Este documento introduce conceptos básicos de lógica matemática como proposiciones, operaciones proposicionales, tablas de verdad, leyes lógicas y cuantificadores. Define una proposición como una oración a la que se le puede asignar un valor de verdad, y clasifica proposiciones en atómicas y moleculares. Explica operaciones proposicionales como negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional a través de sus tablas de verdad y representaciones mediante circuitos eléct

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Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas
1.- PROPOSICIÓN.-
NOCIONES DE LÓGICA MATEMÁTICA
Consideremos las siguientes oraciones:
1.- ¿Qué hora es?
2.- ¡Alto!
3.- Wilsterman es el Campeón Boliviano
4.- Los partidos neoliberales impiden las transformaciones en el País
Son oraciones, interrogativa la primera; imperativa la segunda y las dos ultimas son declarativas.
De las dos primeras no podemos decir que son verdaderas ni falsas, por cuanto una pregunta
puede formularse o no y una orden puede ser cumplida o no. En cambio de las dos ultimas que
son declarativas, tiene sentido decir que son verdaderas o falsas, a estas se denominan
proposiciones.
Entonces:
PROPOSICIÓN, es toda oración respecto de la cual puede decirse s i es verdadera o falsa
o sea esta asociada a un valor de verdad, el cual puede ser verdadero (V) o sino falso (F)
y se las representan mediante las letras p, q, r, s,....
2.- CLASIFICACIÓN
Las proposiciones se clasifican en:
ATÓMICAS, son las que NO utilizan conectivos lógicos o llamados también términos de enlace.
MOLECULARES, son las que SI utilizan conectivos lógicos o términos de enlace.
IMPORTANTE.- A partir de proposiciones simples se pueden generar proposiciones compuestas.
3.- TÉRMINOS DE ENLACE O CONECTIVOS LÓGICOS
CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO
 Negación No p o no es cierto que p
 Conjunción o producto Lógico p y q
 Disyunción o suma Lógica p o q (en sentido incluyente)
 Implicación o Condicional p implica q o si p, entonces q
 Doble implicación p si y solo si q
 Diferencia simétrica p o q (en sentido excluyente)

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4.- OPERACIONES PROPOSICIONALES
IMPORTANTE.- Como consecuencia de estas operaciones el resultado SIEMPRE es otra
proposición.
4.a.- NEGACIÓN.- ()
Se trata de una operación unitaria, por cuanto a partir de una proposición se obtiene otra que es su
negación y cuya tabla de verdad es:
4.b.- CONJUNCIÓN (  )
p  p
V
F
F
V
Es una operación donde intervienen siempre dos proposiciones y cuya tabla de verdad es :
4.c.- DISYUNCIÓN (  )
p  q
V V V
V F F
F
F V
F
F F
Es también una operación que involucra a dos proposiciones y cuya tabla de verdad es:
p  q
V V V
V V F
F
V V
F
F F
Observar que o en sentido incluyente es V, cuando una de las dos proposiciones es verdadera.

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4.d.- IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ()
Definida también para dos proposiciones: p q, donde p es llamado el ANTECEDENTE y q el
CONSECUENTE , cuya tabla de verdad es:
p  q
V V V
V F F
F
V V
F
V F
4.e.- DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL.-(  )
Operación asociada también al juego de dos proposiciones y cuya tabla de verdad es:
4.f.- DIFERENCIA SIMÉTRICA.- (  )
p  q
V V V
V F F
F
F V
F
V F
Llamada también disyunción excluyente, donde la verdad de la operación esta caracterizada por
la verdad de una y solo una de las proposiciones, su tabla de verdad es:
p  q
V F V
V V F
F
V V
F
F F

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5.- VALORES DE VERDAD
Los valores de verdad asociados a las tablas de verdad se denominan:
TAUTOLOGÍA: si todos los valores de verdad de la tabla son Verdaderos
CONTRADICCIÓN: si todos los valores de verdad de la tabla son Falsos
CONTINGENCIA: si los valores de verdad en la tabla son “mezcladitos”
6.- LEYES LÓGICAS
INVOLUCIÓN :  ( p)  p
IDENTIDAD:
p  F  p
V  p  p
IDEMPOTENCIA: p  p  p
p  p  p
CONMUTATIVIDAD:
p  q  q  p
p  q  q  p
p  q  q  p
ASOCIATIVIDAD:
p  ( q  r )  ( p  q )  r
p  ( q  r )  ( p  q )  r
p  ( q  r )  ( p  q )  r
DISTRIBUTIVIDAD:
p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )
p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )
p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )
p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )
LEY DE ABSORCION:
p  F  F
p  V  V
LEY DEL COMPLEMENTO:
p   p  V
p   p  F
LEY * :
p  ( p  q )  p
p  ( p  q )  p

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EQUIVALENTES LÓGICOS:
p  q   p  q
p  q  ( p  q )  ( q  p
)
7.- RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VALIDO
LEYES DE D´MORGAN:
 ( p  q )   p   q
 ( p  q )   p   q
LEY DEL MODUS PONENS:
p  q
p
q
LEY DEL MODUS TOLLENS:
p  q
 q
 p
LEY DEL SILOGISMO
HIPOTÉTICO:
p  q
q  r
p  r
SIMPLIFICACIÓN:
p  q p  q
p q
LEY DEL MODUS TOLLENDO PONENS:
p  q p  q
 p  q
q p
SILOGISMO DISYUNTIVO:
p  q
p  r
q  s
r  s
LEY DE LA CONJUNCION:
p
q
p  q
LEY DE LA ADICION:
p
p  A
LEY ** :
p  ( p  q )  p  q
p  ( p  q )  p  q
LEY DE LA CONTRARECIPROCA:
p  q   q   p

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8.- CUANTIFICADORES
Introducimos la cuantificación asociada a un objeto determinado x, perteneciente a cierto
universo o conjunto expresado mediante los símbolos x llamado cuantificador universal y x
llamado cuantificador existencial en x, entonces:
Para todo x, se verifica P(x) y se denota por  x : P(x)
Existe x, tal que se verifica P(x) y se denota por  x / P(x)
y corresponde a una función proposicional P(x) o propiedad relativa al objeto x cuantificado
universalmente en el primer caso y existencialmente en el segundo caso.
Para negar una función proposicional cuantificada universalmente, se cambia el cuantificador en
existencial y se niega la función proposicional; igualmente para la negación de un cuantificador
existencial, o sea:
9.- CIRCUITOS LÓGICOS
 [ x : P(x) ]   x /  P(x)
 [ x / P(x) ]   x /  P(x)
La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico con
un interruptor, donde el interruptor se cierra, si la proposición p es Verdadera y se abre si p es
Falsa.
Para representar a p si es Verdadera, se tiene:
Para representar a p si es Falsa, se tiene:

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Las operaciones proposicionales de la CONJUNCIÓN y la DISYUNCIÓN, se pueden representar
mediante las conexiones serie y paralelo de los circuitos eléctricos, llamados en lógica, circuitos
lógicos, a saber:
CONJUNCIÓN (  ) : Operación proposicional representada mediante la conexión en
Se puede observar que este circuito admite el pasaje de corriente solo si las dos proposiciones son
verdaderas.
Se verifica que no pasa corriente, para el caso de que ambas proposiciones son falsas.
Agosto del 2014
SERIE de los circuitos eléctricos :
p q
DISYUNCIÓN ( ) : Operación proposicional representada mediante la conexión en
PARALELO de los circuitos eléctricos :
p
q