Bases teóricas sobre Identidades Trigonométricas

1. UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA
DE SANTA ELENA
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS
“MANUAL Y VIDEO TUTORIAL:
IDENTIDADES TRIGÓNOMETRICAS”
AUTORES:
 DILLON TORAL NADELL NICOLE
 MENOSCAL PERERO MANUEL ENRIQUE
CARRERA:
INGENIERÍA EN PETRÓLEO
PET 20
DOCENTE:
Ing. Carlos Malavé Carrera.
SANTA ELENA
Agosto 2015

2. ÍNDICE GENERAL
1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 1
1.1. OBJETIVOS...................................................................................................... 1
2. ESQUEMA DE CONTENIDO................................................................................. 2
3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS................................................................. 3
3.1. IDENTIDADES CON 1 ANGULO.................................................................. 3
3.1.1. IDENTIDADES COCIENTES ................................................................. 3
3.1.2. IDENTIDADES RECÍPROCAS.............................................................. 3
3.1.3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS............................................................. 3
3.1.4. IDENTIDADES PARES O IMPARES ................................................... 4
3.2. IDENTIDADES CON 2 ANGULOS ............................................................... 4
3.2.1. IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE MEDIDAS DE
ÁNGULOS................................................................................................................. 4
3.2.2. IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLE............................................... 5
3.2.3. IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD................................................... 6
3.2.4. IDENTIDADES DE SUMA PRODUCTO .............................................. 6
3.2.5. IDENTIDADES DE PRODUCTO A SUMA.......................................... 6
4. DEMOSTACIONES DE EJERCICIOS CON IDENTIDADES
TRIGONOMETRICAS..................................................................................................... 7
5. CONCLUSIÓN.......................................................................................................... 9
6. ANEXO ...................................................................................................................... 9
7. BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 10
8. VIDEO TUTORIAL SOBRE LA RESOLUCION DE EJERCICIOS. .............. 10

3. 1
1. INTRODUCCIÓN
La trigonometría es una rama de las matemáticas, que en tiempos antiguos
fue desarrollada por astrónomos griegos, quienes consideraban al cielo
como el interior de una esfera. La aplicación de la trigonometría es muy
extensa aunque su etimología se refiera a mediciones de triángulos. La
trigonometría astronómica fue traslada a las matemáticas por medio de
Regiomontano y mejorado por Copérnico y su alumno Rheticus.
La evolución de la trigonometría ha ido evolucionando, debido a esto es
usada por muchos (Agrimensores, navegantes, ingenieros, etc.). En la
actualidad se la utiliza con distintos fines: corrientes eléctricas, mareas en
los océanos, movimiento pendular, patrones de ondas cerebrales, latidos
de corazón, etc.
1.1. OBJETIVOS
 Demostrar las igualdades trigonométricas empleando las leyes
fundamentales del seno, coseno y tangente.
 Simplificar expresiones con identidades trigonométricas
reemplazantes a ángulos dobles, ángulos mitad, ángulos suma y de
suma a producto.
 Reemplazar expresiones complejas mediantes identidades
fundamentales conocidas.
En esta sección veremos que teniendo una expresión trigonométrica, es
posible simplificarla o deducirla en otra expresión más pequeña similar a la
original, usando las principales identidades trigonométricas entre las cuales
tenemos: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, ángulo
doble, ángulo medio, productos de seno y/o coseno.
Para realizar las identidades trigonométricas es recomendable seguir con
el siguiente proceso:
 Empezar a trabajar con el miembro que contenga las expresión con
mayor grado de dificultad,
 Es de vital importancia el uso de las funciones de seno y coseno.
 Realizar las conversiones necesarias con el fin de que nuestra
expresión sea idéntica a la del otro miembro.

4. 2
2. ESQUEMA DE CONTENIDO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES CON 1
ÁNGULO
IDENTIDADES
CONCIENTES
IDENTIDADES
RECÍPROCAS
IDENTIDADES
PITAGÓRICAS
IDENTIDADES
PARES O
IMPARES
IDENTIDADES CON 2
ÁNGULOS
IDENTIDADES
DE SUMA Y
DIFERENCIA
DE MEDIDAS
DE ÁNGULOS
IDENTIDADES
DE ÁNGULO
DOBLE
IDENTIDADES
DE ÁNGULO
MITAD
IDENTIDADES
DE SUMA A
PRODUCTO
IDENTIDADES
DE
PRODUCTO A
SUMA

5. 3
3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
3.1. IDENTIDADES CON 1 ANGULO
3.1.1. IDENTIDADES COCIENTES
𝐭𝐚𝐧 𝒙 =
𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐜𝐨𝐭 𝒙 =
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝒙
3.1.2. IDENTIDADES RECÍPROCAS
𝐜𝐨𝐭 𝒙 =
𝟏
𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝐬𝐞𝐜 𝒙 =
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐜𝐬𝐜 𝒙 =
𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝒙
3.1.3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS
𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 = 𝟏
A partir de esta identidad y dividiendo por cos2
x y sin2
x, obtendremos lo
siguiente:
sin2 𝑥
cos2 𝑥
+
cos2 𝑥
cos2 𝑥
=
1
cos2 𝑥
 𝐭𝐚𝐧 𝟐
𝒙 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝒙
sin2 𝑥
sin2 𝑥
+
cos2 𝑥
sin2 𝑥
=
1
sin2 𝑥
 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭 𝟐
𝒙 = 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝒙

6. 4
3.1.4. IDENTIDADES PARES O IMPARES
Mediante las graficas de las funciones trigonometricas, podemos deducir
lo siguiente:
𝐬𝐢𝐧 −𝒙 = −𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐜𝐨𝐬 −𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐭𝐚𝐧 −𝒙 = −𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝐜𝐨𝐭 −𝒙 = −𝐜𝐨𝐭 𝒙
𝐬𝐞𝐜 −𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙
𝐜𝐬𝐜 −𝒙 = −𝐜𝐬𝐜 𝒙
3.2. IDENTIDADES CON 2 ANGULOS
3.2.1. IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE MEDIDAS DE
ÁNGULOS
 Seno
𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚
𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚
 Coseno
𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚
𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚
 Tangente
𝐭𝐚𝐧(𝒙 + 𝒚) =
𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝐭𝐚𝐧 𝒚
𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒚
𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝒚) =
𝐭𝐚𝐧 𝒙 − 𝐭𝐚𝐧 𝒚
𝟏 + 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒚

7. 5
3.2.2. IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLE
 Seno
Si tenemos esto:
sin 2𝑥  sin(𝑥 + 𝑥)  sin 𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 sin 𝑥  2 sin 𝑥 cos 𝑥
Entonces:
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙
 Coseno
Si tenemos esto:
cos 2𝑥  cos(𝑥 + 𝑥)  cos 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 sin 𝑥  cos2
𝑥 − sin2
𝑥
Entonces:
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙
Ademas por medio de las identidades pitagoricas, podemos deducir lo
siguiente:
cos 2𝑥 = cos2
𝑥 − sin2
𝑥  cos 2𝑥 = cos2
𝑥 − (1 − cos2
𝑥) 
cos 2𝑥 = cos2
𝑥 − 1 + cos2
𝑥  𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 − 𝟏
De la misma manera:
cos 2𝑥 = cos2
𝑥 − sin2
𝑥  cos 2𝑥 = (1 − sin2
𝑥) − sin2
𝑥 
cos 2𝑥 = 1 − sin2
𝑥 − sin2
𝑥  𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙
 Tangente
Si tenemos esto:
tan 2𝑥 
sin 2𝑥
cos 2𝑥

2 sin 𝑥 cos 𝑥
cos2 𝑥−sin2 𝑥

2 tan 𝑥
1−tan2 𝑥
Entonces: 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 =
𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝟐
𝒙

8. 6
3.2.3. IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD
 Seno
𝐬𝐢𝐧 (
𝒙
𝟐
) = ±√
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟐
 Coseno
𝐜𝐨𝐬 (
𝒙
𝟐
) = ±√
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟐
 Tangente
𝐭𝐚𝐧 (
𝒙
𝟐
) = ±√
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙
3.2.4. IDENTIDADES DE SUMA PRODUCTO
𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝒚 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
) 𝐜𝐨𝐬 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
)
𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒚 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
) 𝐜𝐨𝐬 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
)
𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = −𝟐 𝐬𝐢𝐧 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
) 𝐬𝐢𝐧 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
)
𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
) 𝐜𝐨𝐬 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
)
3.2.5. IDENTIDADES DE PRODUCTO A SUMA
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 =
𝟏
𝟐
[𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) + 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚)]
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒚 =
𝟏
𝟐
[𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) − 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚)]
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 =
𝟏
𝟐
[𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) + 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚)]
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 =
𝟏
𝟐
[𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) − 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚)]

9. 7
4. DEMOSTACIONES DE EJERCICIOS CON
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Ejercicio #1.
𝐭𝐚𝐧 𝒙−𝐜𝐨𝐭 𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝒙+𝐜𝐨𝐭 𝒙
= 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙 − 𝟏
tan 𝑥−cot 𝑥
tan 𝑥+cot 𝑥

sin 𝑥
cos 𝑥
−
cos 𝑥
sin 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
+
cos 𝑥
sin 𝑥

sin2 𝑥−cos2 𝑥
(cos 𝑥)(sin 𝑥)
sin2 𝑥+cos2 𝑥
(cos 𝑥)(sin 𝑥)

sin2 𝑥−cos2 𝑥
sin2 𝑥+cos2 𝑥

sin2
𝑥−cos2 𝑥
1
 sin2
𝑥 − (1 − sin2
𝑥)  sin2
𝑥 − 1 + sin2
𝑥 
2sin2
𝑥 − 1
Ejercicio #2.
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝒙
−
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟏+𝐬𝐢𝐧 𝒙
= 𝐭𝐚𝐧 𝒙
1
cos 𝑥
−
cos 𝑥
1+sin 𝑥

