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2DA CLASE DINAMICA. 2Clases_2A3_01_24_EE
- 1. Dinámica
- 2. Dinámica de Sistemas de Particulas
- 3. 𝒓𝑩 = 𝒓𝑨 + 𝒓𝑩/𝑨 𝒅𝒓𝑩 𝒅𝒕 = 𝒅𝒓𝑨 𝒅𝒕 + 𝒅𝒓𝑩/𝑨 𝒅𝒕 𝒗𝑩 = 𝒗𝑨 + 𝒗𝑩/𝑨 Movimiento Relativo
- 4. 𝒅𝒗𝑩 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗𝑨 𝒅𝒕 + 𝒅𝒗𝑩/𝑨 𝒅𝒕 𝒂𝑩 = 𝒂𝑨 + 𝒂𝑩/𝑨 𝒓𝑩/𝑨 = −𝒓𝑨/𝑩 𝒗𝑩/𝑨 = −𝒗𝑨/𝑩 𝒂𝑩/𝑨 = −𝒂𝑨/𝑩 Marco de referencia en traslación 𝒓𝑩/𝑨 = 𝒙′ Ƹ 𝒊 + 𝒚′ Ƹ 𝒋 + 𝒛′ 𝒌 𝒗𝑩/𝑨 = 𝒅𝒙′ 𝒅𝒕 Ƹ 𝒊 + 𝒅𝒚′ 𝒅𝒕 Ƹ 𝒋 + 𝒅𝒛′ 𝒅𝒕 𝒌 𝒂𝑩/𝑨 = 𝒅𝟐 𝒙′ 𝒅𝒕𝟐 Ƹ 𝒊 + 𝒅𝟐 𝒚′ 𝒅𝒕𝟐 Ƹ 𝒋 + 𝒅𝟐 𝒛′ 𝒅𝒕𝟐 𝒌
- 5. 𝟒𝟎 𝒌𝒎 𝟑𝟎 𝒌𝒎 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒎/𝒉 𝟗𝟎𝟎 𝒌𝒎/𝒉 Dos aviones A y B vuelan con velocidades constantes a la misma altitud. En la figura se muestran las posiciones de los aviones en el tiempo t=0 en el marco de referencia 𝑥 − 𝑦 que se encuentra en reposo en el espacio. Calcule : (A)La velocidad del avión A relativa a B; (B)La posición de A relativa a B como función del tiempo; (C)La distancia mínima entre los aviones y el tiempo en que esto ocurre.
- 6. 3 4 5 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 4 5 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 3 5 Ԧ 𝑣𝐴 = 900𝑐𝑜𝑠𝛼 Ƹ 𝑖 + 900𝑠𝑒𝑛𝛼 Ƹ 𝑗 = 900 4 5 Ƹ 𝑖 + 900 3 5 Ƹ 𝑗 = 𝟕𝟐𝟎 Ƹ 𝒊 + 𝟓𝟒𝟎 Ƹ 𝒋 𝑘𝑚 ℎ Ԧ 𝑣𝐵 = 400𝑐𝑜𝑠𝛼 Ƹ 𝑖 − 400𝑠𝑒𝑛𝛼 Ƹ 𝑗 = 400 4 5 Ƹ 𝑖 − 400 3 5 Ƹ 𝑗 = 𝟑𝟐𝟎 Ƹ 𝒊 − 𝟐𝟒𝟎 Ƹ 𝑗 𝑘𝑚 ℎ 𝒗𝑨 = 𝒗𝑩 + 𝒗𝑨/𝑩 𝒗𝑨/𝑩 = 𝒗𝑨 − 𝒗𝑩 = 𝟕𝟐𝟎 − 𝟑𝟐𝟎 Ƹ 𝒊 + (𝟓𝟒𝟎 + 𝟐𝟒𝟎) Ƹ 𝒋 𝒗𝑨/𝑩 = 𝒗𝑨 − 𝒗𝑩 = 𝟒𝟎𝟎 Ƹ 𝒊 + (𝟕𝟖𝟎) Ƹ 𝒋 𝒗𝑨/𝑩 = 𝟒𝟎𝟎𝟐 + 𝟕𝟖𝟎𝟐 = 𝟖𝟕𝟔. 𝟓𝟖 𝒌𝒎/𝒉 𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝟒𝟎𝟎 𝟕𝟖𝟎 → 𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝟒𝟎𝟎 𝟕𝟖𝟎 = 𝟐𝟕. 𝟏° 𝜃 400 𝑘𝑚 780 𝑘𝑚
