
] = 𝐴 ∙ [
1
(1 + 𝑖)𝑛(1 + 𝑖)
−
1
(1 + 𝑖)
]
𝑃 ∙ [
−𝑖
1 + 𝑖
] =
𝐴
(1 + 𝑖)
∙ [
1
(1 + 𝑖)𝑛
− 1]
Simplificamos ambos miembros:
𝑃 ∙ (−𝑖) = 𝐴 ∙ [
1−(1+𝑖)𝑛
(1+𝑖)𝑛
]
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 (−1) 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
𝑃 ∙ 𝑖 = 𝐴 ∙ [
(1 + 𝑖)𝑛
− 1
(1 + 𝑖)𝑛
]
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑃 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑃 = 𝐴 ∙ [
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖∙(1+𝑖)𝑛
] (1.12) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑃/𝐴

11. La expresión anterior el término entre corchete se conoce como factor de valor
presente en serie uniforme, la ecuación (1.12) nos permite encontrar el valor
presente equivalente en el año cero de una serie uniforme conocido las
anualidades A que empiezan al final del primer período y se extiende hasta el
período n, veamos un ejemplo para ilustrar.
Ejemplo 1
Una planta cementera requiere el cambio de las bandas transportadoras de
su equipo de manejo de materiales, tipo carcasa multicapas de poliéster y un
tipo de revestimiento altamente resistente a la abrasión, esto implica un
rendimiento en términos de producción de un incremento del 20% que se
traduciría en un flujo de efectivo adicional de $ 20.000 al final de cada año
durante 5 años, si la tasa es 15% anual, ¿cuánto es razonable invertir para el
cambio de las bandas en cuestión, el día de hoy?
El flujo de efectivo adicional para la planta cementera equivale a una serie
uniforme durante 5 años, lo podemos representar con un diagrama de flujo de
efectivo, tal como se muestra en la figura.
20.000 20.000
0 1 2 3 4 5
𝑃
Utilizamos la razón 𝑃
𝐴
⁄ que nos permite calcular el valor presente conocido
las anualidades en un período de 5 años y tasa anual de 15%
𝑃 = 𝐴 ∙ [
(1 + 𝑖)𝑛
− 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
]
𝑃 = 20.000 ∙ [
(1 + 0.15)5
− 1
0.15 ∙ (1 + 0.15)5
] = 20.000 ∙ 3,35216 = 67.043,10 $

12. El cálculo indica, una inversión con el fin de sustituir las bandas por la
cantidad de $ 67.043,10. Recordemos que son estimaciones que un ingeniero
debe asumir, podemos indagar que el número de clientes de la planta
cementera se mantiene en ese período y los costos de mantenimiento se
mantendrán a una tasa constante, si no hay cambios sustanciales de inflación
durante su evaluación.
Ejemplo 2.
Una empresa constructora dedicada a movimientos de tierra, obras de
vialidad de envergadura, gana una licitación para la construcción de una
autopista de seis canales, el tiempo de duración de la obra es de 5 años, la
gerencia evalúa el alquiler de maquinaria pesada y el costo de alquiler
asciende a la cifra de $ 3.500 mensual, si la tasa de interés es del 8 % anual.
Calcular el costo de alquiler de las maquinarias en el período de 5 años.
Según el enunciado el costo de maquinarias en ese período de tiempo
representa el futuro, podemos utilizar la expresión (1.5):
𝐹 = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
Sin embargo, hay pagos mensuales fijos por el alquiler que representan una
serie uniforme, por ende, utilizamos la expresión (1.12):
𝑃 = 𝐴 ∙ [
(1 + 𝑖)𝑛
− 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
] 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (1.5) 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐹 = 𝐴 ∙ [
(1 + 𝑖)𝑛
− 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
] ∙ (1 + 𝑖)𝑛
⟹
𝐹 = 𝐴 ∙ [
(1 + 𝑖)𝑛
− 1
𝑖
] (1.13) 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐹
𝐴
⁄
Esta expresión nos permite conocer el futuro si tenemos las anualidades, en
nuestro caso la tasa de interés es anual, por lo tanto, las anualidades deben
ser anuales igualmente, debemos tener cuidado con ese detalle, sustituyendo
los datos en la expresión (1.13) tenemos:

13. 𝐹 = 42.000 ∙ [
(1 + 0.08)5
− 1
0.08
] = 42.000 ∙ (5,86660) = 246.397,24 $
El desembolso en cinco años de alquiler de maquinarias en la obra será:
𝟐𝟒𝟔. 𝟑𝟗𝟕, 𝟐𝟒 $
Ejemplo 3.
El laboratorio farmacéutico Vargas C.A solicita un crédito a una entidad
financiera internacional por la suma de $ 2.000.000 con el fin de la ampliación
del área de granulado y líquidos con el fin de aumentar su capacidad de
producción en esos renglones que permitirá exportar a los países
centroamericanos parte de su producción, el acreedor indica 60 cuotas
mensuales iguales y consecutivas a una tasa nominal del 24% anual con
capitalización mensual. Calcular el valor de las anualidades que debe cancelar.
Tenemos una serie uniforme de 60 pagos e interés capitalizados
mensualmente, por lo tanto, calculamos los intereses mensuales:
𝑖 =
24
12
= 2 % 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
Utilizamos la expresión (1.12):
𝑃 = 𝐴 ∙ [
(1 + 𝑖)𝑛
− 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
]
Debemos despejar la anualidad es decir A y obtenemos:
𝐴 = 𝑃 ∙ [
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
] (1.13) 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴
𝑃
⁄
El término entre corchetes se conoce como recuperación de capital.
Procedemos a sustituir los valores en la expresión (1.13):
𝐴 = 2.000.000 ∙ [
0,02 ∙ (1 + 0.02)60
(1 + 0.02)60 − 1
] = 2.000.000 ∙ (0.02877) = 57.535,90 $
El monto de anualidades mensuales es de 57.535,90 $

