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COLEGIO RETAMAR
1º de Bachillerato. Física
EXAMEN Nº 01
Alumno Nº 1º A Hoja 1. Fecha: 20 de octubre, 2014
1. El vector de posición de una partícula viene dado por 𝒓𝒓�⃗(𝒕𝒕) = 𝟐𝟐𝒕𝒕𝟐𝟐
𝒊𝒊⃗ − 𝒕𝒕𝟑𝟑
𝒋𝒋⃗ 𝒎𝒎. Halla:
a. La ecuación de la trayectoria, 𝒚𝒚(𝒙𝒙). (0,5 p.)
b. La rapidez con la que se mueve para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.)
c. 𝒂𝒂��⃗(𝒕𝒕) para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (0,5 p.)
d. 𝒂𝒂��⃗𝒕𝒕(𝒕𝒕) y 𝒂𝒂��⃗𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒕𝒕) para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.)
e. El radio de curvatura para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.)
a. La ecuación de la trayectoria se haya despejando 𝑡𝑡(𝑥𝑥) y sustituyendo esta expresión
en 𝑦𝑦(𝑡𝑡). Es decir:
𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡) = �
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑡𝑡2
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −𝑡𝑡3� ⇒ 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = �
𝑥𝑥
2
⇒ 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦[𝑡𝑡(𝑥𝑥)] = − ��
𝑥𝑥
2
�
3
= −
𝑥𝑥
3
2
2√2
b. La rapidez de una partícula viene dada por el módulo de su velocidad, |𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)|. Puesto
que
𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟⃗̇ =
𝑑𝑑𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑(2𝑡𝑡2
𝚤𝚤⃗− 𝑡𝑡3
𝚥𝚥⃗ )
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 4𝑡𝑡𝚤𝚤⃗ − 3𝑡𝑡2
𝚥𝚥⃗ 𝑚𝑚/𝑠𝑠
Por tanto,
|𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)| = �16𝑡𝑡2 + 9𝑡𝑡4 ⇒ |𝑣𝑣⃗(1𝑠𝑠)| = 5 𝑚𝑚/𝑠𝑠
c. El vector aceleración es la derivada de la velocidad, es decir:
𝑎𝑎⃗(𝑡𝑡) =
𝑑𝑑𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑2
𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2
= (4𝚤𝚤⃗ − 6𝑡𝑡𝚥𝚥⃗)
𝑚𝑚
𝑠𝑠2
⇒ 𝑎𝑎⃗(1𝑠𝑠) = (4𝚤𝚤⃗ − 6𝚥𝚥⃗)
𝑚𝑚
𝑠𝑠2
d. La aceleración tangencial es la derivada respecto del tiempo del módulo de la
aceleración, es decir:
|𝑎𝑎⃗𝑡𝑡(𝑡𝑡)| =
𝑑𝑑|𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)|
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
16𝑡𝑡 + 18𝑡𝑡3
√16𝑡𝑡2 + 9𝑡𝑡4
=
16 + 18𝑡𝑡2
√16 + 9𝑡𝑡2
𝑚𝑚/𝑠𝑠2
⇒ 𝑎𝑎⃗𝑡𝑡(1𝑠𝑠) =
34
5
𝑚𝑚/𝑠𝑠2
𝑢𝑢�⃗𝑡𝑡
Por lo tanto, como
|𝑎𝑎⃗|2
= |𝑎𝑎⃗𝑡𝑡|2
+ �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐�
2
⇒ �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐�
2
= |𝑎𝑎⃗|2
− |𝑎𝑎⃗𝑡𝑡|2
⇒ �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐(1𝑠𝑠)� = �52 −
342
52
𝑚𝑚
𝑠𝑠2
⇒
⇒ 𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐 = −
12
5
𝑚𝑚
𝑠𝑠2
𝑢𝑢�⃗𝑛𝑛 = −2,4 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
𝑢𝑢�⃗𝑛𝑛
e. El radio de curvatura, para terminar, viene dado por:
�𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐� =
𝑣𝑣2
𝑅𝑅
