Exposicion sobre estructuras algebraicas: Grupos, Subgrupos, Anillos y Cuerpos.

1. Estructuras algebraicas
Moises benzan 17-0231
Herandy Santos 17-0581

2. Grupos

3. Que son?
Es un conjunto cuyas operaciones internas (G, *) cumplen las siguientes
propiedades:
● (∀x)(∀y): (x * y) ∈ G. [Propiedad Clausurativa]
● (∀x)(∀y)(∀z) : (x * y) * z = x * (y * z). [Propiedad asociativa]
● (∃e)(e ∈ G)(∀x) : e * x = x * e = x. [Existencia elemento neutro]
● (∀x)(∃x!) : x * x’ = x’x = e. [Existencia del elemento
simetrico]

4. Ejemplos

5. Grupos Abelianos
Se dice que G es un grupo
conmutativo o abeliano si la ley * es
conmutativa.
Un ejemplo sería el
grupo de Prufer, representado en el
grafo a la derecha.

6. Subgrupos

7. Que son?
Un subgrupo (H) es un grupo que forma parte de otro grupo (G). Si G
tiene mas de 1 elemento, admite por lo menos dos subgrupos:
● {e}, uno que contiene el elemento neutro,
● G, el grupo en si.

8. En la imagen a la derecha existen dos
subgrupos notables:
● Los Reales que son un
subgrupo de los Complejos.
● Los Naturales que son un
subgrupo de los Enteros.
Ejemplos

9. Anillos

10. Que son?
Es un conjunto en el cual se definen dos leyes de composición interna
las cuales siguen los siguientes axiomas:
● Los 5 axiomas de los grupos abelianos
● Clausurativa para la multiplicación
● Asociativa para la multiplicación
● Distributiva a la derecha y a la izquierda

11. ● El conjunto F[x] de los
polinomios con coeficientes en
ℤ (conjunto de los enteros), con
la adición y multiplicación, es
un anillo unitario.
● El conjunto M de las matrices
reales de orden 2 con la adición
y multiplicación de matrices es
un anillo no conmutativo.
● Las Operaciones de Suma y
Multiplicación forman un anillo
con los números naturales.
Ejemplos

12. Cuerpos

13. Que son?
Un cuerpo es un anillo en el cual todo elemento es distinto de 0 o de
uin vacío y cada elemento tiene su inverso.

14. ● Los números racionales es un
cuerpo de números que incluye
un subconjunto isomorfo a los
números enteros.
● El cuerpo más pequeño tiene
solamente dos elementos: 0 y
1.
Ejemplos