Actividad obligatoria nº5 unidad nº4 ( parte2 )

1. MATEMATICA II
año
2017
1
INSTITUTO
UNIVERSITARIO
AERONAUTICO
Actividad Obligatoria Nº5 - 2da
parte
Por: CRISTIAN MAURO ASSAIN
ALICACIONES DE LA DERIVADA
Ejercicio nº5
2252
3
1
)( 23
 xxxxf
Dominio de f(x)
Al tratarse de una función polinómica el dominio esta representado por todos los números
Reales
)()(  xxDf
Derivada primera y segunda de f(x)
2252
3
1
)( 23
 xxxxf
Al ser un polinomio derivamos cada uno de los términos, quedando:
54)(' 2
 xxxf
42)(''  xxf

2. MATEMATICA II
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Puntos críticos de f(x)
Para encontrar los puntos críticos utilizamos la primera derivada y determinamos que
valores de x anulan la expresión.
0542
 xx
factorizando nos queda:
0)1)(5(  xx
De donde determinamos que las raíces de esta expresión son:
)5( 1 x
)1( 2 x
Intervalos de crecimiento y decrecimientos.Máximos y Mínimos
Nuevamente utilizamos la primera derivada y evaluamos el signo que toma en todo su
dominio
Si f’(x)>0 en todo un intervalo de su dominio entonces en creciente
Si f’(x)<0 en todo un intervalo de su dominio entonces en decreciente
Utilizamos una recta que representa su dominio y marcamos los puntos críticos, donde
evaluaremos el signo de la función para determinar crecimiento y decrecimiento.
Para ello tomamos valores aleatorios en cada uno de los intervalos

3. MATEMATICA II
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Nos queda entonces que en el intervalos:
);5()1;(  y
f(x) es creciente
y en el intervalo
)5;1(
f(x) es decreciente.
Además determinamos que x=-1 es un Máximo relativo y x=5 un Mínimo relativo de f(x)
Puntos de inflexión y Concavidad de f(x)
Para encontrar los puntos de inflexión y luego determinar el tipo de concavidad utilizamos la
derivada segunda y determinamos los valores de x que la igualan a 0.
42)(''  xxf
042 x
De donde obtenemos que el valor de x = 2
Para determinar la concavidad analizamos el signo que toma la segunda derivada en los
intervalos alrededor del punto de inflexión.
Si f’’(x)>0 en todo un intervalo de su dominio entonces es cóncava hacia arriba
Si f’(‘x)<0 en todo un intervalo de su dominio entonces es cóncava hacia abajo
Representamos nuevamente en una recta el dominio de f(x) y marcamos el punto de
inflexión. Tomamos valores aleatorios en cada uno de los intervalos.

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De donde determinamos entonces que en los intervalos:
)2;(
f(x) es cóncava hacia abajo.
);2( 
f(x) es cóncava hacia arriba.
Puntos principales de f(x)
Remplazamos los valores Máximos, Mínimos y punto de inflexión en f(x) para obtener los
valores de y
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3
1
)( 23
 xxxxf
67,24)1( f
33,11)5( f
67,6)2( f
Las raíces de f(x), son:

5. MATEMATICA II
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Gráfica de la función
Donde:
Los puntos a, d y f son las raíces de f(x)
b es el máximo relativo, e un mínimo relativo y c punto de inflexión de f(x).