- 7. 𝒗𝑨/𝑩 ≡ 𝒅𝒓𝑨/𝑩 𝒅𝒕 = 𝟒𝟎𝟎 Ƹ 𝒊 + (𝟕𝟖𝟎) Ƹ 𝒋 𝒅𝒓𝑨/𝑩 = 𝟒𝟎𝟎 Ƹ 𝒊 + 𝟕𝟖𝟎 Ƹ 𝒋 𝒅𝒕 𝒓𝑨 𝑩 𝒕 = 𝟒𝟎𝟎 Ƹ 𝒊 + 𝟕𝟖𝟎 Ƹ 𝒋 𝒕 + 𝒓𝟎 𝒓𝑨 𝑩 𝟎 ≡ −𝟑𝟎 Ƹ 𝒋 = 𝟒𝟎𝟎 Ƹ 𝒊 + 𝟕𝟖𝟎 Ƹ 𝒋 𝟎 + 𝒓𝟎 = 𝒓𝟎 −𝟑𝟎 Ƹ 𝒋 𝒌𝒎 = 𝒓𝟎 𝒓𝑨 𝑩 𝒕 = 𝟒𝟎𝟎𝒕 Ƹ 𝒊 + (𝟕𝟖𝟎𝒕 − 𝟑𝟎) Ƹ 𝒋
- 8. 𝑑2 (𝑡) = |𝟒𝟎𝟎𝒕 Ƹ 𝒊 + (𝟕𝟖𝟎𝒕 − 𝟑𝟎) Ƹ 𝒋|2 = 4002 𝑡2 + (780𝑡 − 30)2 𝑘𝑚2 𝒓𝑨 𝑩 𝒕 = 𝟒𝟎𝟎𝒕 Ƹ 𝒊 + (𝟕𝟖𝟎𝒕 − 𝟑𝟎) Ƹ 𝒋 𝑑2 𝑡 𝑑𝑡 = 0 = 2 × 4002𝑡 + 2 × 780𝑡 − 30 1 780 = 0 (4002 +7802 )𝑡 = 30 × 780 𝑡 = (30 × 780)/(4002 +7802 ) 𝑡 = 0.030452 … ℎ = 109.63 𝑠 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 𝑑 𝑡 = 0.030452 = 4002(0.0304)2+(780(0.0304) − 30)2= 𝟏𝟑. 𝟕 𝒌𝒎 𝜃 30𝑘𝑚 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 30𝑠𝑒𝑛 𝟐𝟕. 𝟏 = 13.66
- 9. Cinética Método fuerza –masa- aceleracion
- 11. 𝒓𝒊 = 𝒙𝒊 Ƹ 𝒊 + 𝒚𝒊 Ƹ 𝒊 + 𝒛𝒊 Ƹ 𝒊 𝒓𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 𝒓𝒊 (𝟏) 𝒎 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 𝒙𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 𝒚𝒊 𝒛𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 𝒛𝒊 (𝟐) 𝒗𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 𝒗𝒊; 𝒂𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 𝒂𝒊 (𝟑)
- 13. 𝒇𝒊𝒋 = −𝒇𝒋𝒊 𝒊 ≠ 𝒋 (𝟒)
- 14. 𝒎𝒊 𝑭𝒊 𝒋=𝟏 𝒋≠𝒊 𝒏 𝒇𝒊𝒋 𝑭𝒊 + 𝒋=𝟏 𝒋≠𝒊 𝒏 𝒇𝒊𝒋 = 𝒎𝒊 𝒂𝒊
- 15. 𝑭𝒊 + 𝒋=𝟏 𝒋≠𝒊 𝒏 𝒇𝒊𝒋 = 𝒎𝒊 𝒂𝒊 (𝟓) 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭𝒊 + 𝒊=𝟏 𝒏 𝒋=𝟏 𝒋≠𝒊 𝒏 𝒇𝒊𝒋 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊𝒂𝒊 (𝟔) 1. σ𝒊=𝟏 𝒏 𝑭𝒊 = σ 𝑭 𝟕 : la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema.
