1-Trigonometria (1 - 6).pdf

TRIGONOMETRÍA
Secundaria
Primer
Bimestre
1

Pág
Cap.1 Ángulo Trigonométrico – Sistema sexagesimal 7
Cap.2 Relación entre sistemas – Conversión de unidades 10
Cap.3 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras 14
Cap.4 Razones trigonométricas I 18
Cap.5 Razones trigonométricas II 23
Cap.6 Razones trigonométricas III 28
Índice

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
7
Trigonometría - 1ro. Secundaria
Trigonometría
CAPÍTULO
1 Ángulo Trigonométrico
Sistema Sexagesimal
OBJETIVOS:
a Reconocer un ángulo trigonométrico y su formación.
a Utilizar adecuadamente el sistema sexagesimal para la medición de ángulos
a Aplicar correctamente las conversiones en el sistema sexagesimal
DEFINICIÓN:
Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, que gira
alrededor de un punto (vértice) desde una posición inicial
O A
→
 
 
 
hasta una posición final OB
→
 
 
 
.
B
A
o
φ
1. Elementos de un ángulo trigonométrico:
B
A
o
φ
O A
→
 
 
 
: lado inicial
OB
→
 
 
 
: lado final
«O» : vértice
φ : medida angular
2. Sistema Sexagesimal:
Es aquel sistema que tiene como unidad al grado
sexagesimal, el cual se define como la 360ava parte del
ángulo de una vuelta.
Es decir:
m 1 vuelta
1
360
° =

En consecuencia :
m 1vuelta = 360°

Las subunidades son el minuto sexagesimal (1’) y el
segundo sexagesimal (1’’).
Entonces: 1° = 60’
1’ = 60’’ => 1° = 3600’’
REGLA DE CONVERSIÓN
x60 x60
: 60 : 60
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 3600
x 3600
Nota:
L.F
.
L.I.
o

8
Convertir a minutos
a) 4° b) 12° c) 10°
Resolución:
Convertir a segundos
a) 20’ b) 35’ c) 10’
Resolución:
Convertir a grados:
a) 4800’ b) 720’ c) 900’
Resolución:
Realizar las siguientes sumas:
a) 42° 41’ + 37° 10’
b) 75° 23’ + 12° 37’
c) 120° 47’ + 39° 53’
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en clase
R

9
ara reforzar
P
hora en tu cuaderno
A
5. Si a + b = 23
Calcular : a° b’ + b° a’
6. En el triángulo. Calcular «x». Si a=52° 24’
a
x
7. Calcular el valor del ángulo «x».
b
a
x a = 67º 32’
b = 59º28’
8. Simplificar:
1. Convertir a minutos:
5°
A) 300’ B) 250’ C) 240’
D) 350’ E) 200’
2. Convertir a grados:
1800’
A) 24° B) 30° C) 35°
D) 28° E) 36°
3. Calcular:
72° 32’ + 25° 28’
A) 99° B) 98° C) 78°
D) 94° E) 96°
4. Calcular:
137° 32’ – 96° 25’
A) 41° 17’ B) 41° 27’ C) 41° 37’
D) 41° 07’ E) 40° 39’
5. Si a + b = 32
Calcular a° b’ + b° a’
A) 33° 32’ B) 32° 30’ C) 32°32’
D) 33° 31’ E) 33° 47’
6. En el triángulo. Calcular «x»
x
A) 57° 30’ B) 47° 30 ’ C) 67°30’
D) 27° 30’ E) 45° 30’
7. Calcular el valor del ángulo α
b
a
α
a = 55º 24’
b = 62º 36’
A) 120° B) 119° C) 118°
D) 111° E) 108°
8. Simplificar:
A) 20 B) 18 C) 16
D) 25 E) 22

10
Trigonometría
CAPÍTULO
2 Relación Entre Sistemas
Conversión de Unidades
OBJETIVOS:
a Reconocer el sistema radial y su unidad el radián
a Reconocer al sistema radial como unidad angular del sistema internacional
a Aplicar correctamente la conversión del sistema sexagesimal al radial o viceversa
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR:
Es aquel sistema cuya unidad es el RADIAN, el cual se
define como:
«El ángulo central de una circunferencia que subtiende un
arco cuya longitud es igual al radio».
A
B
r
r
o r
l AB = r
También podemos definir al radián como:
Observaciones:
1. 1 rad < > 57° 17’ 44’’
2. 1 rad > 1°
Conversión entre sistemas
Sabemos que:
m 1 vuelta < > 360° < > 2π rad
Entonces podemos establecer:
Ejemplos:
1. Convertir 45° a radianes
Resolución:
Simplificando:
2. Convertir a grados sexagesimales
Resolución:
Multiplicando:
Simplificando:
36°
Nota
Para los ejercicios de conversión se puede utilizar
el llamado «factor de conversión» formado por la
fracción unitaria.