⇒ 𝑅𝑅 =
𝑣𝑣2
�𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐�
=
125
12
𝑚𝑚
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  • 1. COLEGIO RETAMAR 1º de Bachillerato. Física EXAMEN Nº 01 Alumno Nº 1º A Hoja 1. Fecha: 20 de octubre, 2014 1. El vector de posición de una partícula viene dado por 𝒓𝒓�⃗(𝒕𝒕) = 𝟐𝟐𝒕𝒕𝟐𝟐 𝒊𝒊⃗ − 𝒕𝒕𝟑𝟑 𝒋𝒋⃗ 𝒎𝒎. Halla: a. La ecuación de la trayectoria, 𝒚𝒚(𝒙𝒙). (0,5 p.) b. La rapidez con la que se mueve para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.) c. 𝒂𝒂��⃗(𝒕𝒕) para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (0,5 p.) d. 𝒂𝒂��⃗𝒕𝒕(𝒕𝒕) y 𝒂𝒂��⃗𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒕𝒕) para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.) e. El radio de curvatura para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.) a. La ecuación de la trayectoria se haya despejando 𝑡𝑡(𝑥𝑥) y sustituyendo esta expresión en 𝑦𝑦(𝑡𝑡). Es decir: 𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑡𝑡2 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −𝑡𝑡3� ⇒ 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥 2 ⇒ 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦[𝑡𝑡(𝑥𝑥)] = − �� 𝑥𝑥 2 � 3 = − 𝑥𝑥 3 2 2√2 b. La rapidez de una partícula viene dada por el módulo de su velocidad, |𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)|. Puesto que 𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟⃗̇ = 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(2𝑡𝑡2 𝚤𝚤⃗− 𝑡𝑡3 𝚥𝚥⃗ ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝑡𝑡𝚤𝚤⃗ − 3𝑡𝑡2 𝚥𝚥⃗ 𝑚𝑚/𝑠𝑠 Por tanto, |𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)| = �16𝑡𝑡2 + 9𝑡𝑡4 ⇒ |𝑣𝑣⃗(1𝑠𝑠)| = 5 𝑚𝑚/𝑠𝑠 c. El vector aceleración es la derivada de la velocidad, es decir: 𝑎𝑎⃗(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑2 𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡2 = (4𝚤𝚤⃗ − 6𝑡𝑡𝚥𝚥⃗) 𝑚𝑚 𝑠𝑠2 ⇒ 𝑎𝑎⃗(1𝑠𝑠) = (4𝚤𝚤⃗ − 6𝚥𝚥⃗) 𝑚𝑚 𝑠𝑠2 d. La aceleración tangencial es la derivada respecto del tiempo del módulo de la aceleración, es decir: |𝑎𝑎⃗𝑡𝑡(𝑡𝑡)| = 𝑑𝑑|𝑣𝑣⃗(𝑡𝑡)| 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 16𝑡𝑡 + 18𝑡𝑡3 √16𝑡𝑡2 + 9𝑡𝑡4 = 16 + 18𝑡𝑡2 √16 + 9𝑡𝑡2 𝑚𝑚/𝑠𝑠2 ⇒ 𝑎𝑎⃗𝑡𝑡(1𝑠𝑠) = 34 5 𝑚𝑚/𝑠𝑠2 𝑢𝑢�⃗𝑡𝑡 Por lo tanto, como |𝑎𝑎⃗|2 = |𝑎𝑎⃗𝑡𝑡|2 + �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐� 2 ⇒ �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐� 2 = |𝑎𝑎⃗|2 − |𝑎𝑎⃗𝑡𝑡|2 ⇒ �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐(1𝑠𝑠)� = �52 − 342 52 𝑚𝑚 𝑠𝑠2 ⇒ ⇒ 𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐 = − 12 5 𝑚𝑚 𝑠𝑠2 𝑢𝑢�⃗𝑛𝑛 = −2,4 𝑚𝑚/𝑠𝑠2 𝑢𝑢�⃗𝑛𝑛 e. El radio de curvatura, para terminar, viene dado por: �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐� = 𝑣𝑣2 𝑅𝑅 ⇒ 𝑅𝑅 = 𝑣𝑣2 �𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐� = 125 12 𝑚𝑚 Nota