Números Complejos

Números Complejos

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  InstitutoUniversitarioPolitécnico SantiagoMariño MatemáticaIV Números Complejos Manuel AlejandroDíazVega V-24.151.830
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  Operaciones con númeroscomplejos Objetivos de aprendizaje Sumar números complejos. Restar números complejos. Multiplicar números complejos. Encontrar conjugados de números complejos. Dividir números complejos. Introducción Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es, “¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Sumando y restando números complejos Primero, considera la siguiente expresión. (6x + 8) + (4x + 2) Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son los términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables. (6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10 De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales. Puedes sumar con porque ambos términos tienen el mismo radical, , del mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente. El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a . Lo interesante es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números complejos. Combinas las partes imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales. Ejemplo Problema Sumar. (−3 + 3i) + (7 – 2i) −3 + 3i + 7 – 2i = −3 + 7 + 3i – 2i Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes. Respuesta −3 + 7 = 4 y 3i – 2i = (3 – 2)i = i (−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i Combina los términos semejantes.
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  Ejemplo Problema Restar. (−3+ 3i) – (7 – 2i) (−3 + 3i) – (7 – 2i) = −3 + 3i – 7 + 2i Asegúrate de distribuir el signo de resta a todos los términos del sustraendo. −3 – 7 + 3i + 2i Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes. Respuesta −3 – 7 = −10 y 3i + 2i = (3 + 2)i = 5i (−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i Combina los términos semejantes. Multiplicando números complejos De nuevo, considera la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, piensa en cómo la podrías simplificar. (5x)(−3x) Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables. (5x)( −3x) = (5)( −3)(x)(x) = −15x2 Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i. (5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i) = −15i2 Hasta ahora todo va bien, pero el i2 se puede simplificar más. Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del radical. Esto es lo que significa una raíz cuadrada. Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a .
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  Entonces, el últimopaso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2 es reemplazar i2 con −1. (5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i) = −15i2 = −15(−1) = 15 Ejemplo Problema Multiplica. (3i)(2i) (3i)(2i) = (3)(2)(i)(i) = 6i2 Multiplica los coeficientes de i y luego multiplica i por i. 6i2 = 6(−1) 6(−1) = −6 Reemplaza i2 con –1. Multiplica. Respuesta (3i)(2i) = −6 Usando la propiedad distributiva La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos binomios. Esto significa que debes usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. (Recuerda que multiplicar con el método FOIL — First, Outside, Inside, Last — es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.) Una vez que los binomios han sido multiplicados, simplifica la expresión combinando los términos semejantes. (6x + 8)(4x + 2) = 6x(4x + 2) + 8(4x + 2) = 6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2) = 24x2 + 12x + 32x + 16 = 24x2 + 44x + 16 De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la misma manera. Al final, necesitas simplificar i2 .
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  Ejemplo Problema Multiplicar ysimplificar. (6 + 8i)(4 + 2i) (6 + 8i)(4 + 2i) 6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i) 6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) 24 + 12i + 32i + 16i2 Se están multiplicando dos binomios, por lo que necesitas la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. Podríamos usar FOIL e ir directamente a 6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) . 24 + 44i + 16i2 Combina los términos semejantes. 24 + 44i + 16(-1) 24 + 44i – 16 8 + 44i Reemplaza i2 con −1 y simplifica. Respuesta (6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si puedes averiguar por qué! Ejemplo Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i) (6 + 8i)(6 – 8i) 6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i) 36 – 48i + 48i – 64i2 Usa FOIL para expandir el producto. 36 – 64i2 Combina los términos semejantes. 36 – 64(−1) 36 + 64 100 Reemplaza i2 con −1 y simplifica. Respuesta (6 + 8i)(6 – 8i) = 100 Así como y son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i son conjugados. (De nuevo, i es una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando los números son complejos, los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados tienen términos que son iguales excepto por la operación entre ellos (una es suma y la otra es resta), los términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es 0, por lo que no el término i no existe en el producto final. Esto significa que el producto de dos complejos conjugados siempre será un número real (y no complejo).
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  División de númeroscomplejos Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma manera que con expresiones radicales. Esto no debería sorprenderte, el número i es el radical, después de todo, ¡por lo que los números complejos son expresiones radicales! Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero, veamos la situación cuando el divisor es un monomio. Ejemplo Problema Simplifica. −24i ÷ 6 Trata a la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el denominador. Respuesta −24i ÷ 6 = −4i Como el resultado no tiene denominador, no es necesario seguir simplificando. Ejemplo Problema Simplifica. 32i ÷ 6i Trata a la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el denominador. Observa que en este caso, i es parte del factor común. Respuesta 32i ÷ 6i = La fracción quede en su forma simple. Ejemplo Problema Simplifica. 56 ÷ −7i Trata a la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el
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  denominador. En este caso,el denominador todavía tiene el término i. Como i es un radical, debes seguir simplificando para racionalizar el denominador. Como el denominador es sólo un término, no necesitas pensar en conjugados complejos. Sólo multiplica por 1 en la forma y simplifica. (Recuerda, el producto de dos números imaginarios es real, por lo que el denominador es real.) Respuesta 56 ÷ −7i = 8i Cuando el divisor (esto es, el denominador en la fracción) es un número complejo con partes real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el conjugado complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo siempre es un número real, por lo que el denominador será un número real. Esto significa que el resultado será equivalente, pero racionalizado. Ejemplo Problem a Simplificar. (56 – 8i) ÷ (14 + 10i) Trata la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor común que tengan el numerador y el denominador, si existe. Ten cuidado de usar la propiedad distributiva, los números deben ser un factor de todos los
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  términos. En este caso,el denominador aún tiene el término i. Para racionalizar el denominador, multiplica por el conjugado complejo del denominador. En este caso, el conjugado complejo es (7 – 5i). (En los conjugados complejos, las partes reales son iguales y las partes imaginarias son inversos aditivos.) Expande el numerador y el denominador. Recuerda, el denominador debe ser un número real (sin el término i) si escoges el conjugado complejo correcto y realizas la multiplicación correctamente. Reemplaza i2 con −1 y simplifica. ¡Asegúr ate de remplazar i2 en el numerador y en el denominador! El cociente puede escribirse en la forma a + bi usand o fracciones para a y b.
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  Siempre comprueba el producto finalpara ver si se puede simplificar más. En este caso, ambas fracciones pueden simplificarse. Respuest a (56 – 8i) ÷ (14 + 10i) = Operaciones con números complejos Para sumar o restar, combinar términos semejantes. Para multiplicar monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los números imaginarios i. Si aparece i2 , reemplazar con −1. Para multiplicar números complejos que son binomios, usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos resultantes como monomios. Para dividir, tratar el cociente como una fracción. Simplificar las partes numéricas y luego racionalizar el denominador, si es necesario. Reemplazar i2 por −1 en el numerador y el denominador, si es necesario. Escribir la respuesta en la forma a + bi, que podría requerir más simplificación de a y b cuando son fracciones. Sumario Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las mismas ideas que con los radicales y las variables. Con la multiplicación y la división, podrías necesitar reemplazar i2 con −1 y continuar simplificando.