Ecuaciones de la recta 02

1. Matemáticas Académicas 4ºESO
© Marta Martín Sierra 1
ACTIVIDAD 6.
Escribe la ecuación general de la recta r que pasa por los puntos A (1, 2) y B (−2, − 3).
RESOLUCIÓN del apartado (a)
Mostramos varios métodos:
Método 1
Vector director AB =
(Extremo menos origen, extremo menos origen)
AB = (– 3, – 5)
Punto A (1, 2)
3
1
−
−x
=
5
2
−
−y
Ecuación continua
– 5 (x – 1) = – 3 (y – 2)
– 5x + 5 = – 3y + 6
– 5x + 3y – 1 = 0
Ecuación general de la recta
– 5x + 3y = 0
Método 2
Vector director AB =
(Extremo menos origen, extremo menos origen)
AB = (– 3, – 5)
Vector normal n
r
= (– 5, 3) = ( v2, – v1)
Ax + By + C = 0
Vector normal → (– 5, 3)
– 5x + 3y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A(1, 2)
– 5·1 + 3 · 2 + C = 0
– 5 + 6 + C = 0
C = – 1
– 5x + 3y – 1 = 0
Ecuación general de la recta
– 5x + 3y – 1 = 0
ACTIVIDAD 7
Sea r ≡ 2x + 3y + 1 = 0, calcula:
(a) La ecuación general de la recta “s” paralela a “r” que pasa por el punto A (−2, −1)
RESOLUCIÓN del apartado (a)
r ≡ 2x + 3y + 1 = 0
n
r
r = (2, 3)
A (– 2, – 1)
n
r
s = (2, 3)
s

2. Geometría Analítica en el plano
TEMA 09 – GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO – RESUELTOS2
Sabemos el vector normal de r → n
r
r = (2, 3)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto A (– 2, − 1) y tiene como
vector normal el mismo que r porque son paralelas.
Como el vector normal de r es (2, 3)
El vector normal de s es (2, 3)
s ≡ 2x + 3y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A (– 2, − 1)
2· (− 2) + 3 ·(− 1) + C = 0
− 4 – 3 + C = 0
C = 7
s ≡ 2x + 3y + 7 = 0
(b) La ecuación general de la recta "t" perpendicular a “r” que pasa por el punto B (− 2, 3).
RESOLUCIÓN del apartado (b)
Sabemos el vector normal de r → (2, 3)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos t, pasa por el punto B (− 2, 3)
El vector director de “t” coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
El vector director de t es (2, 3)
El vector normal de t es (– 3, 2)
t ≡ – 3x + 2y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto B (− 2, 3)
– 3 · (− 2) + 2 · 3 + C = 0
6 + 6 + C = 0 → C = – 12
t ≡ – 3x + 2y – 12 = 0
ACTIVIDAD 8
Sea r ≡ − x + y + 3 = 0, calcula:
(a) La ecuación general de la recta “s” paralela a “r” que pasa por el punto A (−2, 5).
RESOLUCIÓN del apartado (a)
r ≡ 2x + 3y + 1 = 0
n
r
r = (2, 3)
t
r
= (2, 3)
B (– 2, 3)
n
r
t = (- 3, 2)
t
r ≡ – x + y + 3 = 0
n
r
r = (– 1, 1)
A (– 2, 5)
n
r
s = (–1, 1)
s

3. Matemáticas Académicas 4ºESO
© Marta Martín Sierra 3
Sabemos el vector normal de r → n
r
r = (–1, 1)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto A (– 2, 5) y tiene como
vector normal el mismo que r porque son paralelas.
Como el vector normal de r es (– 1, 1)
El vector normal de s es (– 1, 1)
s ≡ – x + y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A (–2, 5)
– (– 2) + 5 + C = 0
2 + 5 + C = 0 → C = – 7
s ≡ – x + y – 7 = 0
(b) La ecuación general de la recta perpendicular a “r” que pasa por el punto B (5, −2)
RESOLUCIÓN del apartado (b)
r ≡ − x + y + 3 = 0
Sabemos el vector normal de “r” → n
r
r = (– 1, 1)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos t, pasa por el punto B (5, − 2) y su vector
director coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
Sabemos el vector normal de r → (– 1, 1)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos t, pasa por el punto B (5, − 2)
El vector director de “t” coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
El vector director de t es (– 1, 1)
El vector normal de t es (1, 1) → n
r
t = (1, 1)
t ≡ x + y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto B (5, − 2)
5 − 2 + C = 0 → 3 + C = 0 → C = – 3
t ≡ x + y – 3 = 0
ACTIVIDAD 9
Sea r ≡ 5x – 3y + 1 = 0, calcula:
(a) La ecuación general de la recta “s” paralela a “r” que pasa por el punto A (2, 4)
RESOLUCIÓN del apartado (a)
r ≡ − x + y + 3 = 0
n
r
r = (– 1, 1)
r ≡ − x + y + 3 = 0
n
r
r = (– 1, 1)
t
r
= (– 1, 1)
B (5, – 2)
n
r
t = (1, 1)
t

4. Geometría Analítica en el plano
TEMA 09 – GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO – RESUELTOS4
Sabemos el vector normal de r → n
r
r = (5, – 3)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto A (2, 4) y tiene como
vector normal el mismo que r porque son paralelas.
Como el vector normal de r es (5, – 3)
El vector normal de s es (5, – 3)
s ≡ 5x – 3y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A (2, 4)
5· 2 – 3 ·4 + C = 0
10 – 12 + C = 0
C = 2
s ≡ 5x – 3y + 2 = 0
RESOLUCIÓN del apartado (b)
(b) La ecuación general de la recta perpendicular a r que pasa por el punto B (7, 4).
Sabemos el vector normal de r → (5, – 3)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos t, pasa por el punto B (7, 4)
El vector director de “t” coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
El vector director de t es (5, – 3)
El vector normal de t es (3, 5)
t ≡ 3x + 5y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto B (7, 4)
3 ·7 + 5 · 4 + C = 0
21 + 20 + C = 0 → C = – 41
t ≡ 3x – 5y – 41 = 0
r ≡ 5x - 3y + 1 = 0
n
r
r = (5, - 3)
A (2, 4)
n
r
s = (5, - 3)
s
r ≡ 5x - 3y + 1 = 0
n
r
r = (5, - 3)
t
r
= (5, - 3)
B (7, 4)
n
r
t = (3, 5)
t