Estadistica inferencial

PROBABILIDAD

CONCEPTO Y DEFINICIÓN
PROPIEDADES
PROBABILIDAD CONDICIONADA
INDEPENDENCIA DE SUCESOS

DAGOBERTO SALGADO HORTA

CONCEPTOS
PROBABILIDAD: CONCEPTOS

Experiencia aleatoria: aquella experiencia
afectada por las leyes del azar:
impredecibilidad
regularidad estadística.
Resultado elemental de una experiencia
aleatoria.
Suceso: conjunto de resultados elementales
de una experiencia aleatoria. A veces se le
llama también resultado.
Espacio muestral: conjunto de sucesos
asociados a una experiencia aleatoria.

CONCEPTO DE PROBABILIDAD
PROBABILIDAD: CONCEPTO

DEFINICIÓN DE LAPLACE:

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO
ASOCIADO A UNA EXPERIENCIA
ALEATORIA ES EL COCIENTE ENTRE
EL NÚMERO DE RESULTADOS
ELEMENTALES FAVORABLES Y EL
NÚMERO DE RESULTADOS
ELEMENTALES POSIBLES QUE
PUEDEN DARSE


DEFINICIÓN FRECUENCIALISTA:

PROBABILIDAD DE UN SUCESO ASOCIADO A
UNA EXPERIENCIA ALEATORIA ES EL
COCIENTE ENTRE EL NÚMERO DE VECES
QUE SE PRESENTA ESE SUCESO Y EL
NÚMERO DE ENSAYOS REALIZADOS CUANDO
EL NÚMERO DE ENSAYOS CRECE
INDEFINIDAMENTE


DEFINICIÓN SUBJETIVA:

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES
EL GRADO DE CREENCIA QUE SE
TIENE EN QUE ESE SUCESO ES
CIERTO.

DEFINICIÓN
PROBABILIDAD: DEFINICIÓN

Un número P asociado a un resultado de una
experiencia aleatoria es una probabilidad si
cumple los siguientes axiomas:
Todo suceso tiene una probabilidad no negativa.
P(A)≥0
La probabilidad del suceso seguro es 1
P(E)=1
La probabilidad de la unión de cualquier grupo de
sucesos disjuntos es la suma de las probabilidades
de cada uno de esos sucesos.
P(∪Ai)=∑P(Ai) con Ai∩Aj=∅

PROPIEDADES
PROBABILIDAD: PROPIEDADES

La probabilidad del suceso imposible es 0: P(∅)=0
Una probabilidad nunca puede ser menor que 0 ni mayor
que 1: 0≤P(A)≤1
Si un suceso A incluye a un suceso B, la probabilidad de A
siempre es mayor o igual que la de B: Si B⊂A ⇒ P(B)≤P(A)
La probabilidad del suceso complementario es:
P(A)=1-P(A)
La probabilidad de la unión de dos sucesos es:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Y en general podemos decir que:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
P ⎜ ∪ A I ⎟ = ∑ P( A i ) + ∑∑ P( A i ∩ A j ) + ⋅⋅⋅ + ( −1) n −1 P ⎜ ∩ A i ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ i ⎠ i i j ⎝ i ⎠
i=1,2,...,n


CON ELLA SE PRETENDE VALORAR EL EFECTO
QUE TIENE SOBRE LA PROBABILIDAD DE UN
SUCESO EL HECHO DE DISPONER DE
INFORMACIONES PARCIALES SOBRE EL MISMO

SE DEFINE COMO “PROBABILIDAD DEL SUCESO
B CONDICIONADA A QUE HA OCURRIDO EL
SUCESO A” A LA SIGUIENTE

P(B/A) = P(A∩B) / P(A)

SUCESOS INDEPENDIENTES
INDEPENDENCIA DE SUCESOS

DOS SUCESOS SE DICEN INDEPENDIENTES SI
EL CONOCIMIENTO DE QUE HA OCURRIDO UNO
DE ELLOS NO MODIFICA LA PROBABILIDAD DEL
OTRO:

P(B/A) = P(B)
P(A/B) = P(A)
P(A∩B) = P(A) P(B)

TEOREMA DE BAYES
Si los Ai son una partición del espacio muestral y el
suceso B es de probabilidad no nula, se cumple:
TEOREMA DE BAYES

