2. Con forme la partícula va girando recorre
ángulos iguales en tiempos iguales
Al ángulo recorrido le llamamos, “desplazamiento”
angular y se mide en radianes
Un radián es el ángulo que describe un arco de
circunferencia igual al radio es decir
𝑆
𝑟
= 1 𝑟𝑎𝑑
A la rapidez con la que se recorren ángulos se le conoce como rapidez angular 𝜔 =
𝜃
𝑡
Movimiento Circular Uniforme
Capítulo 7. Pg216 y siguientes
3. Movimiento Circular
V0
V1
∆𝑉 = 𝑣1 − 𝑣0
V
v
∆𝑉
r
r
L
S
𝑟
𝐿
=
𝑉
∆𝑉
𝑆 ≈ 𝐿
𝑉 =
𝐿
∆𝑡
𝑟
𝑉∆𝑡
=
𝑉
∆𝑉
∆𝑉
∆𝑡
=
𝑉2
𝑟
𝑎𝑐 =
𝑉2
𝑟
𝑉 = 𝜔𝑟
4. Resumen de la clase anterior
• El mcu mantiene constante la rapidez angular 𝜔 =
𝜃
𝑡
• La velocidad en cada punto de la trayectoria circular, es una velocidad
instantánea, se denomina velocidad tangencial
• Para que una partícula describa un movimiento circular es necesario
que una fuerza lo obligue a seguir la trayectoria (fuerza centrípeta)
• La aceleración centrípeta se calcula: 𝑎𝑐=
𝑉2
𝑟
𝑉 = 𝜔𝑟
5. 𝑎𝑐 =
𝑉2
𝑟
; 𝑉 = 𝜔𝑟
Expresa la aceleración centrípeta en términos
de la rapidez angular
𝑎𝑐 = 𝜔2𝑟
48. ● Se diseña un cilindro giratorio de unos 16 km de longitud y
7.0 km de diámetro para usarse como colonia espacial. ¿Con qué
rapidez angular debe girar para que sus residentes experimenten la
misma aceleración debida a la gravedad que en la Tierra?
6. 7 Km
Como 𝑎𝑐 = 𝜔2𝑟
Despejamos rapidez angular
𝜔 =
𝑎𝑐
𝑟
𝑎𝑐 = 𝑔
7. 57. ●●● Un bloque de masa m se desliza por un plano inclinado y entra en una vuelta
vertical circular de radio r
a) Despreciando la fricción, ¿qué rapidez mínima debe tener el bloque en el punto más
alto de la vuelta para no caer? [Sugerencia: ¿qué fuerza debe actuar sobre el bloque ahí
para mantenerlo en una trayectoria circular?] b) ¿Desde qué altura vertical en el plano
inclinado (en términos del radio de la vuelta) debe soltarse el bloque, para que tenga la
rapidez mínima necesaria en el punto más alto de la vuelta?
Una vez que identificamos que la condición mínima
ocurre cuando la única fuerza que actúa en el punto B,
el peso de la caja, es la que hace las veces de la fuerza
centrípeta que la obliga a seguir con esa trayectoria
circular, entonces nuestro objetivo será calcular V.
B
A
Para calcular V usaremos 𝑔 =
𝑣2
𝑟
𝑣 = 𝑔𝑟
8. 𝑚𝑔ℎ𝐴 = 𝑚𝑔2𝑟 +
1
2
𝑚𝑣2
𝑔ℎ𝐴 = 𝑔2𝑟 +
1
2
𝑣2
simplificando
despejamos hA
ℎ𝐴 =
2𝑔𝑟 +
1
2
𝑔𝑟
𝑔
𝑚𝑔ℎ𝐴 = 𝑚𝑔ℎ𝐵 +
1
2
𝑚𝑣2
Para el inciso b, usamos el principio de conservación de la energía entre A y B
ℎ𝐴 =
5
2
𝑟
9. 58. ●●● Para una escena en una película, un conductor acrobático maneja una camioneta de 1.50 103 kg y 4.25 m de
longitud describiendo medio círculo con radio de 0.333 km. El vehículo debe salir del camino, saltar una cañada de 10.0 m de
anchura, y caer en la otra orilla 2.96 m más abajo. ¿Qué aceleración centrípeta mínima debe tener la camioneta al describir
el medio círculo para librar la cañada y caer del otro lado?
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
Sabemos que
entonces habría que determinar primero V
Como se trata de un tiro parabólico
horizontal si calculamos Vx
13. 70. ●● Las aspas de un ventilador que opera a baja rapidez giran a 250 rpm. Cuando el
ventilador se cambia a alta velocidad, la tasa de rotación aumenta uniformemente a 350
rpm en 5.75 s. a) Calcule la magnitud de la aceleración angular de las aspas. b) ¿Cuántas
revoluciones efectúan las aspas mientras el ventilador está acelerando?
Datos:
𝜔0 = 26.17
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝜔1 = 36.65
𝑟𝑎𝑑
𝑠
t= 5.75 s
De la Ec2 despejo 𝛼
𝛼 =
𝜔1−𝜔0
𝑡
𝛼 =
36.65
𝑟𝑎𝑑
𝑠
−26.17
𝑟𝑎𝑑
𝑠
5.75 𝑠
𝛼 = 1.82
𝑟𝑎𝑑
𝑠2
sustituyo
por lo tanto
b) Podemos usar las ecuaciones 3 o 4
para resolver éste inciso, usaré la 3.
Nos queda
𝜃 = 26.17
𝑟𝑎𝑑
𝑠
5.75𝑠 +
(1.82
𝑟𝑎𝑑
𝑠2 )(5.75 𝑠)2
2
por lo tanto
𝜃 = 180.56 𝑟𝑎𝑑
14. 67. ● Un carrusel que acelera uniformemente desde el reposo alcanza su rapidez
operativa de 2.5 rpm en cinco revoluciones. ¿Qué magnitud tiene su aceleración
angular?
