Unidad numero 4

1. UNIDAD 4
A)- Retome el SEL de la Actividad2Cy cambie de modelomatemático.Estoes:
1. Escriba suforma matricial AX=B.
2. Escriba suforma vectorial.Verbalice el simbolismocomoestáhechoenlosejemplosdel
material de lecturaobligatoriodigital (para observarsugradode comprensión).
3. Exprese el conjuntosoluciónentérminosde vectores,identifiqueunabase de vectores
para dichoconjunto.
4. Identifique unvectorBque pertenezcaal espaciogeneradoporlascolumnasde A.
5. Identifique unvectorBque no pertenezcaal espaciogeneradoporlascolumnasde A.
Actividad2C
Se dispone de trescomprimidoscuyocontenidoenvitaminasA,ByC son losmostradosen
la siguientetabla.
%vit A %vit B %vit C
Compr 1 2 3 0
Compr 2 3 0 2
Compr 3 0 1 2
Si diariamente se debeingerirun19% de vitaminaA,un 21% de vitaminaBy 18% de
vitaminaC. ¿Cuántoscomprimidosdiariosde cadatipose debe consumir?
Nosdamos cuentaque vamosa tener3 variables.
X= cantidadde comprimido1a ingerir
y= cantidadde comprimido2a ingerir
Z= cantidadde comprimido3a ingerir
1)- Escribasu forma matricial AX=B
AX=B [
2 3 0
3 0 1
0 2 2
] ∗ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
19
21
18
]
2)- Escribasu forma vectorial.Verbalice el simbolismocomoestáhechoenlosejemplos
del material de lecturaobligatoriodigital(paraobservarsugradode comprensión).

2. [
2
3
0
]. 𝑋 + [
3
0
2
] . 𝑌 + [
0
1
2
]. 𝑍 = [
19
21
18
]
Resultaque el vectorB escombinaciónlineal de losvectorescolumnade A.
Tambiénse dice que B pertenece al espaciogeneradoporlosvectorescolumnade la
matrizA. B ∈ Gen{𝐴1,… 𝐴 𝑛 }
donde A sub i denotala columnai de A,porque B se lo obtiene comosumade múltiplos
escalaresde lascolumnasde A.
Donde el primervectorcontiene el porcentaje de vitaminasdel comprimido1,el segundo
vectorel porcentaje de vitaminasdel comprimido2,el tercervectorel porcentaje de
vitaminasdel comprimido3y el vectorde la extremaderecha (4) el porcentaje que se
debe tomardiariode cada vitamina.
3)- Exprese el conjuntosoluciónentérminosde vectores,identifique unabase de vectores
para dichoconjunto.
𝑆 = (
5
3
6
)
Base de vectores.
𝑉1[2 [
1
0
0
] + 3 [
0
1
0
] + 0 [
0
0
1
]]
𝑉2[3 [
1
0
0
] + 0 [
0
1
0
] + 2 [
0
0
1
]]

3. V3[0[
1
0
0
] + 1[
0
1
0
] + 2 [
0
0
1
]]
4)- IdentifiqueunvectorB que pertenezcaal espaciogeneradoporlascolumnasde A.
[
0
0
0
] pertenece al espaciogeneradoporlascolumnasde A,yaque es nulo(cualquierade los
vectoresmultiplicadoporunescalar)
[
5
3
2
] Pertenece yaque eslasuma de la columna1, mas la columna2.
[
2
4
2
]Pertenece yaque eslasuma de la columna1, mas lacolumna3.
5)-Identifique unvectorBque no pertenezcaal espaciogeneradoporlascolumnasde A.
[
0
0
8
] NO pertenece al espaciogeneradoporlascolumnasde A,ya que no podesobtenerlo
multiplicandoningunoporunescalar,ni sumandovectoresque si pertenecen,ni combinando
estasdos operaciones.
B)- Retome el SEL de la Actividad 4B y cambie de modelo matemático. Esto es:
1. Escriba su forma matricial AX=B.

