Guía Teórico –Practica. Cinemática de Cuerpo Rígido

1. Prof. José A. Contreras R.
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURA
MECÁNICA RACIONAL
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPO
RÍGIDO
ABRIL 2011

2. Prof. José A. Contreras R.
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPO RÍGIDO
GUÍA COMPLEMENTARIA. TEORÍA Y EJERCICIOS
1. Consideraciones Iniciales
- Todos los cuerpos bajo estudio se considerarán constituidos por infinitas partículas
e indeformables bajo la acción de cualquier fuerza (Cuerpo Rígido). Ello quiere decir que la
distancia entre dos puntos pertenecientes a un mismo cuerpo se mantendrá en todo
momento constante.
2. Movimientos de un cuerpo Rígido
2.1 Traslación.
- Toda línea dentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el
movimiento.
- Todas las partículas que constituyen el cuerpo se mueven a lo largo de
trayectorias paralelas.
- Si las trayectorias son líneas rectas el movimiento es una traslación
rectilínea y si las trayectorias son líneas curvas el movimiento es una traslación curvilínea.
Resumen de Ecuaciones:
Magnitud: Vectores:
𝒓𝑨 = 𝒓𝑩 + 𝒓𝑨/𝑩 𝒓𝑨
̅̅̅ = 𝒓𝑩
̅
̅̅
̅ + 𝒓𝑨/𝑩
̅̅̅̅̅̅
𝒗𝑨 = 𝒗𝑩 𝒗𝑨
̅̅
̅̅ = 𝒗𝑩
̅̅̅̅
𝒂𝑨 = 𝒂𝑩 𝒂𝑨
̅̅̅̅ = 𝒂𝑩
̅̅̅̅
Todos los puntos del cuerpo tienen la
misma velocidad y la misma aceleración

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2.2 Rotación respecto a un eje fijo.
- Las partículas que constituyen el cuerpo se mueven en planos paralelos a lo
largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo (eje de rotación).
2.3 Movimiento Plano General
En general abarca todos aquellos movimientos en los cuales todas las partículas del
cuerpo se mueven en planos paralelos. Cuando se presenta traslación y rotación
simultáneamente se considera al movimiento como movimiento plano general
Resumen de Ecuaciones:
Magnitud: Vectores:
𝒗 = 𝒓 . 𝝎 𝒗
̅ = 𝝎
̅ 𝒙 𝒓
̅
𝒂 = 𝒓. 𝜶 + 𝝎 . ( 𝒓. 𝝎) 𝒂
̅ = 𝜶
̅ 𝒙 𝒓
̅ + 𝝎
̅̅̅𝒙 ( 𝝎
̅ 𝒙 𝒓
̅)

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2.4 Movimiento alrededor de un punto fijo
El movimiento tridimensional de un cuerpo rígido unido a un punto fijo O, como
por ejemplo el movimiento de un trompo sobre un piso rugoso
2.5 Movimiento General
Cualquier movimiento de un cuerpo rígido que no entra en ninguna de las
categorías anteriores.
3. CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN EN MOVIMIENTO PLANO (CIR)
En un movimiento plano cualquiera de un cuerpo, no hay ningún punto que se
halle siempre en reposo. No obstante, en cada instante, es siempre es posible hallar un
punto del cuerpo (o de su extensión) que tenga velocidad nula. A este punto se le conoce
como Centro Instantáneo de Rotación. Cabe tomar en consideración que el centro
instantáneo de rotación de un cuerpo rígido no es un punto fijo. La ecuación de centro
Resumen de Ecuaciones:
𝐯
⃗𝐀 = 𝐯
⃗𝐁 + 𝐯
⃗𝐀/𝐁 => 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 + 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
𝐚
⃗ 𝐀 = 𝐚
⃗ 𝐁 + 𝐚
⃗ 𝐀/𝐁 => 𝐀𝐜𝐞𝐥𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 (𝐑𝐨𝐭𝐚𝐜𝐢ó𝐧 + 𝐓𝐫𝐚𝐬𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧)
En Componentes Circulares:
𝒗
⃗
⃗ 𝑨/𝑩 = 𝝎
̅̅̅𝒙 𝒓
̅
𝒂
⃗
⃗ 𝑨/𝑩 = 𝜶
̅ ∗ 𝒓
̅ + 𝝎
̅ 𝒙 (𝝎
̅ 𝒙 𝒓
̅)

