Este documento explica los números complejos, que surgen de la suma de un número real y uno imaginario. Describe cómo se suman, restan, multiplican y dividen números complejos siguiendo reglas similares a las expresiones radicales. También cubre objetivos de aprendizaje como sumar, restar, multiplicar, encontrar conjugados y dividir números complejos.

1. Números Complejos
Mayerli Vanessa García García
CI: V-19977908
Matemática IV

2. Los números complejos conforman un grupo de
cifras resultantes de la suma entre un número real y uno
de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la
definición, es aquel que puede ser expresado por un
número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236;
29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél
cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número
imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777,
cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).
La noción de número complejo aparece ante la
imposibilidad de los números reales de abarcar a
las raíces de orden par del conjunto de los
números negativos. Los números complejos
pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de
los polinomios, algo que los números reales no
están en condiciones de hacer.

3. Objetivos de aprendizaje
Sumar números complejos.
Restar números complejos.
Multiplicar números complejos
Encontrar conjugados de números complejos.
Dividir números complejos.

4. Sumando y Restando Números
Complejos
Primero, considera la siguiente expresión.
(6x + 8) + (4x + 2)
Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son
los términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De
manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin
variables.
(6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10
De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.
Puedes sumar con porque ambos términos tienen el mismo radical, , del mismo
modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente.
El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a . Lo interesante es que
no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable
o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números complejos.
Combinas las partes imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales.

5. Ejemplos:
Ejemplo
Problema Sumar. (−3 + 3i) + (7 – 2i)
−3 + 3i + 7 – 2i =
−3 + 7 + 3i – 2i
Reacomoda las sumas para juntar los términos
semejantes.
Respuesta
−3 + 7 = 4 y
3i – 2i = (3 – 2)i = i
(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i
Combina los términos semejantes.
Ejemplo
Problema Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i)
(−3 + 3i) – (7 – 2i) =
−3 + 3i – 7 + 2i
Asegúrate de distribuir el signo de resta a
todos los términos del sustraendo.
−3 – 7 + 3i + 2i Reacomoda las sumas para juntar los
términos semejantes.
Respuesta
−3 – 7 = −10 y
3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i
Combina los términos semejantes.

6. Multiplicando Números Complejos
De nuevo, considera la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, piensa en cómo la podrías
simplificar.
(5x)(−3x)
Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.
(5x)( −3x)
=(5)( −3)(x)(x)
=−15x²
Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero hay un
paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i.
(5i)( −3i)
=(5)( −3)(i)(i)
=−15i²
Hasta ahora todo va bien, pero el i² se puede simplificar más.
Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del radical. Esto es lo
que significa una raíz cuadrada.

7. Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a √-1
Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i² es reemplazar i²
con −1.
(5i)( −3i)
= (5)( −3)(i)(i)
= −15i2
= −15(−1)
= 15

8. Ejemplo
Problema Multiplica. (3i)(2i)
(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i)
= 6i2
Multiplica los coeficientes de i y luego
multiplica i por i.
6i2 = 6(−1)
6(−1) = −6
Reemplaza i2 con –1.
Multiplica.
Respuesta (3i)(2i) = −6
Ejemplo:
¡Observa que el producto de dos números imaginarios es
un número real!

9. Usando la propiedad
distributiva
La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos
binomios. Esto significa que debes usar la Propiedad Distributiva de la
Multiplicación. (Recuerda que multiplicar con el método FOIL — First, Outside,
Inside, Last — es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.) Una
vez que los binomios han sido multiplicados, simplifica la expresión
combinando los términos semejantes.
(6x + 8)(4x + 2) = 6x(4x + 2) + 8(4x + 2)
= 6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2)
= 24x2 + 12x + 32x + 16
= 24x2 + 44x + 16
De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la
misma manera. Al final, necesitas simplificar i2.

10. Ejemplo
Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i)
(6 + 8i)(4 + 2i)
6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i)
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i)
24 + 12i + 32i + 16i2
Se están multiplicando dos binomios, por lo que
necesitas la Propiedad Distributiva de la
Multiplicación.
Podríamos usar FOIL e ir directamente a
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) .
24 + 44i + 16i2 Combina los términos semejantes.
24 + 44i + 16(-1)
24 + 44i – 16
8 + 44i
Reemplaza i2 con −1 y simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i
En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente
ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si puedes averiguar por qué!

