Medidas de Tendencia Central y Dispersión.

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INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
SEDE BARCELONA
PROFESOR: ESTUDIANTE:
PEDRO BELTRAN JOSE LUIS AGUILAR SENEIBA
BARCELONA, AGOSTO DE 2019

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Contenido
INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................................. 3
I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ................................................................................................ 4
II. IMPORTANCIA DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .................................................... 4
III. TIPOS DE PROMEDIOS..................................................................................................................... 4
La media aritmética......................................................................................................................................... 5
La mediana ...................................................................................................................................................... 6
La moda ........................................................................................................................................................... 6
El rango medio................................................................................................................................................. 7
El eje medio..................................................................................................................................................... 7
IV. CÁLCULO Y APLICACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO, LA MODA Y LA
MEDIANA........................................................................................................................................................... 7
Media aritmética o promedio...................................................................................................................... 7
Moda (Mo)...................................................................................................................................................... 8
Mediana (Med) .............................................................................................................................................. 9
V. CALCULO A PARTIR DE SERIES SIMPLES Y AGRUPADAS DE LAS MEDIDAS DE
DISPERSIÓN .................................................................................................................................................. 11
MEDIDAS DE DISPERSIÓN .................................................................................................................... 11
a) Rango............................................................................................................................................... 11
b) Desviación estándar....................................................................................................................... 11
c) Varianza. .......................................................................................................................................... 12
d) Desviación media. .......................................................................................................................... 13
a) Coeficiente de Variación................................................................................................................ 14
VI. CÁLCULO Y APLICACIÓN A PARTIR DE SERIES NUMÉRICAS LAS MEDIDAS DE
POSICIÓN ....................................................................................................................................................... 14
CONCLUSIÓN ................................................................................................................................................ 15
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................ 16

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INTRODUCCIÓN
La presente investigación tiene como objetivo principal, comprender la importancia
que tiene las Medidas de Tendencia Central, ya que a través de su conocimiento podemos
obtener una mejor descripción de todos los valores que toma una variable determinada al
calcularla es decir, es conveniente resumir la información de una muestra (que se
representa mediante las distribuciones de frecuencias) en un solo valor para obtener
indicadores del comportamiento de las variables en diferentes sentidos, como punto
alrededor del que toma valores, variabilidad, entre otros.
Resumir la información mediante un solo número es interesante ya que nos permite
comprender mejor cómo se comporta la variable, de tal manera, se consideran la Medidas
de Tendencia Central más habituales y los mismos nos indican que existen varios tipos de
promedios, los cuales se consideran muy fundamentales en la estadística ya que cada
promedio tiene sus características particulares.
Cabe destacar que el trabajo con datos se inicio desde tiempos remotos en las
sociedades primitivas, cuando en los pueblos fue necesario contar sus habitantes y
calcular sus recursos para poder organizar sus comunidades y sus vidas.

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I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que pretenden resumir
en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se
encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más
utilizadas son: media, mediana y moda. Las medidas
de dispersión en cambio miden el grado de dispersión
de los valores de la variable. Dicho en otros términos
las medidas de dispersión pretenden evaluar en qué
medida los datos difieren entre sí. De esta forma,
ambos tipos de medidas usadas en conjunto permiten
describir un conjunto de datos entregando información
acerca de su posición y su dispersión.
II. IMPORTANCIA DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central resultan importantes ya que las mismas nos
permiten obtener una mejor descripción de todos los valores que toma una variable
determinada.
Sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en
una prueba. Como por ejemplo:
 Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.
 Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con
el puntaje central o típico.
 Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona
en dos diferentes ocasiones.
 Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o
más grupos.
III. TIPOS DE PROMEDIOS
Los promedios más comunes conocidos son: la media aritmética, la mediana, la
moda, el rango medio, el eje medio.

