Este documento explica cómo realizar operaciones básicas con números complejos. Para sumar y restar números complejos, se combinan los términos semejantes reales e imaginarios. Para multiplicar, se multiplican los coeficientes y luego los términos con i, reemplazando i2 con -1. Al dividir, se trata como una fracción y se racionaliza el denominador si es necesario.
2. Operaciones con números complejos
Objetivos de aprendizaje
Sumar números complejos.
Restar números complejos.
Multiplicar números complejos.
Encontrar conjugados de números complejos.
Dividir números complejos.
Introducción
Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas
es, “¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así
como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos.
Sumando y restando números complejos
Primero, considera la siguiente expresión.
(6x + 8) + (4x + 2)
Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son
los términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De
manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin
variables.
(6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10
De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.
Puedes sumar con porque ambos términos tienen el mismo radical, ,
del mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente.
El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a . Lo interesante es
que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una
variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números
complejos. Combinas las partes imaginarias (los términos con i) y combinas las
partes reales.
Ejemplo
Problema Sumar. (−3 + 3i) + (7 –
2i)
−3 + 3i + 7 – 2i =
−3 + 7 + 3i – 2i
Reacomoda las sumas
para juntar los términos
semejantes.
Respuesta
−3 + 7 = 4 y
3i – 2i = (3 – 2)i = i
(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i
Combina los términos
semejantes.
3. Ejemplo
Problema Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i)
(−3 + 3i) – (7 – 2i) =
−3 + 3i – 7 + 2i
Asegúrate de distribuir
el signo de resta a todos
los términos del
sustraendo.
−3 – 7 + 3i + 2i Reacomoda las sumas
para juntar los términos
semejantes.
Respuesta
−3 – 7 = −10 y
3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i
Combina los términos
semejantes.
Multiplicando números complejos
De nuevo, considera la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, piensa en cómo
la podrías simplificar.
(5x)(−3x)
Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.
(5x)( −3x) = (5)( −3)(x)(x)
= −15x2
Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo,
pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i.
(5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)
= −15i2
Hasta ahora todo va bien, pero el i2
se puede simplificar más.
Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del
radical. Esto es lo que significa una raíz cuadrada.
Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a .
4. Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2
es reemplazar i2
con −1.
(5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)
= −15i2
= −15(−1)
= 15
Ejemplo
Problema Multiplica. (3i)(2i)
(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i)
= 6i2
Multiplica los coeficientes
de i y luego
multiplica i por i.
6i2
= 6(−1)
6(−1) = −6
Reemplaza i2
con –1.
Multiplica.
Respuesta (3i)(2i) = −6
Usando la propiedad distributiva
La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos
binomios. Esto significa que debes usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación.
(Recuerda que multiplicar con el método FOIL — First, Outside, Inside, Last — es
aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.) Una vez que los binomios han
sido multiplicados, simplifica la expresión combinando los términos semejantes.
(6x + 8)(4x + 2) = 6x(4x + 2) + 8(4x + 2)
= 6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2)
= 24x2
+ 12x + 32x + 16
= 24x2
+ 44x + 16
De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la misma manera. Al final,
necesitas simplificar i2
.
5. Ejemplo
Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i)
(6 + 8i)(4 + 2i)
6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i)
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i)
24 + 12i + 32i + 16i2
Se están multiplicando dos
binomios, por lo que necesitas
la Propiedad Distributiva de la
Multiplicación.
Podríamos usar FOIL e ir
directamente a
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) .
24 + 44i + 16i2
Combina los términos
semejantes.
24 + 44i + 16(-1)
24 + 44i – 16
8 + 44i
Reemplaza i2
con −1 y
simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i
En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente
ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si puedes averiguar por qué!
Ejemplo
Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i)
(6 + 8i)(6 – 8i)
6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i)
36 – 48i + 48i – 64i2
Usa FOIL para expandir el
producto.
36 – 64i2
Combina los términos
semejantes.