11. Ejemplo
Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i)
(6 + 8i)(6 – 8i)
6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i)
36 – 48i + 48i – 64i2
Usa FOIL para expandir el producto.
36 – 64i2 Combina los términos semejantes.
36 – 64(−1)
36 + 64
100
Reemplaza i2 con −1 y simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(6 – 8i) = 100
Así como y son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i son conjugados. (De nuevo, i es una
raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando los números
son complejos, los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados
tienen términos que son iguales excepto por la operación entre ellos (una es
suma y la otra es resta), los términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo
anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es 0, por lo que no el término i no existe
en el producto final. Esto significa que el producto de dos complejos conjugados
siempre será un número real (y no complejo).

12. División de números complejos
Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma
manera que con expresiones radicales. Esto no debería sorprenderte, el
número i es el radical, después de todo, ¡por lo que los números complejos son
expresiones radicales!
Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero,
veamos la situación cuando el divisor es un monomio.
Ejemplo
Problema Simplifica. −24i ÷ 6
Trata a la división como una fracción.
Simplifica la fracción usando un factor que
tengan en común el numerador y el
denominador.
Respuesta −24i ÷ 6 = −4i Como el resultado no tiene denominador, no
es necesario seguir simplificando.

13. Ejemplo
Problema Simplifica. 32i ÷ 6i
Trata a la división como una fracción. Simplifica la
fracción usando un factor que tengan en común el
numerador y el denominador. Observa que en este
caso, i es parte del factor común.
Respuesta 32i ÷ 6i = La fracción quede en su forma simple.
Ejemplo
Problema Simplifica. 56 ÷ −7i
Trata a la división como una fracción. Simplifica la fracción
usando un factor que tengan en común el numerador y el
denominador.
En este caso, el denominador todavía tiene el término i.
Como i es un radical, debes seguir simplificando para
racionalizar el denominador.
Como el denominador es sólo un término, no necesitas
pensar en conjugados complejos. Sólo multiplica por 1 en la
forma y simplifica. (Recuerda, el producto de dos números
imaginarios es real, por lo que el denominador es real.)
Respuesta 56 ÷ −7i = 8i

14. Ejemplo
Problema Simplificar. (56 – 8i) ÷ (14 + 10i)
Trata la división como una fracción. Simplifica la fracción
usando un factor común que tengan el numerador y el
denominador, si existe.
Ten cuidado de usar la propiedad distributiva, los números
deben ser un factor de todos los términos.
En este caso, el denominador aún tiene el término i. Para
racionalizar el denominador, multiplica por el conjugado
complejo del denominador. En este caso, el conjugado
complejo es (7 – 5i).
(En los conjugados complejos, las partes reales son
iguales y las partes imaginarias son inversos aditivos.)
Expande el numerador y el denominador. Recuerda, el
denominador debe ser un número real (sin el término i)
si escoges el conjugado complejo correcto y realizas la
multiplicación correctamente.
Reemplaza i2 con −1 y simplifica. ¡Asegúrate de
remplazar i2 en el numerador y en el denominador!
El cociente puede escribirse en la forma a + biusando
fracciones para a y b.
Siempre comprueba el producto final para ver si se puede
simplificar más. En este caso, ambas fracciones pueden
simplificarse.
Respuesta (56 – 8i) ÷ (14 + 10i) =
Cuando el divisor (esto es, el
denominador en la fracción) es
un número complejo con partes
real e imaginaria distintas de
cero, debes racionalizar el
denominador usando el
conjugado complejo. Recuerda
que el producto de un número
complejo con su conjugado
complejo siempre es un número
real, por lo que el denominador
será un número real. Esto
significa que el resultado será
equivalente, pero racionalizado

15. Operaciones con números complejos
Para sumar o restar, combinar términos semejantes.
Para multiplicar monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los
números imaginarios i. Si aparece i2, reemplazar con −1.
Para multiplicar números complejos que son binomios, usar la Propiedad
Distributiva de la Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos
resultantes como monomios.
Para dividir, tratar el cociente como una fracción.
 Simplificar las partes numéricas y luego racionalizar el denominador, si
es necesario.
 Reemplazar i2 por −1 en el numerador y el denominador, si es
necesario.
 Escribir la respuesta en la forma a + bi, que podría requerir más
simplificación de ay b cuando son fracciones.