P(A i ) P(B/A i )
P(A i /B) =
Σ P(A i )P(B/A i )
LOS Ai SUELEN INTERPRETARSE COMO LAS CAUSAS U
ORÍGENES DE B, QUE A SU VEZ ES EL RESULTADO O
CONSECUENCIA DE ALGUNO(S) DE LOS Ai

EL TEOREMA DE BAYES PERMITE EVALUAR LA
PROBABILIDAD DE LAS CAUSAS VISTO EL EFECTO

OTROS COMENTARIOS SOBRE
PROBABILIDAD
Sucesos independiente y sucesos excluyentes
no es lo mismo.
La reunión de sucesos equivale al “o” lógico, la
disyunción no exclusiva:
A ∪ B = A o B = [o A, o B, o ambos]
La intersección de sucesos equivale al “y” lógico,
la conjunción:
A ∩ B = A y B = [A y B simultáneamente]
Método del árbol para la solución de problemas
VARIOS

de probabilidad:
Es una representación gráfica de la secuencia de
acontecimientos que definen el problema
estudiado

VARIABLES ALEATORIAS

CONCEPTO Y TIPOS
CARACTERIZACIÓN
PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
APROXIMACIONES

VARIABLE ALEATORIA

LLAMAREMOS ALEATORIA A

AQUELLA VARIABLE QUE TOMA
VALORES INFLUIDA POR EL AZAR

PODRÍAMOS CONTRAPONER
VARIABLES Y FENOMENOS
DETERMINISTAS CON VARIABLES Y
FENÓMENOS ALEATORIOS

TIPOS DE VARIABLE ALEATORIA

DISCRETA:

Toma valores de un conjunto discreto y cada
valor posible xi tiene asignada una
probabilidad p(xi)

CONTINUA:
Toma valores en un conjunto continuo y la
distribución de la probabilidad a lo largo del
mismo viene dada por una función f(x)

FUNCIONES:
p(xi) se llama función de probabilidad

f(x) se llama función de densidad

F(x) se llama función de distribución:
F(x) = P(X ≤ x)
existe para variables discretas (F(xi)) o continuas

FUNCION DE PROBABLIDAD

Asignar probabilidades en una variable

discreta significa definir P(xi) en cada
punto de la variable cumpliéndose:

P(xi) ≥ 0 ∀i
ΣP(xi) = 1

¿Qué probabilidad hay de que aparezcan X uds
defectuosas en una muestra de 10, cuando la
producción tiene un 30% de defectuosas?

Binomial Distribution
0.3 Event prob.,Tria
0.3,10
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x

FUNCIÓN DE DENSIDAD
En el caso continuo la caracterización de la

variable se realiza mediante la FUNCIÓN DE
DENSIDAD f(x)

Para comprender su significado puede ser útil
recurrir a la analogía mecánica:
La distribución de probabilidad es similar a una
distribución de masa, y en el caso unidimensional la
distribución de la masa a lo largo del eje es imagen de la
distribución de la probabilidad. Al igual que la masa en un
punto es nula, también lo es la probabilidad en un punto:
ambas requieren intervalos para tomar valores no nulos

¿Cómo se distribuye la longitud de las
barras de una pata de mesa de tubo metálico
cortado? El valor objetivo es 850 mm.

Normal Distribution
0.1 Mean,Std. dev.
850,4
0.08
density

0.06

0.04

0.02

0
820 830 840 850 860 870 880
x

¿Qué porcentaje de las unidades
producidas está entre 848 y 855 mm?

FUNCIÓN DE DENSIDAD
Entre otros requisitos, una función de

densidad f(x) de una variable aleatoria
continua debe cumplir:

f(x) ≥ 0 ∀x
+∞
∫−∞
f ( x) dx = 1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
En variables discretas se cumple que:

F(X) = ∑ P( x )
x i ≤X
i

En variables continuas se cumple que:
x
F( x ) = ∫ f ( x ) dx
−∞

d F( x )
f ( x) =
dx

Binomial Distribution Función de

cumulative probability
1 Event prob.,Trial

0.8
0.3,10 distribución
0.6 en variable
0.4
discreta.

