Probabilidad y estadistica

P I A P R O B A B I L I D A D Y
E S TA D Í S T I C A

• Universidad Autónoma de Nuevo León
• Facultad de Ingeniería Mecánica y
Eléctrica
• Nombre: David Emilio Zetina Colorado
• Matrícula:1942715
• Carrera: IMTC
Materia: Probabilidad y estadística
Contenido: Apuntes y tareas
Profesor: M.C Martin Luna Lázaro
Semestre: enero-junio 2019
Hora: M6
Frecuencia: LMV
Salón: 4108

CONCEPTOS BÁSICOS DE
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
• Estadística descriptiva: La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números
obtenidos al contar o medir las cosas. Los cuales se deben recolectar, organizar, resumir, presentar,
hallar regularidades, y así como analizarlos. De esto se encarga la estadística descriptiva. La
descriptiva se encarga de la recolección, organización, presentación y análisis de los datos de la
población.
• Diagrama Tallo-Hoja: Es una manera de concentrar datos, el procedimiento consiste en lo siguiente:
si los números de los datos están formados por dos dígitos, se hace una columna con el primer
(las decenas) de los datos y a la derecha de cada una de ellas se escribe en fila, solo el segundo
(las unidades) de cada uno de los datos que tengan el mismo primer digito.
• Rango: El rango, también llamado recorrido, muestra la amplitud de los datos y se obtiene
mediante la diferencia entre el valor mayor y el menor de los datos. Se representa con la letra R.
R=valor mayor-valor menor. Es la distancia que hay entre los dos valores extremos del conjunto de
datos.

• Numero de clase: En ocasiones es conveniente acomodar los datos en pequeños
grupos de igual tamaño, llamados intervalos de clase. Cuando se agrupan los datos, el
numero de intervalos, por lo general, es de 5 a 10. Su numero adecuado dependerá de
características de los datos y de la experiencia que tenga la persona que las analiza.
K=1+3log(n) donde k es el numero aproximado de clases y n el numero de datos.
• Anchura del intervalo: La distancia que hay entre el limite inferior y limite superior, por lo
que el tamaño del intervalo no se refiere a la cantidad de datos que lo forman. Su
puede variar según sea el numero de valores que forman la variable, pero todos los
intervalos de clase deben tener el mismo tamaño. Puede variarse no solo para tener
puntos medios mas fáciles de operar, también puede modificarse para tener una mejor
perspectiva del conjunto de datos.
• Tabla de frecuencias: Cuando se tienen ordenados los datos, estos se acomodan en una
tabla de frecuencias. La tabla de frecuencias es básicamente una tabla de valores x-y,
donde la “x” representa al dato y la “y” representa las frecuencias. La frecuencia es el
numero de veces con que se presenta cada dato.

• Desviación estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza. Se representa con “Ϭ”, sin es
varianza de población, o con “s”, si se trata de la varianza de una muestra de la
Para calcular la desviación estándar de una población, se usa la siguiente formula:
• Varianza: La varianza de un conjunto de datos es un estadístico que representa la
variación que tienen los datos respecto a la media. Se representa con s al cuadrado, si
trata de varianza de una muestra o con Ϭ al cuadrado, si es la varianza de la población.
• Moda: La moda es el valor que se repite con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
Puede no existir, o bien, en caso de existir, puede haber uno o mas valores que
representen a la moda.
• Mediana: La mediana es el valor que se ubica en la mitad de los datos cuantitativos
cuando éstos han sido ordenados en forma ascendente.
Mediana en datos agrupados → Mediana = Li +
Li = limite inferior que contiene a la mediana, n = total de datos, fi = frecuencia del
intervalo que contiene a la mediana, y fi-1 = suma de las frecuencias al intervalo que
contiene a la mediana.

-1
. fi
• Desviación estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza. Se representa con “Ϭ”, sin es
varianza de población, o con “s”, si se trata de la varianza de una muestra de la
población. Para calcular la desviación estándar de una población, se usa la siguiente
formula:
• Varianza: La varianza de un conjunto de datos es un estadístico que representa la
variación que tienen los datos respecto a la media. Se representa con s al cuadrado, si
se trata de varianza de una muestra o con Ϭ al cuadrado, si es la varianza de la
población.
Para calcular la varianza, se utiliza la formula:
Para calcular la varianza de datos de una muestra representativa de la población se usa la
siguiente formula:
Si se debe calcular la varianza a partir de una tabla de frecuencia, se utiliza la siguiente
formula:

• Asimetría: Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyeron de forma
uniforme alrededor del punto central. El coeficiente de asimetría, se representa
mediante la ecuación matemática:
• Curtosis: Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores
en la región central de distribución. Por medio del coeficiente de curtosis, podemos
identificar si existe una gran concentración de valores (leptocúrtica), una concentración
normal (mesocúrtica) o una baja concentración (platicúrtica). Para calcular el coeficiente
de curtosis, se utiliza la ecuación:

• Probabilidad: Valor entre 0 y 1, inclusive que describe la posibilidad de que ocurra un
evento. Se representa con la letra p. Por ejemplo, la probabilidad de A se representa
como p(A) 𝑃 =
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
La probabilidad clásica de un evento E, que se denota por p(E), se define como el
numero de resultados que componen al evento E, entre el numero de resultados que
componen el espacio muestral. 𝑃 𝐸 =
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
• Intervalo de confianza: En estadística, se llama intervalo de confianza a in par o varios
pares de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con
una determinada posibilidad de acierto. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑛 > 30 → ± 1.96𝑆𝐸 𝑆𝐸 = 𝑠/𝑛

• Histograma de frecuencia: Es la representación grafica de los datos mediante un grafico
formado por una sucesión de rectángulos. En el se muestra la distribución de
frecuencias de los datos, y esta formado por rectángulos cuya anchura representa a
cada uno de los intervalos y la altura corresponde a la frecuencia de cada uno de los
datos que se están graficando.
• Polígono de frecuencias relativa: Es la representación grafica de los datos mediante un
gráfico de línea. En el se muestra la distribución de frecuencias de los datos y está
formada por segmentos de línea que unen los puntos correspondientes a la frecuencia
de cada una de las clases que se están graficando. Al cerrar la figura con segmentos de
línea en los extremos unidos al eje horizontal, se forma un polígono. Se trata a partir de
una tabla de frecuencias donde el eje “x” representa al dato Xi y el eje “y” representa a
las frecuencias f.
• Ojiva: Es la representación grafica de las frecuencias acumuladas mediante un grafico
de línea. En el se muestra la distribución de frecuencias acumuladas de los datos, y se
forma con segmentos de línea de manera similar al polígono de frecuencias. Se traza de
manera similar a la grafica de una ecuación o de una función, a partir de una tabla de
frecuencias acumuladas, en donde el eje “x” representa al dato Xi y el eje “y” representa
a las frecuencias fa.

• Diagrama de pastel: El grafico circular es otra manera de hacer la representación grafica
de los datos. También es llamada grafico de pastel. A diferencia de los gráficos
en el grafico de pastel solo se representan datos de frecuencias relativas o frecuencias
porcentuales. Para trazar esta clase de gráfico, se debe dividir el área del circulo de
manera proporcional a las frecuencias.
• Cuartiles: Los cuartiles son los 3 valores que dividen al conjunto de datos ordenados en
cuatro partes iguales. Hay 3 cuartiles denotados visualmente, Q1, Q2, Q3. El segundo
cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil es el valor en el cual o por debajo
cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión. El tercer cuartil es el
en el cual o por debajo del cual quedan las 3 cuartas partes (75%) de los datos.
• Deciles: Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en
diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de
datos ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los
Los deciles se denotan D1, D2, D3…D9.
• Percentiles: Los percentiles son las medidas mas utilizadas para propósitos de ubicación
o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso,
etc. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en
100 partes porcentuales iguales. Estos son los 99 valores que dividen en 100 partes
iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles se denotan P1, P2, P2, … P99.

SIMBOLOGÍA EN PROBABILIDAD Y
ESTADÍSTICA.
• ∪: Unión de conjuntos
• ∩: Intersección de
conjuntos
• 𝑈: Conjunto universal
• Ø: Conjunto nulo o vacío
• {A,B}: Conjunto
• 𝐴,
: Complemento
• <: Menor que
• >: Mayor que
• ≤: Menor o igual que
• ≥: Mayor o igual que
• ≠: Diferente de
• ∴: Por lo tanto
• Σ: Suma
• 𝑛𝑃𝑟: Permutación
• 𝑛𝐶𝑟: Combinación
• !: Factorial
• n: Total de elementos
• 𝑒 : Número de Euler
• 𝜆: Razón media por unidad de
tiempo
• 𝜇: Media aritmética
• 𝜎2: Varianza de la población
• 𝜎: Desviación estándar poblacional
• S: Desviación estándar muestral

• 𝑆2: Varianza de la muestra
• 𝜋: Pi
• 𝑥𝑖: Marca de clase
• H: Media armónica
• G: Media geométrica
• R: Rango
• 𝐸𝑟: Error relativo
• 𝜀𝑟: Error relativo porcentual
• 𝐶[𝑥,𝑦]: Covarianza
• 𝑄𝑖: Cuartil
• 𝛾: Coeficiente de curtosis

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
• Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por 100 alumnos en
un curso de estadística:
100 87 54 82 93 47 40 53
84 65 57 66 25 70 85 36
33 33 100 69 77 88 63 17
98 70 68 70 65 70 84 52
57 47 57 86 25 66 40 100
90 83 64 95 85 100 67 60
82 85 62 72 65 76 23 96
77 55 100 80 55 52 85 68
55 51 47 47 64 75 65 60
62 93 98 58 95 83 33 70
88 61 42 60 32 42 30 53
45 51 58 34 55 54 39 65
45 82 75 60

• Diagrama tallo-hoja
Tallo Hoja
1 7
2 3 5 5
3 0 2 3 3 3 4 6 9
4 0 0 2 2 5 5 7 7 7 7
5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 7 7 7 8 8
6 0 0 0 0 1 2 2 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 7 8 8 9
7 0 0 0 0 0 2 5 5 6 7 7
8 0 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 7 8 8
9 0 3 3 5 5 6 8 8
10 0 0 0 0 0

• a) Construya la correspondiente distribución de frecuencias
K L.R.I L.I X L.S L.R.S F F.R F.R(360
)
F.A F-
A/RE
L
Fx 𝑭𝒙𝟐
1 16.5 17 21.5 26 26.5 4 0.04 14.4 4 0.04 86 1849
2 26.5 27 31.5 36 36.5 7 0.07 25.2 11 0.11 220.5 6945.75
3 36.5 37 41.5 46 46.5 7 0.07 25.2 18 0.18 290.5 12055.75
4 46.5 47 51.5 56 56.5 16
6
0.16 57.6 34 0.34 824 42436
5 56.5 57 61.5 66 66.5 2
2
0.22 79.2 56 0.56 1353 83209.5
6 66.5 67 71.5 76 76.5 13
3
0.13 46.8 69 0.69 929.5 66459.25
7 76.5 77 81.5 86 86.5 15
5
0.15 54 84 0.84 1222.5 99633.75
8 86.5 87 91.5 96 96.5 9 0.09 32.4 93 0.93 823.5 75350.25
9 96.5 97 101.5 106 106.5
5
7 0.07 25.2 100
0
1 710.5 72115.75