- 16. 2. σ𝒊=𝟏 𝒏 σ𝒋=𝟏 𝒋≠𝒊 𝒏 𝒇𝒊𝒋 = 𝟎 (𝟖) :las fuerzas internas se verifican en pares que son iguales y opuestas. Por lo tanto, su suma es igual a una fuerza nula!!!! 3. σ𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊𝒂𝒊 esta expresión puede reemplazarse por otra equivalente 𝑚 Ԧ 𝑎𝑐: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊𝒂𝒊 = 𝒎𝒂𝒄 (𝟗)
- 17. 𝑭 = 𝒎𝒂𝒄 (𝟏𝟎)
- 18. 𝟏𝟐 𝒎 Una persona camina de un extremo a otro de una tabla homogénea que inicialmente se encuentra en reposo sobre una superficie de hielo. Si la fricción entre la tabla y la superficie del hielo es despreciable, calcule la distancia que recorre la persona cuando alcanza el extremo derecho de la tabla. Considere la masa de la persona 70 kg y 30 kg la masa de la tabla.
- 19. 𝑚𝑔 𝑀𝑔 𝑁 𝑭𝒙 = 𝟎 = 𝒎𝒂𝒄𝒙 (𝟏𝟎) El centro de masa del sistema: Persona+tabla, no se mueve. 𝑐 𝑐 (𝐼) (𝐼𝐼) 𝑰 𝒎𝒙𝒄 = 𝒊=𝟏 𝟐 𝒎𝒊 𝒙𝒊 = 𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒎𝟐𝒙𝟐 𝟕𝟎 + 𝟑𝟎 𝒙𝒄 = 𝟕𝟎 𝟎 + 𝟑𝟎 𝟔 = 𝟏𝟖𝟎 𝒙𝒄 = 𝟏. 𝟖 𝒎 𝑰𝑰 𝒎𝒙𝒄 = 𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒎𝟐𝒙𝟐 𝑑 (𝟕𝟎 + 𝟑𝟎)(𝟏. 𝟖) = 𝟕𝟎 𝒅 + 𝟑𝟎(𝒅 − 𝟔) 𝟏𝟖𝟎 = 𝟕𝟎𝒅 + 𝟑𝟎𝒅 − 𝟏𝟖𝟎 𝟑. 𝟔𝒎 = 𝒅
- 20. En el sistema se muestra a una persona de 60 kg de masa sobre una balanza dentro de un ascensor de una tonelada de masa. Estime la lectura de la balanza y la aceleración del ascensor si la tensión en el cable es: (A) 7KN y (B) 4KN. Considerar despreciable el soporte de la polea.
