derivada

1. MATEMÁTICA II
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
6 de agosto de 2023
Walter Saravia

2. Derivadas por definición

3. Derivadas por definición
La derivada de una función en un punto
El tipo de límite que calculamos para hallar la pendiente de la línea
tangente a una función en un punto se da en muchas aplicaciones
de varias disciplinas.
Estas aplicaciones incluyen la velocidad y la aceleración en física,
las funciones de ganancia marginal en los negocios y las tasas de
crecimiento en biología.
Este límite se da con tanta frecuencia que damos a este
valor un nombre especial: la derivada.
El proceso para encontrar una derivada se denomina
diferenciación.
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4. Derivadas por definición
La derivada de una función en un punto
Definición
Supongamos que f (x) sea una función definida en un intervalo
abierto que contenga a. La derivada de la función f (x) en a,
denotada por f 0(a), se define por
Diferencia de límites:
f 0
(a) = lı́m
x!a
f (x) f (a)
x a
(1)
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5. Derivadas por definición
La derivada de una función en un punto
Definición
Supongamos que f (x) sea una función definida en un intervalo
abierto que contenga a. La derivada de la función f (x) en a,
denotada por f 0(a), se define por
Diferencia de incrementos:
f 0
(a) = lı́m
h!0
f (a + h) f (a)
h
(2)
Ambas definiciones son equivalentes y nos permiten calcular la
derivada de una función en un punto dado. Sin embargo, es
importante destacar que estas definiciones solo son válidas cuando
los límites existen.
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6. Derivadas por definición
Ejemplo- Estimación de una derivada
Ejemplo
Estimación de una derivada
Para f (x) = x2, utilice una tabla para estimar f 0(3) utilizando la
Ecuación 1.
Solución:
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7. Derivadas por definición
Ejemplo - Encontrar una derivada
Ejemplo
Encontrar una derivada
Para f (x) = 3x2 4x + 1, calcule f 0(2) utilizando la Ecuación 1
Solución:
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8. Derivadas por definición
Ejemplo - Encontrar una derivada
Ejemplo
Encontrar una derivada
Repaso de la derivada Para f (x) = 3x2 4x + 1, calcule f (2)
utilizando la Ecuación 2
Solución:
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9. Derivadas por definición
Ejercicio Propuesto
Resuelva Utilizando las ecuaciones 1 y 2.
Ejercicio
Para f (x) = x2, utilice una tabla para estimar f (3).
Solución:
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10. Derivadas por definición
Ejercicio Propuesto
Resuelva Utilizando las ecuaciones 1 y 2.
Ejercicio
Para f (x) = x2 + 3x + 2, calcule f 0(1).
Solución:
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11. Derivadas por definición
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12. Derivadas por definición
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