11
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en clase
R
Convertir a radianes
a) 54° b) 80°
Resolución:
Convertir a sexagesimales
a) b)
Resolución:
Convertir a radianes
α = 45° + 30°
θ = 15° + 60°
Resolución:
Realizar la suma en radianes:
Resolución:

12
hora en tu cuaderno
A
ara reforzar
P
5. Simplificar:
6. Calcular «x» en sexagesimales
x
7. En el triángulo. Calcular α en radianes
α
64º
72º
8. Calcular φ en sexagesimales
φ
1. Convertir:
72° a radianes
A) B) C)
D) E)
2. Convertir a grados sexagesimales:
A) 150° B) 140° C) 135°
D) 160° E) 123°
3. Convertir a radianes:
α = 27° + 63°
A) B) C) π
D) E)
4. Convertir a grados sexagesimales:
A) 80° B) 71° C) 81°
D) 90° E) 72°

13
5. En el triángulo calcular a en radianes:
82º
38º α
A) B) C)
D) E)
6. Reducir:
A) 2 B) 3 C) 5
D) 6 E) 8
7. Convertir en radianes:
β = 125° 25’ + 114° 35’
A) B) C)
D) 2π E)
8. Si :
a + b = 64
Calcular:
a° b’ + b° a’
A) 66° 04’ B) 65° 04’ C) 65° 24’
D) 65° 14’ E) 66° 14’
Los historiadoresconcuerdanenquefueronlosgriegosanterioresaSócrates
losiniciadores delatrigonometría.ATales deMileto,unodelossietesabios
de Grecia, se le atribuye el descubrimiento de cinco teoremas geométricos y
suparticipaciónenladeterminacióndelasalturasdelaspirámidesdeEgipto
utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triángulo.
Hiparco, notable geómetra y astrónomo griego, sistematizó estos
conceptos en una tabla de cuerdas trigonométricas que hoy son la base
de la trigonometría moderna. Por su trabajo se le considera el padre o
fundador de la trigonometría.
Fue el observador más grande de la antigüedad, tanto que su catálogo
estelar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue
superado en precisión solamente en el siglo XVI.
Orígenes de la Trigonometría

14
Trigonometría
CAPÍTULO
Nota
3 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
OBJETIVOS:
a Reconocer los lados del triángulo rectángulo
a Reconocer el teorema de pitágoras
a Aplicar el teorema de pitágoras para el cálculo de la hipotenusa o un cateto
TEOREMA DE PITÁGORAS
Inicialmente se mencionará los lados del triángulo rectángulo.
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
Entonces el Teorema se define como:
«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos».
2 2 2
c =a +b
⇒
Ejemplos:
1. Calcular la hipotenusa del triángulo
2
4
x
Resolución:
Aplicando el teorema de Pitágoras
Al simplificar se obtiene
2. Calcular el cateto del triángulo
x
16
20
Resolución:
Aplicando el teorema de Pitágoras; tenemos:
x = 12
3. Calcular la hipotenusa del triángulo
x
7
2
Resolución:
Aplicando el teorema de Pitágoras:
Entonces: x = 3

15
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en clase
R
Calcular «x» en:
8
6
x
Resolución:
Calcular «y» si:
7
24
y
Resolución:
Calcular «x» si:
10
6 3
x
Resolución:
Calcular «x» si:
16
12
x
15
Resolución:

16
1. Calcular «x» si:
9
12
x
A) 16 B) 10 C) 15
D) 17 E) 18
2. Calcular «y» si:
y
24
25
A) 8 B) 6 C) 9
D) 7 E) 5
hora en tu cuaderno
A
ara reforzar
P
6. Calcular «z»
1
z
2
1
0
13
7. Calcular «AB» si:
15 17
A
5
12
B
8. Calcular «x»:
26
16
x
12

17
3. Calcular «y» si:
y
9
1
7
8
A) 10 B) 11 C) 12
D) 14 E) 13
3
x
5
13
5
A) 14 B) 16 C) 15
D) 10 E) 17
5. Calcular «z» si:
8
Z
4
A) B) C)
D) E)
6. Calcular «AB» si:
A
3
4
B
10
8
A) 12 B) 10 C) 11
D) 13 E) 9
7. Si los catetos de un triángulo rectángulo son 12 y
6. Calcular la hipotenusa.
A) B) C)
D) E) 6
3
2
x
1
A) 4 B) C)
D) E)