• b) ¿En qué clase se concentra el mayor número de datos? El mayor número de notas etá en
la clase 5 con 22 alumnos con una calificación entre 57 y 67.
• c) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del cuarto intervalo? La frecuencia absoluta es 16, esto
quiere decir que hay 16 alumnos con una calificación entre 47 y 56.
• d) ¿Qué porcentaje de los alumnos tienen una nota inferior a 57? El porcentaje de alumnos
que tienen una nota inferior a 57 es el 34%, esto quiere decir que son 34 alumnos.
• e) ¿Cuántos alumnos tienen una nota superior a 46? Hay 82 alumnos con una nota superior
a 46.
• f) Interprete la frecuencia acumulada del sexto intervalo. La frecuencia acumulada del sexto
intervalo es 71.
• g) Interprete la frecuencia relativa acumulada del quinto intervalo. Hay 56% de alumnos con
una calificación inferior a 67.
• h) Obtener: 𝜇 =
Σ 𝐹𝑥
𝑛
=
6469
100
= 64.69
𝜎 =
Σ𝐹𝑥2
𝑛
− (
Σ𝐹𝑥
𝑁
)2= 4600.55 − 4184.7961 = 20.39
𝜎2
= 20.39 2
= 415.75
Moda: 62 según el histograma de frecuencias

i) Histograma de
frecuencias
j) Polígono de
frecuencias
k) Ojiva
l) Diagrama de pastel 0
50
100
150
17 a
26
27 a
36
37 a
46
47 a
56
57 a
66
67 a
76
77 a
86
87 a
96
97 a
106
Histograma de frecuencias
0
20
40
60
80
100
120
17 a 2627 a 3637 a 4647 a 5657 a 6667 a 7677 a 8687 a 96 97 a
106
Polígono de frecuencias
0
50
100
150
17 a
26
27 a
36
37 a
46
47 a
56
57 a
66
67 a
76
77 a
86
87 a
96
97 a
106
Ojiva
Diagrama de pastel
1 2 3 4 5 6 7 8 9
m) Obtener primer cuartil
𝑄𝑘 =
𝑘(𝑛 + 1)
4
=
1(100 + 1)
4
= 25.25

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD.
Técnicas
• Permutación: Es un conjunto de arreglos donde sí importa el orden
• Combinación: Es un conjunto de arreglos donde no importa el orden
Ejemplo:
Timbre Carta #1 Carta #2 Permutació
n
Combinació
n
A A B
C
A B
A C
1
B B A
C
B A
B C
1
C C A
B
C A
C B
1

Principio multiplicativo #𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜𝑠 = 𝑁1 ∙ 𝑁2 ∙ 𝑁3 … 𝑁𝑅
Ejemplo: Se tienen 6 forros y 3 libros. ¿De cuántas maneras se pueden forrar esos 3
libros?
#𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜𝑠 = 6 5 4 = 120 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
Factorial
Ejemplo: ¿De cuántas formas distintas se puede formar una fila de 10 personas?
#𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜𝑠 = 𝑛! = 10! = 3,628,800 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
Ejemplo: Placas de automóviles 27 27 27 10 10 10 10 = 196,830,000
Ejemplo: Pronósticos deportivos #𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜𝑠 = 3 18 = 387,420,489
Ejemplo: Un grupo de 12 personas formados por 8 hombres y 4 mujeres vamos a
formar un comité de 5 miembros:
a) No hay restricción de sexo 𝑛𝐶𝑟 = 12𝐶5 = 792 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
b) Deben ser 3 hombres y 2 mujeres #𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜𝑠 = 8𝐶3 4𝐶2 = 336
c) ¿Cuántos contienen al menos una mujer? #𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜𝑠 = 792 − 8𝐶5 4𝐶0 −
8𝐶0 4𝐶5 = 792 − 56 = 736

• Ejemplo: Vamos a sentar a 6 personas en una fila donde son 3 hombre y 3 mujeres. De
cuántas maneras se pueden sentar:
a) Si están alternados. HM HM HM ó MH MH MH
3𝑃3 3𝑃3 + 3! 3! = 36 + 36 = 72
b) Si únicamente las mujeres deben estar juntas. MMM HHH ó HMMHH ó HHMMM ó
HHH MMM
#𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜𝑠 = 3𝑃3 3𝑃3 + 3𝑃3 3𝑃3 + 3𝑃3 3𝑃3 + 3𝑃3 3𝑃3 = 144

PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN
#𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜𝑠 =
𝑛!
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛𝑟!
Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con la palabra matemáticas?
#𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜𝑠 =
11!
2! 3! 2! 1! 1! 1!
= 1,663,200 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

TEOREMA DEL BINOMIO
𝑃 =
# 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛)
# 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
La probabilidad es un mecanismo por medio del cual podemos estudiar sucesos o
experimentos aleatorios (se parte de lo general a lo particular).
Clásico 𝑃 =
# 𝑅 𝑓𝑎𝑣
#𝑅 𝑡𝑜𝑡
= 𝑃𝑒 =
1
𝑛
Ejemplos: Cada una de las caras de la moneda, cada una de las 6 caras de un dado,
cada una de las 52 cartas de una baraja.
Frecuencia relativa
Ejemplo: Se lanza una moneda 1000 veces y aparecen 490 águilas:
#á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎𝑠 =
490
1000
= 0.490

PROBABILIDAD.
𝑃 =
# 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛)
# 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
La probabilidad es un mecanismo por medio del cual podemos estudiar sucesos o
experimentos aleatorios (se parte de lo general a lo particular).
Clásico 𝑃 =
# 𝑅 𝑓𝑎𝑣
#𝑅 𝑡𝑜𝑡
= 𝑃𝑒 =
1
𝑛
Ejemplos: Cada una de las caras de la moneda, cada una de las 6 caras de un dado,
cada una de las 52 cartas de una baraja.
Frecuencia relativa
Ejemplo: Se lanza una moneda 1000 veces y aparecen 490 águilas:
#á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎𝑠 =
490
1000
= 0.490

Subjetiva: La probabilidad se considera como una expresión numérica, resultado del
juicio o creencia de la persona.
Experimento: Proceso de medir o contar.
Experimento aleatorio: Es aquel que puede suceder de diferentes formas pero no
podemos estimar con precisión cuál de ellos aparecerá.
Axioma: Son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función
definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.
Fueron formulados por Andrei Kolmogórov en 1933.
Axioma positividad 𝑃𝑒 ≥ 0
Axioma certidumbre 𝑃𝑎 = 1
Eventos:
Mutuamente excluyente
Traslapados o unidos
Independientes
Condicionales
Teorema de Bayes

• Ejemplo: Se lanzan 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea
par?
𝑃 =
# 𝑅 𝑓𝑎𝑣
#𝑅 𝑡𝑜𝑡
=
18
36
=
1
2
• Ejemplo: Una caja contiene 6 latas de frijol, 4 de elote y 2 chícharos; por desperdicio
una lata de veneno cayó dentro. ¿Cuál es la probabilidad de tomar una de elote o
veneno?
𝑃 =
#𝑅 𝑓𝑎𝑣(𝑒𝑙𝑜𝑡𝑒)
#𝑅 𝑡𝑜𝑡
+
#𝑅𝑓𝑎𝑣(𝑣𝑒𝑛𝑒𝑛𝑜)
#𝑅 𝑡𝑜𝑡
=
4
13
+
1
13
= 0.3846
• Ejemplo: 8 bolas numeradas del 1 al 8 se encuentran en un recipiente, si sacamos 3 al
azar sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea la #5 y la última la #2?
𝑃 =
#𝑅 𝑓𝑎𝑣(#5)
#𝑅 𝑡𝑜𝑡
#𝑅 𝑓𝑎𝑣
#𝑅 𝑡𝑜𝑡
#𝑅𝑓𝑎𝑣(#2)
#𝑅 𝑡𝑜𝑡
=
1
8
6
6
1
7
= 0.0178

• Ejemplo: En una muestra aleatoria de 5 artículos, de los cuales salieron 2 defectuosos, si
sacamos 3 artículos, ¿cuál es la probabilidad de sacar exactamente uno defectuoso sin
reemplazo?
𝑃 =
#𝑅 𝑓𝑎𝑣
#𝑅 𝑡𝑜𝑡
=
(2𝐶1)(3𝐶2)
5𝐶3
= 0.6
Puntos muestrales:
3𝐶3
5𝐶3
= 0.1
(3𝐶2)(2𝐶1)
5𝐶3
= 0.6
(3𝐶1)(2𝐶2)
5𝐶3
= 0.3
2𝐶3
5𝐶3
= 0
0.1 + 0.6 + 0.3 + 0 = 1

PROBABILIDAD DE EVENTOS EXCLUYENTES
O UNIDOS.
Tal que no hay puntos muestrales en común en los 2 o más eventos:
A B 𝑃(𝐴 ó 𝐵) = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵
B
C
A
𝑃(𝐴 ó 𝐵 ó 𝐶) = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶

Ejemplo: Se lanzan 2 dados, cuál es la probabilidad:
a) De que la suma sea como máximo 6 o como mínimo 10.
𝑃 =
15
36
+
6
36
=
7
12
b) De que la suma sea 4 o como máximo 3 o más de 11.
𝑃 =
3
36
+
3
36
+
1
36
=
7
36

PROBABILIDAD DE EVENTOS
MUTUAMENTE TRASLAPADOS U UNIDOS
Tal que si hay puntos muestrales en común en los 2 o 3 eventos, etcétera:
A B 𝑃(𝐴 ó 𝐵) = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 − 𝑃𝐴∩𝐵
𝑃(𝐴 ó 𝐵) = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3
1
2
3
B
C
A
1
2
3
4
5 6
7
𝑃(𝐴 ó 𝐵 ó 𝐶) = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 − 𝑃𝐴∩𝐵 − 𝑃𝐵∩𝐶 − 𝑃𝐶∩𝐴 + 𝑃𝐴∩𝐵∩𝐶
𝑃(𝐴 ó 𝐵 ó 𝐶) = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4 + 𝑃5 + 𝑃6 + 𝑃7

Ejemplo: Una muestra realizada con 300 pacientes arrojó los siguientes resultados:
130 pacientes diabéticos, 150 enfermos cardiacos y 30 ambas enfermedades.
Probabilidad de que padezca:
a) Al menos una enfermedad.
b) Sólo diabéticos.
100
300
=
1
3
100 120
30
D E.C
50
𝑃(𝐴 ó 𝐵) = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3
𝑃(𝐴 ó 𝐵) =
100
300
+
30
300
+
120
300
=
250
300

Ejemplo: Una encuesta realizada con 150 alumnos de FIME, se encontró que: 50
tomaban álgebra, 30 matemáticas, 80 estadística, 10 álgebra y estadística, 15
álgebra y matemáticas, 20 estadística y matemáticas y 5 las 3 materias. Si se
selecciona un estudiante al azar:
55
0
30
Álgebra Mate
Est
5
10
5
15

a) Probabilidad de que esté tomando álgebra o mate pero no estadística.
𝑃 =
40
150
=
4
15
b) Probabilidad de que tome álgebra y estadística pero no mate.
𝑃 =
5
150
=
1
30
c) Probabilidad de que no tome clase de ninguna de las materias.
𝑃 =
30
150
=
1
5
d) Probabilidad de que tome la clase de al menos una de ellas.
𝑃 =
120
150
=
4
5

INDEPENDIENTES
• 2 o más eventos son independientes si la probabilidad del uno no afecta a la del
otro: 𝑃(𝐴,𝐵,𝐶) = 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵 ∙ 𝑃𝐶
• 2 o más eventos son dependientes si la probabilidad de uno sí afecta a la del otro.
Ejemplo: En una muestra aleatoria de 10 artículos de los cuales salieron 4
defectuosos, si sacamos 3 artículos, obtener las probabilidades de todos los puntos
muestrales para el número de artículos buenos haciendo uso de esos eventos y
obtener la media y la varianza para el número de artículos buenos:
a) Con reemplazo.
𝐵𝐵𝐵 =
6
10
6
10
6
10
3!
3!
= 0.216
𝐵𝐵𝐷 =
6
10
6
10
4
10
3!
2! 1!
= 0.432
𝐵𝐷𝐷 =
6
10
4
10
4
10
3!
1! 2!
= 0.288
𝐷𝐷𝐷 =
4
10
4
10
4
10
3!
3!
= 0.064
𝑆 = 𝑝 + 𝑞 = 1

b) Sin reemplazo
𝐵𝐵𝐵 =
6
10
5
9
4
8
3!
3!
= 0.1666
𝐵𝐵𝐷 =
6
10
5
9
4
8
3!
2! 1!
= 0.5
𝐵𝐷𝐷 =
6
10
4
9
3
8
3!
1! 2!
= 0.3
𝐷𝐷𝐷 =
4
10
3
9
2
8
3!
3!
= 0.0333
𝑆 = 𝑝 + 𝑞 = 1

