Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I

1. Algoritmo de la división,
MCD, algoritmo de
Euclides y Ecuaciones
Diofánticas
Asignatura: Álgebra I.
Docente: Jony Rojas

2. Definición 1. Sean 𝑎, 𝑑 ∈ ℤ con 𝑑 ≠ 0. Se dice que 𝑑 divide a 𝑎, y se denota
𝑑|𝑎, si existe un entero 𝑘 tal que 𝑎 = 𝑘 ⋅ 𝑑. En símbolos:
𝒅|𝒂 ⟺ ∃𝒌 ∈ ℤ ∶ 𝒂 = 𝒌 ⋅ 𝒅.
• Div(𝑎) representa el conjunto de los divisores positivos y negativos de un
entero 𝑎.
• Div+ 𝑎 denota el conjunto de los divisores positivos de 𝑎.
Ejercicio. Argumente el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a. 5|35 b. −6|78 c. 12|0 d. −25|0 e. 12|10 f. −10| − 8
Revisar las propiedades de la divisibilidad, realizar verificación de ellas.
DIVISIBILIDAD

3. ALGORTIMO DE LA DIVISIÓN
Ejercicio 1. Dadas las siguientes parejas de números encuentre enteros 𝑘 y
𝑟 tales que la proposición 𝑎 = 𝑘 ∙ 𝑏 + 𝑟 sea verdadera.
a. 𝑎 = 20; 𝑏 = 3 b. 𝑎 = −26; 𝑏 = 4 c. 𝑎 = −175; 𝑏 = −35.
Solución.
𝑎. 20 = 10 ∙ 3 + (−10)
Teorema 6. Dados 𝑎, 𝑑 ∈ ℤ con 𝑑 ≠ 0, existen 𝑘, 𝑟 ∈ ℤ únicos
que satisfacen 𝑎 = 𝑘 ∙ 𝑏 + 𝑟 con 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 . 𝑘 es el cociente y
𝑟 = 𝑟𝑏(𝑎) es el resto de la división de 𝑎 por b.
Ejercicio 2. Calcule el cociente y el resto de la división de 𝑎 por 𝑏 en los casos
del ejercicio 1.
REALIZAR EL EJERCICIO 3 DE LA PÁGINA 7.

4. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
TEOREMA 7. Sea 𝑑 ∈ ℕ con 𝒅 ≥ 𝟐. Todo número 𝑎 ∈ ℕ0 admite un desarrollo en base 𝑑 de la
forma 𝑎 = 𝑟𝑛 ∙ 𝑑𝑛
+ 𝑟𝑛−1 ∙ 𝑑𝑛−1
+ ⋯ + 𝑟1 ∙ 𝑑 + 𝑟0, con 0 ≤ 𝑟𝑖 < 𝑑 para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 y 𝑟𝑛 ≠ 0, si 𝑎 ≠ 0.
Además, dicho desarrollo, con las exigencias 0 ≤ 𝑟𝑖 < 𝑑 impuestas para los símbolos, es
único. Se denota 𝑎 = (𝑟𝑛 … 𝑟0)𝑑.
25 = 12 ∙ 2 + 1,
12 = 6 ∙ 2 + 0,
6 = 3 ∙ 2 + 0,
3 = 1 ∙ 2 + 1.
El número binario se forma escribiendo primero el
último cociente y después los residuos desde el último
al primero. Es decir 25 = 11001 2 .
Este procedimiento será el mismo para cualquier base.
Para convertir el número 11001 2 en base decimal, empleamos la ecuación
polinómica 𝑎 = 𝑟𝑛𝑑𝑛
+ 𝑟𝑛−1𝑑𝑛−1
+ ⋯ + 𝑟1. 𝑑 + 𝑟0, así,
11001 2 = 1 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 0 ∙ 2 + 1 = 25.
Ejemplo 5. Exprese el número 25 en el sistema binario.
Aquí inicia
clase del 15-06-
2021
Nota: El proceso termina cuando el cociente es menor
que el divisor

5. EJERCITACIÓN
1. Escribir cada uno de los siguientes números en la base que se indica.
a. 466 en base 2.
b. 546 en base 3.
c. 2022 en base 5.
d. 11012 en base 10.
e. 2021 3 en base 4.
f. 10101 2 en base 7.
g. 543012 6 en base 8.

