![UNIVERSIDAD FERMIN TORO
CABUDARE.ESTADO LARA
Apellidos: Alvarado Nombres: Juneiska
Cédula: 21048696 Fecha: 01/08/17
Examen Individual On line I
1. Dada
22
)()(
1
ln),(
byax
yxu
satisface la ecuación 02
2
2
2
y
u
x
u
Solución:
Calculando:
𝛿𝑢
𝛿𝑥
(𝐿𝑛[
1
√( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
]) =
𝛿𝑢
𝛿𝑥
(−
1
2
𝐿𝑛[( 𝑥 − 𝑎)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2]) =
−(𝑥 − 𝑎)
( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
=
=
𝑎 − 𝑥
( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
Calculando nuevamente:
𝛿2
𝑢
𝛿𝑥2
=
−[( 𝑥 − 𝑎)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2] + 2( 𝑥 − 𝑎)2
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
=
[( 𝑥 − 𝑎)2
− ( 𝑦 − 𝑏)2
]
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
Ahora calculamos:
𝛿𝑢
𝛿𝑦
(𝐿𝑛[
1
√( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
]) =
5](https://image.slidesharecdn.com/examenindividualonlinei2017ii2-170801054625/85/examen-individual-on-line-i-2017-ii-2-1-320.jpg)
![𝛿𝑢
𝛿𝑦
(−
1
2
𝐿𝑛[( 𝑥 − 𝑎)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2]) =
−(𝑦 − 𝑏)
( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
=
=
𝑏 − 𝑦
( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
Seguimos:
𝛿2
𝑢
𝛿𝑦2
=
−[( 𝑥 − 𝑎)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2] + 2( 𝑦 − 𝑏)2
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
=
[( 𝑦 − 𝑏)2
− ( 𝑥 − 𝑎)2
]
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
Satisfacer la ec. 02
2
2
2
y
u
x
u
[( 𝑥 − 𝑎)2
− ( 𝑦 − 𝑏)2
]
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
+
[( 𝑦 − 𝑏)2
− ( 𝑥 − 𝑎)2
]
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
=
=
( 𝑥 − 𝑎)2
− ( 𝑦 − 𝑏)2
+ ( 𝑦 − 𝑏)2
− ( 𝑥 − 𝑎)2
[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2
= 0
Por lo tanto satisface la ecuación de Laplace.
2. Si
x
y
z 1
tan verificar que
xy
z
yx
z
yx
z
2
3
2
32
Derivando con respecto a x la función z(x,y):
𝛿𝑧
𝛿𝑥
=
−𝑦
𝑥2 + 𝑦2
Derivando con respecto a y la ecuación anterior:
𝛿2
𝑧
𝛿𝑥𝛿𝑦
=
(𝑦2
− 𝑥2
)
( 𝑥2 + 𝑦2)2
Derivando con respecto a x la primera derivada:](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO CABUDARE.ESTADO LARA Apellidos: Alvarado Nombres: Juneiska Cédula: 21048696 Fecha: 01/08/17 Examen Individual On line I 1. Dada 22 )()( 1 ln),( byax yxu satisface la ecuación 02 2 2 2 y u x u Solución: Calculando: 𝛿𝑢 𝛿𝑥 (𝐿𝑛[ 1 √( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2 ]) = 𝛿𝑢 𝛿𝑥 (− 1 2 𝐿𝑛[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]) = −(𝑥 − 𝑎) ( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2 = = 𝑎 − 𝑥 ( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2 Calculando nuevamente: 𝛿2 𝑢 𝛿𝑥2 = −[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2] + 2( 𝑥 − 𝑎)2 [( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2 = [( 𝑥 − 𝑎)2 − ( 𝑦 − 𝑏)2 ] [( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2 Ahora calculamos: 𝛿𝑢 𝛿𝑦 (𝐿𝑛[ 1 √( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2 ]) = 5
- 2. 𝛿𝑢 𝛿𝑦 (− 1 2 𝐿𝑛[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]) = −(𝑦 − 𝑏) ( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2 = = 𝑏 − 𝑦 ( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2 Seguimos: 𝛿2 𝑢 𝛿𝑦2 = −[( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2] + 2( 𝑦 − 𝑏)2 [( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2 = [( 𝑦 − 𝑏)2 − ( 𝑥 − 𝑎)2 ] [( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2 Satisfacer la ec. 02 2 2 2 y u x u [( 𝑥 − 𝑎)2 − ( 𝑦 − 𝑏)2 ] [( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2 + [( 𝑦 − 𝑏)2 − ( 𝑥 − 𝑎)2 ] [( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2 = = ( 𝑥 − 𝑎)2 − ( 𝑦 − 𝑏)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2 − ( 𝑥 − 𝑎)2 [( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2]2 = 0 Por lo tanto satisface la ecuación de Laplace. 2. Si x y z 1 tan verificar que xy z yx z yx z 2 3 2 32 Derivando con respecto a x la función z(x,y): 𝛿𝑧 𝛿𝑥 = −𝑦 𝑥2 + 𝑦2 Derivando con respecto a y la ecuación anterior: 𝛿2 𝑧 𝛿𝑥𝛿𝑦 = (𝑦2 − 𝑥2 ) ( 𝑥2 + 𝑦2)2 Derivando con respecto a x la primera derivada:
- 3. 𝛿2 𝑧 𝛿𝑥2 = 2( 𝑥𝑦) ( 𝑥2 + 𝑦2)2 Derivando con respecto a y la ecuación anterior: 𝛿3 𝑧 𝛿𝑥2 𝛿𝑦 = 2𝑥(𝑥2 − 3𝑦2 ) ( 𝑥2 + 𝑦2)3 Derivando con respecto a y la función z(x,y): 𝛿𝑧 𝛿𝑦 = 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 Derivando con respecto a y nuevamente: 𝛿2 𝑧 𝛿𝑦2 = −2( 𝑥𝑦) ( 𝑥2 + 𝑦2)2 Por último se deriba nuevamente la ecuación anterior pero con respecto a x: 𝛿3 𝑧 𝛿𝑦2 𝛿𝑥 = −2𝑦(𝑦2 − 3𝑥2 ) ( 𝑥2 + 𝑦2)3 Veremos si satisface la ec. xy z yx z yx z 2 3 2 32 (𝑦2 − 𝑥2 ) ( 𝑥2 + 𝑦2)2 = 2𝑥(𝑥2 − 3𝑦2 ) ( 𝑥2 + 𝑦2)3 + ( −2𝑦( 𝑦2 − 3𝑥2) ( 𝑥2 + 𝑦2)3 ) 2𝑥( 𝑥2 − 3𝑦2) − 2𝑦( 𝑦2 − 3𝑥2) ( 𝑥2 + 𝑦2)3 ≠ (𝑦2 − 𝑥2 ) ( 𝑥2 + 𝑦2)2 No se satisface la ecuación dada 3. El ángulo central de un sector circular es igual a 80° y se desea disminuirlo en 1°.¿en cuanto hay que alargar el radio del sector para que su área no varíe , si su longitud inicial era igual a 20 cm?. Aplique diferencial total (1 ptos)