CONDICIONALES Y TEOREMA DE BAYES
𝑃(𝐴|𝐵)
𝑃𝐴𝑖𝑃(𝐸|𝐴𝑖)
𝑖=0
𝑖=𝑛
Ejemplo: Se tienen 3 máquinas {A, B, C}:
El 2% de la producción de A es defectuosa, el 4% de la producción de B es
defectuosa y el 1.5% de la producción de C es defectuosa.
Se selecciona una pieza y se encuentra que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad
de que venga de B si la 𝑃𝑎 = 0.5 𝑃𝑏 = 0.3 𝑃
𝑐 = 0.2?
𝑃𝐵 =
(𝑃 𝑑𝑒𝑓 𝐵)(𝑃𝐵)
𝑃 𝑑𝑒𝑓 𝐴 + 𝑃 𝑑𝑒𝑓 𝐵 𝑃𝐵 + (𝑃 𝑑𝑒𝑓 𝐶)(𝑃𝐶)

Ejemplo: Se selecciona una caja al azar y se saca un artículo.
(Caja 1: 3B, 2D)(Caja 2: 4B, 1D) 𝑃𝐶𝑎𝑗𝑎 1 =
1
2
𝑃𝐶𝑎𝑗𝑎 2 =
1
2
𝑃 𝑑𝑒𝑓
𝐶𝑎𝑗𝑎 1
=
2
5
𝑃 𝑑𝑒𝑓
𝐶𝑎𝑗𝑎 2
=
1
5
Probabilidad:
a) De que sea defectuoso.
𝑃𝑑𝑒𝑓 = 𝑃𝐶𝑎𝑗𝑎 1
𝑃 𝑑𝑒𝑓
𝐶𝑎𝑗𝑎 1
ó 𝑃𝐶𝑎𝑗𝑎 2(
𝑃 𝑑𝑒𝑓
𝐶𝑎𝑗𝑎 2
)
𝑃𝑑𝑒𝑓 =
1
2
2
5
+
1
2
1
5
= 0.3

b) De que sea de la caja 1 si fue bueno.
𝑃(𝐴|𝐵)
𝑖=0
𝑖=𝑛
𝑃 𝐶𝑎𝑗𝑎 1 𝐵𝑢𝑒𝑛𝑜 =
(𝑃𝐶𝑎𝑗𝑎 1)(𝑃 𝐵𝑢𝑒𝑛𝑜 𝐶𝑎𝑗𝑎 1 )
𝑃𝐶𝑎𝑗𝑎 1 𝑃 𝐵𝑢𝑒𝑛𝑜 𝐶𝑎𝑗𝑎 1 + (𝑃𝐶𝑎𝑗𝑎 2)(𝑃 𝐵𝑢𝑒𝑛𝑜 𝐶𝑎𝑗𝑎 2 )
𝑃 𝐶𝑎𝑗𝑎 1 𝐵𝑢𝑒𝑛𝑜 =
(
1
2
)(
3
5
)
1
2
3
5
+ (
1
2
)(
4
5
)
= 0.4285

CONTENIDO
HASTA EXAMEN
ORDINARIO
D I S T R I B U C I Ó N D E P R O B A B I L I D A D E S C O N N O M B R E
P R O P I O :
• D . B I N O M I A L
• D . M U L T I N O M I A L
• D . H I P E R G E O M É T R I C A
• D . P O I S S O N
• D . E X P O N E N C I A L
• D . N O R M A L
I N T E R V A L O D E C O N F I A N Z A
• { ; Δ ; Ρ ; Δ Ρ }

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
• Características:
• a) 2 resultados: éxito o fracaso S= p+q =1
• b) La prob. de éxito es constante de ensayo a
ensayo
• c) Los ensayos son independientes (con
reemplazo)
• d) Es una distribución discreta
• e) E(x)= Media = µ = n.p
• f) V(x)= Varianza = σ2 = n.p.q
• g) Para obtener esta prob. solo se requiere
conocer
PB(n; p; x)

• h) Se obtiene:
• 1. Fórmula general
• PB= nCx.px.qn-x
• 2. Tablas de valores acumulativos

P= (p+q)N
P= (1/2 + 1/2)4
P= ? ; x=? P= ? ; x= 4
a) Algebraicamente
= (1/2 + 1/2)4
= 1(1/2)4
(1/2)0
+ 4(1/2)3
(1/2)1
+
6(1/2)2
(1/2)2
+ 4(1/2)1
(1/2)3
+ 1(1/2)0
(1/4)4
=
P = 1/16 = 0. 0625
X= 0 X= 1
X= 2 X= 3 X= 4

• b) Formula General
• PB= nCx.px.qn-x
• PB= 4C4 (1/2)4(1/2)4-4
• PB= 1(1/2)4(1/2)0
• PB= 1/16 = 0.065
c) Por Tablas de Valores Acumulativos
= (1/2 + 1/2)4
P=? ; x=4
P= (n; p; x) – (n; p; x-1)
P= (4; 0.5; 4) – (4; 0.5; 3)
P= 1 – 0.9375
P= 0.0625
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2
3 3
4

• Ej. Una caja contiene un gran número de bolas rojas y
• blancas en la relación de 3:2 respectivamente si sacamos 15 al azar (una por una con
reemplazo). Cuál es la probabilidad de que salgan:
• a) Exactamente 3 blancas
PB= (n; PB; x) - (n; PB; x-1)
PB= (15; 0.4; 3) - (15; 0.4; 2)
PB= 0.0905 – 0.0271
PB= 0.0634
3-1= 2
R:B
3:2
PB=
2 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0 0

b) Más de una blanca
0 1 2 3 4 … n
S= p+q = 1 PB= 1-(n; PB; x)
PB= 1-(15; 0.4; 1)
PB= 1-0.0052
PB= 0.9948
c) Como máximo 4 blancas
n x 0.4
15
1 0.0052
2 0.0271
3 0.0905
4 0.2173
5 0.4032
PB= (n; PB; x)
PB= (15; 0.4; 4)
PB= 0.2173

d) Menos de 6 y más de 2 blancas
0 1 2 3 4 5 6 7 8 … n
PB= (n; PB; x mayor)-(n; PB; x menor)
PB= (15; 0.4; 5)-(15; 0.4; 2)
PB= 0.4032 – 0.0271
PB= 0.3761
S= p+q = 1
x mayor
x menor

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
• Características
• a) Es una extensión de la Binomial
• b) Los Éxitos son con reemplazo
• c) Es una distribución discreta
• d) Hay más de dos éxitos en cada ensayo
• e) Se obtiene por formula general
• PM =
n!
x1! x2! x3! … xn!
p1x1
p2x2
p3x3
… pnxn
• Ejemplo: La relación de que los p.p rayados. Ganen, Empaten o No Ganen, es de 5:3:1
respectivamente. Encuentre la probabilidad de que en los siguientes 6 partidos (basados en esa
relación) a) Ganen 4; Empaten 2 y No ganen ninguno b) Ganen 3; Empaten 1 y No ganen 2.
• PM =
n!
xG! xE! xNG!
pGxG
pExE
pNGxNG
• a) P=
6!
(4!) (2!) (0!)
5
9
4 3
9
2 1
9
0
= 0.15
• b) P=
6!
(3!) (1!) (2!)
5
9
3 3
9
1 1
9
2
= 0.04

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
• Características:
• a) Dist. Discreta
• b) Los ensayos son independientes
• c) Difieren de la binomial por la forma en que se efectúa el muestreo “sin reemplazo”.
d) E(x) = µ = nr/N
σ2
= V(x) =
N−n
N−1
. n
r
N
1 −
r
N
PH =
[rCx ][(N−r)C(n−x)]
NCn
N= número total de la
población
r= número de éxitos de la
población
n= número de la muestra
x= número de éxitos de la
muestra

Ej. Una urna contiene 10 canicas de color verde y 5 de color rojo si seleccionamos 4 canicas
al azar (una por una y sin reemplazo) Determine:
a) E(x) Para el número de canicas rojas
E x = µ =
nr
N
=
4 5
15
=
20
15
=
4
3
= 1.333
b) V(x) Para el número de canicas rojas
V x =
N − n
N − 1
. n
r
N
1 −
r
N
=
15 − 4
15 − 1
. 4
5
15
1 −
5
15
V x =
44
63
= 0.69
• c) Probabilidad de sacar 2 canicas verdes
• PH =
rCx N−r C n−x
NCn
• =
10C2 15−10 C 4−2
15C4
=
10𝐶2 5𝐶2
15𝐶4
• =
30
91
= 0.329

DISTRIBUCIÓN DE POISSON
• Características
• a) Es una distribución discreta
• b) El # de éxitos se obtiene en una escala de tiempo ó región específica
• c) El # de acontecimientos es discreto
• d) Ejemplos donde se aplica
• 1.-# de llamadas telefónicas a una central
• 2.-# de accidentes en un cruce peligroso
• 3.-# de errores en una página dada
• 4.-# de llegadas de camiones en una central de
• gasolina.
• e) Se aplica teoría de contabilidad de un producto
• f) Para obtener esta probabilidad solo se requiere de un solo valor µ = λ . t

• Ej. El número de fallas en el cableado eléctrico sigue una distribución de Poisson, con
un promedio de 2 fallas por kilómetro. Determine la prob. de que:
• a) no se presente ninguna falla en los primeros 500 mts
• b) haya más de una falla en un tramo de un km
• c) se presenten exactamente 2 fallas en 2 km
• µ = λ . t Ejemplo 𝜆 =
2 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑘𝑚
• a) µ = λ . t =
𝑘𝑚
0.5 𝑘𝑚 = 1
• 𝑃𝑝 = µ; 𝑥 = 1; 0 𝑃𝑝 = 0.3679
• b) µ = λ . t =
𝑘𝑚
1 𝑘𝑚 = 2
• 𝑃𝑝 = 1 − µ; 𝑥 = 1 − 2; 1
• 𝑃𝑝 = 1 − 0.4060 = 0.594
• c) µ = λ . t =
𝑘𝑚
2 𝑘𝑚 = 4
• 𝑃𝑝 = µ; 𝑥 − µ; 𝑥 − 1 = 4; 2 − 4; 1
• 𝑃𝑝 = 0.2381 − 0.0916 = 0.1465

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Características
a) Es una distribución continua
b) Analiza el tiempo o espacio donde suceden los
eventos
𝛽 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎
1 2 3
X X X1 X2
𝑃𝑒 = 1 − 𝑒
−𝑋
𝛽
𝑃𝑒 = 𝑒
−𝑋
𝛽 𝑃𝑒 = 𝑒
−𝑋1
𝛽 − 𝑒
−𝑋2
𝛽

• Ej. El tiempo de vida de cierto componente electrónico sigue una distribución
exponencial con una media de 2000 horas. Encuentre la probabilidad de que dicho
componente dure:
• a) A lo sumo 2500 horas
• b) Por lo menos 1800 horas
• c) Entre 1500 horas y 2600 horas
• a) 𝑃𝑒 = 1 − 𝑒
−𝑋
𝛽 = 1 − 𝑒
−2500
2000 = 0.7134
• b) 𝑃𝑒 = 𝑒
−𝑋
𝛽 = 𝑒
−1800
2000 = 0.4065
• c) 𝑃𝑒 = 𝑒
−𝑋1
𝛽 − 𝑒
−𝑋2
𝛽 = 𝑒
−1500
2000 − 𝑒
−2600
2000 = 0.1998

• Ej. De acuerdo con la investigación médica, el tiempo entre informes sucesivos de una
enfermedad tiene una distribución exponencial con una media de 130 días. Encuentre
la probabilidad de que el tiempo entre informes sucesivos de dicha enfermedad sea:
• a) De más de 240 días
• b) De menos de 60 días
• c) Entre 7 y 14 días
• a) 𝑃𝑒 = 𝑒
−𝑋
𝛽 = 𝑒
−240
130 = 0.1578
• b) 𝑃𝑒 = 1 − 𝑒
−𝑋
𝛽 = 1 − 𝑒
−60
130 = 0.3697
• c) 𝑃𝑒 = 𝑒
−𝑋1
𝛽 − 𝑒
−𝑋2
𝛽 = 𝑒
−7
130 − 𝑒
−14
130 = 0.0497