6. SUMA Y MULTIPLICACIÓN CON BASE DISTINTA DE 10
Ejemplo: Encuentre la suma y el producto de los números 1201 3 y 201 3.
1 2 0 1
× 2 0 1
1 2 0 1
0 0 0 0 0
1 0 1 0 2
1 0 1 2 1 0 1
1
1 2 0 1
+ 2 0 1
2 1 0 2
𝟒 = 𝟏 ∙ 𝟑 + 𝟏 ⇒ 𝟒 𝟏𝟎 = 𝟏𝟏𝟑
𝟑 = 𝟏 ∙ 𝟑 + 𝟎 ⇒ 𝟑𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟑

7. EJERCITACIÓN
1. Encuentre la suma y el producto de las siguientes parejas de
números.
a. 11012 y 10112.
b. 12013 y 1213.
c. 20215 y 64385.

8. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCM)
Definición 2. Máximo común divisor. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, no ambos nulos. El máximo
común divisor entre a y b, que se denota (𝑎: 𝑏), es el mayor de los divisores
comunes de 𝑎 y 𝑏. Es decir:
𝟏. 𝒂: 𝒃 |𝒂 𝒚 𝒂: 𝒃 |𝒃.
𝟐. si 𝒅|𝒂 𝒚 𝒅|𝒃, entonces 𝒅 ≤ 𝒂: 𝒃 .
 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 es el conjunto de los divisores comunes de 𝑎 y 𝑏.
 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚+ 𝑎, 𝑏 es el conjunto de los divisores comunes positivos, es decir:
𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 = 𝑑 ∈ ℤ: 𝑑|𝑎 y 𝑑|𝑏 = 𝐷𝑖𝑣(𝑎) ∩ 𝐷𝑖𝑣(𝑏)
𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚+ 𝑎, 𝑏 = 𝑑 ∈ ℕ: 𝑑|𝑎 y 𝑑|𝑏 = 𝐷𝑖𝑣+ 𝑎 ∩ 𝐷𝑖𝑣+ 𝑏 .
Luego el máximo común divisor es el elemento más grande de cualquiera de esos dos conjuntos.
Ejercicio. Determinar 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 y (𝑎: 𝑏) de las siguientes parejas de números.
a. a = 60; 𝑏 = 54 b. a = 210; 𝑏 = −99 c. a = 50; 𝑏 = 630

9. PROPIEDADES DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
 𝑎: 𝑏 = 𝑏: 𝑎 , ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ no ambos nulos.
 𝑎: 𝑏 = −𝑎: 𝑏 = 𝑎: −𝑏 = −𝑎: −𝑏 = 𝑎 : 𝑏 , ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ no
ambos nulos.
 𝑎: 1 = 1, ∀𝑎 ∈ ℤ.
 𝑎: 0 = 𝑎 , ∀𝑎 ∈ ℤ − 0 .
 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ con 𝑏 ≠ 0, se tiene que si 𝑏|𝑎, entonces 𝑎: 𝑏 = 𝑏 .

