Este documento presenta un examen de física con 5 preguntas sobre el movimiento de una partícula cuya posición se define por la función rr⃗(tt) = 22tt22ii⃗ − tt33jj⃗. Las preguntas piden calcular la ecuación de la trayectoria, la rapidez, el vector aceleración, los componentes tangencial y normal de la aceleración, y el radio de curvatura para tt = 1 segundo.

1. COLEGIO RETAMAR
1º de Bachillerato. Física
EXAMEN Nº 01
Alumno Nº 1º A Hoja 1. Fecha: 20 de octubre, 2014
1. El vector de posición de una partícula viene dado por 𝒓𝒓�⃗(𝒕𝒕) = 𝟐𝟐𝒕𝒕𝟐𝟐
𝒊𝒊⃗ − 𝒕𝒕𝟑𝟑
𝒋𝒋⃗ 𝒎𝒎. Halla:
a. La ecuación de la trayectoria, 𝒚𝒚(𝒙𝒙). (0,5 p.)
b. La rapidez con la que se mueve para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.)
c. 𝒂𝒂��⃗(𝒕𝒕) para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (0,5 p.)
d. 𝒂𝒂��⃗𝒕𝒕(𝒕𝒕) y 𝒂𝒂��⃗𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒕𝒕) para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.)
e. El radio de curvatura para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.)
a. La ecuación de la trayectoria se haya despejando 𝑡𝑡(𝑥𝑥) y sustituyendo esta expresión
en 𝑦𝑦(𝑡𝑡). Es decir:
𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡) = �
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑡𝑡2
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −𝑡𝑡3� ⇒ 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = �
𝑥𝑥
2
⇒ 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦[𝑡𝑡(𝑥𝑥)] = − ��
𝑥𝑥
2
�
3
= −
𝑥𝑥
3
2
2√2
b. La rapidez de una partícula viene dada por el módulo de su velocidad, |𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)|. Puesto
que
𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟⃗̇ =
𝑑𝑑𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑(2𝑡𝑡2
𝚤𝚤⃗− 𝑡𝑡3
𝚥𝚥⃗ )
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 4𝑡𝑡𝚤𝚤⃗ − 3𝑡𝑡2
𝚥𝚥⃗ 𝑚𝑚/𝑠𝑠
Por tanto,
|𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)| = �16𝑡𝑡2 + 9𝑡𝑡4 ⇒ |𝑣𝑣⃗(1𝑠𝑠)| = 5 𝑚𝑚/𝑠𝑠
c. El vector aceleración es la derivada de la velocidad, es decir:
𝑎𝑎⃗(𝑡𝑡) =
𝑑𝑑𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑2
𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2
= (4𝚤𝚤⃗ − 6𝑡𝑡𝚥𝚥⃗)
𝑚𝑚
𝑠𝑠2
⇒ 𝑎𝑎⃗(1𝑠𝑠) = (4𝚤𝚤⃗ − 6𝚥𝚥⃗)
𝑚𝑚
𝑠𝑠2
d. La aceleración tangencial es la derivada respecto del tiempo del módulo de la
aceleración, es decir:
|𝑎𝑎⃗𝑡𝑡(𝑡𝑡)| =
𝑑𝑑|𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)|
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
16𝑡𝑡 + 18𝑡𝑡3
√16𝑡𝑡2 + 9𝑡𝑡4
=
16 + 18𝑡𝑡2
√16 + 9𝑡𝑡2
𝑚𝑚/𝑠𝑠2
⇒ 𝑎𝑎⃗𝑡𝑡(1𝑠𝑠) =
34
5
𝑚𝑚/𝑠𝑠2
𝑢𝑢�⃗𝑡𝑡
Por lo tanto, como
|𝑎𝑎⃗|2
= |𝑎𝑎⃗𝑡𝑡|2
+ �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐�
2
⇒ �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐�
2
= |𝑎𝑎⃗|2
− |𝑎𝑎⃗𝑡𝑡|2
⇒ �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐(1𝑠𝑠)� = �52 −
342
52
𝑚𝑚
𝑠𝑠2
⇒
⇒ 𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐 = −
12
5
𝑚𝑚
𝑠𝑠2
𝑢𝑢�⃗𝑛𝑛 = −2,4 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
𝑢𝑢�⃗𝑛𝑛
e. El radio de curvatura, para terminar, viene dado por:
�𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐� =
𝑣𝑣2
𝑅𝑅
⇒ 𝑅𝑅 =
𝑣𝑣2
�𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐�
=
125
12
𝑚𝑚
Nota