DISTRIBUCIÓN NORMAL
a) menos de 12 minutos
b) entre 10 y 16 minutos
𝑃𝑁 = 𝑃𝑥𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑃𝑥𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑃𝑁 = 𝑃𝑍2 − 𝑃𝑍1
𝑃𝑁 = 0.7257 − 0.0359
𝑃𝑁 = 0.6898
X=12 µ=14.5
σ=2.5
S= p+q= 1
+Z
-Z
𝑍 =
𝑥−µ
𝜎
=
12−14.5
2.5
𝑍 = −1.00
En tablas DN con Z
Z 0.00
-1 PN= 0.1587
S= p+q= 1
σ=2.5
-Z +Z
X1=10 X2=16
µ=14.5
𝑍2 =
𝑥2−µ
𝜎
=
16−14.5
2.5
𝑍2 = 0.600
En tablas DN con Z
Z 0.00
0.6 PZ2= 0.7257
𝑍1 =
𝑥1−µ
𝜎
=
10−14.5
2.5
𝑍1 = −1.800
En tablas DN con Z
Z 0.00
-1.8 PZ1= 0.0359

c) en más de 8 min
𝑃𝑁 = 1 − 𝑃𝑍1
𝑃𝑁 = 1 − 0.0047
𝑃𝑁 = 0.9953
𝑃 =
#𝑅𝐹𝑎𝑣 (𝑅𝑒𝑠𝑡 .)
#𝑅𝑇𝑜𝑡
≈
𝑥
𝑁
𝑥 = 𝑃(𝑁)
S= p+q= 1
σ=2.5
-Z +Z
X1=8 µ=14.5
𝑍1 =
𝑥1−µ
𝜎
=
8−14.5
2.5
𝑍1 = −2.600
En tablas DN con Z
Z 0.00
-2.6 PZ1= 0.0047

INTERVALO DE CONFIANZA
• El teorema de Limite Central y la Distribución Normal nos ayudan para: Prueba de
hipótesis e Intervalo de Confianza.
• ITC = para la media = ±𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
• ITC = para la proporción = 𝜌 ± 𝑍𝛼/2
𝜌 1−𝜌
𝑛
• ITC = para la diferencia de medias =
• Δ ±𝑍𝛼/2
𝜎12
𝑛1
+
𝜎22
𝑛2
• ITC = para para la diferencia de proporciones =
• 𝛥𝜌 ± 𝑍𝛼/2
𝜌1 1−𝜌1
𝑛1
+
𝜌2 1−𝜌2
𝑛2

n= 40 = 68.4 σ= 13.1
a) ITC del 95% para la media
ITC = ±𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
+Z 0.06
+1.9 0.975
-Z 0.06
-1.9 0.0250
Zα/2= 1.9+0.06
Zα/2= 1.96

LS= +𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
LI= −𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
LS= 68.4 + (1.96)
13.1
40
LI= 68.4 − (1.96)
13.1
40
LS= 72.4 LI= 64.3
S= p+q= 1
0.95
0.975
0.025 +Z
-Z 1
0
1 - 0.95= 0.05/2= 0.025
0.025-0.975
LI LS

Ejemplos:
n= 40 =? σ=? 𝑝 =
#𝑅𝐹𝑎𝑣 (𝑅𝑒𝑠𝑡 .)
#𝑅𝑇𝑜𝑡
95%
ITC= ±𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
90%
ITC= 𝜌 ± 𝑍𝛼/2
𝜌(1−𝜌)
𝑛
LI LS
ITC= del 98
n1= 49 n2= 49
1= 60.8 2= 79.5
σ1= 5.1 σ2= 3.9
98% ITC para una diferencia de medias
Δ ±𝑍𝛼/2
𝜎12
𝑛1
+
𝜎22
𝑛2
Δ = mayor - menor
LS= ? LI= ?

• ITC= del 99
• n1= 3500 n2= 3000
• x1= 20 x2= 100
• 𝑝1 =
#𝑅𝐹𝑎𝑣(𝑅𝑒𝑠𝑡.)
#𝑅𝑇𝑜𝑡
𝑝2 =
#𝑅𝑇𝑜𝑡
• 𝑝1 =
20
3500
=
1
175
𝑝2 =
100
3000
=
1
30
• 99% ITC para una diferencia de proporciones
• 𝛥𝜌 ± 𝑍𝛼/2
𝜌1 1−𝜌1
𝑛1
+
𝜌2 1−𝜌2
𝑛2
• Δρ= ρmayor- ρmenor
• LS= ? LI= ?
•

ACTIVIDADES
REALIZADAS
DURANTE EL
SEMESTRE

• Estadística
descriptiva
Es la parte de la
estadística que estudia
las técnicas y métodos
que sirven para la
observación, toma,
organización,
descripción,
presentación y análisis
de datos.
• Diagrama de tallo - hoja
Permite obtener
simultáneamente una
distribución de frecuencias de la
variable y su representación
grafica. Para construirlo basta
separar en cada dato el ultimo
digito de la derecha (que
constituye la hoja) del bloque
de cifras restantes (que formara
el tallo).
• Rango
Al numero de unidades de
variación presente en los
datos recopilados y se
obtiene de la diferencia
entre el dato mayor y el
dato menor. Se presenta
con la letra “R”
𝑹
= 𝑫𝒂𝒕𝒐 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓
− 𝑫𝒂𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓

• Anchura de intervalo
.Se encuentra dividiendo el
rango por el numero de
intervalos. Se representa
con la letra “A” de tal forma
que:
𝐴𝑐 =
𝑅
𝐾
El numero de clases recomendadas por algunos
investigadores oscila entre 6 - 15 datos. Formula de
Sturges (K) sugiere un numero de clases con las que
podremos agrupar nuestros datos.
Formula:
𝑲=𝟏+𝟑.𝟑𝟐𝟐 𝐥𝐨𝐠𝑵
N= Total de frecuencias
K= Numero de clases
log N= Logaritmo decimal de N
• Número de clase

• Tabla de frecuencia
Es la representación conjunta de los datos en
forma de tabla o subgrupo de datos
correspondientes a un fenómeno de estudio y
su ordenamiento en base al numero de
observaciones que correspondan a cada
grupo de datos, adecuados según su
cronología, geografía, análisis cuantitativo o
cualitativo.
De un dato se obtiene al dividir la
frecuencia absoluta de cada dato entre el
numero total de datos. De un intervalo se
obtiene al dividir la frecuencia absoluta de
cada intervalo entre el numero total de
datos. Lo denotamos por “𝑓𝑟”.
• Frecuencia relativa
• Media
Es el valor obtenido al
sumar todos los datos y
dividir el resultado entre el
numero total de datos.
• Moda
Es el valor que tiene
mayor frecuencia
absoluta de todos los
datos.
• Mediana
Es el valor que ocupa el
lugar central de todos los
datos cuando estas están
ordenadas de menor a
mayor.

• Curtosis
. Es una medida de forma que mide cuan
escarpada o achatada esta una curva o
distribución.
𝐶𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 =
(𝑥𝑖 − 𝑥)4
𝑁 − 𝑆𝑥4
Siendo 𝑥 la medida y 𝑆𝑥 la desviación típica.
Cuyo símbolo (s) es simplemente la
raíz cuadrada positiva de la varianza.
Su expresión es:
𝑠 =
(𝑥 − 𝑥)2
𝑛 − 1
• Desviación estándar • Varianza
Cuyo símbolo es (𝑠2 ) es la medida de las
desviaciones al cuadrado, calculando usando
𝑛 𝑜 𝑛 − 1 como divisor, dependiendo si es
varianza poblacional o muestral
respectivamente.
• Asimetría
Es la medida que indica la simetría de la
distribución de una variable respecto a la
medida aritmética, sin necesidad de hacer la
representación grafica. Los coeficientes de
asimetría indican si hay el mismo numero de
elementos a izquierda y derecha de la medida.

Es el calculo matemático que evalúa
las posibilidades que existen de que
una cosa suceda cuando interviene al
azar.
• Probabilidad • Histograma de frecuencia
Sucede cuando la distribución o conjunto de
datos tenga una moda se dirá que el conjunto de
datos es unimodal.
• Ojiva
Es un gráfico que se utiliza para el análisis y
representación de variables continuas, usando
segmentos de recta.
• Polígono de frecuencia
Se crea a partir de un histograma de
frecuencia, es realizado uniendo los
puntos de mayor altura de estas
columnas.

Es un circulo dividido en partes, donde el
área de cada parte es proporcional al
numero de datos de cada categoría.
• Diagrama de pastel • Intervalo de confianza
Describe la variabilidad entre la
medida obtenida en un estudio y la
medida real de la población (el valor
real).

LRI LI x LS LRS Frecc. Frecc/rel
Frecc/de
360
Frecc.
Acum
Frecc.
Acum/
Rel. fx fx^2
119 119 123,5 128 128,5 4 0.04 14.4 4 0.04 494 244036
129 129 133,5 138 138,5 7 0.07 25.2 11 0.11 934,5 873290,25
139 139 143,5 148 148,5 13 0.13 46.8 24 0.24 1865,5 3480090,25
149 149 153,5 158 158,5 9 0.09 32.4 33 0.33 1381,5 1908542,25
159 159 163,5 168 168,5 5 0.05 18 38 0.38 817,5 668306,25
169 169 173,5 178 178,5 2 0.02 7.2 40 0.4 347 120409
1
b) En la tercera clase se encuentra el mayor numero de trabajadores.
c) 67,5% de los trabajadores gana entre $139 y $168.
d) 7 trabajadores ganan a lo menos $159
e) 24 trabajadores ganan a lo mas $148

2
LRI LI x LS LRS Frecc. Frecc/rel
Frecc/d
e
360
Frecc.
Acum
Frecc. Acum/
Rel fx fx^2
35.5 36 38 40 40.5 7 0.07 25.2 7 0.07 266 70756
40.5 41 43 45 45.5 11 0.11 39.6 18 0.18 473 223729
45.5 46 48 50 50.5 5 0.05 18 23 0.23 240 57600
50.5 51 53 55 55.5 6 0.06 21.6 29 0.29 318 101124
55.5 56 58 60 60.5 1 0.01 3.6 30 0.3 58 3364
b) 11 engranajes pesan entre 46 y 55
kilos.
c) El 77% de las piezas pesan menos de
51 kilos.
d) La frecuencia relativa es 0.17.
e) El 23% de las piezas pesa mas de 50
kilos.

3 LRI LI x LS LRS Frecc. Frecc/rel
Frecc/
360
Frecc.
Acum
Frecc. Acum/
Rel fx fx^2
284,5 285 287 289 289,5 9 0.09 32.4 9 0.09 2583 6671889
289,5 290 292 294 294,5 8 0.08 28.8 17 0.17 2336 5456896
294,5 295 297 299 299,5 5 0.05 18 22 0.22 1485 2205225
299,5 300 302 304 304,5 7 0.07 25.2 29 0.29 2114 4468996
304,5 305 307 309 309,5 5 0.05 18 34 0.34 1535 2356225
309,5 310 312 314 314,5 3 0.03 10.8 37 0.37 936 876096
314,5 315 317 319 319,5 3 0.03 10.8 40 0.4 951 904401
319,5 320 322 324 324,5 6 0.06 21.6 46 0.46 1932 3732624
324,5 325 327 329 329,5 4 0.04 14.4 50 0.5 1308 1710864
b) 13 discos duraron entre 290 y 299 horas.
c) 22 discos no alcanzaron a durar 300 horas.
d) El 6% de los engranajes duraron entre 300 y 314 horas.
e) El 58% de los engranajes duraron menos de 305 horas.
f) 16 engranajes duraron mas de 309 horas.
g) 29 engranajes duraron menos de 305 horas.
h) El 16% de los engranajes duraron entre 285 y 294 horas.
i) El primer intervalo.