10. ALGORITMO DE EUCLIDES PARA CALCULAR EL MCM
Proposición 1. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ no ambos nulos, y sea 𝑘 ∈ ℤ , entonces
𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 = 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑏, 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 y 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚+ 𝑎, 𝑏 = 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚+ 𝑏, 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 .
En particular, ∀𝑘 ∈ ℤ, 𝑎: 𝑏 = 𝑏: 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 .
D.M. Basta con probar que 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 = 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑏, 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏
Afirmaciones Justificación
1. Sea 𝑎, 𝑘, 𝑏 ∈ ℤ 𝑡. 𝑞 𝑎, 𝑏 ≠ 0. Hipótesis
2. Si 𝑑 ∈ 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑑|𝑎 y 𝑑|𝑏. Def. de 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 y 1).
3. 𝑑| 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 y 𝑑|𝑏 Por propiedad 6 y 8 de divisibilidad y por 2).
4. 𝑑 ∈ 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑏, 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 Def. de 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑏, 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 y por 3).
5. 𝑫𝒊𝒗𝑪𝒐𝒎 𝒂, 𝒃 ⊂ 𝑫𝒊𝒗𝑪𝒐𝒎 𝒃, 𝒂 − 𝒌 ∙ 𝒃 Def. de subconjunto y por 4).
6. Si h ∈ 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑏, 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 , entonces h| 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 y ℎ|𝑏. Def. de 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑏, 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 y 1).
7. h| 𝑎 − 𝑘 ∙ 𝑏 , h|𝑏 y ℎ|𝑘 ∙ 𝑏 Por propiedad 8 de divisibilidad y por 6).
8. ℎ|𝑎 y ℎ|𝑏 Por propiedad 6 de divisibilidad y por 7).
9. ℎ ∈ 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 Def. de 𝐷𝑖𝑣𝐶𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 y por 8).
10. 𝑫𝒊𝒗𝑪𝒐𝒎 𝒃, 𝒂 − 𝒌 ∙ 𝒃 ⊂ 𝑫𝒊𝒗𝑪𝒐𝒎 𝒂, 𝒃 Def. de subconjunto y por 9).

11. DEFINICIÓN DE SUBCONJUNTO
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales si y sólo si 𝐴 ⊂ 𝐵 y 𝐵 ⊂ 𝐴.
DEFINICIÓN DE IGUALDAD DE CONJUNTO
Si todo elemento de un conjunto 𝐴 es también elemento de un
conjunto 𝐵, entonces se dice que 𝐴 es un subconjunto de 𝐵. Esto se
denota por 𝐴 ⊂ 𝐵.

12. ALGORITMO DE EUCLIDES PARA CALCULAR EL MCM
Ejemplo. Determine el (120: −84).
Solución. Primero, notemos que 120: −84 = (120: 84).
120 = 1 ∙ 84 + 36
84 = 2 ∙ 36 + 12
36 = 3 ∙ 12 + 0
Pero 12: 0 = 12, luego 120: −84 = 12.
⟹ 84: 36 = 36: 12
⟹ 120: 84 = 84: 36
⟹ 36: 12 = 12: 0

13. ALGORITMO DE EUCLIDES PARA CALCULAR EL MCM
Teorema 7. (Algoritmo de Euclides) Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, no nulos. Existe 𝑙 ∈ ℕ0 tal que en
una sucesión finita de 𝑙 + 1 divisiones
𝑎 = 𝑘1 ∙ 𝑏 + 𝑟1 con 0 ≤ 𝑟1 < 𝑏
𝑏 = 𝑘2 ∙ 𝑟1 + 𝑟2 con 0 ≤ 𝑟2 < 𝑟1
𝑟1 = 𝑘3 ∙ 𝑟2 + 𝑟3 con 0 ≤ 𝑟3 < 𝑟2
⋮
𝑟𝑙−2 = 𝑘𝑙 ∙ 𝑟𝑙−1 + 𝑟𝑙 con 0 ≤ 𝑟𝑙 < 𝑟𝑙−1
𝑟𝑙−1 = 𝑘𝑙+1 ∙ 𝑟𝑙 + 𝑟𝑙+1 con 0 ≤ 𝑟𝑙+1 < 𝑟𝑙,
Se llega por primera vez al resto nulo 𝑟𝑙+1 = 0. Entonces 𝒂: 𝒃 = 𝒓𝒍 , el último
resto no nulo.