14. Ejemplo 4.
1. Una empresa de Telecomunicaciones adquirió un préstamo con el fin de
mejorar su parque tecnológico por 10.000.000 $, el ente financiero le otorgo las
condiciones siguientes: Plazo de 24 meses, tasa del 36% capitalizados
mensualmente, 24 cuotas iguales y consecutivas por 400.000 $ c/u,
comenzando la primera al final del primer mes y finalmente dos cuotas
extraordinarias pagaderas al final de mes 12 y la siguiente al final del mes 24,
ambas por el mismo monto. Calcular el monto de las cuotas extraordinarias.
Es un caso típico de una serie uniforme, notamos que el financiamiento tiene
unos pagos adicionales en diferentes períodos de tiempo, utilizaremos la
siguiente estrategia consideremos la siguiente igualdad:
𝐷𝑒𝑢𝑑𝑎𝑠 = 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠
Calculamos en valor presente de las anualidades con la expresión (1.12) y el
factor P/F para las cuotas extraordinarias, considerando la fecha de
comparación hoy, en la igualdad anterior y tenemos:
10.000.000 = 400.000 ∙ [
(1 + 0.03)24
− 1
0.03 ∙ (1 + 0.03)24
] +
𝑥
(1 + 0.03)12
+
𝑥
(1 + 0.03)24
10.000.000 $ = 400.000 ∙ (16.93554) + 0.70188 ∙ 𝑥 + 0.49193 ∙ 𝑥 ⟹
𝑥 = 2.703.223,80 $

15. Objetivo general: Comparar alternativas mutuamente excluyentes con
base al valor presente neto.
2.1 Valor presente neto:
El valor presente simplemente significa traer del futuro al presente cantidades
monetarias a su valor equivalente, en términos formales de evaluación económica,
cuando se trasladan cantidades del presente al futuro se dice que se utiliza una tasa
de interés, pero cuando se trasladan cantidades del futuro al presente, como el cálculo
del VPN, se dice que se utiliza una tasa de descuento, por ellos los flujos de efectivos
ya trasladados al presente se llaman flujos descontados.
El valor presente neto lo podemos expresar de la siguiente forma:
𝑉𝑃𝑁 = −𝐼 +
𝐹𝑁𝐸1
(1 + 𝑖)1
+
𝐹𝑁𝐸2
(1 + 𝑖)2
+
𝐹𝑁𝐸3
(1 + 𝑖)3
+
𝐹𝑁𝐸4
(1 + 𝑖)4
+ ⋯
𝐹𝑁𝐸𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
Los flujos netos de efectivos (𝐹𝑁𝐸𝑛) corresponden a la ganancia neta después
de impuesto en al año n, 𝐼 representa la inversión en el año cero, e 𝑖 tasa de
referencia que corresponde a la TMAR.
Recordemos que la tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR) la podemos
simplificar como la tasa de inflación + una prima de riesgo, ilustremos estás
definiciones con algunos ejemplos:
,
Una empresa de ensamble de motores asigna a un ingeniero industrial el
estudio de la adquisición de un equipo con el fin de obtener una mayor
producción, de acuerdo con las estimaciones el equipo para la línea de montaje
nuevo tiene un valor de $ 30.000 con el fin de aumentar las ventas de motores
en $ 22.000 e incurrir en costos de mano de obra, material prima y otros por
razón de $17.500 al año. Se espera que el equipo tenga una vida de 12 años,
con un valor de salvamento de $4.000, la tasa de retorno es de 11.2 % anual.
Utilizar el método del valor presente para evaluar si la inversión del equipo es
viable.

