Plan de clase sobre sistema de ecuaciones trigonométricas.

1. Dirección de Tecnología Educativa
DTE
Ministerio de Educación
Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua
UNAN - LEÓN
Herramientas Científicas y Metodológicas para la Enseñanza de Matemática
Trigonometría Y su Tratamiento Metodológico
Unidad #2: Trigonometría Analítica Modulo: #6
Actividad de cierre: Construyendo planes de clase Tipo: Individual
Tutor: Msc. María Luisa Ruíz Fecha de envió: 15/05/15
Elaborado por: José Orontes Pérez Mayorquín

2. Introducción:
En esta oportunidad resolveré ejercicios propuestos sobre ecuaciones e identidades trigonométricas, después
realizare un plan de clase a través de contenidos propuestos.
Indicador de logro:
 Aplica los conceptos trigonométricos básicos en la solución de ejercicios.
 Diseña, conoce y aplica estrategias y técnicas para el proceso enseñanza – aprendizaje de la
Trigonometría Analítica.
Resultados:
Actividad de cierre: Construyendo planes de clases
I. Transformar cada una de las siguientes expresiones en otras equivalentes en términos de sen
10)
sec
𝑐𝑜𝑡 + tan
=
𝑆𝑒𝑐𝜃
cos 𝜃
sin 𝜃
+
sin 𝜃
cos 𝜃
=
𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑐𝑜𝑠2 𝜃+𝑠𝑖𝑛2 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
=
𝑠𝑒𝑐𝜃
1
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∗
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
1
=
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
∗
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
1
= 𝑠𝑒𝑛𝜃
III. Demostrar las siguientes identidades
10)
𝑡𝑎𝑛 − 𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛3
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
− 𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛3
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛3
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑛𝜃(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛3
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛2
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛2
∗
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠

3. 1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑛2
𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
1
𝑐𝑜𝑠𝜃(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
∗
1
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
≡
𝑠𝑒𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠
30) tan

2
=
1−𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑛
 Realizando cambio de variable
Sea: u=
𝜃
2
∴ 𝑢 = 2𝑢
Tan(u)=
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
cos(𝑢)
=
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
cos(𝑢)
=
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
cos(𝑢)
=
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
cos(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
=
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
Como sen(2x)=2cos(x)sen(x)

2cos(𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
cos(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
=
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

2𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
=
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

2𝑠𝑒𝑛2(𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
=
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
 Como 2sen2
x=1-cos(2x)

4. 
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
=
1−cos(2𝑢)
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
V) Escribe cada una de las expresiones siguientes como función de un ángulo
2) Sen30°cos30° + cos30°sen30°
Sen (𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛(30° + 30°) = 𝑠𝑒𝑛60°
IX) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas para 0    2
tan2x = - tanx
2𝑡𝑎𝑛𝑥
1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
= −
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑡𝑎𝑛𝑥
1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
+
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 0
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
cos(2𝑥)
+
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 0
cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(2𝑥)
cos(2𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
=
0
1
cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(2𝑥) = 0
Ordenando para aplicar identidades
Cos(2x) sen(x)+ sen(2x)cos(x) = 0
Sen (2x+x) = 0
Sen(3x) = 0
3x = 0+ 2𝜋𝑛 → 𝑥 =
2𝜋𝑛
3
3x = 𝜋+ 2𝜋𝑛 → 𝑥 =
𝜋+2𝜋𝑛
3

5. CLASE No.10
Prof José Orontes Pérez Mayorquín
Físico – Matemático
Fecha: 15/05/15
Área: Matemáticas Décimo A:15/05/15
Unidad Nº II: Trigonometria Analítica Décimo B: 18/15/15
Grado: Décimo
Colégio: Carmela Noguera.
Tiempo: 90 min
Frecuencia: 2
Contenido: Sistema de Ecuaciones Trigonométricas
Sumario:- :- Formula trigonométrica
-Actividades de aprendizajes
Indicadores de logros: Determinar con precisión sistemas de
ecuaciones trigonométricas a través actividades de aprendizaje en
la aplicación de las identidades estudiadas previamente.
ESTRATEGIA METODOLOGICA:
1.- Iniciar la clase recordando la importancia de las clases de
reforzamiento para el buen aprendizaje a través de actividades
programadas por el docente.
2.- Aplicar estrategias, de modo que permita a mis estudiantes, el
análisis cognitivo en el sistema de ecuaciones trigonométricas.
3.- Como estrategia principal:
3.1) Participación conjunta en plenario. y/o constructivista.
3.2) Fomentar el trabajo en equipo, la solidaridad y equidad en la
competencia por desempeño.
3.3) Poner atención a las intervenciones del maestro y pedir
aclaraciones si hay dudas.
4.-Como evaluación del bloque de clase: Ejercicios asignados por el
docente en el libro de texto .
4.1) Verificar el uso correcto de los cálculos (antes, durante y después
del desarrollo de mi clase).
5.-Procedimiento de Evaluación:
 Expone y discute en clase los trabajos realizados de
forma individual o en equipos, con respeto, cortesía, tolerancia,
honestidad y creatividad.
 Verificar en las y los estudiantes el dominio de las
identidades trigonométricas básicas.
 Observar y estimular la participación, el respeto, la
responsabilidad, la solidaridad de las y los estudiantes en la
realización de los diferentes ejercicios.
 Muestra respeto y responsabilidad ante sus compañeros y
compañeras al resolver ejercicios y problemas de manera
colectiva.
FICHA DE CONTENIDO
Introducción del tema:
No siempre cuando tenemos sistemas de ecuaciones trigonométricas,
podemos eliminar directamente los senos y/ los cosenos. Realizaremos
algunos ejercicios donde se pueden eliminar directamente y en otros
recuremos al método de sustitución de sistemas de ecuaciones.
Otros de los grandes errores que se cometen es que no se encuentran
todo los ángulos en el sistema, recordemos que es toda una vuelta
entera en la circunferencia.
. Preguntas de exploración.
1) ¿Qué utilidad tiene la TRIGONOMETRIA en la vida diaria?
2) ¿Qué significa la palabra TRIGONOMETRIA?
3) ¿A que llamamos circunferencia Gonio métrica?