Frecc/
360
Frecc.
Acum
Frecc. Acum/
Rel fx fx^2
59,5 60 64.5 69 69,5 5 0.05 18 5 0.05 322.5 104006.25
69,5 70 74.5 79 79,5 4 0.04 14.4 9 0.09 298 88804
79,5 80 84.5 89 89,5 5 0.05 18 14 0.14 422.5 178506.25
89,5 90 94.5 99 99,5 8 0.08 28.8 22 0.22 756 571536
99,5 100 105 109 109,5 6 0.06 21.6 28 0.28 627 393129
109,5 110 115 119 119,5 4 0.04 14.4 32 0.32 458 209764
119,5 120 125 129 129,5 8 0.08 28.8 40 0.4 996 992016
129,5 130 135 139 139,5 10 0.1 36 50 0.5 1345 1809025
b) 18 personas consumen entre 100 y 129 productos
enlatados.
c) El 28% de las personas consumen menos de 90
productos enlatados.
d) 41 personas consume mas de 79 productos enlatados.

Frecc/
360
Frecc.
Acum
Frecc. Acum/
Rel fx fx^2
0.05 0.1 1.05 2 2.5 17 0.17 61.2 17 0.17 17.85 318.6225
2.05 2.1 3.05 4 4.5 13 0.13 46.8 30 0.3 39.65 1572.1225
4.05 4.1 5.05 6 6.5 7 0.07 25.2 37 0.37 35.35 1249.6225
6.05 6.1 7.05 8 8.5 2 0.02 7.2 39 0.39 14.1 198.81
8.05 8.1 9.05 10 10.5 1 0.01 3.6 40 0.4 9.05 81.9025
b) La frecuencia absoluta del tercer intervalo es 7.
c) El 92.5% de las compañías tienen a lo mas una ganancia de 6, 0 por
acción.
d) 10 compañías tienen a lo menos una ganancia de 4, 1 por acción.
e) 30 compañías tienen una ganancia igual o menor a 4, 0 por acción.
f) el 97.5% de las compañías tienen una ganancia por acción de a lo mas
8,0.

Frecc/
360
Frecc.
Acum
Frecc. Acum/
Rel fx fx^2
16.5 17 21.5 26 26.5 4 0.04 14.4 4 0.04 86 7396
26.5 27 31.5 36 36.5 7 0.07 25.2 11 0.11 220.5 48620.25
36.5 37 41.5 46 46.5 7 0.07 25.2 18 0.18 290.5 84390.25
46.5 47 51.5 56 56.5 16 0.16 57.6 34 0.34 824 678976
56.5 57 61.5 66 66.5 22 0.22 79.2 56 0.56 1353 1830609
66.5 67 71.5 76 76.5 13 0.13 46.8 69 0.69 929.5 863970.25
76.5 77 81.5 86 86.5 15 0.15 54 84 0.84 1223 1494506.3
86.5 87 91.5 96 96.5 9 0.09 32.4 93 0.93 823.5 678152.25
96.5 97 102 106 106.5 7 0.07 25.2 100 1 710.5 504810.25
b) El mayor numero de notas se encuentran en el
quinto intervalo 57-66.
c) 16 alumnos tienen una nota entre 47-56.
d) El 34% de los alumnos tiene una nota inferior a 57.
e) el 82% de los alumnos tiene una nota superior a 46.
f) Existen 69 alumnos con nota inferior a 77.
j) El 56% de los alumnos tiene una nota inferior a 67

1. Se tiene un grupo de 6 personas: 3 mujeres y 3 hombres
a) ¿De cuantas maneras se pueden formar en fila?
6P6 = 720 arreglos
b) ¿De cuantas maneras se pueden formar una fila de 6 personas, donde vayan primero
2 hombres y luego 2 mujeres?
HHMMHM HHMMMH
(3P3)(3P3) (3!)(3!)
(6)(6) (6)(6)
36 + 36 = 72 arreglos
c) ¿De cuantas maneras se puede formar un equipo formado por 2 mujeres y 2
hombres?
(3C2)(3C2)
(3)(3)
9 formas

2. En un salón de clases hay 30 alumnos de los cuales 16 son mujeres y 14 son
hombres. Se debe elegir un equipo formado por 5 alumnos. Determina el número
formas en que se puede seleccionar el equipo si:
a) No hay restricción si son hombres o mujeres
(30C5) = 142506 formas de formar equipos
b) El equipo está formado solo por mujeres
(16C5) = 4368 formas de formar equipos
c) El equipo deberá tener 2 hombres y 3 mujeres
(14C2)(16C3)
(91)(560)
50960 formas de crear equipos

3. En una pizzería se ofrecen pizzas en cuatro tamaños, 2 formas y con 4 ingredientes.
¿Cuántas pizzas diferentes se pueden ofrecer?
(4)(2)(4) = 32 pizzas
4. Se lanzan 3 monedas al aire. ¿De cuantas maneras distintas pueden caer?
2^3 = (2)(2)(2) = 8 maneras distintas
5. Se lanzan 2 dados, uno blanco y uno negro. ¿Cuántos resultados pueden obtenerse?
6^2 = (6)(6) = 36 resultados diferentes
6. Se lanza 1 dado y 1 moneda. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?
6^1 * 21 = (6)(2) = 12 resultados distintos
7. Raúl le sugiere ofrecer pizzas hasta con 6 ingredientes: si Carmen lo hace así. ¿Cuántas
opciones tendrán para elegir?
(6C1) + (6C2) + (6C3) + (6C4) + (6C5) + (6C6) = (6) + (15) + (20) + (15) + (6) + (1)
= 63 combinaciones en caso de que no se cuente la pizza sin ingredientes. En
caso contrario serian 64 combinaciones.

8. En Nava´s pizzería, el de la competencia dice
en su publicidad que con los ingredientes que
ofrece a elegir pueden preparar hasta 512 pizzas
diferentes. ¿Cuántos ingredientes tiene
disponible?
De acuerdo al triángulo de pascal, la suma de
todos los números de la novena fila es 512:
(9C0) + (9C1) + (9C2) + (9C3) + (9C4) + (9C5) +
(9C6) + (9C7) + (9C8) + (9C9) = 512
= 1+9+36+84+126+126+84+36+9+1 = 512
9. Una pareja planea tener 3 hijos. Encuentra las
posibles formas en que se pueden presentar los
3 hijos.
23 = (2)(2)(2) = 8 combinaciones de hijos
diferentes

1. En una industria es necesario realizar un estudio respecto al peso de
engranajes de gran tamaño. Los siguientes datos corresponden al peso, en
kilógramos, de estas piezas, que poseen las mismas dimensiones, pero
distinta aleación.
58 52 50 52 40 50 38 52 50 45
36 45 55 42 42 52 50 45 42 38
42 38 40 46 45 45 55 42 43 40
a) Construir una tabla de frecuencias de amplitud 5 comenzando de 36
LRI LI X LS LRS f f/rel
f/rel(360
) f/acum Facum/rel fx fx2
35.5 36 38 40 40.5 7 0.233333 84 7
0.2333333
3 266 10108
40.5 41 43 45 45.5 11 0.366667 132 18 0.6 473 20339
45.5 46 48 50 50.5 5 0.166667 60 23
0.7666666
7 240 11520
0.9666666

b) Calcular media aritmética: = promedio
Suma de todos los datos / cantidad total de datos = 45.66666
c) Calcular varianza:
Varianza = Ϭ = 5.786958518
d) Calcular desviación estándar:
Desviación estándar = Ϭ2 = 33.48888889
2. Una caja tiene 5 limones y 3 cebollas, si hacemos 2 saques al azar y sin
reemplazo Encuentra la siguiente solución:
a) Elabora el diagrama de árbol y sus posibles resultados:

b) ¿Cual es la probabilidad de que 2 sean limones? (sin reemplazo)
𝟓
𝟖
∗
𝟒
𝟕
= 𝟑𝟓. 𝟕%
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea limón y cebolla? (sin reemplazo)
𝟓
𝟖
∗
𝟑
𝟕
= 𝟐𝟔. 𝟕%
3. En una encuesta realizada con 250 pacientes en un hospital, se les pregunto sobre 3
enfermedades y las respuestas fueron las siguientes: 150 padecían enfermedades
cardiacas, 100 padecían diabetes, 80 tenían padecimientos renales, 50 cardiacas y
diabetes, 30 cardiacas y renales, 20 diabetes y renales, 10 las tres enfermedades. Si
seleccionamos un paciente al azar cual es la probabilidad de que:
a) tenga diabetes, pero no enfermedades cardiacas = (50/250)*100 = 20%
b) tenga renales y cardiacas, pero no diabetes = (20/250)*100 = 8%

c) tenga diabetes o cardiacas, pero no renales = (160/250)*100 = 64%
d) no tenga ninguna enfermedad = (10/250)*100 = 4%
CARDIACA
S
40
DIABETE
S
40
10
2
0
80
40
10
RENALES

4. En cierta planta de montaje,3 máquinas, B1, B2 y B3, montan 30%, 45% y 25% de los
productos, si se sabe por experiencia pasada que 2%, 3% y 2% respectivamente, tienen
defectos, suponga Que se selecciona al azar un producto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que este sea defectuoso?
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐
𝟏𝟎𝟎
+
𝟒𝟓
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟑
𝟏𝟎𝟎
+
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐. 𝟒𝟓%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que este sea de la maquina 3?
.
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐
𝟏𝟎𝟎
+
𝟒𝟓
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟑
𝟏𝟎𝟎
+
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟎𝟒%

5. Los valores de la presión sanguínea a menudo se reportan a los 5 mmHg más cercanos
(100, 105, 110) …etc... Suponga que los valores de presión sanguínea reales de 11
individuos seleccionados al azar son: 118.6, 127.4, 138.4, 130.0, 113.7, 122.0 ,108.3, 130,
131.5 ,133.2, 130. Encuentra:
Media = 125.73
Mediana = 130
Moda = 130

6. Una cadena de tiendas de video vende tres marcas diferentes de reproductores de DVD. De sus
ventas de DVD, 50% son de la marca 1 (la menos cara), 30% son de la marca 2 y 20% de la marca 3.
Cada fabricante ofrece 1 año de garantía en partes y mano de obra. Se sabe que 25% de los
reproductores de DVD de la marca 1 requieren trabajo de reparación dentro del periodo de garantía,
mientras que los porcentajes correspondientes de las marcas 2 y 3 son 20% y 10% respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado un
reproductor de DVD que necesitara reparación mientras se encuentra dentro de la garantía?
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
+
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
+
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟎. 𝟓%
b) Si un cliente regresa a la tienda con un reproductor de DVD que necesita reparación dentro de
garantía. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un reproductor de DVD marca 1?
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
+
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
+
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟔𝟎, 𝟗𝟕%

c) ¿Un reproductor de DVD marca 2?
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
+
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
+
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟗. 𝟐𝟔%
d) ¿Un reproductor de DVD marca 3?
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
+
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
+
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
∗
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟗. 𝟕𝟓%

7. Suponga que individuos compran cámaras digitales, con opciones de
regalo. Al 60% se le incluye una tarjeta de memoria, al 40% se le incluye
una batería extra y al 30% ambas opciones. Cuál es la probabilidad de
que:
a) El individuo adquiera una de batería dado que adquirió antes una de tarjeta:
𝟎.𝟑
𝟎.𝟔
=
𝟓𝟎%
b) El individuo adquiera una de tarjeta dado que adquirió antes una de batería:
𝟎.𝟑
𝟎.𝟒
=
𝟕𝟓%
BATERÍA TARJETA
DE
MEMORIA
10
30
30

8. Varias probetas de diferentes metales se sumergieron en una solución altamente
corrosiva y se midieron sus velocidades de corrosión. Datos: 0.5 – 0.6 – 0.5 – 0.8
– 0.4 – 0.7 – 0.6 – 0.6 – 0.6 - 0.8. Encontrar:
a) Media = 0.61
b) Mediana = 0.6
c) Moda = 0.6
9. El número de ordenamiento diferentes o permutaciones que consta de 3 letras
tomadas de las 7 letras A, B, C, D, E, F, G. Es:
7P3 = 210
10. A partir de 5 matemáticos y 7 físicos, se deben formar un comité que consta de 2
matemáticos y 3 físicos. ¿De cuantas maneras se pueden formar?
5C2 * 7C3 = 350 combinaciones

