3. La ley de Biot-Savart
El vector dB es perpendicular tanto a
dl (que es un vector que tiene
unidades de longitud y está en la
dirección de la corriente) como del
vector unitario dirigido del elemento
a P
La magnitud de dB es
proporcional a la corriente y a la
longitud dl del elemento.
r
)
∫
×
= 2
ˆ
4 r
rldI
B o
r
r
π
µLa magnitud de dB es inversamente
proporcional a r2, donde r es la
distancia del elemento a P.
4. 2
ˆ
4 r
rlId
Bd o
×
=
r
r
π
µ
La ley de Biot-Savart
r
dx
θ
a
x
µ0 = 4π x 10-7 T m/A. permeabilidad del
espacio libre
( )θdxsenkrld
))r
=×
2
4 r
dxsenI
Bd o
θ
π
µ
=
r
θθ
θθ
θ
θ
dadx
actgx
x
a
a
sen
a
r
2
csc
tan
csc
=
=⇒=
==
∫=
2
1
2
4
θ
θ
θ
π
µ
r
dxsenI
B o
r
6. Campo magnético debido a un alambre
recto
B =
El valor de la constante µ0, llamada la permeabilidad del
espacio libre , es µ0 = 4π x 10-7 T m/A.
µ0
2π
I
r
Distancia perpendicular
del alambre al punto en
el cual B debe ser
determinado.
Corriente en
alambre
7. ( ) 2/322
2
2 ax
Ia
B o
+
=
µ
2
ˆ
4 r
rlId
Bd o
×
=
r
r
π
µ
r
r
r
r
)
= 3
4 r
rlId
Bd o
rr
r ×
=
π
µ
La ley de Biot-Savart
∫
×
= 3
4 r
rldI
B o
rr
r
π
µ
Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular
Las componentes en y de B se anulan
y en x se suman
∫
×
= 3
cos
4 r
rldI
B o
P
θ
π
µ
rr
r
( )
∫∫ =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 33
44 r
adaI
r
r
a
rdl
I
B oo
P
φ
π
µ
π
µr
( ) ( ) ∫∫
+
=
+
=
ππ
φ
π
µφ
π
µ 2
0
2
3
22
22
0
2
3
22
2
44
d
ax
Ia
ax
daI
B oo
P
r
8. Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular
( ) 2/322
2
2 ax
Ia
B o
+
=
µ
a
I
B o
2
µ
=
En el centro del lazo (x = 0):
En puntos muy
lejanos
(x >> a):
3
2 x
B o µ
π
µ
=
( )
2
2
a
I
aIIA
π
µ
πµ
=
==
3
2
2x
Ia
B o
µ
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 23
2
2 ax
a
B o
π
µµ
12. Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Dos alambres que conducen corriente ejercen
fuerzas magnéticas entre sí.
La dirección de la fuerza depende de la dirección de
la corriente.
121 LBIF =
d
I
B
π
µ
2
10
1 =
d
LII
F
π
µ
2
210
1 =
212 LBIF =
d
I
B
π
µ
2
20
2 =
d
LII
F
π
µ
2
210
2 =
13. Corrientes en la
misma dirección
fuerza atractiva.
Corrientes en dirección
opuesta fuerza repulsiva.
14. Ley de Ampere
B dl = µ0Iencl
•
∫
Cualquier trayectoria
cerrada .
La corriente neta a través
de la superficie encerrada
por esta trayectoria cerrada.
El caso general:
15.
16. Ley de Ampère
La integral de línea de B·dl alrededor de cualquier trayectoria
cerrada es igual a µ0I, donde I es la corriente estable total que
pasa a través de cualquier superficie delimitada por la
trayectoria cerrada.
IldB 0µ=•∫
rr
BldlBBdlldB ===• ∫∫∫
rr
Ia
a
I
ldB 0
0
2
2
µπ
π
µ
==•∫
rr
17. El signo viene de la
dirección del lazo y regla
de la mano derecha
Ley de Ampere
Ιl 0µ=•∫
rr
dB
B
I
I
Ιl 02µ=•∫
rr
dB
B
I
I
0=•∫ l
rr
dB
18. B
I
I
El signo viene de la
dirección del lazo y regla
de la mano derecha
Ley de Ampere
Ιl 02µ=•∫
rr
dB
B
I
I
Ιl 02µ−=•∫
rr
dB
B
I
I
Ιl 02µ−=•∫
rr
dB
19. Un conductor largo, cilíndrico es sólido en todas
partes y tiene un radio R . El flujo de las cargas
eléctricas es paralelo a al eje del cilindro y pasa
uniformemente a través de la sección transversal
entera. El arreglo es, en efecto, un tubo sólido de la
corriente I0. Utilizar la ley de ampere para demostrar
que el campo magnético dentro del conductor a una
distancia r del eje es
r
R
I
B 2
0
2π
µ
=
I1
I
IldB 0
µ=•∫
rr
2
1
2
r
I
R
I
J
ππ
== I
R
r
I 2
2
1
=
10
IdlB µ=∫
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= I
R
r
rB 2
2
0
2 µπ I
R
r
B 2
0
2π
µ
=
20. Fuera del toroide (r<R):
00 ==∫ ⋅ IsdB µrr
0=BDentro del toroide:
BsdsBBdssdB =∫=∫=∫ ⋅
rr
NIrB 02 µπ =
r
NI
B
π
µ
2
0
=
Fuera del toroide (r>R):
00 ==∫ ⋅ IsdB µrr
0=B
21. Si suponemos que el solenoide
es muy largo comparado con el
radio de sus espiras, el campo
es aproximadamente uniforme y
paralelo al eje en el interior del
solenoide y es nulo fuera del
solenoide.
BxdlBBdlldB BCBC ===• ∫∫∫
rr
NIBx 0µ=
x
NI
B 0µ
=
nIB 0µ=
22. Resumen
2
0
ˆ
4 r
rds
B
×
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= Id
π
µ
Ley de Biot-Savart
a
I
B
π
µ
2
0
=conductor recto infinito
R
I
B
2
0µ
=Centro de espira circular
R
NI
B
2
0µ
=Centro de N espiras circulares
a
II
l
F
π
µ
2
210
=•Fuerza entre dos alambres
23. Otros ejemplos de campo
magnético
• Interior de alambre recto
• centro de un solenoide toroidal con N vueltas
• Interior del solenoide n vueltas por unidad de longitud
• Ley de Ampere
r
R
I
B 2
0
2π
µ
=
R
NI
B
π
µ
2
0
=
nIB 0µ=
IldB 0µ=•∫
rr