- 21. 𝑚𝑔 𝑀𝑔 2𝑇 𝒂 𝑭𝒚 = 𝒎𝒂𝒚 𝟐𝑻 − 𝒎𝒈 − 𝑴𝒈 = (𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟔𝟎)𝒂𝒚 𝟐𝑻 − 𝟏𝟎𝟔𝟎𝒈 𝟏𝟎𝟔𝟎 = 𝒂𝒚 𝑨 𝒂𝒚 = 𝟑. 𝟑𝟗𝟕 𝑩 𝒂𝒚 = −𝟐. 𝟐𝟔𝟑 𝑚𝑔 𝑁 𝑭𝒚 = 𝒎𝒂𝒚 𝑵 − 𝒎𝒈 = 𝒎𝒂𝒚 𝑵 = 𝒎(𝒈 + 𝒂𝒚) 𝑨 𝑵 = 𝟔𝟎 𝟗. 𝟖𝟏 + 𝟑. 𝟑𝟗𝟕 = 𝟕𝟗𝟐. 𝟒 𝑵 𝑩 𝑵 = 𝟔𝟎 𝟗. 𝟖𝟏 − 𝟐. 𝟐𝟔𝟑 = 𝟒𝟓𝟐. 𝟖𝟐 𝑵 𝑚𝑔 = 60 × 9.81 = 588.6 𝑁
- 22. Tres partículas de un sistema se mueven en el plano x-y. En un cierto momento de tiempo las posiciones y aceleraciones de las partículas son las mostradas en la figura. Para este instante de tiempo calcule: (A)Las coordenadas del centro de masas del sistema (B)La aceleración del centro de masas del sistema
- 23. 𝒓𝟏 = (𝟐, 𝟔) 𝒂𝟏 = (𝟖, 𝟎) 𝒓𝟐 = (𝟒, 𝟐) 𝒂𝟐 = (−𝟔𝒄𝒐𝒔𝟒𝟎°, 𝟔𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎°) 𝒓𝟑 = (𝟔, 𝟒) 𝒂𝟑 = (𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎°, −𝟏𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎°) 𝒎𝟏 = 𝟎. 𝟏 𝒌𝒈 𝒎𝟐 = 𝟎. 𝟑 𝒌𝒈 𝒎𝟑 = 𝟎. 𝟐 𝒌𝒈 𝒊=𝟏 𝟑 𝒎𝒊 = 𝒎 = 𝟎. 𝟔𝟎 𝒌𝒈
- 24. 𝒙𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝟑 𝒎𝒊𝒙𝒊 = 𝟏 𝟎. 𝟔 𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒎𝟐𝒙𝟐 + 𝒎𝟑𝒙𝟑 = 𝒚𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝟑 𝒎𝒊𝒙𝒊 = 𝟏 𝟎. 𝟔 𝒎𝟏𝒚𝟏 + 𝒎𝟐𝒚𝟐 + 𝒎𝟑𝒚𝟑 = 𝒂𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝟑 𝒎𝒊𝒂𝒊 𝒂𝒙𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝟑 𝒎𝒊𝒙𝒊 = 𝟏 𝟎. 𝟔 𝒎𝟏𝒂𝟏𝒙 + 𝒎𝟐𝒂𝟐𝒙 + 𝒎𝟑𝒂𝟑𝒙 = 𝒂𝒚𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒊=𝟏 𝟑 𝒎𝒊𝒙𝒊 = 𝟏 𝟎. 𝟔 𝒎𝟏𝒂𝟏𝒚 + 𝒎𝟐𝒂𝟐𝒚 + 𝒎𝟑𝒂𝟑𝒚 =
- 25. Dos collares A y B se deslizan sin fricción sobre las barras que están en el mismo plano vertical y separadas por 1,20 𝑚. La constante de elasticidad del resorte es 100 N/m y su longitud natural es de 1,20 m. Si el sistema se libera a partir del reposo en la posición mostrada en la figura donde el resorte se ha estirado a 1,80 m, calcular la rapidez máxima que alcanza cada collar. Nota: Aplicar el teorema de energía-trabajo e impulso-momento.