11. En una encuesta con 120 estudiantes de FIME, se encuentran que 65 toman
contabilidad financiera, 70 economías y 40 ambas materias. Si seleccionamos un
estudiante al azar. Encuentra la probabilidad de que:
a) haya tomado al menos una de las materias = (95/120) *100 = 79.166%
b) solo contabilidad financiera = (25/120) *100 = 20,833%
c) solo economía = (30/120) *100 = 25%
d) ninguna de esta = (25/120) *100 = 20.833%

Desarrollar el binomio:
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏𝟎
P=??? x=3
a) Algebraicamente:
120
1
2
7 1
2
3
= 0.1171875 = 11.71%
b) Con la formula general:
PB = nCx . px . qn-x = 10C3 x
1
2
7
𝑥
1
2
3
= 0.1171875 = 11.71%
c) Con tablas:
P = ( n ; p ; x ) – ( n ; p ; x-1 ) = (10; 0.5; 3) – (10: 0.5; 2) = 0.1719 – 0.0548 = 0.1172 =
11.72% ≈ 11.71%

1. La relación de que los tigres ganen, empaten o no ganen es de 5:3:1
respectivamente. Encuentra la probabilidad de que en los siguientes 6
partidos. (basados en esa relación).
a) Ganen 4, empaten 2 y no ganen ninguno
5+3+1=9
n = 6 (partidos)
𝑃𝑚 =
𝑛!
𝑋1!𝑋2!𝑋3!….𝑋𝑘!
(𝑃1)𝑋1(𝑃2)𝑋2(𝑃3)𝑋3 … … (𝑃𝐾)𝑋𝐾
Sustituyendo los datos:
𝑃𝑚 =
6!
4! 2! 0!
(
5
9
)4(
3
9
)2(
1
9
)0 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟖𝟕
Ganar Empatar No
Ganar
Relación 5: 3: 1
P 𝟓
𝟗
𝟑
𝟗
𝟏
𝟗
X=? X=4 X=2 X=0

b) Ganen 3, empaten 1 y no ganen 2.
n = 6 (partidos)
𝑃𝑚 =
6!
3! 1! 2!
(
5
9
)3
(
3
9
)1
(
1
9
)2
= 𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟑𝟑
Ganar Empatar No
Ganar
Relación 5: 3: 1
P 𝟓
𝟗
𝟑
𝟗
𝟏
𝟗
X=? X=3 X=1 X=2

2. Las probabilidades de que un estudiante de FIME se traslade a la escuela en
automóvil, en transporte urbano, en motocicleta o a pie son de 0.45, 0.40, 0.10 y 0.05
respectivamente. Si seleccionamos 10 estudiantes al azar. ¿cuál es la probabilidad de
que...
a) 8 se trasladen en automóvil, 1 en motocicleta, y 1 a pie?
n = 10 (estudiantes)
𝑃𝑚 =
𝑛!
𝑋1!𝑋2!𝑋3!….𝑋𝑘!
(𝑃1)𝑋1(𝑃2)𝑋2(𝑃3)𝑋3 … … (𝑃𝐾)𝑋𝐾
𝑃𝑚 =
10!
8! 0! 1! 1!
(0.45)8
(0.40)0
(0.10)1
(0.05)1
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟔
auto Transporte
urbano
moto Pie
P 0.45 0.40 0.10 0.05
X=? X=8 X=0 X=1 X=1

b) 4 se trasladen en automóvil, 4 en transporte urbano y 2 en motocicleta?
n = 10 (estudiantes)
𝑃𝑚 =
10!
4! 4! 2! 0!
(0.45)4(0.40)4(0.10)2(0.05)0 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟑𝟎𝟔
3. Se lanzan 3 monedas balanceadas 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que
salgan cero sellos en tres ocasiones, exactamente un sello en tres ocasiones,
exactamente dos sellos en una ocasión?
Pm=
𝑛!
(𝑋1!)(𝑋2!)0(𝑋3!)(𝑋4!)
𝑃
1
𝑋1
𝑃2
𝑋2
𝑃
3
𝑋3
𝑃
1
𝑋1
=
8!
(3!)(3!)(1!)(1!)
1
8
3 3
8
3 3
8
1 1
8
1
= 0.00540733 ≈
0.00541

1. Una empresa planea contratar a 5 nuevos analistas este año. Existe un conjunto de 15
solicitantes aprobados y el propietario, decide seleccionar al azar a los que se va a
contratar. Hay 10 hombres y 5 mujeres entre los solicitantes aprobados. ¿Cuál es la
probabilidad de que 3 de los 5 que contraten sean hombres?
𝑃 𝑋 = 3 =
10𝐶3 15−10 𝐶 5−3
15𝐶5
=
10𝐶3 5𝐶2
15𝐶5
= 𝟎. 𝟑𝟗𝟗𝟔 = 𝟑𝟗. 𝟗𝟔%
Datos
N 15
r 10
n 5
x 3

2. El profesor de matemáticas tiene un conjunto de 15 preguntas de opción relacionadas
con las distribuciones de probabilidad. Cuatro de estas preguntas se relacionan con la
distribución hipergeométrica. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de estas
preguntas aparezca en un examen de cinco preguntas el lunes?
P(x≥1) = P(X=1) + P(X=2) +P(X=3)+P(X=4) o
también P(x≥1)=1- P(X=0)
1 2 3 4
0
P x ≥ 1 = 1 −
4𝐶0 15 − 4 𝐶 5 − 0
15𝐶5
= 1 −
4𝐶0 11𝐶5
15𝐶5
= 𝟎. 𝟖𝟒𝟔𝟏 = 𝟖𝟒. 𝟔𝟏%

3. El departamento de sistemas de computación tiene ocho profesores, de los cuales 6 están
ocupados. La presidenta desea establecer un comité de tres profesores del departamento para que
revisen el plan de estudio. Si se selecciona el comité al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los miembros del comité estén ocupados?
N=8, r=6, n=3, x=3.
𝐏 𝐱 = 𝟑 =
𝟔𝑪𝟑 𝟖−𝟔 𝑪 𝟑−𝟑
𝟖𝑪𝟑
=
𝟔𝑪𝟑 𝟐𝑪𝟎
𝟖𝑪𝟑
= 𝟎. 𝟑𝟓𝟕𝟏 = 𝟑𝟓. 𝟕𝟏%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un miembro no este ocupado? (Para esta pregunta
utilice la regla complementaria)
P(Al menos 1 libre) = 1 – P(todos ocupados) = 1- 0.3571 = 0.6429
45. Un lote de 22 cinescopios de color, se somete a un procedimiento de prueba de aceptación. El
procedimiento consiste en seleccionar 4 cinescopios en forma aleatoria (uno por uno y sin
reemplazo) para probarlos. Sí fallan menos de 2, el lote es aceptado, de otra forma, el lote es
rechazado. Sí un lote contiene 5 cinescopios defectuosos, cual es la probabilidad de a) de que el lote
se acepte, b) de que el lote Sea rechazado. R: a) 0.79017. b) 0.20984

a) N= 22, n=4, r=5.
Para ser aceptado x<2; P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)
𝑃 𝑋 = 0 =
5𝐶0 22−5 𝐶 4−0
22𝐶4
=
5𝐶0 17𝐶4
22𝐶4
= 0.3253
𝑃 𝑋 = 1 =
5𝐶1 22−5 𝐶 4−1
22𝐶4
=
5𝐶1 17𝐶3
22𝐶4
= 0.4647
0.3996+ 0.4647 = .79016 = 79.016%
b) P(rechazo) = 1- P(Aceptado)
1- 0.79016 = 0.20984 = 20.984%
Defectuosos (X)
0 1 2 3 4
Aceptado Rechazado
46. Una urna contiene 10 canicas de color verde y 5 de color rojo. Sí seleccionamos 4
canicas al azar (una por una y sin reemplazo). Determine a) E(X) para el número de
canicas rojas, V(X) para el buen de canicas rojas c) la probabilidad de sacar 2 canicas
verdes. R: a) 1.33333, b) 0.69841, c) 0.33967.

a) 𝑬 𝑿 =
𝒏𝒓
𝑵
=
(𝟒)(𝟓)
𝟏𝟓
= 𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑
b) 𝑽 𝑿 =
𝑵−𝒏
𝑵−𝟏
𝒏
𝒓
𝑵
𝟏 −
𝒓
𝑵
=
𝟏𝟓−𝟒
𝟏𝟓−𝟏
𝟒
𝟓
𝟏𝟓
𝟏 −
𝟓
𝟏𝟓
= 𝟎. 𝟔𝟗𝟖𝟒𝟏
c) 𝑷 𝟐 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆𝒔 =
𝒓𝑪𝒙 [ 𝑵−𝒓 𝑪 𝒏−𝒙 ]
𝑵𝑪𝒏
=
𝟏𝟎𝑪𝟐 [ 𝟏𝟓−𝟏𝟎 𝑪 𝟒−𝟐 ]
𝟏𝟓𝑪𝟒
= 𝟎. 𝟑𝟑𝟗𝟔𝟕
47. Se va a formar un jurado de 6 personas de un grupo de 16 miembros, 5 de los
cuales son negros y los demás blancos. Sí el jurado es seleccionado
aleatoriamente, cual será la probabilidad de que en el jurado esté al menos 1 negro.
R; 0.94231.
N=16, r=5, n=6, X≥1.
P(X≥1) = 1 – P(X=0)
𝐏 𝐱 ≥ 𝟏 = 𝟏 −
𝟓𝑪𝟎 𝟏𝟔−𝟓 𝑪 𝟔−𝟎
𝟏𝟔𝑪𝟔
= 𝟏 −
𝟓𝑪𝟎 𝟏𝟏𝑪𝟔
𝟏𝟔𝑪𝟔
= 𝟎. 𝟗𝟒𝟐𝟑𝟏 = 𝟗𝟒. 𝟐𝟑𝟏%

1. El número de fallas en el cableado eléctrico sigue una distribución de Poisson,
con un promedio de 2 fallas por kilómetro. Determine la probabilidad de que
Λ = 2 fallas / km. = 2
a) no se presente ninguna falla en los primeros 500 mts.
μ = (λ)(t) = (2)(0.5) = 1 R = 0.3679
b) haya más de una falla en un tramo de un km.
μ = (λ*t) = (2*1) = 2 R = 1 – 0.4060 = 0.594
c) se presenten exactamente 2 fallas en 2 km.
μ = (λ*t) = (2*2) = 4 R = 0.2381 – 0.0916 = 0.1465

2. El número de llamadas que se reciben en un tablero de control telefónico
siguen una distribución Poisson con una media de 10 llamadas cada 5 minutos.
Cuál es la probabilidad de que en los primeros 4 minutos haya
Λ = 10 llamadas /5 min. = 2 llamadas / min
a) al menos 4 llamadas
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = 1 – (8,3) = 1 – 0.0424 = 0.9576
b) exactamente 5 llamadas
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = (8,5) – (8,4) = 0.1912 – 0.0996 = 0.0916
c) menos de 3 llamadas.
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = (8,2) = 0.0138

3. A un conmutador de la oficina principal de la compañía llegan llamadas a un
promedio de 2 por minuto se sabe que tienen distribución Poisson. Si el operador
esta distraído por un minuto. Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas
no respondidas sea:
Λ = 2 llamadas / min. = 2 llamadas / min
a) Cero
μ = (λ*t) = (2*1) = 2 R = (2,0) = 0.1353
b) Por lo menos una
μ = (λ*t) = (2*1) = 2 R = 1 – (2,0) = 1 – 0.1353 = 0.8647
c) Por lo menos dos
μ = (λ*t) = (2*1) = 2 R = 1 – (2,1) = 1 – 0.4060 = 0.594
d) Menos de dos
μ = (λ*t) = (2*1) = 2 R = (2,1) = 0.4060

e) Por lo menos tres
μ = (λ*t) = (2*1) = 2 R = 1 – (2,2) = 1 – 0.6767 = 0.3233
f) Por lo menos cinco
μ = (λ*t) = (2*1) = 2 R = 1 – (2,4) = 1 – 0.9473 = 0.0527
g) Entre 3 y 5 inclusive.
μ = (λ*t) = (2*1) = 2 R = (2,5) – (2,2) = 0.9834 – 0.6767 = 0.3067
4. ¿Cuáles serán las probabilidades del ejercicio anterior, si el operador se distrae por 4
minutos?
Λ = 2 llamadas / min. = 2 llamadas / min
a) Cero
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = (8,0) = 0.0003
b) Por lo menos una
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = 1 – (8,0) = 1 – 0.0003 = 0.9997

c) Por lo menos dos
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = 1 – (8,1) = 1 – 0.0030 = 0.9970
d) Menos de dos
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = (8,1) = 0.0030
e) Por lo menos tres
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = 1 – (8,2) = 1 – 0.0138 = 0.9862
f) Por lo menos cinco
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = 1 – (8,4) = 1 – 0.0996 = 0.9004
g) Entre 3 y 5 inclusive.
μ = (λ*t) = (2*4) = 8 R = (8,5) – (8,2) = 0.1912 – 0.0138 = 0.1774