4. 2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los
ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de
comprensión).
3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de
vectores para dicho conjunto.
4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de
A.
5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas
de A.
ENUNCIADO
Un adulto debe ingerir diariamente un 19% de vitamina A, un 21% de vitamina
B y 18% de vitamina C. Se dispone de tres tipos de comprimidos cuyo
contenido en vitaminas A, B y C son los mostrados en la siguiente tabla.
¿Cuántos comprimidos diarios de cada tipo deberá consumir?
%VITA %VITB % VITC % Otroscomponentes
Compr. I 20 30 0 50
Compr. II 30 0 20 50
Compr. III 0 10 20 70
porcentaje de vitamina A, a partir de los 3 comprimidos, que debemos ingerir
en el dia = %19vitA :
20x + 30y + 0 = 19
porcentaje de vitamina B, a partir de los 3 comprimidos, que debemos ingerir
en el dia = %21vitB :
30x + 0y + 10z = 21
porcentaje de vitamina C, a partir de los 3 comprimidos, que debemos ingerir
en el dia = %18vitC :
0x + 20y + 20z = 18

5. 1)- Escriba su forma matricial AX=B.
[
20 30 0
30 0 10
0 20 20
][
𝑋
𝑌
𝑍
] = [
19
21
18
]
2)- Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los
ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de
comprensión).
[
20
30
0
]. 𝑋 + [
30
0
20
] . 𝑌 + [
0
10
20
]. 𝑍 = [
19
21
18
]
El primervectorcontiene el porcentajede vitaminasdel comprimido1,el segundovectorel
porcentaje de vitaminasdel comprimido2,el tercervectorel porcentaje de vitaminasdel
comprimido3y el vector de la extremaderecha(4) el porcentaje que se debe tomardiariode
cada vitamina.
3)- Exprese el conjuntosoluciónentérminosde vectores, identifique unabase de vectorespara
dichoconjunto.
𝑆 = (
0.5
0.3
0.6
)
Al ser un únicovectorno debohallarbase
4)- IdentifiqueunvectorB que pertenezcaal espaciogeneradoporlascolumnasde A.
[
50
30
20
] Pertenece yaque eslasuma de la columna1, mas la columna2.
[
0
0
0
] pertenece al espaciogeneradoporlascolumnasde A,yaque es nulo(cualquierade los
vectoresmultiplicadoporunescalar)

6. 5)-Identifique unvectorBque no pertenezcaal espaciogeneradoporlascolumnasde A.
[
8
1
10
] NO pertenece al espaciogeneradoporlascolumnasde A,ya que no podesobtenerlo
multiplicandoningunoporunescalar,ni sumandovectoresque si pertenecen,ni combinando
estasdos operaciones.
C)-Retome la Actividad 3B, aquella en que identificó los vértices de la letra N para modificar su
posiciónenel planomultiplicandomatrices, ycambie el modelomatemático.Lopensarácomouna
transformaciónlineal:
1. Identifique la primera transformación lineal que identificaremos por T.
𝑇 = [
1 0
𝐾 1
] (𝑘 = 1/2
2. Identifique el espaciode salidayel de llegada.
T: 𝑅2 − −→ 𝑅2
Espaciode salidaR^2. Espacio de llegada R^2
3. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.
[
𝑋
𝑌
]
4. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.
[
𝑋
1
2
𝑋 + 𝑌
]

7. 5. Repita 1) 2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.
S=[
1 𝐾
0 1
] (K =0.75)
2)-
Espaciode salidaR^2. Espaciode llegadaR^2
[
𝑋
𝑌
] − −→ [1
3
4
0 1
] .[
𝑋
𝑌
] = [ 𝑋 +
3
4
𝑌
0𝑋 + 𝑌
]
S: 𝑅2 − −→ 𝑅2
3)- Vectorenespaciode salida: [
𝑋
𝑌
]
4)- Vectorenespaciode llegada: [ 𝑋 +
3
4
𝑌
𝑌
]
6. Repita1) 2), 3) y 4) para lacomposiciónde ambastransformacioneslinealesque
identificaremospor.So T
[
1 0
1
2
1
]. [
𝑋
𝑌
] = [
𝑋
1
2
𝑋 + 𝑌
]
[1
3
4
0 1
] ∗ [
𝑋
1
2
𝑋 + 𝑌
] = [
11
8
+
3
4
1
2
+1
] = [
11
8
𝑋 +
3
4
𝑌
1
2
𝑋 +1𝑌
]
Espaciode salidaR^2. Espaciode llegadaR^2
[
𝑈
𝑉
] − −→ [
11
8
𝑈 +
3
4
𝑉
1
2
𝑈 +1𝑉
]
Vector en el espacio desalida: [
𝑈
𝑉
]
Vectorenel espaciode llegada: [
11
8
𝑈 +
3
4
𝑉
1
2
𝑈 +1𝑉
]
7. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que
identificaremospor T o S .