6. ACTIVIDAD Nº1: Copiar Formula trigonométricas
ACTIVIDADNº2: Resolver
Ejemplo Nº1:
{
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 90°
EjemploNº2:
PROCEDIMIENTO REALIZACIÓN
1.-Despejamos y en la segunda
ecuación.
y = 90° - x
2.- Sustituyendo en la primera
ecuación.
senx + sen(90° -x) =1
3.- Aplicando identidades,
transformación de suma en
productos.
2sen
𝑥+(90°−𝑥)
2
𝑐𝑜𝑠
𝑥−(90°−𝑥)
2
= 1
4.- Simplificando 2sen45°*cos(x-45°)=1 de donde
Cos(x-45°)=
√2
2
Por tanto x-45°={
45° + 360°𝐾 → 𝑥 = 90° ± 360°𝐾
−45° + 360°𝐾 → 𝑥 = 0° ± 360°𝐾
de donde y = 0° +360°𝐾
y= 90° + 360°𝐾

7. {
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 =
√3 + 1
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 =
√3 − 1
2
PROCEDIMIENTO REALIZACIÓN
5.-sustituyendo
sen(x)=
√𝟑
𝟐
𝒆𝒏 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑵º𝟐
𝑠𝑒𝑛𝑦 =
√3
2
−
√3 − 1
2
6.- reduciendo sen(y)
𝑠𝑒𝑛𝑦 =
√3 − (√3 − 1)
2
𝑠𝑒𝑛𝑦 =
√3 − √3 + 1)
2
𝑠𝑒𝑛𝑦 =
1
2
7.- esto implica que
𝑠𝑒𝑛𝑦 =
1
2
{
𝑦 = 30° ± 360°𝐾
𝑦 = 150° ± 360°𝐾
ACTIVIDADES Nº3:
PROCEDIMIENTO REALIZACIÓN
1) Reducimos los sen(y)
2) Sumamos el lado derecho
de la igualdad.
{
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 =
√3 + 1
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 =
√3 − 1
2
2senx=
√3+1
2
+
√3−1
2
2.- Reducimos el lado derecho de
la igualdad.
2senx=
√3+1+√3−1
2
2senx=
2√3
2
2senx=√3
3.- despejando senx Senx =
√3
2
4.-lo que implica que Senx =
√3
2
{
𝑥 = 60° ± 360°𝐾
𝑥 = 120° + −360°𝐾
5.-sustituyendo
sen(x)=
√𝟑
𝟐
𝒆𝒏 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑵º𝟐
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 =
√3 − 1
2
√3
2
− 𝑠𝑒𝑛𝑦 =
√3−1
2
Bien! llego el momento,
de triangular los
conocimientos
adquiridos…colabora
activamente con tu
grupo y toda saldrá
bien.

8. ACTIVIDADES Nº3: Trabajo en grupo
1) {
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 1
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑦 =
1
2
2) {
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = √2
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑦 =
1
2
Auxiliarse de:
Evaluación: Resolver en casa ejercicios de la actividad Nº3
BIBLIOGRAFIA
1.- Elementos de Álgebra( Tercera Edición-1952)…Colegio Centro América-Granada.
2.- La Biblia de las Matemáticas...... Editorial LEXUS
3.- Libro para el maestro de secundaria--- Comunidad E magíster
4.- Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica-----Swokowski/cole 13ª. Edición.
5.- Trigonometría y Geometría Analítica ---Universidad de TARAPACA (Chile)
6.- Programa de matemáticas 10`-------------MINED
chorotegadirangen@gmal.com
Observaciones: Para reforzar el contenido, de esta clase suscribirse al
Canal de: José Orontes Pérez Mayorquín en You Tube. y/o Faceboo