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instantáneo de rotación constituye simplemente otra forma de expresarla ecuación de
velocidad relativa:
𝒗 = 𝒓 . 𝝎 𝒗
̅ = 𝝎
̅ 𝒙 𝒓
̅
Las siguientes figuras muestran algunos de los casos que pueden presentarse
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
1. El engrane A esta acoplado con el engrane B como se muestra en la figura.
Si A parte del reposo y tiene una aceleración angular constante de 𝛼𝐴 = 2 rad/seg2
.
Determine el tiempo necesario para que B alcance una velocidad angular de 𝜔𝐵= 50
rad/seg
Datos:
𝑟𝐴 = 0.025 𝑚 𝑟𝐵 = 0.1 𝑚 𝛼𝐴 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔2
𝜔𝑜𝐵 = 0 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 , Parte del reposo

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𝜔𝐵 = 50 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
t = ?
𝒂𝒕𝑨 = 𝒂𝒕𝑩 𝒗𝑨 = 𝒗𝑩 𝒂𝒕𝑨 = 𝜶𝑨 ∗ 𝒓𝑨
𝝎𝑩 = 𝝎𝒐𝑩 + 𝜶𝒄𝑩 ∗ 𝒕 𝝎𝑩 = 𝜶𝒄𝑩 ∗ 𝒕
𝒂𝑡𝐴 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔2
∗ 0.025 𝑚 𝒂𝑡𝐴 = 𝒂𝑡𝐵 = 0.05 𝑚/𝑠𝑒𝑔2
𝑣𝐵 = 𝜔𝐵 ∗ 𝑟𝐵 𝑣𝐴 = 50 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 ∗ 0.1 𝑚 𝑣𝐴 = 5 𝑚/𝑠𝑒𝑔
𝒂𝑡𝐵 = 𝛼𝐵 ∗ 𝑟𝐵 𝛼𝐵 =
𝒂𝒕𝐵
𝑟𝐵
𝛼𝐵 =
0.05 𝑚/𝑠𝑒𝑔2
0.1 𝑚
𝛼𝐵 = 0.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔2
𝜔𝐵 = 𝛼𝑐𝐵 ∗ 𝑡 50 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 = 0.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔2
∗ 𝑡
𝑡 =
50 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
0.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔2
𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 𝒔𝒆𝒈
2. Si la velocidad angular del eslabon AB es 𝜔𝐴𝐵 = 3 rad/seg. Determine la
velocidad del bloque en el punto C y la velocidad angular del eslabon conector CB en el
instante 𝜃 = 45𝑜
y ∅ = 30𝑜

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Datos:
𝜔𝐴𝐵 = 3 rad/seg
𝑣𝐶 = ?
𝜔𝐴𝐵 = ?
𝜃 = 45𝑜
∅ = 30𝑜
𝑣𝐶 = 𝑣𝐵 + 𝑣𝐵/𝐶
𝑣𝐶 = 𝜔𝐴𝐵 ∗ 𝑟𝐴𝐵 + 𝜔𝐵𝐶 ∗ 𝑟𝐵𝐶
cos ∅ =
𝑥
2 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑥 = 1.73 𝑝𝑖𝑒𝑠
sen ∅ =
𝑦
2 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑦 = 1 𝑝𝑖𝑒
𝑟̅𝐴𝐵 = (−1.73𝑖 + −1 𝑗 + 0𝑘) 𝑝𝑖𝑒𝑠
Puntos de Ubicación
pies
pies
pies

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𝑣𝐵 = |
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 3
−1.73 −1 0
| 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
𝑚
𝑣𝐵 = (3𝑖 − 5.19𝑗 + 0𝑘) 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔
cos 𝜃 =
𝑥
3 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑥 = 2.1 𝑝𝑖𝑒𝑠
sen 𝜃 =
𝑦
3 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑦 = 2.1 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑟̅𝐵𝐶 = (2.1𝑖 + 2.1 𝑗 + 0𝑘) 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑣𝑐 = (3𝑖 − 5.19𝑗 + 0𝑘) + |
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 𝜔𝐵𝐶
2.1 2.1 0
| 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
𝑚
𝑣𝐵 = (3𝑖 − 5.19𝑗 + 0𝑘) 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔 + (−2.1𝜔𝐵𝐶𝑖 + 2.1𝜔𝐵𝐶𝑗 + 0𝑘) 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔
𝑣𝑐𝑗 = 0 − 5.19𝑗 + 2.1𝜔𝐵𝐶𝑗 = 0
𝜔𝐵𝐶 =
5.19
2.1
𝜔𝐵𝐶 = 2.47 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
𝑣𝐶𝑖 = 3𝑖 − 2.1(2.47) 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔 𝑣𝐶𝑖 = −2.19 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔
| 𝒗
̅𝑪| = 𝟐. 𝟏𝟗 𝒎/𝒔𝒆𝒈
3. La rueda del mecanismo corredera - cigüeñal gira en sentido anti horario
con velocidad angular constante de 10 rad/seg. Determinar la velocidad 𝑉𝐵 de la corredera
y la velocidad angular 𝜔𝐴𝐵 de la biela AB del cigüeñal cuando  = 60