8. [1
3
4
0 1
] . [
𝑋
𝑌
] = [1𝑥 +
3
4
𝑌
0𝑥 +1𝑌
]
[
1 0
1
2
1
] ∗ [1𝑥 +
3
4
𝑌
0𝑥 +1𝑌
] = [
1𝑥 +
3
4
𝑌
1
2
𝑥 +
11
8
𝑌
]
[
𝑈
𝑉
] *[1 +
3
4
0 +1
]= [1𝑈 +
3
4
𝑉
0𝑈 +1𝑉
]
Vectorenespaciode salida: [
𝑈
𝑉
]
Vectorenespaciode llegada: [1𝑈 +
3
4
𝑉
0𝑈 +1𝑉
]
8. Repita1) 2), 3) y 4) para latransformacióninversade T.
T= [
1 0
1
2
1
]
[
𝑥
𝑦] —→ [
1 0
−
1
2
1
]* [
𝑥
𝑦] = [
1𝑥 + 0𝑦
−
1
2
𝑥 + 1𝑦
]
Espaciode salida:R^2 . Espacio de llegadaR^2
Vectorenel espaciode salida: [
𝑥
𝑦]
Vectorenespaciode llegada: [
𝑥
−
1
2
𝑥 + 𝑦
]

9. D)-
Seleccione consugrupo una matrizde la lista.A partir de estamatriz construya una
transformaciónmatricial (transformaciónlineal –TL-) asociada.Luego explicite:(seamuy
cuidadosoconla simbologíamatemática):
Matriz A= [
1 0 0
1 2 0
0 2 2
]
a) El vectorgenéricoTX.
T: 𝑅3−→ 𝑅3
[
𝑋
𝑌
𝑍
]−→ [
1 0 0
1 2 0
0 2 2
] ∗ [
𝑋
𝑌
𝑍
] = [
1𝑥 +0𝑦 +0𝑧
1𝑥 +2𝑦 +0𝑧
0𝑥 +2𝑦 +2𝑧
]=[
𝑥
𝑥 + 2𝑦
2𝑦 + 2𝑧
]
b) El núcleode estaTL.
NuT=(X€ 𝑅3|AX=0)
[
1 0 0
1 2 0
0 2 2
] ∗ [
𝑋
𝑌
𝑍
] = [
0
0
0
]
Si el determinante noes0 admite unasolasolucion  X = 0

10. Si la matrizA tiene inversa X= 0
C)-
det([
1 0 0
1 2 0
0 2 2
] − 𝑘.[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]) = 0
𝐷𝑒𝑡([
1 0 0
1 2 0
0 2 2
] − [
𝑘 0 0
0 𝑘 0
0 0 𝑘
] = 0
det([
1 − 𝑘 0 0
1 2 − 𝑘 0
0 2 2 − 𝑘
]) = 0
−𝑘3 + 5 ∗ 𝑘2 − 8 ∗ 𝑘 + 4

11. por ende tenemoscomoraícesa =+1, +2, +2
d) Una base de los auto vectores asociadosacada autovalor.
Además:
Para K = 1
( 𝐴 − 1. 𝐼) 𝑥 = 0
[
1 0 0
1 2 0
0 2 2
] − [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] = [
0 0 0
1 1 0
0 2 1
]

12. Gen {[
1
2
−
1
2
1
] = 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑢𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐾 = 1
Para valorK = 2
( 𝐴 − 2. 𝐼) 𝑥 = 0
[
1 0 0
1 2 0
0 2 2
] − [
2 0 0
0 2 0
0 0 2
] = [
−1 0 0
1 0 0
0 2 0
]

13. Gen {[
0
0
0
] = 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑢𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐾 = 2
e) Grafique cada vectorde cada base y también grafique cadaespaciogenerado.
f) Analice si A es diagonalizable.Encaso de serlo construya P y D que hacen verdaderala
igualdad.Parapensar: ¿Cómoy con qué informaciónse construyendichasmatrices?
A=P.D.𝑃−1
A no esdiagonalizable yaque el determinante de P= 0
h) Plantee la transformacióninversa
𝐴 = [
1 0 0
1 2 0
0 2 2
]
La inversa: