problemas sobre sistemas de medidas angulares

1. Helico curiosities
Historia de la trigonometría
Hace más de 3000 años, los babilonios y los egipcios necesitaban efectuar medidas para la agricultura y para la
construcción de pirámides, y esta necesidad los llevó a utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonomé-
tricas para calcularlos. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas.
La astronomía de los matemáticos griegos antiguos (pitagóricos), en los siglos VI, V y IV a. C., consistió, fun-
damentalmente, en descripciones y especulaciones aventuradas sobre los astros. Sin embargo, más adelante se fue
poniendo de manifiesto que era necesario hacer de la astronomía una ciencia más exacta, fundada en mediciones
y en una matemática apropiada, que permitiera la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes para
predecir con precisión los eclipses, la mejora de la exactitud en la navegación para hacerla más segura, y la mejora
del cálculo del tiempo y los calendarios.
Así nació la trigonometría, con el astrónomo Hiparco de Nicea, un griego del siglo II a. C. comparando sus estudios
sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios. Sus cálculos
del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con
respecto a las mediciones modernas. Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de
latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. Además, también construyó
unas tablas trigonométricas llamadas tablas de cuerdas, que fueron las precursoras de las tablas de las funciones
trigonométricas de la actualidad.
Preguntas
1. ¿Para qué se utilizaba la astronomía en la antigüedad?
2. ¿Con qué astrónomo nació la trigonometría?
3. ¿Qué descubrió Hiparco de Nicea?
4. ¿Cómo se llamaban las tablas trigonométricas que Hiparco construyó?
APRENDIZAJES ESPERADOS
C
H
A
P
T
E
R
SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR II
2 ¾
¾ Reconoce el sistema radial.
¾
¾ Aplica el factor de conversión entre los sistemas sexagesimal y
radial.
1
1
1•

2. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Sistema radial o circular (R)
Unidad: radián (rad)
Un radián (1 rad) es la medida de un ángulo central que determina sobre una circunferencia un arco cuya longitud es
igual al radio de dicha circunferencia.
Del gráfico, si 
AB
l = r → q = 1 rad
Ahora, dado que la longitud de una circunferencia es 2pr, podemos
determinar que
=
π
m 1 vuelta
1 rad
2

r
1 rad
A
B
O =r
r
Así obtenemos que: m1 vuelta < > 2π rad
Equivalencia entre los sistemas sexagesimal y radial
Se conoce que:
m
 1 vuelta < > 360°
m
 1 vuelta < > 2p rad
→ 2p rad < > 360°
π rad < > 180°
En general, para convertir un ángulo de un sistema angular a otro, utilizaremos el factor de conversión.
Así, para convertir un ángulo de grados sexagesimales a radianes, multiplicaremos el ángulo dado por
p rad
180°
y para
convertir un ángulo de radianes a grados sexagesimales, multiplicaremos el ángulo dado por
180°
p rad
.
Factor de conversión
p rad
180°
×
Grados
sexagesimales
Radianes
180°
p rad
×
Ejemplo
Convierta
p
18
rad a grados sexagesimales.
π π
<>
rad
rad
18
×
π
180º
18 rad
<> 10º
Anotación
1 rad <> 57° 17' 44''
1 rad > 1°
Helico theory
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1
1
1•
TRIGONOMETRY

3. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Sexagesimal (S) Radial (R)
Unidad:
Grado sexagesimal (°)
donde
m 1 vuelta<>360°
Unidad:
Radián (1 rad)
donde
m 1 vuelta < > 2π rad
m 1 vuelta < > 360° < > 2π rad
180° < > π rad
Para convertir de una unidad a otra, utilizaremos
Factor de conversión
entonces
el
p rad
180°
×
Grados
sexagesimales
Radianes
180°
p rad
×
Ejemplo: convierta
p
24
rad al sistema sexagesimal.
π π
<>
rad
rad
24
×
π
180º
24 rad
π
<> <>
π
<> +
π
<> + ×
π
<> + <>
180º
rad 7,5º
24 24
rad 7º 0,5º
24
60'
rad 7º 0,5º
24 1º
rad 7º 30' 7º 30'
24
Anotación
Para el calculo de valores p se considera
p = 3,1416
Helico synthesis
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1
1•
TRIGONOMETRY

4. 1. Reduzca la expresión
π
+
=
π
30º rad
4
E
rad
12
Resolución
Se convierte los ángulos de radianes a grados sexa-
gesimales.
rad
rad
4
π π
<>

180
4 rad
°
×
π
45
rad
rad
12
<> °
π π
<>

180
12 rad
°
×
π
15
<> °
Reemplazando
30 45
E
15
75º
E E 5
15º
° + °
=
°
= → =
Rpta.: 5
2. Del gráfico, calcule el valor de m.
(5m + 4)°
3p
10
rad
Resolución
π
π °
× °
π
3 rad
3 180
rad<> <>54
10 10 rad
Luego
54° = (5m + 4)°
50 = 5m
10 = m
Rpta.: 10
3. Si
π
<>
3
rad ( )º
5
abc , efectúe
E a b c
= + +
Resolución
3 3
rad
5
π π
<>
rad 180
5
°
×
π rad
108
3
rad 108 ( )
5
108 ( )
108
abc
abc
abc
<> °
π
<> ° <> °
→ ° <> °
=
Donde comparando
a = 1, b = 0, c = 8
Reemplazando
E 1 0 8
E 3
= + +
=
Rpta.: 3
4. Calcule la medida del ángulo β el sistema sexagesi-
mal.
β
3
rad
4
π
rad
A
B
C
6
π
Resolución
Se convierte los ángulos de radianes a grados sexa-
gesimales.
�
π
π °
× °
π
rad 180
rad<> <>30
6 6 rad
�
π
π °
× °
π
3 rad
3 180
rad<> <>135
4 4 rad
Luego
30° + 135° + β = 180°
165° + β = 180°
∴ β = 15°
Rpta.: 15°
5. Si
π
2
rad<>( )°
3
abc , efectúe M = (a + b + c)3
.
Resolución
π
π °
× °
π
2 rad
2 180
rad<> =120
3 3 rad
2p
3
rad abc°
120°
<> <>
M = (1 + 2 + 0)3
M = 33
M = 27
Rpta.: 27
Solved problems
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1•
TRIGONOMETRY

5. Nivel I
1. Convierta los siguientes ángulos al sistema radial.
I.
120° II.
135° III.
270°
Resolución
2. Convierta los siguientes ángulos al sistema sexa-
gesimal.
I.
2p
5
rad
II.
2p
9
rad
III.
4p
3
rad
Resolución
Nivel II
3. Reduzca la expresión
π
=
π
rad+100°
3
E
rad
18
Resolución
4. En un inventario del laboratorio de Física, Pedro se
encuentra con dos cajas.
Reglas
Caja A
x°+2p
5
rad=2p
3
rad
Lápices
Caja B
4p
9
rad – y°=p
5
rad
Siendo x el número de reglas e y el número de
lápices en cada caja.
a. ¿Cuántas reglas contiene la caja A?
b. ¿Cuántos lápices contiene la caja B?
Resolución
Helico practice
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1•
TRIGONOMETRY

6. 5. Del gráfico, calcule el valor de n.
(3n + 9)°
π
4
rad
Resolución
Nivel III
6. Si
4p
15
rad < > (ab)°, calcule E –
b a
= .
Resolución
7. Del gráfico, calcule la medida del ángulo β en el
sistema radial.
3π
10
rad
66°
β
Resolución
8. Del gráfico, calcule 3
P 2 3
x
= + .
(5x)º
B
C
A
(4x)º
π
2
rad
5
Resolución
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1•
TRIGONOMETRY

7. Nivel I
1. Convierta los siguientes ángulos al sistema radial.
I. 60°
II. 108°
III. 315°
Resolución
2. Convierta los siguientes ángulos al sistema sexa-
gesimal.
I.
p
6
rad
II.
3p
2
rad
III.
4p
9
rad
Resolución
Nivel II
3. Reduzca la expresión
π
=
π
rad+78°
15
E
rad
4
Resolución
4. En la siguiente caja se almacena tubos de ensayos:
Tubos de ensayo
3p
10
rad + x°=p
3
rad
Siendo x la cantidad total de tubos de ensayo que
contiene dicha caja, ¿cuántos tubos de ensayo con-
tiene la caja?
Resolución
SCORE
Helico workshop
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1•
TRIGONOMETRY

8. 5. Del gráfico, calcule el valor de x
3π
10
rad (5x + 4)°
Resolución
Nivel III
6. Si
3p
5
rad < > (abc)°, calcule E a b c
= + + .
Resolución
7. Del gráfico, calcule la medida del ángulo α en el
sistema radial.
54° α
π
2
rad
Resolución
8. Del gráfico, calcule
2
2
6
P
– 6
x x
x x
+
= .
(10x)º
B
C
A
(6x)º
p/9 rad
Resolución
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TRIGONOMETRY