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Datos:
Velocidad Angular de la rueda = 10 rad/seg
𝑉𝐵 = ? y 𝜔𝐴𝐵 = ? para  = 60
Calculo de la Velocidad del Punto A
Estableciendo el origen del sistema de referencia fijo en el punto O, podemos
determinar la velocidad de A por la ecuación:
𝒗𝑨
̅̅
̅̅ = 𝛚𝑶𝑨
̅̅̅̅̅̅ 𝐱 𝒓𝑶𝑨
̅̅̅̅̅
Donde :
𝜔𝑂𝐴
̅̅̅̅̅ = (0𝑖 + 0𝑗 + 10 𝑘) 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
𝑟𝑂𝐴
̅̅̅̅ = (225𝑐𝑜𝑠 60°𝑖 + 225 𝑠𝑒𝑛 60°𝑗) 𝑚𝑚/𝑠𝑒𝑔 𝑟𝑂𝐴
̅̅̅̅ = (112.5 𝑖 + 194.86 𝑗) 𝑚𝑚/𝑠𝑒𝑔
𝑣𝐵 = |
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 10
112.5 194.86 0
| 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
𝑚
𝒗𝑨 = (−𝟏𝟗𝟒𝟖. 𝟔 𝒊 + 𝟏𝟏𝟐𝟓 𝒋 + 𝟎𝒌)

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Calculo de la Velocidad del Punto B
𝒗𝑩
̅̅̅̅ = 𝒗𝑨
̅̅
̅̅ + 𝛚𝑨𝑩
̅̅̅̅̅̅ 𝐱 𝒓𝑨𝑩
̅̅̅̅̅
El cálculo de 𝑟𝐴𝐵
̅̅̅̅ requiere conocer el valor del ángulo ∅ . Este ángulo se puede
obtener a través de la ley del seno
𝑆𝑒𝑛 ∅
225
=
𝑆𝑒𝑛 60°
750
𝑆𝑒𝑛 ∅ =
𝑆𝑒𝑛 60° ∗ 225
750
∅ = 𝑆𝑒𝑛−1
𝑆𝑒𝑛 60° ∗ 225
750
∅ = 𝟏𝟓. 𝟎𝟔°
𝑟̅𝐴𝐵 = (750 cos 15.06° 𝑖 − 750 𝑠𝑒𝑛 15.06° + 0𝑘)
𝑟̅𝐴𝐵 = (724.24 𝑖 − 194.87 𝑗 + 0𝑘)
𝜔𝑂𝐴
̅̅̅̅̅ = (0𝑖 + 0𝑗 − 𝜔𝐴𝐵 𝑘) 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 (Sentido Horario Negativo)
𝑣𝐵 = (−1948.6 𝑖 + 1125 𝑗 + 0𝑘) 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 + |
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 −𝜔𝐴𝐵
724.24 −194.87 0
| 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
𝑚
𝑣𝐵 = (−1948.6 − 194.87𝜔𝐴𝐵)𝑖 + (1125 − 724.24 𝜔𝐵𝐶𝑗) + (0𝑘) 𝑚/𝑠𝑒𝑔
𝑣𝐵𝑗 = 0 1125 − 724.24𝜔𝐴𝐵 = 0 𝜔𝐴𝐵 =
1125
724.24
𝜔𝐴𝐵 = 1.553 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

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𝑣𝐵𝑖 = − 1948.6 − 194.87(1.553)𝑗 𝑣𝐶𝑖 = 2251.23 𝑚𝑚/𝑠𝑒𝑔
| 𝒗
̅𝑪| = 𝟐𝟐𝟓𝟏. 𝟐𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒆𝒈
4. Dos varillas AB y DE de 20 in se unen como muestra la figura. El punto D es
el punto medio de la varilla AB y en el instante indicado la varilla DE esta en posición
horizontal. Si la velocidad de A es 1 ft/seg hacia abajo. Determine: a) La velocidad del
punto D b) La velocidad angular de la varilla DE c) La velocidad del punto E. (CIR)
Datos :
Longitud de AB y DE = 20 in Va = 1 ft/seg hacia abajo.
𝑣𝐷 = ? 𝜔𝐷𝐸 = ?
Utilizando ángulos complementarios se obtiene:
𝑣̅𝑎 = 1 𝑓𝑡/𝑠𝑒𝑔 ∗
12 𝑖𝑛
1 𝑓𝑡
=> 𝑣̅𝑎 = 12 𝑖𝑛/𝑠𝑒𝑔

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 Cuando A se desplaza hacia abajo, de acuerdo con el sentido de su
velocidad, B se desplaza hacia la derecha. Por tanto:
𝑣𝐵 = →
 En la figura se puede observar que el punto C es el centro instantáneo de
rotación de la barra AB
𝒗𝑨 = 𝝎𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑨𝑩 ∗ 𝒓𝑨−𝑪𝑰𝑹 𝝎𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑨𝑩 =
𝒗𝑨
𝒓𝑨−𝑪𝑰𝑹
Del grafico se tiene que 𝒓𝑨−𝑪𝑰𝑹 = 𝟐𝟎 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝟎° 𝒊𝒏 𝑦 𝒓𝑫−𝑪𝑰𝑹 = 𝟏𝟎 𝒊𝒏
*NOTA: Existen varias formas de encontrar la distancia 𝑟𝐷−𝐶𝐼𝑅
𝜔𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐴𝐵 =
12 𝑖𝑛/𝑠𝑒𝑔
20 cos 30 ° 𝑖𝑛
𝝎𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑨𝑩 = 𝟎. 𝟔𝟗𝟐𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈
Calculo de la Velocidad del Punto D
𝒗𝑫 = 𝝎𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑨𝑩 ∗ 𝒓𝑫−𝑪𝑰𝑹
 Nota: El punto D pertenece a la barra AB por tanto se puede utilizar
𝜔𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐴𝐵 para calcular la velocidad de ese punto
𝑣𝐷 = 0.6928 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 ∗ 10 𝑖𝑛 𝒗𝑫 = 𝟔. 𝟗𝟐𝟖 𝒊𝒏/𝒔𝒆𝒈
Calculo de la Velocidad del Punto E
 La barra DE tiene un centro de rotación distinto al de la barra AB y tal como
se muestra en la figura, está representado por el punto I (Nosotros lo denominaremos
CIR`). Para calcular la velocidad del punto E se requiere la velocidad de un punto de la
barra DE (En este caso ya se tiene la velocidad del punto D) y la velocidad angular de la
barra.

13. Prof. José A. Contreras R.
En la figura se observa que:
𝒓𝑫−𝑪𝑰𝑹´ = 𝟐𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎 ° 𝒊𝒏 𝒓𝑬−𝑪𝑰𝑹´ = 𝟐𝟎 𝐒𝐞𝐧𝟑𝟎 ° 𝒊𝒏
𝝎𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑫𝑬 =
𝒗𝑫
𝒓𝑫−𝑪𝑰𝑹´
𝜔𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐷𝐸 =
6.928 𝑖𝑛/𝑠𝑒𝑔
20 cos 30 ° 𝑖𝑛
𝝎𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑫𝑬 = 𝟎. 𝟒 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈
𝑣𝐸 = 0.4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 ∗ 20 Sen 30 ° 𝑖𝑛 𝒗𝑫 = 𝟒 𝒊𝒏/𝒔𝒆𝒈
NOTA:
PARA DESARROLLAR CORRECTAMENTE LOS EJERCICIOS CORRESPONDIENTES A ESTA
UNIDAD SE DEBEN REPASAR E INVESTIGAR LOS SIGUIENTES ÍTEMS:
1. DEFINICIONES:
- CUERPO RÍGIDO.
- SISTEMAS DE REFERENCIA FIJO Y SISTEMA DE REFERENCIA MÓVIL.
- SISTEMAS DE COORDENADAS.
- POSICIÓN, TRAYECTORIA, DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD, RAPIDEZ Y
ACELERACIÓN.
- VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR.
- VECTORES UNITARIOS Y COMPONENTES RECTANGULARES.
- TEORÍA DE LOS TEMAS PREVIOS.
2. NOCIONES PREVIAS PARA PODER CURSAR LA ASIGNATURA
- TRIGONOMETRÍA BÁSICA
- DESARROLLO DE DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES SENCILLAS
- OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES. PRODUCTO VECTORIAL.
DETERMINANTES.