36 – 64(−1)
36 + 64
100
Reemplaza i2
con −1 y
simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(6 – 8i) = 100
Así como y son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i son conjugados. (De
nuevo, i es una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando
los números son complejos, los llamamos conjugados complejos. Porque los
conjugados tienen términos que son iguales excepto por la operación entre ellos (una
es suma y la otra es resta), los términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo
anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es 0, por lo que no el término i no existe en el
producto final. Esto significa que el producto de dos complejos conjugados siempre
será un número real (y no complejo).
6. División de números complejos
Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma
manera que con expresiones radicales. Esto no debería sorprenderte, el número i es el
radical, después de todo, ¡por lo que los números complejos son expresiones
radicales!
Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero,
veamos la situación cuando el divisor es un monomio.
Ejemplo
Problema Simplifica. −24i ÷ 6
Trata a la división como
una fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador.
Respuesta −24i ÷ 6 = −4i Como el resultado no
tiene denominador, no es
necesario seguir
simplificando.
Ejemplo
Problema Simplifica. 32i ÷ 6i
Trata a la división como
una fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador. Observa
que en este caso, i es
parte del factor común.
Respuesta
32i ÷ 6i =
La fracción quede en su
forma simple.
Ejemplo
Problema Simplifica. 56 ÷ −7i
Trata a la división como
una fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
7. denominador.
En este caso, el
denominador todavía
tiene el término i.
Como i es un radical,
debes seguir simplificando
para racionalizar el
denominador.
Como el denominador es
sólo un término, no
necesitas pensar en
conjugados complejos.
Sólo multiplica por 1 en la
forma y simplifica.
(Recuerda, el producto de
dos números imaginarios
es real, por lo que el
denominador es real.)
Respuesta 56 ÷ −7i = 8i
Cuando el divisor (esto es, el denominador en la fracción) es un número complejo con
partes real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el
conjugado complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su
conjugado complejo siempre es un número real, por lo que el denominador será un
número real. Esto significa que el resultado será equivalente, pero racionalizado.
Ejemplo
Problem
a
Simplificar. (56 – 8i) ÷ (14 + 10i)
Trata la división
como una fracción.
Simplifica la
fracción usando un
factor común que
tengan el
numerador y el
denominador, si
existe.
Ten cuidado de
usar la propiedad
distributiva, los
números deben
ser un factor
de todos los
8. términos.
En este caso, el
denominador aún
tiene el término i.
Para racionalizar
el denominador,
multiplica por el
conjugado
complejo del
denominador. En
este caso, el
conjugado
complejo es (7 –
5i).
(En los conjugados
complejos, las
partes reales son
iguales y las
partes imaginarias
son inversos
aditivos.)
Expande el
numerador y el
denominador.
Recuerda, el
denominador debe
ser un número real
(sin el término i) si
escoges el
conjugado
complejo correcto
y realizas la
multiplicación
correctamente.
Reemplaza i2
con
−1 y
simplifica. ¡Asegúr
ate de remplazar
i2
en el numerador
y en el
denominador!
El cociente puede
escribirse en la
forma a + bi usand
o fracciones
para a y b.
9. Siempre
comprueba el
producto final para
ver si se puede
simplificar más. En
este caso, ambas
fracciones pueden
simplificarse.
Respuest
a
(56 – 8i) ÷ (14 + 10i) =
Operaciones con números complejos
Para sumar o restar, combinar términos semejantes.
Para multiplicar monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los
números imaginarios i. Si aparece i2
, reemplazar con −1.
Para multiplicar números complejos que son binomios, usar la Propiedad
Distributiva de la Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos resultantes
como monomios.
Para dividir, tratar el cociente como una fracción.
Simplificar las partes numéricas y luego racionalizar el denominador, si es
necesario.
Reemplazar i2
por −1 en el numerador y el denominador, si es necesario.
Escribir la respuesta en la forma a + bi, que podría requerir más simplificación
de a y b cuando son fracciones.
Sumario
Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las
mismas ideas que con los radicales y las variables. Con la multiplicación y la división,
podrías necesitar reemplazar i2
con −1 y continuar simplificando.