0.2

0
0 2 4 6 8 10
x

Función de Normal Distribution

distribución cumulative probability 1 Mean,Std. dev.
850,4
0.8
en variable 0.6

continua. 0.4

0.2

0
830 840 850 860 870
x

PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN

Son similares a los estudiados en
estadística descriptiva.
Son de cuatro tipos:
PARÁMETROS

- Parámetros de Posición
- Parámetros de Dispersión
- Parámetros de Asimetría
- Parámetros de Curtosis

VALOR MEDIO (MEDIA)
Describe la posición de la variable
aleatoria X (es decir, su orden de magnitud)
si x es variable discreta
E( x ) = ∑ xi P( xi )
i
PARÁMETROS

si x es variable continua
+∞
E( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) dx
En la analogía mecánica es el centro de
gravedad de la distribución

VARIANZA
Describe el grado de dispersión de la
variable
si x es variable discreta

σ 2 = ∑ ( x i − m) 2 P( x i )
si x es variable continua
PARÁMETROS

+∞
σ = ∫ ( x − m) f ( x)dx
2 2
−∞
Su raíz cuadrada es la desviación típica σ
En la analogía mecánica es el momento de inercia
de la distribución

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

ALGUNAS VARIABLES ALEATORIAS
PRESENTAN COMPORTAMIENTOS
CARACTERÍSTICOS QUE SON
ESTÁNDARES DE FRECUENTE USO
UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
SE CARACTERIZA POR UNA FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN DADA
en el caso discreto se caracterizan también por la
función de probabilidad,
en el caso continuo por la función de densidad

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES
DE PROBABILIDAD
LAS MÁS IMPORTANTES DENTRO DEL
ÁMBITO DE LA CALIDAD SON LAS
SIGUIENTES:
VARIABLES DISCRETAS
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
VARIABLES CONTINUAS
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DISTRIBUCIÓN χ2
DISTRIBUCIÓN t
DISTRIBUCIÓN F

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Considérese:
Una población formada por N individuos.
Una muestra extraída al azar de esa población
y formada por n individuos.
Una cierta característica A que identifica a D
de los individuos de la población, con lo que
p=D/N es la proporción de individuos con esa
característica.
La variable X que representa al número de
individuos de la muestra que tienen esa
característica A.


N X = H(N, n, p)

N-D n
A

D X
A


EN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE LA
VARIABLE X SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN
HIPERGEOMÉTRICA DE PARÁMETROS N, n, p:
X ≡ H (N, n, p) x = {0, 1, 2, … n}
SUS CARACTERÍSTICAS SON:

⎛ D ⎞⎛ N − D ⎞
⎜ ⎟⎜
⎜ x ⎟⎜ n − x ⎟
⎟
P( x ) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ E( x ) = np
⎛N⎞ N−n
⎜ ⎟
⎜n⎟ σ ( x) =
2
np(1 − p)
⎝ ⎠ N −1


Considérese:
Una población formada por ∞ individuos.
Una muestra extraída al azar de esa población
y formada por n individuos.
Una cierta característica A que identifica a una
proporción p de individuos de la población.
característica A.
EN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE LA VARIABLE X
SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PARÁMETROS
n, p:
X ≡ B (n, p) x = {0, 1, 2, … n}


X = Número de defectuosas
en la muestra

X ≡ B(n,p)

P P P P P P
P
P PP
P P


X ≡ B (n, p)
x = {0, 1, 2, … n}

⎛n⎞ x
P(x) = ⎜ ⎟ p (1-p)n-x
⎜x⎟
⎝ ⎠
E(x) = n p σ2(x) = n p (1-p)

DISTRIBUCIÓN de POISSON

Considérese:
Una muestra de tamaño infinito extraída al azar
de una población.
Una cierta característica A que se presenta
con una probabilidad muy pequeña (→0) en
los individuos de la población.
Un promedio finito λ de individuos de la
muestra con esa característica.
característica A.


Se aplican mucho en análisis de defectos
superficiales, donde la probabilidad de que
aparezca un defecto en un punto concreto es
muy baja, hay muchos puntos posibles donde
aparecer el defecto y tenemos un promedio
de defectos determinado.