- 27. ∆𝑬 = 𝑾𝒇 ∆𝑻 = 𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 ∆𝑼 = 𝑼𝟐 − 𝑼𝟏 𝑾𝒇𝒆𝒙𝒕 = 𝑾𝒈 + 𝑾𝑵 𝑾𝒇𝒊𝒏𝒕 = 𝑾𝒆𝒔𝒍 = 𝟏 𝟐 𝒌𝜹𝟐 (𝑻𝟐−𝑻𝟏) + (𝑼𝟐 − 𝑼𝟏) = 𝟎 + ( 𝟏 𝟐 𝒌𝜹𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒌𝜹𝟏 𝟐 ) (𝑻𝟐−𝟎) + (𝟎 − 𝟎) = ( 𝟏 𝟐 𝒌𝜹𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒌𝟎𝟏 𝟐 )
- 28. 𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝒗𝟐𝑨 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟖 𝒗𝟐𝑩 𝟐 = 𝟏 𝟐 (𝟏𝟎𝟎)(𝟎. 𝟔)𝟐 𝟔𝒗𝟐𝑨 𝟐 + 𝟒𝒗𝟐𝑩 𝟐 = 𝟏𝟖 𝟑𝒗𝟐𝑨 𝟐 + 𝟐𝒗𝟐𝑩 𝟐 = 𝟗 (𝟏) ∆Ԧ 𝑰 = ∆𝒑 ∆𝑰𝒙 = ∆𝒑𝒙 𝟎 = 𝒑𝟐𝒙 − 𝒑𝟏𝒙 𝟎 = 𝒎𝑨𝒗𝟐𝑨 + 𝒎𝑩𝒗𝟐𝑩 − 𝒎𝑨𝒗𝟏𝑨 + 𝒎𝑩𝒗𝟏𝑩 𝟎 = 𝟏𝟐𝒗𝟐𝑨 + 𝟖𝒗𝟐𝑩 𝟎 = 𝟑𝒗𝟐𝑨 + 𝟐𝒗𝟐𝑩 (𝟐)
- 29. 𝒗𝟐𝑨 = 𝟐 𝟑 𝒗𝟐𝑩 𝟑 → 𝟏 : 𝟑 𝟐 𝟑 𝒗𝟐𝑩 𝟐 + 𝟐𝒗𝟐𝑩 𝟐 = 𝟗 𝟒 𝟑 𝒗𝟐𝑩 𝟐 + 𝟔 𝟑 𝒗𝟐𝑩 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟑 𝒗𝟐𝑩 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟏𝟎 𝒗𝟐𝑩 = ± 𝟑 𝟑 𝟏𝟎 = ±𝟏. 𝟔𝟒𝟑 𝒗𝟐𝑨 = ± 𝟔 𝟓 = ±𝟏. 𝟎𝟗𝟓
- 30. El bloque A se libera a partir del reposo en la cima de un plano inclinado B (posición 1). Determine las velocidades de A y B cuando el bloque ha llegado al extremo inferior del plano inclinado B (posición 2). Posición 1 Posición 2
- 31. Dos pequeñas esferas, con masa m, que resbalan sin fricción sobre una varilla AB de masa despreciable. (ver el D.C.L del sistema). El soporte en O permite que la varilla rote libremente alrededor del eje Z. Inicialmente la varilla rota con velocidad angular 𝜔1 mientras las cuerdas mantienen las esferas a una distancia radial 𝑅1. Luego las cuerdas se cortan de manera simultánea, permitiendo que las esferas resbalen hacia los topes en A y B, que se localizan a la distancia radial 𝑅2. Calcular 𝜔2, la velocidad angular final del montaje, suponiendo que las esferas no rebotan después de golpear los topes.
- 32. 𝑧
- 33. La fuerza de compresión en el resorte provoca una disminución del resorte en 5,0 cm cuando el sistema esta en reposo como se muestra en la figura. Si la cuerda se corta, calcule las velocidades de las masas A y B cuando la fuerza del resorte es nula. Desprecie la fricción. 𝑪𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