(1+sin 𝑥)−(cos2 𝑥)
(cos 𝑥)(1+sin 𝑥)

1+sin 𝑥−(1−sin2
𝑥)
(cos 𝑥)(1+sin 𝑥)

1+sin 𝑥−1+sin2
𝑥
(cos 𝑥)(1+sin 𝑥)

sin 𝑥+sin2 𝑥
(cos 𝑥)(1+sin 𝑥)

(sin 𝑥)(1+sin 𝑥)
(cos 𝑥)(1+sin 𝑥)

sin 𝑥
cos 𝑥
 tan 𝑥
Ejercicio #3.
𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙 =
𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙
𝟏+𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙
1−tan2 𝑥
1+tan2 𝑥

1−
sin2 𝑥
cos2 𝑥
1+
sin2 𝑥
cos2 𝑥

cos2 𝑥−sin2 𝑥
cos2 𝑥
cos2 𝑥+sin2 𝑥
cos2 𝑥

cos2 𝑥−sin2 𝑥
cos2 𝑥+sin2 𝑥

(1−sin2 𝑥)−sin2 𝑥
1

1 − sin2
𝑥 − sin2
𝑥  1 − 2sin2
𝑥

10. 8
Ejercicio #4.
𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟐𝒙(𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙)
𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙
= 𝟒𝐬𝐢𝐧 𝟒
𝒙
sin2 2𝑥(1−cos 2𝑥)
1+cos 2𝑥

(2sin 𝑥 cos 𝑥)2(1−(cos2 𝑥−sin2 𝑥))
cos2 𝑥−sin2 𝑥

4 sin2 𝑥 cos2 𝑥(1−cos2 𝑥+sin2 𝑥)
1+cos2 𝑥−sin2 𝑥

4 sin2 𝑥 cos2 𝑥(1−cos2 𝑥+sin2 𝑥)
1−sin2 𝑥+cos2 𝑥

4 sin2 𝑥 cos2 𝑥(sin2 𝑥+sin2 𝑥)
cos2 𝑥+cos2 𝑥

4 sin2 𝑥 cos2 𝑥(2sin2 𝑥)
2cos2 𝑥

4 sin4
𝑥
Ejercicio #5.
𝟏 + 𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝒙
= 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒙 + 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙
sec 2𝑥 + tan 2𝑥 
1
cos 2𝑥
+
sin 2𝑥
cos 2𝑥

1+sin 2𝑥
cos 2𝑥

(sin2 𝑥+cos2 𝑥)+(2 sin 𝑥 cos 𝑥)
cos2 𝑥−sin2 𝑥

sin2 𝑥+2 sin 𝑥 cos 𝑥+cos2 𝑥
(cos 𝑥−sin 𝑥)(cos 𝑥+sin 𝑥)

(cos 𝑥+sin 𝑥)2
(cos 𝑥−sin 𝑥)(cos 𝑥+sin 𝑥)

cos 𝑥+sin 𝑥
cos 𝑥−sin 𝑥

cos 𝑥+sin 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥−sin 𝑥
cos 𝑥

cos 𝑥
cos 𝑥
+
sin 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
−
sin 𝑥
cos 𝑥

1+tan 𝑥
1−tan 𝑥

11. 9
5. CONCLUSIÓN
Para poder realizar un identidad trigonometrica, solo debe alterarse uno de
sus miembros con el fin de mediante las leyes fundamentales, nos de igual
al miembro del otro lado, el cual no debe alterarse de ninguna manera.
Para que nuestro proceso sea mas facil. Recomendaremos lo siguiente:
 Recordar las identidades trigonometricas fundamentales
(seno,coseno y tangente).
 Cualquier razon trigonometrica puede ser reemplazada por otra
razon trigonometrica equivalente a la misma.
 Las expresiones realizadas en el miembro donde realizaremos la
igualdad, deben realizarse en base a las razones del otro miembro.
 Se debe evitar el uso de radicales.
 Antes de realizar un reemplazo, debemos fijarnos en las posibles
simplificaciones que tendra dicho cambio.
6. ANEXO

12. 10
7. BIBLIOGRAFÍA
ESPOL Instituto de Ciencias Matematicas - ICM. (2006). Fundamentos De
Matemáticas Para Bachillerato - ESPOL. Guayas - Ecuador:
Poligrafica C.A.
Freddy Catro Santander, M. C. (1999). TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA
ANALITICA PARA LAS CARRERAS DE INGENIERIA . Arica -
Chile.
Julio Ríos - Canal de YouTube "JULIOPROFE" - Sección Trigonometría:
https://www.youtube.com/user/julioprofe/playlists
Canal de YouTube "TareasPlus" - Sección Identidades Trigonométricas
Complejas: https://www.youtube.com/user/Tareasplus/playlists
8. VIDEO TUTORIAL SOBRE LA RESOLUCION DE
EJERCICIOS.
https://www.youtube.com/watch?v=hV9sNK2TxMU