Notas sobre volatility trading.

1. Expositor: Juan A. Serur
Estrategias Quant y manejo de portafolios
en tiempos de COVID-19

2. Trading de volatilidad
• Consideramos a la volatilidad como un asset class
• Una forma de cuantificar que tan “sobrevaluada” está es comparando la volatilidad implícita (VI)
frente a la volatilidad realizada (VR)
• Vender volatilidad… de forma “pasiva” o “activa”.
• Si volatilidad implícita es alta, implicando que las opciones están “sobrevaluadas”, ¿Porqué no
todo el mundo vende opciones?
• De forma sistemática, el mercado es long volatility (instituciones con posiciones long en
opciones)
• El mercado puede estar descontando eventos extremos! [Sinclair, 2008].

3. Trading de volatilidad
• Short volatilidad -> recolectar primas de forma sitemática, al costo de exponerse a riesgo de
eventos extremos (por ejemplo, COVID-19)
• Long volatilidad -> obtener exposición a un determinado evento, cubrir tail risk events, etc., al
costo de afrontar el carry en el tiempo
• ¿Cómo puedo obtener exposición positiva o negativa a volatilitdad?
• Opciones (no es un vehículo natural)
• Fondos/ETFs/ETNs
• Futuros
• Swaps
• Otros…

4. Volatilidad: Opciones
P&L de una opción siguiendo la expansión de Taylor
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃&𝐿 = 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑃&𝐿 + 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝑃&𝐿 + 𝑇ℎ𝑒𝑡𝑎 𝑃&𝐿 + 𝑉𝑒𝑔𝑎 𝑃&𝐿 + ⋯
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃&𝐿 = 𝜹(Δ𝑆) +
1
2
𝚪 Δ𝑆 2 + 𝜽(Δ𝑡) + 𝑽(Δ𝜎) + ⋯
𝛅: sensibilidad a los cambios en el activo subyacente
𝚪: sensibilidad de 𝛿 (segunda derivada) o sensibilidad a la volatilidad realizada
𝚯: sensibilidad al paso del tiempo
𝑽: sesibilidad a cambios en la volatilidad implícita

5. Volatilidad: Opciones
Delta hedge de una opción: podemos armar una posición delta-hedged de varias formas. Por
ejemplo, una posición long en un call + una posición corta en el subyacente nos da como
resultado
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃&𝐿 =
1
2
Γ Δ𝑆 2
+ 𝜃 Δ𝑡 ;
-150
-100
-50
0
50
100
150
1
13
25
37
49
61
73
85
97
109
121
133
145
157
169
181
193
-20
0
20
40
60
80
100
120
1
13
25
37
49
61
73
85
97
109
121
133
145
157
169
181
193
Como resultado, en un mundo BSM (asumiendo 𝜎 constante, r = 0 e ignorando factores de mayor
orden), tenemos
𝜃 =
1
2
Γ 𝑆2 𝜎2 → 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃&𝐿 =
1
2
Γ 𝑆2
ΔS
𝑆
2
− 𝜎2Δ𝑡

6. Volatilidad: Opciones
La formula del P&L anterior implica que una posición delta-hedged long volatility (Γ > 0) genera
retornos si la volatilidad realizada es mayor a la ímplicita. Lo opuesto ocurre (Γ < 0).
Ejemplo: Long Calls ~30d, ~1m sobre el SPX de forma mensual y realiza delta hedging diario con el subyacente.
=
𝟏
𝟐
𝜞 𝑺 𝟐
𝜟𝑺
𝑺
𝟐
− 𝝈 𝟐
𝜟𝒕
=
𝟏
𝟐
𝜞 𝑺 𝟐
𝜟𝑺
𝑺
𝟐
− 𝝈 𝒕
𝟐
𝜟𝒕 + 𝐕 𝚫𝝈 𝒕

7. Volatilidad: Opciones
Inconvenientes en el uso de opciones como trading de volatilidad:
• Cambios en Delta
• Proceso subyacente con saltos
• Imposible hacer un “hedging continuo”
• La volatilidad es un estimador (¿Qué volatilidad debo usar?)
• Path-dependent debido al Delta hedging discrete y la divergencia en volatilidad