Datos:
𝜔0 = 0
𝜔1 = 0.26
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝜃 = 10𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝛼 =?
De la Ec 4 despejo 𝛼
𝛼 =
𝜔1
2
− 𝜔0
2
2𝜃
𝛼 =
(0.26
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)2
−0
2(10𝜋𝑟𝑎𝑑)
𝛼 = 1.075
𝑟𝑎𝑑
𝑠2
sustituyo
por lo tanto
16. Cuando un cuerpo está en movimiento se le asocia una cantidad vectorial llamada Cantidad
de movimiento se denota con la letra minúscula p y se obtiene del producto de su masa por la
velocidad con la que se mueve
𝑝 = 𝑚𝑣
18. La cantidad de movimiento es una cantidad conservativa
a
b
𝑝1 = 𝑝1𝑥𝑖 + 0
𝑝1
´
= 𝑝1𝑥
´
𝑖 + 𝑝1𝑦
´
𝑗
𝑝2
´
= 𝑝2𝑥𝑖 − 𝑝2𝑦𝑗
𝑝1𝑥𝑖 = 𝑝1𝑥
´
𝑖 + 𝑝2𝑥
´
𝑗 Eje X
Eje Y
0 = 𝑝1𝑦
´
𝑖 − 𝑝2𝑦
´
𝑗
19. Ejemplos:
Un proyectíl se dispara horizontalmente con una rapidez de 13
𝑚
𝑠
y se impacta con un bloque en reposo, que
descansa en una mesa sin fricción y con una masa 5 veces más grande que la de él. Si después del impacto el
proyectíl queda incrustado en el bloque, con qué velocidad se mueven después de la colisión.
Antes
Después
mV (m+5m)V´
mV=(m+5m)V´
Despejamos V´
V´=
𝑉
6
V´=2.16
𝑚
𝑠
20. Ejemplo 2
mV1
𝛼
𝛽
Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento (PCCM)
𝑚𝑉1 = 𝑚𝑉1
´
𝐶𝑜𝑠𝛼 + m𝑉2𝐶𝑜𝑠𝛽 Eje x
Eje y
0 = 𝑚𝑉1
´
𝑆𝑖𝑛𝛼 − 𝑚𝑉2𝑆𝑖𝑛𝛽
Conocemos:
𝑣1; 𝛼 𝑦 𝛽
23. 70. ●●● Un disco de hockey en movimiento choca de refilón con otro estacionario de la
misma masa, como se muestra en la ▼figura 6.32. Si la fricción es insignificante, ¿qué
rapidez tendrán los discos después del choque?
Del P.C.C.M. tenemos que
Antes
Eje X
𝑚𝑣10
Eje Y
0
Después
Eje X
Eje Y
𝑚𝑣1𝐶𝑜𝑠 50 + 𝑚𝑣2𝐶𝑜𝑠 40
𝑚𝑣1𝑆𝑖𝑛 50 − 𝑚𝑣2𝑆𝑖𝑛 40
Si la colisión es elástica entonces
1
2
𝑚𝑣10
2 =
1
2
𝑚𝑣1
2
+
1
2
m𝑣2
2
24. IMPULSO
Sabemos que la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial que se determina
mediante el producto de la masa de un cuerpo por la velocidad con la que este se
mueve.
Ahora, ¿qué ocurre con un cuerpo que cambia su velocidad de manera uniforme?
El cambio en su cantidad de movimiento puede expresarse de la siguiente manera
𝑑𝑝
𝑑𝑡
Escalarmente como p=mv tendríamos
𝑑𝑝
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑚𝑣)
𝑑𝑡
(se lee, cambio de la cantidad de movimiento con
respecto al tiempo)
25. Para nuestro caso de estudio suponemos que la masa no cambia, es constante
𝑑(𝑚𝑣)
𝑑𝑡
= 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Lo que conocemos como Impulso
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑎
Lo que significa que
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= ma, esta es la forma en la que Isaac Newton postuló
lo que hoy conocemos como la segunda ley de Newton
Como
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 𝐹, entonces 𝑑𝑝 = 𝐹𝑑𝑡
26. 𝐼 = 𝐹𝑡
Teniendo en cuenta que el tiempo se refiere
al tiempo en el que la fuerza, supuesta
constante, está en contacto con el objeto
Y dp= P2-P1 el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual al impulso
28. Momento de una fuerza
Una fuerza es una acción capaz de provocar un cambio en el estado de movimiento
de un cuerpo, deformarlo, tensionarlo o aplicarle un momento
Un momento implica provocar un cambio en el estado de movimiento rotacional
F
30. Torca
Lo que sabemos ahora…
Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio se deben cumplir dos condiciones
𝐹 = 0
𝜏 = 0
Equilibrio traslacional
Equilibrio rotacional
F
31. 33 ●● En la figura 8.34, ¿qué fuerza Fm genera el músculo deltoides
para sostener el brazo extendido, si la masa del brazo es de 3.0 kg?
(Fj es la fuerza de la articulación sobre el hueso del brazo, el húmero.)
𝑟𝑚
0.18𝑐𝑚 𝐹𝑚𝑆𝑖𝑛15 − 0.26𝑚 𝑚𝑔 = 0
𝐹𝑚 =
(0.26𝑚)(3𝐾𝑔)(9.8
𝑚
𝑠2)
0.18𝑚 𝑆𝑖𝑛15
𝐹𝑚 = 164.07 𝑁 𝐹
𝑗 = 80.03 𝑁