Poisson


EN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE
LA VARIABLE X SIGUE UNA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON DE
PARÁMETRO λ:
X ≡ Ps (λ) x = {0, 1, 2, …}

P(x) = (e-λ λx) / x!
E(x) = λ σ2(x) = λ

APROXIMACIONES ENTRE LAS

H(N,n,p)

N/n ≥ 10 N→∞

B(n,p)
n ≥ 50 n→∞
p < 0.1 p→0
np ≤ 5* Ps(λ) np = λ

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

ES LA MÁS IMPORTANTE Y ÚTIL DE LAS
DISTRIBUCIONES CONTINUAS E INCLUSO,
BAJO CIERTAS CONDICIONES, DE LAS
DISCRETAS.

FUE DESCRITA POR
GAUSS, Y SE
DENOMINA TAMBIÉN
DISTRIBUCION
GAUSSIANA


UNA VARIABLE NORMAL DE PARÁMETROS m, σ
SE DEFINE POR SU FUNCIÓN DE DENSIDAD:

−
( x −m )2
1
f ( x) = e 2σ2
σ 2π
DIREMOS ENTONCES QUE
X ≡ N (m, σ) con x ∈ ]-∞, +∞[

E(x) = m σ2(x) = σ2

TIPIFICADA

SE LLAMA NORMAL TIPIFICADA N (0, 1) A AQUELLA EN
QUE:
m=0 σ=1

LA FUNCIÓN DE DENSIDAD QUEDA AHORA:
x2
1 −
f (x) = e 2
2π

LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LA NORMAL
TIPIFICADA ESTÁ TABULADA, PUES LA INTEGRAL QUE
LA DEFINE A PARTIR DE f(x) NO TIENE PRIMITIVA

TABLA DE LA NORMAL TIPIFICADA

LA TABLA DA VALORES DE F(x)
ENTRANDO CON EL VALOR DE x

A ESTA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN SE
LE LLAMA CON FRECUENCIA φ(x)

TABLA DE LA NORMAL TIPIFICADA

P(z<1.75) = 0.9599

TABLAS DE LA NORMAL

EL CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EN UNA
NORMAL GENERAL REQUERIRÍA INTEGRAR LA FUNCIÓN
DE DENSIDAD NUMERICAMENTE O DISPONER DE UNA
TABLA PARA CADA N(m,σ)

EN LUGAR DE ELLO, SE PREFIERE UN PROCEDIMIENTO
LLAMADO TIPIFICACIÓN QUE CONSISTE EN CONVERTIR
LA NORMAL N(m,σ) EN UNA NORMAL N(0,1) Y EMPLEAR
LAS TABLAS DE ESTA NORMAL TIPIFICADA:

Si x ≡ N (m, σ)

x−m
z= ≡ N (0, 1)
σ
con lo cual sólo es necesaria una tabla para calcular
probabilidades en la distribución normal.

http://www.umd.umich.edu/casl/socsci/econ/StudyAids/JavaStat/CentralLimitTheorem.html

Normal tipificada

X=N(850,4) ¿P(846.5 < X <855)? ⎛ 846.5 − 850 ⎞
P( X ≤ 846.5) = P⎜ Z ≤ ⎟ = φ(−0.875)
⎝ 4 ⎠
P = 0.8944 – 0.1894
⎛ 855 − 850 ⎞
P( X ≤ 855) = P⎜ Z ≤ ⎟ = φ(1.25)
P = 0.705 ⎝ 4 ⎠

DISTRIBUCIÓN χ2 de PEARSON

SE DEFINE LA VARIABLE CHI CUADRADO CON
n GRADOS DE LIBERTAD () COMO LA SUMA DE
LOS CUADRADOS DE n VARIABLES
ALEATORIAS NORMALES TIPIFICADAS
INDEPENDIENTES
Zi = N(0,1) i = 1...n
X=∑ Z =χn
2
2
i
i