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La media aritmética
La media aritmética es el promedio o medición de tendencia central de uso más
común. Se calcula sumando todas las observaciones de una serie de datos y luego
dividiendo el total entre el número de elementos involucrados.
La expresión algebraica puede describirse como:
Para simplificar la notación se usa convencionalmente el término:
donde:
= media aritmética de la muestra
= sumatoria de todos los valores de

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La mediana
La mediana es el valor medio de una secuencia ordenada de datos. Si no hay
empates, la mitad de las observaciones serán menores y la otra mitad serán mayores. La
mediana no se ve afectada por ninguna observación extrema de una serie de datos. Por
tanto, siempre que esté presente una observación extrema es apropiada usar la mediana
en vez de la media para describir una serie de datos.
Para calcular la mediana de una serie de datos recolectados en su forma sin
procesar, primero debemos poner los datos en una clasificación ordenada. Después
usamos la fórmula de punto de posicionamiento:
Para encontrar el lugar de la clasificación ordenada que corresponde al valor de la
mediana, se sigue una de las dos reglas:
1. Si el tamaño de la muestra es un número impar, la mediana se representa mediante
el valor numérico correspondiente al punto de posicionamiento, la observación
ordenada es (n+1)/2.
2. Si el tamaño de la muestra es un número par entonces el punto de posicionamiento
cae entre las dos observaciones medias de la clasificación ordenada. La mediana es
el promedio de los valores numéricos correspondientes a estas dos observaciones
medias.
La moda
La moda o modo es el valor de una serie de datos que aparece con más
frecuencia. Se obtiene fácilmente de una clasificación ordenada. A diferencia de la media
aritmética, la moda no se ve afectada por la ocurrencia de los valores extremos.

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Ejemplo: Los valores siguientes son las calificaciones de un alumno durante todo el año
7; 8; 9; 7; 9; 8; 8; 8; 7; 8
Podemos afirmar entonces que el modo es igual a 8, dado que es el valor que aparece con
más frecuencia.
El rango medio
El rango medio es el promedio de las observaciones menores y mayores de una
serie de datos.
El rango medio a menudo es usado como una medición de resumen tanto por
analistas financieros como por reporteros meteorológicos, puesto que puede proporcionar
una medición adecuada, rápida y simple para caracterizar toda una serie de datos, como
por ejemplo todo una serie de lecturas registradas de temperatura por horas durante todo
un día.
El eje medio
Como última medida de tendencia central, mencionamos al eje medio, que es el
promedio del primer y tercer cuartiles de una serie de datos. Es decir:
Eje medio: (Q1 + Q2) / 2
Siendo Q1 y Q2, el primer y segundo cuartil. En conclusión podemos decir que es una
medición de resumen usada para zanjar problemas potenciales introducidos por los
valores extremos de los datos.
IV. CÁLCULO Y APLICACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO, LA MODA
Y LA MEDIANA
Cómo calcular la media, la moda y la mediana:
Media aritmética o promedio
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una
variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un
conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.

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Ejemplo 1:
En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3
n = 6 (número total de datos)
La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa
el promedio.
Ejemplo 2:
Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de
frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro con las medidas de 63
varas de pino lo ilustra.
Largo (en m)Frecuencia absoluta Largo por Frecuencia absoluta
5 10 5 . 10 = 50
6 15 6 . 15 = 90
7 20 7 . 20 = 140
8 12 8 . 12 = 96
9 6 9 . 6 = 54
Frecuencia total = 63430
Se debe recordar que la frecuencia absoluta indica cuántas veces se repite cada valor,
por lo tanto, la tabla es una manera más corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta
es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces).
Moda (Mo)
Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de
datos; o sea, cual se repite más.
Ejemplo 1:
Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de
niñas de un Jardín Infantil.

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5, 7, 3, 3 , 7, 8, 3 , 5, 9, 5, 3 , 4, 3
La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)
Ejemplo 2:
20, 12, 14, 23, 78, 56, 96
En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto
de valores no tiene moda.
Mediana (Med)
Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor
a menor o lo contrario. Usted divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante
corresponde al número del caso que representa la mediana de la distribución.
Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o
decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual
número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.
Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:
Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de
dicho conjunto de datos.
Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos
valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).
Ejemplo 1:
Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2
Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5 , 8, 9, 10
El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.
Ejemplo 2:
El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y
corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los
valores centrales.
21, 19, 18, 15, 13, 11 , 10, 9, 5, 3

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Ejemplo 3 :
Interpretando el gráfico de barras podemos deducir que:
5 alumnos obtienen puntaje de 62
5 alumnos obtienen puntaje de 67
8 alumnos obtienen puntaje de 72
12 alumnos obtienen puntaje de 77
16 alumnos obtienen puntaje de 82
4 alumnos obtienen puntaje de 87
lo que hace un total de 50 alumnos
Sabemos que la mediana se obtiene haciendo
lo cual significa que la mediana se ubica en la posición
intermedia entre los alumnos 25 y 26 (cuyo promedio es 25,5), lo cual vemos en el
siguiente cuadro:
El alumno 25 obtuvo puntaje de 77
El alumno 26 obtuvo puntaje de 77
Entonces, como el total de alumnos es par debemos promediar esos puntajes:

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La mediana es 77, lo cual significa que 25 alumnos obtuvieron puntaje desde 77 hacia
abajo (alumnos 25 hasta el 1 en el cuadro) y 25 alumnos obtuvieron puntaje de 77 hacia
arriba (alumnos 26 hasta el 50 en el cuadro).
V. CALCULO A PARTIR DE SERIES SIMPLES Y AGRUPADAS DE LAS MEDIDAS
DE DISPERSIÓN
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Existe otro tipo de medidas que indican la tendencia de los datos a dispersarse respecto al
valor central.
Algunas de las medidas de dispersión más usuales son:
a) Rango, amplitud o recorrido (R).
b) Desviación estándar (S, muestral; s, poblacional).
c) Varianza (S², s²).
d) Desviación media (DM).
e) Coeficiente de Variación (C. V.).
a) Rango.
Es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
R= X máx. – X mín.
b) Desviación estándar.
La desviación estándar o desviación tipo se define como la raíz cuadrada de los
cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su media.

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c) Varianza.
Es el cuadrado de la desviación estándar.
Ejemplo:
Hallar la desviación estándar y la varianza de la siguiente serie de datos.
10, 18, 15, 12, 3, 6, 5,7
Solución:
Ejemplo:
Hallar la desviación estándar y la varianza para la siguiente distribución de frecuencias.
S2
= 43.4

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d) Desviación media.
Se conoce también como promedio de desviación. Para una serie de N valores se Puede
calcular a través de la siguiente expresión:
= Valor absoluto de las desviaciones de los x valores, respecto de la media.
Y para datos agrupados se tiene:
Ejemplo:
Hallar la desviación media de: 4,6,12,16,22.
Ejemplo:
Hallar la desviación media en la siguiente distribución de frecuencias.
Solución:

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a) Coeficiente de Variación.
Es la relación que existe entre la S y la X, expresada en términos de porcentaje y se
expresa:
Ejemplo:
Hallar el coeficiente de variación de una serie de datos cuya S= 2 y
X = 16.
Solución:
VI. CÁLCULO Y APLICACIÓN A PARTIR DE SERIES NUMÉRICAS LAS MEDIDAS
DE POSICIÓN
En el ámbito de la Estadística Descriptiva, se conoce como Medidas de Posición a
aquellas entidades numéricas utilizadas para señalar la posición que ocupa un dato
determinado, en relación con el resto de datos numéricos, permitiendo así conocer otros
puntos propios de la distribución de datos, que no son inherentes a los valores centrales.
Entre las Medidas de Posición más comunes en el campo de la Estadística se encuentran
los Cuartiles, Dentiles y Percentiles. Resulta pertinente entonces hacer una breve
descripción de cada una de estas medidas, así como de las formas de calcularlos.

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CONCLUSIÓN
Mediante esta investigación se planteo la importancia que tienen las Medidas de
tendencia Central, la cual resulta muy significativa ya que las mismas nos permite realizar
el estudio de métodos y procedimientos donde se dan los datos tabulados que ayudan a
dar inferencias científicas partiendo de tales datos.
Estos datos sirven para que todas las ramas de la ciencia donde se necesita llegar a
dar conclusiones sobre situaciones, por medio de los datos se formen grupos
describiéndolos con solo un número.
Para tal fin no se utilizan los extremos, sino que un valor más típico, el cual se
encuentra en el centro. Este centro sirve para poder llegar a un punto medio donde se
ubicaría el promedio o punto central de los datos descritos para poder establecer
resultados.
Se recomienda utilizar correctamente las Medidas de Tendencia Central y seguir los
procedimientos como son debidos para poder obtener los resultados adecuados de
medidas descriptivas de poblaciones o muestras.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
https://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_tendencia_central
https://aprendiendoadministracion.com/medidas-de-tendencia-central-media-
mediana-moda-rango-y-eje-medio/
https://www.profesorenlinea.cl/matematica/EstadisticaMediaMedianaModa.htm
https://www.uv.es/webgid/Descriptiva/21_introduccin.html
http://www.geocities.ws/metrologiamh/tendencia.htm