14. CALCULAR EL MCM DE LAS PAREJAS DE
NÚMEROS SIGUIENTES:
• 114; 588.
• −18; 24.
• −240; −180.

15. ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Definición 4. Una ecuación lineal diofántica es una ecuación de la forma
𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 = 𝑐 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son números enteros, a y b no ambos nulos.
Ejemplos de ecuaciones diofánticas:
a. 4𝑥 + 7𝑦 = 25 b. −2𝑥 + 8𝑦 = 9 c. 25𝑥 − 5𝑦 = 25
Surgen las siguientes preguntas:
1. ¿Toda ecuación diofántica tiene solución?
2. Si la ecuación 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 = 𝑐 tiene solución, ¿cuántas tiene?
3. ¿Hay algún método que nos permita saber si la ecuación 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 =
𝑐 tiene solución?
4. ¿Hay algún método que nos permita resolver la ecuación 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 = 𝑐?

16. 1. ¿Toda ecuación diofántica tiene solución? Y
3. ¿Hay algún método que nos permita saber si la ecuación 𝒂𝑿 + 𝒃𝒀 = 𝒄 tiene solución?
Proposición 7. (Ecuación diofántica y máximo común divisor)
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ con 𝑎, 𝑏 no nulos. La ecuación diofántica 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 = 𝑐 admite soluciones enteras si
y solo si 𝑎: 𝑏 |𝑐. Es decir:
∃ 𝑥0, 𝑦0 ∈ ℤ2
: 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = 𝑐 ⇔ 𝑎: 𝑏 |𝑐.
2. Si la ecuación 𝒂𝑿 + 𝒃𝒀 = 𝒄 tiene solución, ¿cuántas tiene?
Proposición 9. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ no nulos. El
conjunto 𝑆0 de soluciones enteras de la
ecuación diofántica 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 = 0 es
𝑺𝟎 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℤ𝟐
: 𝒙 = 𝒃´𝒌, 𝒚 = −𝒂´𝒌; 𝒌 ∈ ℤ ,
donde 𝑎´ ≔
𝑎
𝑎: 𝑏
y 𝑏´ ≔
𝑏
𝑎: 𝑏
.
Teorema 12. Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ con 𝑎, 𝑏 no nulos. El
conjunto 𝑆 de soluciones enteras de la ecuación
diofántica 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 = 𝑐 es:
 Cuando 𝑎: 𝑏 ∤ 𝑐, 𝑆 = ∅.
 Cuando 𝑎: 𝑏 |𝑐, 𝑆 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ2: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑏´𝑘, 𝑦 =

17. ¿Hay algún método que nos permita resolver la ecuación 𝒂𝑿 + 𝒃𝒀 = 𝒄?
Algoritmo de Euclides para calcular el MCD.
Paso 2. Escribir al MCD como combinación lineal de los coeficientes de las variables x e y.
De la ecuación (2) se tiene que 1 = 5 − 2 ∙ 2 y de la (1) que 2 = 17 − 3 ∙ 5, luego
1 = 5 − 2 ∙ 2 = 5 − 2 ∙ 17 − 3 ∙ 5
1 = 5 − 2 ∙ 17 + 6 ∙ 5
1 = 17 ∙ −2 + 5 ∙ 7
Paso 3. Encontrar una solución particular de la ecuación diofántica.
Multiplicando esta última igualdad por 25 obtenemos 25 = 17 ∙ −50 + 5 ∙ 175 o lo que es lo mismo
17 ∙ −50 + 5 ∙ 175 = 25
Solución particular 𝑥 = −50; 𝑦 = 175.
Paso 4. Encontrar todas las soluciones de la ecuación diofántica lineal.
¿Cómo hacemos para encontrar todas las soluciones?
Por tanto, 17: 5 = 1 y dado
que 1|25, esta ecuación
tiene solución.
Paso 1. Calcular el MCD de los coeficientes de las variables x e y.
17 = 3 ∙ 5 + 2 (1)
5 = 2 ∙ 2 + 1 (2)
2 = 2 ∙ 1 + 0 (3)
Ejemplo: Resuelva la ecuación lineal diofántica 17𝑥 + 5𝑦 = 25.

18. EJERCITACIÓN
Determinar todas las soluciones, si las hay, de las siguientes ecuaciones
diofánticas.
a. 8𝑥 + 10𝑦 = 18
b. 18𝑥 + 12𝑦 = 19
c. 525𝑥 + 100𝑦 = 50
d. 66𝑥 + 550𝑦 = 88