ESTÁ DEFINIDA COMO NO NEGATIVA
SU FUNCIÓN DE DENSIDAD ES ASIMÉTRICA

DISTRIBUCIÓN χ2

X= χ29 P(X>2.7) = 0.975 χ29,0.10= 14.684

DISTRIBUCIÓN

t de STUDENT

SE DEFINE COMO EL COCIENTE ENTRE UNA
NORMAL TIPIFICADA Y LA RAIZ CUADRADA DE
UNA CHI CUADRADO DIVIDIDA POR SUS
GRADOS DE LIBERTAD, AMBAS
INDEPENDIENTES :
z
tn = tn ∈]-∞, + ∞[
χn
2
/n
z = N(0,1), χ n = Chi cuadrado con n g.l.
2
donde :
E(tn) = 0 D2(tn) = n/(n-2)

DISTRIBUCIÓN t de STUDENT

X=t6 P(X>1.44)= 0.10 t6,0.01= 3.143

DISTRIBUCIÓN

t de STUDENT

Next time you have a beer,
thank William Gosset,
and next time you perform a t-test,
have a Guiness.
(La próxima vez que tomes una cerveza,
agradéceselo a William Gosset,
y la próxima vez que use la distribución t de
Student, tómate una Guiness.)

DISTRIBUCIÓN F de SNEDECOR

SE DEFINE COMO EL COCIENTE
DE DOS CHI CUADRADOS
INDEPENDIENTES DIVIDIDAS
POR SUS GRADOS DE
LIBERTAD :
χ n1 / n1
2
Fn1,n2 =
χ n 2 / n2
2

•Toma valores no negativos
•Su función de densidad es asimétrica
•Su función de distribución se obtiene de tablas


X ≡ F3,10 P(X>6.6)= 0.01


X ≡ F3,10 F3,10(0.05)= 3.71

APROXIMACIONES
ENTRE
VARIABLES H (N, n, p)

(N /n) >10
n > 50
p < 0.1

B (n, p) np < 5 Ps(np) =
Ps(λ)
np > 5*
λ>5*
NORMAL

n1>30
n>30 n>30 n2>30

χ 2
n tn Fn1 ,n2

binomial a normal

http://www.ruf.rice.edu/%7Elane/stat_sim/normal_appro
x/index.html

INFERENCIA ESTADÍSTICA

CONCEPTO
DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
TIPOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA
ESTIMACION PUNTUAL
ESTIMACION POR INTERVALOS
CONTRASTE DE HIPÓTESIS

CONJUNTO DE TÉCNICAS

ESTADÍSTICAS QUE NOS PERMITEN
EXTRAER CONCLUSIONES A
PARTIR DE DATOS MUESTRALES

?


TÉCNICAS DE INFERENCIA :

ESTIMACIÓN
PUNTUAL
POR INTERVALOS

CONTRASTE DE HIPÓTESIS
SOBRE PARÁMETROS
SOBRE DISTRIBUCIONES

DISTRIBUCIONES EN EL
MUESTREO
Los parámetros de una población no suelen
ser conocidos.
Su estudio requiere la toma de muestra y su
‘estimación’ a través de métodos
estadísticos.
Al estar calculados en base a información
muestral (sujeta a variaciones aleatorias)
estos parámetros muestrales son variables
aleatorias.

DISTRIBUCIONES EN EL
MUESTREO
POBLACION MUESTRA
PARÁMETROS PARÁMETROS
POBLACIONALES MUESTRALES
VALORES VALORES
EXACATOS PERO APROXIMADOS
DESCONOCIDOS PERO CONOCIDOS
CONSTANTE VARIABLE
ALEATORIA

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
La media muestral se calcula mediante:
n
Xi
x=∑
i =1 n
media y varianza de la media muestral son:

σ2
E(x) = μ D ( x) =
2

n
es decir:
la media poblacional de la media muestral
coincide con la media poblacional de X.
La varianza de la media muestral decrece con
el tamaño de muestra

DISTRIBUCIÓN
DE LA MEDIA MUESTRAL
Si la variable es normal, se cumple:
⎛ σ ⎞
x ≡ N(μ, σ) ⇒ x ≡ N ⎜ μ, ⎟
⎝ n⎠

Aunque X no fuera una distribución Normal,
si n es lo suficientemente grande, según el
Teorema de Lindenberg-Levy, la media
muestral seguiría teniendo una distribución
normal.
http://www.umd.umich.edu/casl/socsci/econ/StudyAids/JavaStat/CentralLimitTheorem.html

DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL

La varianza muestral se determina mediante:
( Xi − x )
2 n
( Xi − x ) 2
=∑
n
s =∑
2
2
sn −1
n
i =1 n i =1 n −1
Características en poblaciones normales:
n⋅ s 2
(n −1) ⋅ s 2
≡ χn −1
2
n n −1
≡χ 2
n −1
σ 2
σ 2

[ ] E[s ] = σ
n −1 2
Es = ⋅σ
2 2 2
n n −1
n

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE
MEDIAS MUESTRALES

Si tenemos X1=N(μ1,σ1) y X2=N(μ2,σ2)

x1 − x 2 = N⎛ μ1 − μ 2 , σ1 σ2 ⎞
2
⎜ + 2
⎟
⎝ n1 n2
⎠

DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE
VARIANZAS MUESTRALES
Si tenemos dos variables aleatorias
independientes con distribuciones
normales X1=N(μ1,σ1) y X2=N(μ2,σ2) la
distribución del cociente entre sus
varianzas muestrales es:

s1 / σ1
2 2
= Fn1 −1,n 2 −1
s2 / σ2
2 2

DISTRIBUCIÓN DE LA
PROPORCIÓN MUESTRAL
Si X=B(n,p), la media y la varianza de la
proporción muestral son
p ⋅(1− p)
E(p) = p
ˆ D (p) =
2
ˆ
n
Si X=Ps(λ) la media y la varianza de la
proporción muestral son
p
E(p) = p
ˆ D (p) =
ˆ 2

n

ESTIMACIÓN PUNTUAL
SE PRETENDE AVERIGUAR EL VALOR DE
ESTIMACIÓN PUNTUAL

UN PARÁMETRO DE UNA DISTRIBUCIÓN

COMO ESTIMACIÓN DE
LOS PARÁMETROS POBLACIONALES
SE USAN LOS CORRESPONDIENTES
ESTADÍSTICOS MUESTRALES

ESTIMACIÓN PUNTUAL
CARACTERÍSTICA DESEABLES EN UN ESTIMADOR:
ESTIMACIÓN PUNTUAL

DEBE SER INSESGADO
DEBE TENER VARIANZA MÍNIMA
DEBE SER CONSISTENTE

POR EJEMPLO :

MEDIA POBLACIONAL .................. MEDIA MUESTRAL
VARIANZA POBLACIONAL ........... ID. MUESTRAL (n-1)
PROPORCIÓN POBLACIONAL ..... ID MUESTRAL

ESTIMACIÓN POR
INTERVALOS DE CONFIANZA

SE PRETENDE ENCONTRAR UN INTERVALO TAL
QUE CONTENGA CON UNA PROBABILIDAD DADA
AL VALOR VERDADERO DEL PARÁMETRO
ESTIMADO:

HALLAR DOS ESTADÍSTICOS L1 Y L2 TALES QUE
DEFINEN UN INTERVALO [L1, L2] QUE INCLUYE
AL VALOR VERDADERO DEL PARÁMETRO CON
PROBABILIDAD (1- α)

1 - α = NIVEL DE CONFIANZA
α = NIVEL DE SIGNIFICACIÓN

Intervalos de confianza

POBLACIONES NORMALES

Para la media de una población
normal
de varianza conocida:
σ
x ± zα
2 n

de varianza desconocida:
α/2 s
x ± t n−1
n

Para la diferencia de medias de dos

poblaciones normales
de varianzas conocidas:
σ1 σ 2
2
( x1 − x 2 ) ± z α + 2
2 n1 n2
de varianzas desconocidas, pero iguales:
α 2 1 1
( x1 − x 2 ) ± t n1/ + n2 −1 S +
n1 n2

(n1 − 1) s1 + (n2 − 1)s2
2
S2 = 2
n1 + n2 − 2


Para la varianza de una población normal:
⎡ ⎤
⎢ (n − 1) s (n − 1) s ⎥
2 2
⎢ 2 , 2 ⎥
χ χ
⎢ n−1, α n− 1,1− α ⎥
⎣ 2 2⎦

Para la razón de varianzas de dos
poblaciones normales:
⎡ s2 / s2 s1 / s2 ⎤
2
⎢ 1 2 , 2 ⎥
⎢ Fn /−1,n −1 Fn−−α,/n2) −1 ⎥
α 2 1 (
⎣ 1 2 1 1 2 ⎦

POBLACIONES BINOMIALES

Con aproximación a la Normal (np>5)

p(1 − p)
ˆ ˆ
p ±z α
ˆ
2
n

Método exacto:
Usar gráfica, entrando con p (estimada) y
n y leyendo Li y Ls.

TEST DE HIPÓTESIS
SE PRETENDE COMPROBAR SI SE VERIFICAN
DETERMINADAS HIPÓTESIS ESTABLECIDAS
SOBRE EL VALOR DE ALGÚN PARÁMETRO DE
TEST DE HIPÓTESIS

UNA DISTRIBUCIÓN O SOBRE LA PROPIA
DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE, Y HACERLO
CON UN RIESGO DE ERROR MEDIBLE

LA CERTEZA NO ES POSIBLE DADO EL
CARÁCTER ALEATORIO DE LA INFORMACIÓN
EMPLEADA

ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS:
HIPÓTESIS
HIPÓTESIS NULA (H0)
ES LA QUE SE DESEA COMPROBAR
TEST DE HIPÓTESIS

(Suele ir asociada a lo que e considera
situación correcta o normal)

HIPÓTESIS NULA (H1)
SUELE SER LA CONTRARIA DE LA
HIPÓTESIS NULA
(Con frecuencia va asociada a la situación
incorrecta o no deseada)

ELEMENTOS DE UN TEST DE
HIPÓTESIS: HIPÓTESIS
HIPÓTESIS SIMPLE / COMPUESTA
La zona donde es cierta se reduce a un
TEST DE HIPÓTESIS

punto o a más de uno:
m=120 m>120

HIPÓTESIS UNILATERAL / BILATERAL
La zona donde es cierta se define a un
solo lado o a los dos de un cierto valor:
m≠120 m>120

ERRORES
ERROR TIPO I
RECHAZAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO
TEST DE HIPÓTESIS

ES CIERTA
(falsa alarma)

ERROR TIPO II
ACEPTAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO ES
FALSA
(no suena la alarma cuando debiera hacerlo)

RIESGOS
NIVEL DE SIGNIFICACIÓN
ES LA PROBABILIDAD DE RECHAZAR LA
TEST DE HIPÓTESIS

HIPÓTESIS NULA CUANDO ES CIERTA
ES LA PROBABILIDAD DE ERROR TIPO I
SE REPRESENTA POR α Y SE LE LLAMA
RIESGO DEL FABRICANTE

LA PROBABILIDAD DE ERROR TIPO
II SE REPRESENTA POR β Y SE LE
LLAMA RIESGO DEL COMPRADOR

TEST SOBRE LA MEDIA
Hipótesis nula simple contra alternativa
bilateral (H0 : m=m0 H1 : m ≠ m0),
supuesta σ desconocida.
TEST DE HIPÓTESIS

x − m0
1. Calcular : t=
s/ n
α/2
2. Comparar t con el valor de una t n −1

α/ 2
3. Decidir: si t > tn−1 se rechazaráH0

TEST SOBRE LA MEDIA
unilateral (H0 : m=m0 H1 : m > m0),
supuesta σ desconocida
TEST DE HIPÓTESIS

x − m0
1. Calcular : t=
s/ n
α
2. Comparar t con el valor de una t n −1

α
3. Decidir: si t > tn−1 se rechazaráH0

TEST DE
IGUALDAD DE DOS MEDIAS
Hipótesis nula simple contra alternativa bilateral
(H0 : m1=m2 H1 : m1 ≠ m2), supuestas las σ
desconocidas pero iguales
TEST DE HIPÓTESIS

(n1 − 1)s1 + (n 2 − 1)s 2
2
1. Obtener la varianza media ponderada : S = 2 2
n1 + n 2 − 2
x1 − x2
2.Calcular t =
S n1 + n12
1

α 2
3. Comparar t con el valor de una t n1/+n2 − 2

α
4. Decidir : si t > t n1/+2n 2 − 2 se rechazará H 0

TEST SOBRE LA VARIANZA
bilateral (H0 : σ=σ0 H1 : σ ≠ σ0)
TEST DE HIPÓTESIS

Se obtendrá un intervalo de confianza
en torno a S y se comprobará si σ0
queda incluida en el mismo :