5. Se tiene una distribución de probabilidad de Poisson con un promedio de
dos ocurrencias por periodo.
Λ = 2 ocurrencias / periodo. = 2 ocurrencias por periodo.
A) ¿Cuál es la cantidad promedio de ocurrencias en tres intervalos de tiempo?
μ = (λ*t) = (2*3) = 6
B) Determine la probabilidad de dos ocurrencias en un intervalo unitario de
tiempo.
μ = (λ*t) = (2*1) = 2 R = (2,2) – (2,1) = 0.6767 – 0.4060 = 0.2707
C) Encuentre la probabilidad de seis ocurrencias en tres intervalos de tiempo. μ
= (λ*t) = (2*3) = 6 R = (6,6) – (6,5) = 0.6063 – 0.4457 = 0.1606
D) Determine la probabilidad de cinco ocurrencias en dos intervalos de tiempo.
μ = (λ*t) = (2*2) = 4 R = (4,5) – (4,4) = 0.7851 – 0.6288 = 0.1563

6. Unas láminas de metal presentan defectos en el cromado que se presentan en
forma aleatoria de acuerdo a la distribución Poisson, con una media de 3 defectos por
metro cuadrado. Cuál es la probabilidad de que una hoja de 2.5 m x 1.5 m tenga:
Λ = 3 defectos / 𝒎𝟐. = 3 defectos por metro cuadrado
a) al menos 4 defectos.
μ = (λ*t) = (3*3.75) = 11.25 R = 1–
𝒆−𝟏𝟏.𝟐𝟓 𝟏𝟏.𝟐𝟓𝟎
𝟎!
+ . . . +
𝒆−𝟏𝟏.𝟐𝟓 𝟏𝟏.𝟐𝟓𝟑
𝟑!
= 0.99593
b) exactamente 10 defectos.
μ = (λ*t) = (3*3.75) = 11.25 R =
𝒆−𝟏𝟏.𝟐𝟓 𝟏𝟏.𝟐𝟓𝟏𝟎
𝟏𝟎!
= 0.11639

7. El tiempo que se tarda en ser atendido una persona en las cajas de servicio de un
banco, sigue una distribución Poisson con una media de 4 personas por minuto,
cuales la probabilidad de que en un minuto dado:
Λ = 4 personas / min = 4 personas por minuto
a) se atiendan entre 2 y 6 clientes (inclusive),
μ = (λ*t) = (4*1) = 4 R = (4,6) – (4,1) = 0.8893 – 0.0916 = 0.7977
b) como mínimo 3 clientes,
μ = (λ*t) = (4*1) = 4 R = 1 – (4,2) = 1 – 0.2381 = 0.7619
c) como máximo 5 clientes:
μ = (λ*t) = (4*1) = 4 R = (4,5) = 0.7851

1. Se sabe que un componente eléctrico tiene una vida exponencial con una tasa de falla de 10-5
fallas por hora. Determine la fracción de tales componentes que fallarán antes de que transcurra
la vida media.
R = 𝑒
−1𝑥10−5
1𝑥10−5
= 0.6321
2. El tiempo transcurrido hasta la falla de un cinescopio de televisión se estima que se distribuye
exponencialmente con una media de 2.5 años. Una compañía ofrece garantía para este
cinescopio.
a) ¿Qué porcentaje de las pólizas tendrá que pagar por alguna reclamación antes de que expire
la garantía ofrecida que fue de 5 años?
R = 1 - 𝑒
−5
2.5 = 0.86466
b) Si la empresa desea que no más del 33% de las pólizas sean reclamadas antes de la expiración
de la garantía.¿Qué garantía debe ofrecer la compañía?
R = 𝑒
−28.53378
2.5 = 0.9999 ≈ 1

1. El tiempo de ensamble de un juguete se distribuye en forma normal con una media de
14.5 minutos y una desviación estándar de 2.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que
este tipo de juguetes se pueda ensamblar…
a) …en menos de 12 minutos?
𝒁 =
𝑿 − µ
𝝈
=
𝟏𝟐. 𝟓 − 𝟏𝟒. 𝟓
𝟐. 𝟓
= −𝟏. 𝟎𝟎
Buscando en tablas cuando Z= -1 con .00
R= 0.1587
b) …entre 10 y 16 minutos?
𝒁𝟐 =
𝟏𝟔−𝟏𝟒.𝟓
𝟐.𝟓
= 𝟎. 𝟔𝟎𝟎 Usando tablas con Z= 0.6 con .00 𝑷𝟐 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟓𝟕
𝒁𝟏 =
𝟏𝟎−𝟏𝟒.𝟓
𝟐.𝟓
= −𝟏. 𝟖𝟎𝟎 Usando tablas con Z= -1.8 con .00 𝑷𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟓𝟗
𝑷 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟓𝟕 − 𝟎. 𝟎𝟑𝟓𝟗.
R=0.6898

c) …en más de 8 minutos?
𝒁𝟏 =
𝟖−𝟏𝟒.𝟓
𝟐.𝟓
= −𝟐. 𝟔𝟎𝟎 Usando tablas con Z= -2.600 con .00 𝑷𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟕
𝑷 = 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟕
R= 0.9953
2. Suponga que las estaturas de los estudiantes de FIME. Se distribuyen
normalmente con una media de 1.69 mts. Si seleccionamos 400 estudiantes al azar.
¿Cuántos medirán…
a) …entre 1.70 y 1.75 mts?
PN = Pmayor – Pmenor =
𝟏.𝟕𝟓 − 𝟏.𝟔𝟗
𝟎.𝟎𝟓
−
𝟏.𝟕𝟎 − 𝟏.𝟔𝟗
𝟎.𝟎𝟓
= 0.8849 – 0.5793 = (0.3056)(400) = 122
alumnos
b) …menos de 1.60 mts?
𝒛 =
𝒙 − 𝝁
𝝈ʹ
=
𝟏.𝟔𝟎 − 𝟏.𝟔𝟗
𝟎.𝟎𝟓
= −𝟏. 𝟖 = 0.0359*400 = 14 alumnos

3. Un investigador de la UCLA reporta que los ratones viven un promedio de 40 meses
cuando sus dietas son muy restringidas y luego enriquecidas con vitaminas y proteínas.
Suponiendo que la vida de tales ratones están normalmente distribuidas con una
desviación estándar de 6.3 meses, encuentra la probabilidad de que una rata viva:
a) Más de 32 meses
𝒁𝟏 =
𝟑𝟐−𝟒𝟎
𝟔.𝟑
= −𝟏. 𝟐𝟔 𝑷𝟏 = 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝟎𝟑𝟖 = 0.8962
b) Menos de 28 meses
𝒛 =
𝒙 − 𝝁
𝝈ʹ
=
𝟐𝟖 − 𝟒𝟎
𝟔.𝟑
= -1.904 = 0.0287
c) Entre 37 y 47 meses
P = =
𝟒𝟕 − 𝟒𝟎
𝟔.𝟑
−
𝟑𝟕 − 𝟒𝟎
𝟔.𝟑
= 0.8665 – 0.3192 = 0.5473

4. Supongan que la fuerza que actúa en una columna que ayuda a soportar un edificio
está normalmente distribuida con una media de 15 libras fuerza y una desviación
estándar de 1.25 libras fuerza. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza…
a) …sea mas de 18 libras fuerza?
P = 1 – z = 1-
18 − 15
1.25
= 1 − 2.4 = 1 – 0.9918 = 0.0082
b) …esté entre 11 y 12 libras fuerza?
P = =
12 − 15
1.25
−
11 − 15
1.25
= 0.0082– 0.0007 = 0.0075
5. La probabilidad de que una persona muera debido a una cierta infección respiratoria
es de .002. Encuentre la probabilidad de que mueran como máximo 30 de las próximas
20000 personas infectadas.
𝜇 = 0.002 ; 𝜎 = 1
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎ʹ
=
30 − 40
1
= −10 𝑃 = 20000 0.002 = 𝟒𝟎%

6. Un fabricante de pólvora desarrolló una nueva formula que se probo con 10 granadas, las velocidades en
pies/seg son las siguientes:
2900 2985 3000 3008 2998 2955 3005 2968 2946 2977
Supón que la velocidad se distribuye en forma normal. Determina un intervalo de confianza del 90% para la
verdadera velocidad promedio.
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 =
𝑺𝒖𝒎𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔
# 𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔
=
𝟐𝟗𝟕𝟒𝟐
𝟏𝟎
= 𝟐𝟗𝟕𝟒. 𝟐 ; Dis. Est.=33.591
𝟏+𝟎.𝟗
𝟐
= 𝟎. 𝟗𝟓 ; E= Z α/2
𝝈ʹ
𝒏
= (1.65)
𝟑𝟑.𝟓𝟗𝟏
𝟏𝟎
= 17.52
(μ-E , μ+E) = (2974.2 – 17.52 , 2974.2 + 17.52)
R= (2956.68 , 2991.72) Intervalo 90% confianza
7. Una maquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de 11 piezas y las lecturas son
las siguientes:
1.01 1.00 0.99 1.02 1.03 1.02 0.99 0.98 1.01 1.00 0.99
Encuentra un intervalo de confianza de 95% para la verdadera varianza poblacional. Suponga que los diámetros por
esa máquina, se distribuye en forma normal.
Media= 1.0036 ; n= 11; Des. Est. = 0.0156 ;
𝟏+𝟎.𝟗𝟓
𝟐
= 𝟎. 𝟗𝟕𝟓;
E = Z α/2
𝝈ʹ
𝒏
= (1.96)
𝟎.𝟎𝟏𝟓𝟔
𝟏𝟏
= 0.00921 ;
(μ-E , μ+E) = (1.0036 – 0.00921 , 1.0036 + 0.00921)= R= (0.9944, 1.0128) Intervalo 95% confianza

8. Los paquetes de cereal Cheerios de General Mills vienen en cajas de 36 onzas que tienen una
desviación estándar de 1.9 onzas. Se piensa que los pasos están distribuidos normalmente. Si
se selecciona una caja aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que la caja pese…
a) …menos de 34.8 onzas?
𝒛 =
𝒙 − 𝝁
𝝈ʹ
=
𝟑𝟒.𝟖 − 𝟑𝟔
𝟏.𝟗
= -0.63 = 0.2643
b) …más de 34.8 onzas?
P = 1 – z = 1-
𝟑𝟒.𝟖 − 𝟑𝟔
𝟏.𝟗
= 1 – 0.2643 = 0.7357
c)…entre 34.8 y 38.9?
P=
𝟑𝟖.𝟗 − 𝟑𝟔
𝟏.𝟗
−
𝟑𝟒.𝟖 − 𝟑𝟔
𝟏.𝟗
= 0.9357– 0.2643 = 0.6714
d) …entre 39.5 y 41 onzas?
P =
𝟒𝟏 − 𝟑𝟔
𝟏.𝟗
−
𝟑𝟗.𝟓 − 𝟑𝟔
𝟏.𝟗
= 0.9982– 0.9671 = 0.0311
e) …menos de 35 y más de 37
PN = 1 - (Pmayor – Pmenor) =
𝟑𝟕 − 𝟑𝟔
𝟏.𝟗
−
𝟑𝟓 − 𝟑𝟔
𝟏.𝟗
= 0.6985– 0.3015 = 1-0.397 = 0.603