18
Trigonometría
CAPÍTULO
4 Razones Trigonométricas I
OBJETIVOS:
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
En trigonométrica nos interesa la forma como vincular
los ángulos con los lados de un triángulo, para lograrlo los
matemáticos inventaron las razones trigonométricas.
La razón trigonométrica de un ángulo se define como el
cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo res-
pecto a un ángulo agudo, también podemos afirmar que
una razón trigonométrica es la comparación de dos lados
del triángulo rectángulo.
Elementos del triángulo rectángulo para la determinación
de las razones trigonométricas:
A
B C
α
c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
En esta primera parte del capítulo definiremos únicamente
las razones seno y coseno: para mejor el aprendizaje del
alumno.
Entonces:
De la figura 1: tenemos:
seno de α =
coseno de α =
Ejemplos:
1. Calcular senα si:
α
5
4
3
Resolución:
Se sabe que:

Ahora:
cat. opuesto = 3
hipotenusa = 5
Por lo tanto:

2. Determinar el cateto opuesto, el cateto adyacente y la
hipotenusa en el triángulo.
φ
c
b
a
a Reconocer el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa en el triángulo rectángulo.
a Definir correctamente las razones trigonométricas seno y coseno.
a Aplicas las razones trigonométricas en el cálculo de distancias.

19
Resolución:
• El cateto b se opone al ángulo φ, entonces cateto
opuesto: b.
• El cateto a está al costado del ángulo φ, entonces
cateto adyacente : a.
• La hipotenusa siempre será el segmento que está
opuesto al ángulo recto (diagonal).
3. Calcular : senφ + cosφ
Si:
φ
13
12
5
Resolución:
Tenemos que:
C.O.
12
φ
5
C.A.
13 (H)
Sabemos que:

Realizamos la operación:
senφ + cosφ

Resolviendo:

4. Calcular E =4 cosα si: cateto adyacente = 9
Hipotenusa = 15
Resolución:
Graficando el triángulo
9
α
15 (H)
C.A.
Sabemos que:
, luego

Resolviendo:

5. Determinar cosφ si:
φ
17
8
Resolución:
Tenemos que:
φ
17
8
a
Sabemos que:

Pero no se conoce «a».
Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos «a»

Reemplazamos a = 15 en (I)

20
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en clase
R
En el triángulo determinar:
α
c
b
a
Cateto opuesto: __________________
Cateto adyacente: __________________
Hipotenusa : _____________________
En el triángulo determinar:
a
b
c
β
Cateto opuesto: __________________
Cateto adyacente: __________________
Hipotenusa : _____________________
Calcular senφ
3
5
φ
8 10
φ
Resolución:
Calcular cosθ:
8
12
θ
6
14
θ
Resolución:

21
hora en tu cuaderno
A
ara reforzar
P
7. Calcular P = senα • cosα
α
3
4
8. Calcular
φ
3
4
5. Calcular senα:
α
13
12
6. Calcular cosφ si:
φ
17
8
1. Calcular senφ:
φ
12
16
20
A) B) C)
D) E)
2. Calcular cosα
α
5
12
13
A) B) C)
D) E)

22
3. Calcular : senφ
φ
12
15
A) B) C)
D) E)
4. Calcular
α
1
5
A) B) C)
D) E)
5. Calcular: E = senα + cosα
α
3
1
A) B) C)
D) E)
6. Calcular P = senφ cosφ
φ
4
2
A) B) C)
D) E)
7. Calcular : senφ Si:
φ
K
4
3 K
2
A) B) C)
D) E)
8. Calcular cosα:
α
9
18
A) B) C)
D) E)

23
Trigonometría
CAPÍTULO
5 Razones Trigonométricas II
OBJETIVOS:
• Reconocer las razones trigonométricas tangente y cotangente.
• Aplicar estas razones para determinar distancias en un triángulo rectángulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Tenemos que:
α
A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de α:
* Cotangente de α:
Ejemplos:
1. Calcular tgα si:
α
6
2
Resolución:
Tenemos que:
C.O.
6
α
2
C.A.
Sabemos que:

Simplificando:
2. Calcular ctgθ si:
θ
8
4
Resolución:
Tenemos que:
C.O.
8
θ
4
C.A.
Sabemos que:

Simplificando
ctgθ = 2

24
3. Calcular tgα • ctgφ Si:
α
3
5
φ
Resolución:
Tenemos que: para α
C.O.
5
α
3
C.A.
Para φ:

C.O.
5
φ
3
C.A
.
Calculando tgα • ctgθ
4. Calcular K= 3tgα Si:
α
6
5
Resolución:
Tenemos que:
C.O.
5
α
6
C.A.
Sabemos que:

Reemplazando en «K»:

Efectuando:
5. Calcular E = 7ctgα si:
α
3
7
Resolución:
Tenemos que:
C.O.
7
α
3
C.A
.

