Matemáticas FMRA

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO CARACAS
TÉCNICO SUPERIOR UNIVERSITÁRIO EN TURISMO
Profesor. Lic. PABLO NICOMEDES MUÑOZ
MATEMÁTICAS
Integrantes:
Rios Frangelica.C.I. V-27.33.718
Caracas, abril 2017

2. 1
Funciones
En los procesos matemáticos existen las denominadas funciones o
función(f) , viniendo a ser una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio)
de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único
elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito).
De manera más simple: Una función es una relación entre dos
magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera corresponde un único
valor de la segunda.
La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para
indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos.
Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla
de valores (como el ejemplo anterior), mediante una expresión algebraica o,
como veremos luego, mediante una gráfica.
Tipos de funciones
Dependiendo de ciertas características que tome la expresión
algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:
Funciónconstante
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce
como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el
conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica
de abajo muestra que es una recta horizontal.

3. 2
Funciónlineal
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal,
donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La
representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales
son funciones polinómicas.
Ejemplo:
F(x) = 2x - 1
Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica
es una recta ascendente.

4. 3
Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos
de sus puntos.
La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos,
es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces y = ax + b
Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.
La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza
o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

5. 4
El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es
porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el
denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.
Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la
siguiente forma:
La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.
La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)
Representación gráfica de una función lineal o función afín
Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación
matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:
• 1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va
a cortar dicho eje.
• 2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo
según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la
recta.
• 3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de
ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.
• 4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los
mismos.

6. 5
Ejemplo:
Graficar la siguiente función:
La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.
También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo
dos puntos en las coordenadas.
Ejemplo:
Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1
Solución
Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le
dan valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:
Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = - 1
Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3
Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la
gráfica correspondiente.

7. 6
Funciónpolinómica
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números
reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).
Funcióncuadrática
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es
diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una
parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una
parábola se determina por la fórmula:

8. 7
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo:
F(x) = x2 representa una parábola
que abre hacia arriba con vértice
en (0,0).
Funciónracional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es
que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

9. 8
Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo,
el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto
los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está
definida).
Función de potencia
Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es
cualquier número real.
Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.
Ejercicios y ejemplos con funciones en general:
Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:
a) Su cuádruplo.
La función es: f (x) = 4x.
b) Un número 2 unidades mayor.
La función es: f (x) = x + 2.
c) Su mitad menos 1.
La función es: f (x) = x/2 - 1
d) El cuadrado del número que es una unidad menor.
La función es: f (x) = (x - 1)2
Veamos algunos otros ejemplos de funciones:
1) El volumen de un gas está determinado por
la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de
Boyle-Mariotte:

10. 9
Donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión
en atmósferas y c es una constante de proporcionalidad.
Pudiéndose observar que al variar la presión a la que está sometido el
gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores
de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del
volumen.
2) El área A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la
fórmula:
Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.
3) Dada la función f(x) = 5x2 + 2
Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.
Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho
elemento en el lugar de la variable, así para x = 2
F (2) = 5(2)2 + 2
F (2) = 22
Por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f (2) = 22.
Ejemplo:
El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro
recorrido.

11. 10
• a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de
los kilómetros recorridos.
• b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?
• c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?
Veamos:
a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x)
= 15 + 0,2x.
b) x = 50 entonces
F (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25
Hay que pagar 25 dólares.
c) f (x) = 53 entonces
15 + 0,2x = 53 entonces x = 190
Se han recorrido 190 km.
Álgebra de funciones
Suma, resta, multiplicación y división de funciones
Sean f y g dos funciones cualesquiera.
Ejemplos:
Suma de funciones

12. 11
Sean las funciones
Diferencias entre función y relación
Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier
correspondencia entre conjuntos y una función es la que da exactamente un
valor a la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente
(x) en el dominio.
Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del
producto cartesiano AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir
que para todo elemento de A exista un único elemento de B (que se suele llamar
f(a)) relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la siguiente: se