⎡ (n − 1)s 2 (n − 1)s 2 ⎤
Si σ0 ∈ ⎢ 2 , 2 ⎥ se aceptará H0
⎢ χn−1, α χn−1,1− α ⎥
⎣ 2 2 ⎦

unilateral (H0 : σ=σ0 H1 : σ > σ0)
TEST DE HIPÓTESIS

(n − 1)s 2
1. Obtener χ =
2

σ02

2. Leer de tablas χn−1,α
2

3. Si χ 2 ≤ χn−1,α se aceptará H0
2

unilateral (H0 : σ=σ0 H1 : σ < σ0)
TEST DE HIPÓTESIS

(n − 1)s 2
1. Obtener χ =
2

σ02

2. Leer de tablas χn−1,1−α
2

3. Si χ 2 ≥ χn−1,1−α se aceptará H0
2

TEST DE
IGUALDAD DE VARIANZAS
unilateral (H0 : σ1=σ2 H1 : σ1>σ2), siendo
TEST DE HIPÓTESIS

s1 la desv. típica muestral mayor
2
s1
1. Calcular F = 2
s2

2.Leer de tablas Fnα −1,n2 −1
1

3.Decidir : Si F> Fnα −1,n2 −1 se rechazará H0
1

TEST SOBRE LA PROPORCIÓN
H0(p=p0) vs H1(p≠p0) (Binomial)

{
A = np0 − z α / 2 np0 q0 ≤ x ≤ np0 + z α / 2 np0 q0 }
H0(p=p0) vs H1(p>p0) (Binomial)

{
A = x ≤ np0 + z α np0q0 }
H0(p1=p2) vs H1(p1≠p2) (Binomial)
⎧ ˆ ˆ ⎫ n1p1 − n2p2
ˆ ˆ
⎪ p1 − p2 ⎪ p=
ˆ
A =⎨ ≤ zα / 2 ⎬ con
⎪ p ⋅ n1 + n 2
ˆ 1 1 ⎪ n1 + n2
⎩ ⎭

TEST SOBRE LA POISSON
H0(p=p0) vs H1(p≠p0) (Poisson)

{
A = np0 − z α / 2 np0 ≤ x ≤ np0 + z α / 2 np0 }
H0(p=p0) vs H1(p>p0) (Poisson)

{
A = x ≤ np0 + z α np0 }

TAMAÑOS DE MUESTRA
Las muestras necesarias para proceder
a estimar los parámetros de una
distribución deben ser calculadas de
modo que se garantice la adecuada
precisión y confiabilidad de las
estimaciones.
En todo caso, debe garantizarse la
aleatoriedad de la muestra.

MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS
Estimación de la media (normal)
zα / 2 ⋅ σ2
2
n=
(N −1) ⋅ ε 2 z2 / 2 ⋅ σ2
+ α
N N
Estimación de la proporción (binomial)
z α / 2 ⋅ (p ⋅ q )
2
n=
( N − 1) ⋅ ε 2 z α / 2 ⋅ (p ⋅ q )
2
+
N N
Estimación de la media (poisson)
z2 / 2 ⋅ λ
n= α

(N −1) ⋅ ε2 z 2 / 2 ⋅ λ
+ α
N N

MUESTREO EN POBLACIONES INFINITAS
Estimación de la media (normal)
2
⎛ σ ⋅ zα / 2 ⎞
n≥⎜ ⎟
⎝ ε ⎠
Estimación de la proporción (binomial)
2
⎛ pq ⋅ z α / 2 ⎞
n≥⎜ ⎟
⎜ ε ⎟
⎝ ⎠
Estimación de la media (poisson)
2
⎛ p ⋅ zα / 2 ⎞
n≥⎜ ⎟
⎜ ε ⎟
⎝ ⎠

TAMAÑO DE MUESTRA EN TEST DE
HIPÓTESIS

El más importante de ellos es para el
contraste de hipótesis es H0(μ=μ0) vs
H1(μ≠μ0). Entonces el tamaño de
muestra se calcula mediante:

2
⎛ z α / 2 + zβ ⎞
n≥⎜
⎜ ⎟
⎟
⎝ d ⎠

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