Reemplazando en E:
E = 3

25
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en clase
R
Calcular tgθ si:
θ
12
4
Calcular ctgα si:
α
8
4
Calcular E = tgα + ctgα
α
4
1
Calcular
Resolución: Resolución:
φ
10
5

26
hora en tu cuaderno
A
ara reforzar
P
5. Calcular M = tgα • ctgβ
β
12
5
α
6. Calcular tgα si el perimetro del cuadrado ABCD es
16u.
B
α
A
M
D C
7. De la figura. Calcular tgα + ctgβ si:
α
β
12
4
8
8. Pedro camina por una rampa dándose cuenta que
por cada 1,5 m que avanza en forma horizontal sube
1m. Calcular la pendiente de la rampa.
1. Calcular tgφ Si:
φ
16
4
A) B) C)
D) E)
2. Calcular ctgθ
θ
12
6
A) 1 B) 3 C)
D) 2 E) 10

27
4. Calcular: tgα + ctgα. Si:
α
5
3
4
A) B) C)
D) E)
4. Hallar tgφ si:
φ
13
12
A) B) C)
D) E)
5. Calcular R = tgφ • tgβ
β
5
1
φ
A) B) 1 C)
D) 4 E) 11
6. Calcular ctgθ:
θ
4K
8K
A) B) 3 C) 2
D) E)
7. Calcular : P =3tgθ
θ
18
3
A) 2 B) 3 C)
D) E)
8. Calcular tgφ si ABCD
en un cuadrado cuyo perimetro es 40u.
φ
A) B) 2 C)
D) E)

28
Trigonometría
CAPÍTULO
6 Razones Trigonométricas III
OBJETIVOS:
a Reconocer las razones trigonométricas secante y cosecante.
a Calcular los lados de un triángulo rectángulo usando correctamente las razones trigonométricas sec y sec.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Tenemos que:
α
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de α:
* Cosecante de α:
Ejemplos:
1. Calcular secφ si:
φ
12
8
Resolución:
Se tiene:
φ
8
C.A.
12 (H)
Sabemos que:

2. Calcular : cscα si:
α
4
1
Resolución:
Tenemos:
α
C.O.
1
4(H)

Reemplazando datos:

29
3. Calcular secα si:
α
2
3
Resolución:
Tenemos:
α
3
C.A.
(H)
2
Sabemos que:

Calculemos H utilizando el teorema de Pitágoras:

Reemplazando H en (I)

4. Calcular P = 3cscφ si:
φ
3
5
Resolución:
Tenemos:
φ
3
5
H
Calculemos H. aplicando el T. de Pitágoras:

Reemplazando en P:

5. Calcular en:
φ
5
10
Resolución:
Tenemos:
φ
10
C.A.
H
5
Calculamos H:

Como

30
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en clase
R
Calcular secφ si:
φ
10
3
1
Calcular cscα. Si:
α
5
2
1
Calcular cscα. Si:
α
1
4
Calcular sec2
φ:
φ
5
1

31
hora en tu cuaderno
A
ara reforzar
P
5. Calcular si:
α
4
1
6. Calcular secφ•cscφ.
φ
4
2
7. Calcular : Si ABCD es un cuadrado.
8. Calcular :
φ
8
4
1. Hallar secα:
α
15
12
9
A) B) C)
D) E)
2. Calcular cscφ si:
φ
25
24
A) B) C)
D) E)

32
3. Calcular secα Si:
α
1
5
2
A) B) C)
D) E)
4. Calcular cscφ Si:
φ
3
2
A) B) C)
D) E)
5. Calcular
φ
1
3
A) 12 B) 10 C) 11
D) 14 E) 16
6. Calcular csc2
φ + 2
φ
14
2
A) 8 B) 10 C) 9
D) 7 E) 12
7. Calcular: P=cscφ • secφ
φ
1
3
A) B) C)
D) 3 E)
8. Calcular
α
3
5
A) 3 B) 4 C) 2
D) 5 E) 11

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