9. Se publica que los frenos de los nuevos autos de la marca Lamborghini duran un promedio de
35000 millas con una desviación estándar de 1114 millas. ¿Cuál es la probabilidad de que los frenos
del auto que usted acaba de comprar duren…
a) …más de 34000 millas?
P = 1 – z = 1-
𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟏𝟏𝟒
= 1 – 0.1867 = 0.8133
b) …menos de 33900 millas?
𝒛 =
𝒙 − 𝝁
𝝈ʹ
=
𝟑𝟑𝟗𝟎𝟎 − 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟏𝟏𝟒
= -0.98 = 0.1635
c) ...menos de 37500 millas?
𝒛 =
𝒙 − 𝝁
𝝈ʹ
=
𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎 − 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟏𝟏𝟒
= 2.24 = 0.9875
d) ...Entre 35200 y 36900 millas?
P =
𝟑𝟔𝟗𝟎𝟎 − 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟏𝟏𝟒
−
𝟑𝟓𝟐𝟎𝟎 − 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟏𝟏𝟒
= 0.9554– 0.5675 = 0.3879

10. Los sobrecostos por actualización de computadoras en su empresa tienen un promedio de US
$23500 con una desviación estándar de US $9400. Como director ejecutivo de la división de
investigación, usted no desea arriesgarse a más de 34% de probabilidad que el sobrecosto en una
actualización propuesta recientemente exceda de US $25000. ¿Debería ejecutar la actualización?
𝒛 =
𝒙 − 𝝁
𝝈ʹ
=
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟑𝟓𝟎𝟎
𝟗𝟒𝟎𝟎
= = 0.5996 = 59% NO SE DEBE EJECUTAR
11. Un análisis de calificaciones del examen final de estadística I, revela que las calificaciones siguen
la distribución normal. La media de la distribución es de 75 y la desviación estándar es de 8. El
profesor quiere recompensar con A los estudiantes cuyas calificaciones se encuentren dentro del 10%
mas alto. ¿Cuál es el punto de división para aquellos estudiantes que merecen una A y los que
merecen una B?
𝝁 = 𝟕𝟓 ; 𝝈 = 𝟖;
𝟏𝟎% =
𝒙 − 𝟕𝟓
𝟖
−→
𝟏𝟎 𝟖
−𝟕𝟓
= −𝟏. 𝟎𝟔
12. Los corredores de un maratón local terminaron el trayecto en un tiempo promedio de 180.3
minutos; la desviación estándar es de 25.7. ¿Qué tan rápido deben correr para terminar dentro del
primer 10%?
𝝁 = 𝟏𝟖𝟎. 𝟑 ; 𝝈 = 𝟐𝟓. 𝟕;
𝟏𝟎% =
𝒙 − 𝟏𝟖𝟎. 𝟑
𝟐𝟓. 𝟕
−→
𝟏𝟎 𝟐𝟓. 𝟕
−𝟏𝟖𝟎. 𝟑
= −𝟏. 𝟒𝟐

13. Los empleados de una compañía trabajan un promedio de 55.8 horas por semana, con una
desviación estándar de 9.8 horas. Los ascensos son más probables para los empleados que están
dentro del 10% de los que pasan mas tiempo trabajando. ¿Cuánto debe trabajar usted para mejorar
sus oportunidades de ascenso?
𝝁 = 𝟓𝟓. 𝟖 ; 𝝈 = 𝟗. 𝟖;
𝟏𝟎% =
𝒙 − 𝟓𝟓. 𝟖
𝟗. 𝟖
−→
𝟏𝟎 𝟗. 𝟖
−𝟓𝟓. 𝟖
= −𝟏. 𝟕𝟓
14. En una compañía se sabe que el tiempo promedio de recuperación de cartera es de 40 días con
una desviación estándar de 2.12. Si seleccionan cuentas al azar. ¿Cuál será la probabilidad de que
una de las cuentas sea de los que se recuperan en…
a) …menos de 40 días?
𝒛 =
𝒙 − 𝝁
𝝈ʹ
=
𝟒𝟎 − 𝟒𝟎
𝟐.𝟏𝟐
= 0 = 0.5
b) …entre 35 y 40 días?
P =
𝟒𝟎 − 𝟒𝟎
𝟐.𝟏𝟐
−
𝟑𝟓 − 𝟒𝟎
𝟐.𝟏𝟐
= 0.5– 0.0094 = 0.4906
c) …en 48 días?
a) P = 1 – z = 1-
𝟒𝟐 − 𝟒𝟎
𝟐.𝟏𝟐
= 1 – 0.8264 = 0.1736

d) …en 48 días?
P = 1 – z = 1-
𝟒𝟐 − 𝟒𝟎
𝟐.𝟏𝟐
= 1 – 0.8264= 0.1736
e) …másde 42 días?
P = 1 – z = 1-
𝟒𝟐 − 𝟒𝟎
𝟐.𝟏𝟐
= 1 – 0.8264= 0.1736
f) …menos de 43 días?
𝒛 =
𝒙 − 𝝁
𝝈ʹ
=
𝟒𝟑 − 𝟒𝟎
𝟐.𝟏𝟐
= 0 = 0.9207
15. Si z es variable aleatoria normal estándar,determine z en cada caso:
a) El área a la izquierda de z es 0.2119R= -0.8
b) El área a la derecha de z es 0.6915R= -0.5
c) El área a la izquierda de z es 0.9948R= 2.56
d) El área entre 0 y z es 0.4750R= 0.9207

1. ITC para la media
a) 95%
n= 40 𝑋= 68.4 σ= 13.1
ITC = 𝑋 ± 𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
+Z
0.06
+1.9
0.975
-Z
0.06
-1.9
0.0250
Zα/2= 1.9+0.06
Zα/2= 1.96
LS= 𝑋 + 𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
LI= 𝑋 − 𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
LS= 68.4 + (1.96)
13.1
40
LI= 68.4 −
(1.96)
13.1
40
LS= 72.4 LI= 64.3
b) 95%
n= 75 𝑋= 80 σ= 15
ITC = 𝑋 ± 𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
+Z
0.06
+1.9
0.975
-Z
0.06
-1.9
0.0250
Zα/2= 1.9+0.06
Zα/2= 1.96
LS= 𝑋 + 𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
LI= 𝑋 − 𝑍𝛼/2
𝜎
𝑛
LS= 80 + (1.96)
15
75
LI= 80 − (1.96)
15
75
LS= 82.579 LI= 77.42

2. ITC para la proporción
a) 95%
n= 950 x= 1900 ρ=2 ρ =
x
n
𝜌 1−𝜌
𝑛
+Z
0.06
+1.9
0.975
+Z
0.06
+1.9
0.975
Zα/2= 1.9+0.06
Zα/2= 1.96
LS= 𝜌 + 𝑍𝛼/2
𝜌 1−𝜌
𝑛
LI= 𝜌 − 𝑍𝛼/
2
𝜌 1−𝜌
𝑛
LS= 2 + (1.96)
2∗ 1−2
950
LI= 2 −
1.96
2∗ 1−2
950
b) 95%
n= 50 x= 25 ρ=0.5 ρ =
x
n
𝜌 1−𝜌
𝑛
+Z
0.06
+1.9
0.975
+Z
0.06
+1.9
0.975
Zα/2= 1.9+0.06
Zα/2= 1.96
LS= 𝜌 + 𝑍𝛼/2
𝜌 1−𝜌
𝑛
LI= 𝜌 − 𝑍𝛼/2
𝜌 1−𝜌
𝑛
LS= 0.5 + (1.96)
0.5∗ 1−0.5
50
LI= 0.5 − (1.96)
0.5 1−0.5
50
LS= 0.519 LI= 0.4804

3. ITC para la diferencia de medias
a) 95%
n1= 3500 n2= 3000
𝑋1= 20 𝑋2= 100
σ1= 1/75 σ2= 1/30
ITC= Δ𝑋 ± 𝑍𝛼/2
𝜎12
𝑛1
+
𝜎22
𝑛2
Δ𝑋= 𝑋mayor - 𝑋menor
+Z
0.06
+1.9
0.975
-Z
0.06
-1.9
0.0250
Zα/2= 1.9+0.06
Zα/2= 1.96
LS= Δ +𝑍𝛼/2
𝜎12
𝑛1
+
𝜎22
𝑛2
LS= (80) + 1.96
1
75
2
3500
+
1
30
2
3000
LS= 80.001
LI= Δ −𝑍𝛼/2
𝜎12
𝑛1
+
𝜎22
𝑛2
LI= (80) − (1.96)
(1/75)2
(3500)
+
(1/30)2
(3000)
LI= 79.998

3. ITC para la diferencia de medias
b) 95%
n1= 70 n2= 700
𝑋1= 15 𝑋2= 120
σ1= 3/14 σ2= 6/35
ITC= Δ𝑋 ± 𝑍𝛼/2
𝜎12
𝑛1
+
𝜎22
𝑛2
Δ𝑋= 𝑋mayor - 𝑋menor
+Z
0.06
+1.9
0.975
-Z
0.06
-1.9
0.0250
Zα/2= 1.9+0.06
Zα/2= 1.96
LS= Δ +𝑍𝛼/2
𝜎12
𝑛1
+
𝜎22
𝑛2
LS= (630) + (1.96)
(3/14)2
(70)
+
(6/35)2
(700)
LS= 630.051
LI= Δ −𝑍𝛼/2
𝜎12
𝑛1
+
𝜎22
𝑛2
LI= (630) − (1.96)
(3/14)2
(70)
+
(6/35)2
(700)
LI= 629.948

4. ITC para la diferencia de proporciones
a) 95%
n1= 3500 n2= 3000
x1= 20 x2= 100
𝑝1 =
#𝑅𝑇𝑜𝑡
𝑝2 =
#𝑅𝑇𝑜𝑡
𝑝1 =
20
3500
=
1
175
𝑝2 =
100
3000
=
1
30
ITC= 𝛥𝜌 ± 𝑍𝛼/2
𝜌1 1−𝜌1
𝑛1
+
𝜌2 1−𝜌2
𝑛2
Δρ= ρmayor- ρmenor
+Z
0.06
+1.9
0.975
-Z
0.06
-1.9
0.0250
Zα/2= 1.9+0.06
Zα/2= 1.96
LS= 𝛥𝜌 + 𝑍𝛼/2
𝜌1 1−𝜌1
𝑛1
+
𝜌2 1−𝜌2
𝑛2
LS= (29/1050) +
(1.96)
1
175
1−
1
175
3500
+
1
30
1−
1
30
3000
LS= 0.0549
LI= 𝛥𝜌 − 𝑍𝛼/2
𝜌1 1−𝜌1
𝑛1
+
𝜌2 1−𝜌2
𝑛2
LI= 0.0276 − 𝑍𝛼/2
1
175
1−
1
175
3500
+
1
30
1−
1
30
3000
LI= 0.048

4. ITC para la diferencia de proporciones
a) 95%
n1= 4000 n2= 5500
x1= 20 x2= 100
𝑝1 =
#𝑅𝑇𝑜𝑡
𝑝2 =
#𝑅𝑇𝑜𝑡
𝑝1 =
20
3500
=
1
200
𝑝2 =
100
3000
=
1
55
ITC= 𝛥𝜌 ± 𝑍𝛼/2
𝜌1 1−𝜌1
𝑛1
+
𝜌2 1−𝜌2
𝑛2
Δρ= ρmayor- ρmenor
+Z
0.06
+1.9
0.975
-Z
0.06
-1.9
0.0250
Zα/2= 1.9+0.06
Zα/2= 1.96
LS= 𝛥𝜌 + 𝑍𝛼/2
𝜌1 1−𝜌1
𝑛1
+
𝜌2 1−𝜌2
𝑛2
LS= 29/2200 + (1.96)
1
200
1−
1
200
4000
+
1
55
1−
1
55
5500
LS= 0.0173
LI= 𝛥𝜌 − 𝑍𝛼/2
𝜌1 1−𝜌1
𝑛1
+
𝜌2 1−𝜌2
𝑛2
LI= 0.0276 −
𝑍𝛼
2
1
175
1−
1
175
3500
+
1
30
1−
1
30
3000
LI= 7.23x10-4

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