1. ECUACIONES
CUADRÁTICAS
(SEGUNDA PARTE)
Prof. Silvina Acquaviva

2. ECUACIONES CUADRÁTICAS
COMPLETAS
Este grupo de ecuaciones se caracterizan por tener
tres términos: uno cuadrático ( x 2 ) , otro lineal ( x)
y otro independiente (sin variable x)
La ecuación tiene la forma de
ax + bx + c = 0
2
Donde:
“a” es el coeficiente cuadrático
“b” el coeficiente lineal
“c” es el término independiente
Debe estar
igualada a
CERO

3. Para resolver este tipo de ecuaciones
existen varios métodos.
En este curso estudiaremos, el que es más fácil
y tiene uso cotidiano: aplicando una fórmula de
resolución general:
−b ± b − 4.a.c
=
2.a
2
x(1,2)
NO TE
ASUSTES!!!
que no es
difícil

4. Ejemplo 1:
Resolver x + 4 x + 3 = 0
2
Definimos a = +1 , b =+ 4 , c = +3 (son los números que aparecen, llamados coeficientes,)
Reemplazamos en la fórmula
x(1,2)
−b ± b 2 − 4.a.c −4 ± 42 − 4.1.3 −4 ± 16 − 12 −4 ± 4 −4 ± 2
=
=
=
=
=
2.a
2.1
2
2
2
Sumando el
valor 2
−4 + 2 −2
x1 =
=
= −1
2
2
Restando el
valor 2
Las dos
soluciones se
obtienen + y –
el valor de la
raíz
x2 =
−4 − 2 −6
=
= −3
2
2

5. TIPS QUE HAY QUE
TENER EN CUENTA


La ecuación debe estar igualada a cero antes de aplicar la
fórmula
“-b” → implica que el coeficiente lineal cambia de signo.

En la expresión: b 2 − 4.a.c hay que tener en cuenta
que debajo del radical hay dos términos, una potencia y un
producto que resta. Cuidado Con el manejo de signos !!

Las dos soluciones se obtienen al sumar y al restar el valor
de la raíz.

6. Algunos ejemplos de resolución de
ecuaciones cuadráticas completas

Ejemplo 1

Ejemplo 2 2 x 2 + 4 x −6 = 0

Ejemplo 3
x2 − 6 x = 0
solución
Ejemplo 4
x2 − 6x + 9 = 0
solución

x 2 − x −2 = 0
solución
solución

7. x − x −2 = 0
2
a = 1 , b = -1 y
Sustituyendo en la fórmula los coeficientes:
−b ± b − 4.a.c
=
=
2.a
2
x(1,2)
1±
( −1)
2
− 4.1. ( −2 )
2.1
=
c =-2
1± 1+ 8 1± 9 1± 3
=
=
2
2
2
Cuidado!!
1+ 3 4
x1 =
= =2
2
2
Las dos soluciones son
con “ -b “
1 − 3 −2
x2 =
=
= −1
2
2
x1 = 2
volver
x2 = −1

8. 2x + 4x − 6 = 0
2
Sustituyendo en la fórmula los coeficientes:
x(1,2)
a =2 , b = 4 y
c =-6
2
−b ± b 2 − 4.a.c −4 ± 4 − 4.2. ( −6 ) −4 ± 16 + 48 −4 ± 64 −4 ± 8
=
=
=
=
=
2.a
2.2
4
4
4
Cuidado!!
−4 + 8 4
x1 =
= =1
4
4
Las dos soluciones son
con
“ -b “
x2 =
−4 − 4 −8
=
= −2
4
4
x1 = 1
volver
x2 = −2

9. x −6 x = 0
2
Sustituyendo en la fórmula los coeficientes:
x(1,2)
−b ± b 2 − 4.a.c 6 ±
=
=
2.a
x1 =
( −6 )
2
− 4.1.0
2.1
6 + 6 12
= =6
2
2
También puede
usarse la
fórmula para
incompletas
a = 1 , b = -6 y
c =0
6 ± 36 − 0 6 ± 36 6 ± 6
=
=
=
2
2
2
6−6 0
x2 =
= =0
2
2
x1 = 6
Las dos soluciones son
volver
x2 = 0

10. x −6x +9 = 0
2
Sustituyendo en la fórmula los coeficientes:
−b ± b − 4.a.c
=
=
2.a
2
x(1,2)
x1 =
6±
( −6 )
2
− 4.1.9
2.1
6+0 6
= =3
2
2
Las dos soluciones son
=
a = 1 , b = -6 y
c =9
6 ± 36 − 36 6 ± 0 6 ± 0
=
=
2
2
2
6−0 6
x2 =
= = −3
2
2
x1 = 3
volver
x2 = 3
Las soluciones
pueden ser
IGUALES

11. Resuelve los siguientes ejemplos

a)

b) −2 x 2 + 5 x + 12 = 0

c)

d) 2 x 2 − 20 x + 50 = 27
x − x − 20 = 0
2
x − 7x = 0
2
SOLUCIONES

12. Soluciones (en caso de error volver a la página del ejemplos)


x1 = 5
a) x 2 − x − 20 = 0
x2 = −4
b) −2 x 2 + 5 x + 12 = 0
x1 =−1.5
x2 = 4


c) x 2 − 7 x = 0
x1 = 0
x2 = 7
d) 2 x 2 − 20 x + 50 = 0
x1 = x2 = 5
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