8. Volatilidad: Opciones
“Long Volatility” con Strangles

9. Volatilidad: Opciones
“Short Volatility” con Strangles

10. Volatilidad: VIX
𝑉𝐼𝑋 ≈ 100 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑆𝑤𝑎𝑝
Podemos ver al VIX como el valor esperado de la varianza total del activo subyacente (S&P 500),
lo cual corresponde a la raíz cuadrada de un variance swap sobre dicho activo. Entonces:
VIX como el valor esperado de la varianza total del activo subyacente
𝔼 VT = 𝔼 න
0
𝑇
𝜎2 𝑑𝑡 = 2 න
−∞
0
𝑝 𝑘 𝑑𝑘 + න
0
∞
𝑐(𝑘)𝑑𝑘
En donde 𝑝 𝑘 y 𝑐 𝑘 representan el log-strike de una tira (infinita) de Puts y Calls

11. Volatilidad: VIX
Si reescribimos la ecuación anterior en términos de strikes (en lugar de log-strikes), obtenemos
𝜎2
=
2
𝑇
න
0
𝐹
𝑑𝐾
𝐾2
𝑃(𝐾) + න
𝐹
∞
𝑑𝐾
𝐾2
𝐶(𝐾)
=
2
𝑇
‫׬‬0
𝐾0 𝑑𝐾
𝐾2 𝑃(𝐾) + ‫׬‬𝐾0
∞
𝑑𝐾
𝐾2 𝐶(𝐾) + ‫׬‬𝐾0
𝐹 𝑑𝐾
𝐾2 [𝑃 𝐾 − 𝐶 𝐾 ]
=
2
T
‫׬‬0
∞ dK
K2 Q K −
1
K0
2
K0−F 2
T
Con Q K = 𝑃 𝐾 + 𝐶 𝐾 , y considerando la put-call parity, tenemos que 𝐶 𝐾 − 𝑃 𝐾 = 𝐹 − 𝐾.
Luego, discretizamos y obtenemos el VIX
𝜎2
=
2
𝑇
෍
𝑖
Δ𝐾𝑖
𝐾𝑖
2 𝑄𝑖 𝐾𝑖 −
1
𝑇
F
K0
− 1
2

12. Volatilidad: VIX

13. Volatilidad: VIX Futures

14. Volatilidad: VIX y Variance Futures
Long Call VIX

15. Volatilidad: VIX y Variance Futures
Long call VIX como hedge de un portfolio pasivo en SPY
• 90% SPY + 10% Call VIX, rebalanceo diario

16. Volatilidad: ETNs
Short volatility con ETNs
Muchos de estos instrumentos son de Credit Suisse. Esta semana que va a descontinuar su comercialización. A buscar alternativas o replicarlos!

17. Volatilidad: ETNs
Long volatility con ETNs
Muchos de estos instrumentos son de Credit Suisse. Esta semana que va a descontinuar su comercialización. A buscar alternativas o replicarlos!

18. 20%
15%
10%
5%
0%
-5%
-10%
-15%
-20%
-25%
-15% -10% -5% 5% 10% 15%
ZIV
0%
SPY
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
-20%
-40%
-60%
-15% -10% -5% 5% 10% 15%
TVIX
0%
SPY
Trading de volatilidad: Hedging SPY

19. Replicando un variance swap
• Instrumentos OTC. En teoría podríamos replicar un swap de variance con un strip de opciones
• En la práctica, bancos estructuran estos instrumentos (sobre índices y sobre acciones)
• Comunes para hacer trading de volatilidad, heding, dispersión/correlation trading, etc.
• Tomamos una tira de opciones (el idea seria un continuo en términos de strikes)
• Opciones con bajo strikes, tiene menor Gamma (contribuyen menos en el portfolio)
• Nuestro objetivo es lograr una región de Gamma constante
Volatilidad: Variance Swap

20. Volatilidad: Variance Swap
Replicando un variance swap
Gamma Agregado
Gamma ~constante

21. Volatilidad: Variance Swap
Ver More Than You Ever Wanted To Know About Volatility Swaps. Demeterfi, Derman, Kamal, Zou.
¿Qué implica $Gamma constante?
$Γ =
𝑑2 𝑂
𝑑𝑆2 𝑆2
; si $Gamma es constante,
𝑑2 𝑂
𝑑𝑆2 =
𝑎
𝑆2 → 𝒇 𝒔 = −𝒂𝒍𝒏 𝑺 + 𝒃𝑺 + 𝑪
Es decir, a, b y c son constantes. Entonces, el portfolio de heding es una combinación entre un log-contract,
− 𝒂𝒍𝒏 𝑺 , el underlying asset 𝒃𝑺 y cash 𝑪.