16. El ingeniero procede a calcular los flujos de caja netos aproximados para cada
año, para ello los flujos de caja en general los calculamos como ingresos
menos egresos, igualmente vamos a definir el valor de salvamento o valor de
rescate.
Valor de salvamento: Es el valor de mercado de un activo en cualquier
momento de su vida útil y aclaramos que el valor de mercado significa el valor
monetario que puede ser vendido un activo en el año n.
Construimos una tabla con el fin de ilustrar los flujos netos:
Años Inversión
$ Anuales
Ingresos
$ Anuales
Egresos
$ Anuales
Flujo neto
$
0
30.000 0
1
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
2
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
3
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
4
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
5
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
6
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
7
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
8
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
9
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
10
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
11
22.000 17.500 22.000-17.500=4.500
12
22.000 +4.000 17.500 8.500

17. Procedemos a calcular el valor presente neto con la siguiente expresión:
𝑉𝑃𝑁 = −𝐼 +
𝐹𝑁𝐸1
(1 + 𝑖)1
+
𝐹𝑁𝐸2
(1 + 𝑖)2
+
𝐹𝑁𝐸3
(1 + 𝑖)3
+
𝐹𝑁𝐸4
(1 + 𝑖)4
+ ⋯
𝐹𝑁𝐸𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
𝑉𝑃𝑁 = −30.000 +
4.500
(1 + 0,112)1
+
4.500
(1 + 0,112)2
+ ⋯ … . +
8.500
(1 + 0,12)12
Le dejamos al lector el cálculo e indicar si es viable la adquisición del equipo,
igualmente existe una alternativa más sencilla que se puede evaluar.
El problema anterior explica la evaluación económica de una alternativa que
requiere de un flujo de efectivo estimado durante un período de tiempo
específico, algunos proyectos son económica y tecnológicamente viables y
otros no, una vez que los proyectos son viables es posible formular
alternativas, que se pueden categorizar de dos formas tales como:
Mutuamente excluyentes: Cada proyecto viable es una alternativa, en este
caso solo uno de los proyectos viables se puede seleccionar mediante un
análisis económico.
Independiente: En este caso más de un proyecto viable puede ser
seleccionado a través de un análisis económico, los proyectos independientes
no compiten entre sí, cada proyecto se evalúa por separado.
Ejemplo 1:
Una compañía agroindustrial está considerando la inversión en un nuevo
equipo industrial, hasta ahora hay dos ofertas diferentes y se debe seleccionar
la menos costosa, calcular el valor presente neto de la mejor oferta, para una
vida de servicio en ambas de 4 años con una tasa del 8%.

18. Variables Oferta 1$ Oferta 2 $
Costo inicial 150.000 175.000
Costo de operación y
Mantenimiento anual
9.500 9.000
Valor de salvamento 70.000 75.000
Vida útil 4 años 4 años
Convección de signos, con el fin de no utilizar el menor valor negativo se utilizará la
siguiente convección de signos, los costos positivos e ingresos negativos tales como
el valor de salvamento que es un ingreso, escribimos la expresión:
𝑉𝑃𝑁 1 = 𝐼 + 𝐶 ∙ [
(1 + 𝑖)𝑛
− 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
] −
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
(1 + 𝑖)𝑛
𝑉𝑃𝑁 1 = 150.000 + 9.500 ∙ [
(1 + 0.08)4
− 1
0.08 ∙ (1 + 0.8)4
] −
70.000
(1 + 0.08)4
𝑉𝑃𝑁 1 = 150.000 + 9.500 ∙ (3.31213) − 70.000 ∙ (0.73503) ⟹
𝑉𝑃𝑁 1 = 130,013 $
Oferta 2
𝑉𝑃𝑁 2 = 175.000 + 9.000 ∙ [
(1 + 0.08)4
− 1
0.08 ∙ (1 + 0.08)4
] −
75.000
(1 + 0.08)4
⟹
𝑉𝑃𝑁 2 = 175.000 + 9.000 ∙ (3.31213) − 75.000 ∙ (0.73503) ⟹
𝑉𝑃𝑁 2 = 149.682 $
La elección es la oferta 1 cuyo VPN es menor.

19. Proyecto independiente:
Ejemplo:
Un proyecto de inversión en una planta azucarera por la cantidad de 10.000$
producirá un ingreso uniforme anual de 5.310$ durante cinco años, tiene un valor de
mercado de 2.000 $, los costos anuales serán de 3.000 $ al año, la empresa está
dispuesta el 10 % de TMAR. ¿Se pregunta es deseable la inversión?
La evaluación de este problema lo podemos realizar usando el valor presente neto
de la siguiente manera: tomaremos en consideración los flujos de entrada y salida,
entender el flujo de entrada como ingresos y el flujo de salida los costos respectivos,
podemos escribir una nueva expresión para el cálculo del VPN:
𝑉𝑃𝑁: ∑ 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − ∑ 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 − 𝐼
Utilizamos las siguientes expresiones:
El valor presente conocida la anualidad:
𝑃 = 𝐴 ∙ [
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖∙(1+𝑖)𝑛
]
El valor del mercado será llevar el futuro al presente:
𝑃 =
𝐹
(1 + 𝑖)𝑛
Procedemos a sustituir los valores:
𝑉𝑃𝑁 = 5.310 ∙ [
(1 + 0.1)5
− 1
0.1 ∙ (1 + 0.1)5
] +
2.000
(1 + 0.1)5
− 3.000 ∙ [
(1 + 0.1)5
− 1
0.1 ∙ (1 + 0 − 1)5
] − 10.000
𝑉𝑃𝑁 = 20.129 + 1.241,8 + 11.372 − 10.000 = 22.742,80 $
Por lo tanto, la inversión es conveniente, debido a que el VPN es positivo