13. 11
dice que R es reflexiva si para todo elemento de A (a, a) está en la relación. Se
dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a) está en la
relación, antisimétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y
transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) está en la
relación.
Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva, se dice que es de equivalencia.
Si una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice que es de orden.
No se puede decir que una relación es creciente o decreciente, porque cada
elemento puede estar relacionado con varios o con ningún elemento. De las
funciones (si son de R en R) si se pueden decir si son crecientes o decrecientes
(o ninguno de los 2 casos, como pasa con la función sen x).
En cuanto a la continuidad, hay que recordar que una función puede ser continua
en un punto y no en otro.
La definición de función continua en un punto es la siguiente: para todo epsilon
positivo existe un delta >0 de tal forma que para todo x /este a menos de delta
de x0, la distancia de (f(x)a f(x0) es menor que epsilon y una función se dice
continua a secas si es continua en todo a una función se dice discontinua si
existe al menos un punto donde no es continua.
Dominio
En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una
función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los
cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede
transformar, se denota o bien.
Rango
Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El
rango va de -1 a +1.
Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice da la
parábola hacia arriba hasta + infinito.

14. 12
¿Para qué se representa una gráfica?
Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos,
mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos
guardan entre sí. También se representan para plasmar coordenadas
cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un
conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno.
La representación gráfica también es una ayuda para el estudio de una
función. Una función con una variable dependiente y otra independiente se
puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas
correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes.
Limites
La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como
límite.
Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan
progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite
matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión
mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.
Una definición informal del límite matemático indica que el límite de una
función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada
ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T
como se pretenda.
LIMITES DE FUNCIONES
1- Noción de límite de una función en un punto.
Una función y = f(x) puede no estar definida para un cierto
punto, digamos x = xo , como sucede con y = log x en el punto x = 0, o como

15. 13
sucede con y = tg x en el punto x = En realidad, una
función y = f(x) puede llegar a mostrar un comportamiento extraño en cierto
punto x = xo . Para comprender mejor estas posibles anomalías de algunas
funciones se introduce la noción de límite de una función en un punto.
La función y = f(x) tiene como
límite L en el punto x=a.
Para determinar el límite de y = f(x) en cierto punto x = a, debemos
prescindir del valor que tenga f(a), incluso puede que f(a) ni siquiera esté
definido, y fijarnos en los valores de f(a) para puntos extremadamente cercanos
a x = a.
En el ejemplo del gráfico, observando los valores de los puntos muy
próximos a x= a, lo cual será expresado así: , se llega a la conclusión que
el límite de y = f(x) "cuando x tiende al valor a" es L. Utilizando simbología
matemática, lo expresamos:

16. 14
2- Limites laterales.
Existen funciones que en un cierto punto x = xo poseen
una discontinuidad, sufriendo su gráfica de un "salto", tal como se muestra en la
figura de abajo.
La función y = f(x) tiene como
límite L+ por la derecha del
punto x=a, y el límite L- por la
izquierda del punto x=a.
Para la función y = f(x) del gráfico de arriba, no está definido el
valor f(a), y se dice que el límite de f(x) "por la derecha" del punto x =
a (expresado así: + ) es L+, lo cual en simbología matemática es:
Por otra parte, se dice que el límite de f(x) "por la izquierda" del punto x =
a (expresado así: - ) es L+, que en simbología matemática es:
(NOTA: En Cálculo Infinitesimal suelen emplearse letras griegas tales
como: para referirnos a valores numéricos muy pequeños.)

17. 15
Por otra parte, para que podamos hablar verdaderamente del límite de f(x) en
el punto x = a los límites laterales deben ser iguales, es decir, debe cumplirse:
3-Limites infinitos.
Hay dos casos destacables de límites, tal como podemos verlo en las gráficas
de abajo
Para la función y = f(x) de la Fig. 1, f(x) tiende al valor L para x en el infinito
(geométricamente se habla de que y = L es una "asíntota horizontal" de la
curva ).
En el caso de la Fig. 2, es la función y = f(x) la que toma un valor infinito en el
punto x=a (geométricamente x=a es una "asíntota vertical" de la curva).
En el primer caso se expresa:
Mientras que el segundo así:

18. 16
4- Algunas propiedades sobre el infinito y valores indeterminados.
Cuando se opera con límites de funciones se trabaja con el conjunto R
ampliado, es decir, el conjunto de los números reales al que se le han añadido
los entes numéricos: + , - . Conviene, por tanto, tener claras algunas
propiedades de estos entes, así como valores que son indeterminados en este
conjunto:
* Para cualquier número n (incluido el 0): n/ = 0.
* Para cualquier número n positivo (distinto de 0): n.+ = + , n. (- )= - .
* Para cualquier número n negativo (distinto de 0): n.+ = - , n. (- )= +
.
* Para el caso del 0: 0. + y 0. (- ) son Indeterminados.
* Para números n positivos + /n = + , pero para n negativos + /n = - .
* Para el caso del 0: + /0 = , así como - /0 = , pero en ambos casos
el signo del infinito es Indeterminado. Algo similar sucede cuando dividimos un
número entre cero: 3/0 = , -3/0 = (el signo del infinito es indeterminado,
aunque sí podemos asegurar lo que sucede tanto a la derecha de 0, como a la
izquierda de 0).
* Asimismo son Indeterminados:
/ (con cualquier signo), - , 0/0, 0°, ° (cual. signo).
La mayoría de estas relaciones son muy lógicas si nos acostumbramos
a imaginar a + , como 1/ (+0), y a - , como -1/ (+0) -entendiendo por +0 un
número positivo muy pequeño-.

19. 17
5- Propiedades de límites.
Sea dos funciones f(x), g(x) tales que en cierto punto x = a, sus límites
respectivos son A y B, es decir:
entonces se tiene que:
pero siempre debemos descartar las expresiones indeterminadas como las
anteriormente citadas.
6- Cálculo de límites.
Sea una función y = f(x), si queremos hallar el límite de esa función en
un determinado punto x = a, lo primero que haremos será hallar f(a), ante lo cual
pueden suceder tres casos.
I) f(a) tiene un valor claro y unívoco.
II) No podemos hallar f(a), bien porque f(x) no tiene imagen en el punto x = a,
o porque nos da un valor indeterminado.
III) f(a) nos da un valor infinito.
Para el primer caso, podemos decir que ese mismo valor de f(a) es el
propio valor del límite. Esto sucede en las regiones continuas de y = f(x). Por
ejemplo:

20. 18
Ejemplo 1: Hallar el límite en el punto x = 2 de la función y = x² +1.
Este límite es 5, puesto que de una manera clara tenemos f (2) = 5.
Ejemplo 2: Hallar el límite en el punto x = 1 de la función:
Para este caso, si hallamos el valor de la función en x = 1 obtenemos f(1) =
0/0, que es uno de los casos de indeterminación, lo cual no significa que es
imposible hallar el límite de f(x) en ese punto, sino que debemos "operar" para
eliminar la indeterminación (por lo general toda indeterminación puede ser
determinada). Por ejemplo, podemos descomponer en factores el numerador de
la fracción:
Al cancelar el factor (x -1) en el numerador y denominador hemos conseguido
eliminar la indeterminación. Numerosas indeterminaciones nos aparecen cuando
hallamos límites en el infinito, como en los próximos ejemplos.
Ejemplo 3: Hallar el siguiente límite en el infinito:
En principio si sustituimos x por + , nos encontramos con la
indeterminación - , en estos casos suele funcionar multiplicar y dividir por la
misma expresión, pero con el signo positivo, es decir:

21. 19
Ejemplo 4: Hallar el siguiente límite en el infinito:
Si sustituimos x por + , nos encontramos con la indeterminación / .
Para estos casos de cocientes de polinomios en el infinito, se sigue la regla:
" Dividir numerador y denominador por la potencia máxima del denominador",
que en nuestro caso es x³:
teniendo en cuenta que las potencias 1/x, 1/x², etc. son 0.
Hasta ahora hemos visto situaciones de los dos primeros casos, veamos
ejemplos del tercer caso, es decir, cuando en x = a el valor de f(a) se hace infinito
o impreciso (entendemos aquí por impreciso cuando los valores que toma la
función en x = a+ y en x = a- difieren notablemente). Cuando nos
encontremos en estas situaciones, pasaremos a hallar los límites laterales.
Ejemplo 4: Hallar el límite de la función y = 5/(x-2), en el punto x=2.
Al hallar f (2) nos encontramos con 5/0, o sea pero sin precisar el
signo. Hallemos, pues, los límites laterales. Para ello consideraremos una
cantidad infinitesimal positiva , que le añadimos al punto x=2 para hacer

22. 20
el límite por la derecha, y que le sustraeremos al x=2 para hacer el límite por la
izquierda, a continuación, hacemos el límite cuando ->0. Veámoslo:
* Por la derecha de x=2:
aquí sabemos que 5/0 es + , pues la cantidad es pequeñísima pero positiva
(algo así como si fuera +0,00000000001).
* Por la izquierda de x=2:
ahora tenemos -5/ , siendo ese número pequeñísimo
pero positivo (imaginemos algo como antes: +0,00000000001), por tanto, es el
mismo resultado que antes, pero con signo negativo.
Ejemplo 5: Estudiar lo que sucede en x=0 para la función :
Al tratar de hallar f (0) nos encontramos con el número e elevado al infinito
impreciso, por lo tanto, pasemos a hallar los límites laterales:
En este caso el límite por la derecha de x=0, es decir para x=0+ , nos
conduce al número e elevado a 1/ (para esta expresión imagínense, como
siempre, algo así como 1/ +0,00000000001), cuyo resultado es el elevado a +
, o sea, + .

23. 21
En este límite por la izquierda de x=0, es decir para x=0- , nos conduce al
número e elevado a -1/ , una potencia negativa cuyo resultado es la inversa de
la potencia positiva, la cual, al igual que antes, es el elevado a + , o sea, nos
da el inverso de + , que es el 0.
7- Algo más sobre límites de funciones.
Por lo general se tiene la creencia que el cálculo de límites es una tarea
simple, en realidad, la gran variedad de funciones posibles y los más de siete
tipos de indeterminación, complica mucho en ocasiones este cálculo. Por eso
vamos a concentrarnos en algunos métodos sistemáticos para este cálculo.
I. El método exponencial para resolver la indeterminación .
II. La regla de L'Hôpital.
III. Utilización de infinitésimos para cálculo de límites.
(Siga el vínculo para ir a cada uno de estos temas)
Finalmente, debemos ser consciente de que no siempre existe límite de una
función en un punto, y no solamente porque los límites laterales sean distintos
(como hemos dicho en la cuestión 2.3), es que en ocasiones ni siquiera existen
estos límites laterales. Consideremos por ejemplo la función
y = log x
para el punto x = 0 podemos hallar el límite por la derecha de x = 0, es decir:
sin embargo, no podemos hallar el limite a la izquierda de x = 0, puesto que no
existen logaritmos de números negativos. Entonces decimos que ese límite a la
izquierda no existe. Por supuesto, para un punto tal como x = -5 no existe

24. 22
ninguno de los límites laterales, pues log x sólo tiene existencia en la zona
positiva de x.
Otro caso son funciones como y = sin x, y = cos x, u otras funciones periódicas,
que al tratar de hallar su límite en cualquiera de los infinitos, nos encontramos
sin poder decidir cuál es su valor allí (en realidad el infinito no es un punto sino
una zona definida algo imprecisamente, y la igualdad = +1, provoca conflicto
en este tipo de funciones). Por lo tanto, hemos de decir que no existe el límite:
Sin embargo, debe notarse que el producto o cociente de una función cuyo
límite es inexistente con otra en la que sí exista puede conducir a un límite con
existencia. Por ejemplo:
Aquí la función 1/x tiene por límite 0 en el infinito, que al multiplicarla por el seno
de infinito no puede dar otra cosa que 0.
Derivadas
El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del Análisis
matemático. Los otros son los de integral indefinida, integral definida, sucesión;
sobre todo, el concepto liminar de límite. Este es usado para la definición de
cualquier tipo de derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente
y suma de una serie y la continuidad. Por su importancia, hay un antes y después
de tal concepto que biseca las matemáticas previas, como el Álgebra,
la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Según Einstein, el mayor
aporte que se obtuvo de la derivada fue la posibilidad de formular diversos
problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica
en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el

25. 23
cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental
en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como
la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos
dimensiones de ,se considera la derivada como la pendiente de la
recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de
esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que
determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta
secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse
muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales
como monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y
la concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus
puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene
una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.
Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las
aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es
susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola
variable), son aproximables linealmente.
Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si
existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a
cero.

26. 24
Ejemplos
1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

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Derivada en el punto a
Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a:
f(x) - f(a)
f'(a) = lim -----------
x->a x - a
Función derivada
La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada
valor de x.
Teorema
Si una función es derivable, entonces es continua.
H) f es derivable en x=a.
T) f es continua en x=a.